Ebene und räumliche Koordinatentransformationen

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1 Inhalte Mathematische Gundlagen Koodinatensysteme Ebene und äumliche Koodinatentansfomationen Zentalpespektive HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 1

2 Veschiebung (Tanslation) (2 Paamete): x, y T x, y Übe Tanslationen weden die Paallel- Veschiebungen zweie ebene Koodinatensysteme beschieben. HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 2

3 Tanslationen: y Y x 0 P X y 0 X HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 3

4 Tanslationen: x = a 0 + x y = b 0 + y Mit a 0 =x 0 und b 0 =y 0 folgt x, y T x, y x = x 0 + x y = y 0 + y x 0, y 0 Tanslationen HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 4

5 Dehung (Rotation) (1 Paamete): x, y T x, y Übe die Rotation wid die gegenseitige Vedehung zweie ebene Koodinatensysteme beschieben. HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 5

6 Rotation: Y P α X HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 6

7 Rotation: x = a 1 *x - b 1 *y y = b 1 *x + a 1 *x x, y T x, y Mit a 1 =cos α und b 1 = sin α folgt x = x*cos α - y*sin α y = x*sin α + y*cos α α Dehwinkel HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 7

8 Deh-Veschiebung (3 Paamete): x, y T x, y Die Deh-Veschiebung bescheibt die Rotation und gleichzeitige Tanslation zweie ebene Koodinatensysteme. HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 8

9 Deh-Veschiebung: Y x 0 P α y 0 X HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 9

10 Deh-Veschiebung: x = a 0 + a 1 *x - b 1 *y y = b 0 + b 1 *x + a 1 *x Mit a 0 =x 0 und b 1 = y 0 sowie x, y T x, y a 1 =cos α und b 1 = sin α folgt x = x 0 + x*cos α - y*sin α y = y 0 + x*sin α + y*cos α x 0, y 0 Tanslationen α Dehwinkel HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 10

11 Ebene Helmettansfomation (4 Paamete): x, y T x, y Die ebene Helmettansfomation dient de Tansfomation zweie ebene Koodinatensysteme mit 2 Veschiebungen 1 Dehwinkel und 1 Massstab HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 11

12 Ebene Helmettansfomation: Y x 0 y 0 P α X HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 12

13 Ebene Helmettansfomation: x = a 0 + m*(a 1 *x - b 1 *y) y = b 0 + m*(b 1 *x + a 1 *x) Mit a 0 =x 0 und b 1 = y 0 sowie x, y T x, y a 1 =cos α und b 1 = sin α folgt x = x 0 + m*(x*cos α - y*sin α) y = y 0 + m*(x*sin α + y*cos α) x 0, y 0 α m Tanslationen Dehwinkel Massstabsfakto HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 13

14 Ebene Affintansfomation (6 Paamete): HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 14 x, y T x, y Die ebene Affintansfomation dient de Tansfomation zweie ebene Koodinatensysteme mit 2 Veschiebungen 1 Dehwinkel 1 Scheungswinkel und 2 getennten Massstäben

15 Ebene Affintansfomation: Y β x 0 y 0 P α X HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 15

16 Ebene Affintansfomation: x = a 0 + a 1 *x + a 2 *y y = b 0 + b 1 *x + b 2 *x Mit a 0 =x 0 und b 0 =y 0 folgt x, y T x, y x = x 0 + m x *x*cos α - m y *y*sin (α+β) y = y 0 + m x *x*sin α + m y *y*cos (α+β) x 0, y 0 Tanslationen α Dehwinkel β Scheungswinkel m x, m y Massstabsfaktoen fü x und y HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 16

17 Bilineae Tansfomation: Ist eine Eweiteung de Affintansfomation um ein gemischtes Glied. x = a 0 + a 1 *x + a 2 *y + a 3 *x*y y = b 0 + b 1 *x + b 2 *x + b 3 *x*y Die bilineae Tansfomation wid z.b. bei de zwangsfeien Tansfomation und Intepolation von Vieecksmaschen genutzt (Réseaugitte, digitale Obeflächenmodelle). HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 17

18 Polynomtansfomation Mit Polynomen vom Gade n lassen sich nicht lineae Vefomungen bescheiben. X Y = = j= 0 i= 0 n n j j j= 0 i= 0 a b ji ji * x * x j i j i * * y y i i mit n: Gad des Polynoms Bei n=1: Affintansfomation HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 18

19 Polynomtansfomation Mit Polynomen vom Gade n lassen sich nicht lineae Vefomungen bescheiben. x = a 00 + a 10 *x + a 11 *y + a 20 *x 2 + a 21 *x*y + a 22 *y 2 y = b 00 + b 10 *x + b 11 *y + b 20 *x 2 + b 21 *x*y + b 22 *y 2 Polynom mit n=2 HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 19

20 Polynomtansfomation Die Anzahl de zu bestimmenden Koeffizienten betägt u=(n+1)*(n+2) Zu Bestimmung de u Koeffizienten sind mindestens u/2 Punkte notwendig. HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 20

21 Pojektivtansfomation Die Pojektivtansfomation bescheibt die zentalpojektive Abbildung zweie ebene Koodinatensysteme aufeinande. O Sämtliche Abbildungsstahlen duchlaufen geadlinig das Pojektionszentum O. HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 21

22 HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 22 Ebene Pojektivtansfomation Die Tansfomationsgleichung lautet: O y c x c y b x b b Y y c x c y a x a a X o o * * 1 * * * * 1 * * = = Zu Bestimmung de 8 Koeffizienten müssen 4 identische Punkte voliegen, von denen nicht meh als 3 auf eine Geaden liegen düfen.

23 Paktikum: Pojektivtansfomation Anwendung de Pojektivtansfomation Kubit Photoplan ist ein Beispiel fü eine einfach zu bedienende Softwaelösung zu Estellung digitale maßstabsgeechte Dastellungen aus Fotos. Datengundlage sind ein ode mehee Messbilde bzw. Fotos eines Objektes, die auf zu definieende Objektebenen entzet weden. Die Softwae liefet die notwendigen Bilddaten und Geometieinfomationen zu Estellung von Zeichnungen, Bildplänen ode digitalen 3D-Modellen mit weiteveabeitenden Pogammen. s 1 T s 2 s 2 s 1 HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 23

24 Räumliche (3D-) Koodinatensysteme Die Auswetung (Punktbestimmung) in de Photogammetie efolgt in äumlich katesischen Koodinatensystemen. Z Y X HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 24

25 Räumliche (3D-) Koodinatensysteme Liegen 3D-Punkte in einem Ausgangssystem vo und sind in ein Zielsystem zu tansfomieen, so weden hiefü 3D- Tansfomationen genutzt. Z P(X,Y,Z) Y X HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 25

26 Räumliche (3D-) Koodinatensysteme Die notwendigen Tansfomationspaamete setzen sich zusammen aus Tanslationen und Rotationen. Z P(X,Y,Z) κ Y ϕ Z 0 X 0 Y 0 ω X HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 26

27 Räumliche Dehungen Wähend in ebenen Tansfomationen die Rotationen um einen Dehpunkt definiet sind, weden äumliche Dehungen nacheinande um die dei Achsen des äumlichen Koodinaten-systems ausgefüht. HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 27

28 Dehmatix mit Euleschen Winkeln Dehung mit ω um die X-Achse: D( ω,0,0) = cosω sinω 0 sinω cosω Dehung mit ϕ um die Y-Achse: D(0, ϕ,0) cosϕ = 0 sinϕ sinϕ 0 cosϕ Dehung mit κ um die Z-Achse: cosκ sinκ D( 0,0, κ ) = sinκ cosκ HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 28

29 Dehung um die X-Achse HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 29

30 Räumliche Dehungen Die Rotationsmatizen sind othonomal, d.h. R -1 = R T und R*R T = E Die äumliche Gesamtdehung setzt sich aus hinteeinande ausgefühten Einzeldehungen zusammen. Die Deheihenfolge ist nicht beliebig! HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 30

31 Räumliche Dehungen Die Gesamtdehung wid häufig um mitgedehte Achsen in de Reihenfolge ω, ϕ, κ duchgefüht. Fü die Dastellung de Koodinaten des Punktes P im gedehten System xyz weden die Rotationsmatizen in umgekehte Reihenfolge miteinande multipliziet: x = R T * X mit R T = R T κ * R T ϕ * R T ω HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 31

32 Räumliche Dehungen Die Tansfomation in das Zielsystem XYZ efolgt mit de Gesamtdehung: R = R ω * R ϕ * R κ mit R = cosϕ cosκ cosω sinκ + sinω sinϕ cosκ sinω sinκ cosω sinϕ cosκ cosϕ sinκ cosω cosκ sinω sinϕ sinκ sinω cosκ + cosω sinϕ sinκ sinϕ sinω cosϕ cosω cosϕ X = R * x HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 32

33 Räumliche Dehungen Aus den Koeffizienten de äumlichen Dehmatix R lassen sich die Dehwinkel beechnen: sinϕ = 13 tanϖ = tanκ = mit R = HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 33

34 Räumliche Dehmatizen mit Euleschen Winkeln Deheihenfolge ω, ϕ, κ: R= D( ω, ϕ, κ ) = cosϕ cosκ cosω sinκ + sinω sinϕ cosκ sinω sinκ cosω sinϕ cosκ cosϕ sinκ cosω cosκ sinω sinϕ sinκ sinω cosκ + cosω sinϕ sinκ sinϕ sinω cosϕ cosω cosϕ Deheihenfolge ϕ, ω, κ: R= cosϕ cosκ + sin ω sin ϕ sin κ D( ϕ, ω, κ ) = cosω sin κ sin ϕ cosκ + sin ω cosϕ sin κ cosϕ sin κ + sin ω sin ϕ cosκ cosω cosκ sin ϕ sin κ + sin ω cosϕ cosκ cosω sin ϕ sin ω cosω cosϕ HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 34

35 HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 35 Räumliche Dehmatizen mit Euleschen Winkeln Deheihenfolge ω, ϕ, κ: Fü den Luftbildfall gilt: ω, ϕ, κ -> 0 cosα -> 1 sinα -> dα und dα dα = 0 = ),, ( ω ϕ ω κ ϕ κ κ ϕ ω d d d d d d D

36 Räumliche Ähnlichkeitstansfomation Die äumliche Ähnlichkeitstansfomation dient de fomteuen Tansfomation eines deidimensionalen katesichen Koodinatensystem xyz in ein entspechendes Zielsystem XYZ. Z P(X,Y,Z) κ Y ϕ Z 0 X 0 Y 0 ω X HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 36

37 Räumliche Ähnlichkeitstansfomation Die äumliche Ähnlichkeitstansfomation (3D Helmettansfomation) wid duch 7 Paamete beschieben: 3 Tanslationen 3 Rotationen 1 Maßstab Z P(X,Y,Z) κ Y ϕ Z 0 X 0 Y 0 ω X HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 37

38 Räumliche Ähnlichkeitstansfomation X Y Z i i i = X Y Z m * x * y z i i i mit: x i y i z i - Koodinaten im Modellsystem (Ausgangssystem) X i Y i Z i - Koodinaten im Objektsystem (Zielsystem) X 0 Y 0 Z 0 - Tanslationen µ - Maßstabsfakto R - äumliche Dehmatix HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 38

39 Räumliche Ähnlichkeitstansfomation Zu Bestimmung de 7 Paamete sind mindestens 7 Beobachtungen efodelich. Diese weden aus den Koodinatenkomponenten von mindestens 3 äumlichen veteilten Passpunkten entnommen, die nicht auf eine Geaden liegen düfen. Z P 3 Y P 1 VPP ω X HS BO Lab. fü Photogammetie: Ebene und äumliche Koodinatensysteme 39 P 2