Zur Gleichgewichtsproblematik beim Fahrradfahren

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1 technic-didact 9/4, 57 (984). u Gleichgewichtspoblematik beim Fahadfahen Hans Joachim Schlichting Gleichgewicht halten ist die efolgeichste Bewegung des Lebens. Beutelock. Einleitung Die physikalische Bescheibung eines fahenden weiads hat Mathematike und Physike imme wiede heausgefodet. WHIPPLE /0/ und Mc GAW /7/ düften die esten gewesen sein, die eine Theoie des Fahadfahens ogelegt haben. Späte befaßten sich TIMOSHENO und YOUNG /9/ eneut mit de Poblematik. Die Egebnisse wuden kaum akzeptiet, weil iele etaute Aspekte des Fahadfahens nicht eklät weden konnten, Allenfalls spezielle, mathematisch leicht zu behandelnde Detailpobleme flossen in einige Leh- und Fachbüche /8, 3/ ein. In jüngste eit hat man sich diese Poblematik sowohl expeimentell als auch theoetisch eneut angenommen /6, 4/, emutlich als eine Folge des Comebacks des Fahads. Dabei wuden zwa einige fühee Hypothesen widelegt, insgesamt abe keine konstuktie Altenatie geboten. Es scheinen zu iele Einflußfaktoen zu beücksichtigen zu sein, o allem solche, die om unteschiedlichen indiiduellen Fahehalten des jeweiligen Fahes abhängen, daß eine geschlossene Theoie übehaupt illusoisch escheint. Efolgsespechende sind demgegenübe Vesuche, das Fahadfahen auf dem Compute zu simulieen //. Jedenfalls zeigten este Vesuche ewetbae paktische Egebnisse, insbesondee auch im Hinblick auf sicheheitstechnische Vebesseungen des Fahaddesigns /, S. 80/. Wi wollen uns dahe auf eine mathematische Diskussion nicht einlassen. Stattdessen beschänken wi uns im folgenden auf eine weitgehend qualitatie Dastellung des Gleichgewichtsehaltens eines sich "nomal" ehaltenden Duchschnittsfahes auf einem handelsüblichen weiad. Daduch wid ein Veständnis de wesentlichen Mechanismen des Gleichgewichtsehaltens auf elati einfache Weise zugänglich. Mit Hilfe einige quantitatie Abschätzungen sollen Vostellungen übe die auftetenden Gößenodnungen entwickelt weden.. Gleichgewicht im statischen und dynamischen Fall Die Vewundeung iele Menschen daübe, daß man auf zwei äden übehaupt fahen kann, beuht emutlich daauf, daß die Anschauung des Menschen weitgehend gepägt ist om Gleichgewichtsehalten uhende Objekte. So haben beispielsweise Tische und Stühle mindestens dei Beine (Untestützungspunkte), um stabil zu stehen. Das weiad mit nu zwei Untestützungspunkten (Beühpunkt on Vodead und Hintead mit dem Boden) ist statisch gesehen labil. Beeits kleine Stöungen (die paktisch stets ohanden sind) genügen, um das Fahad zu kippen, d.h. in eine unewünschte stabile Lage zu bingen. Jede adle kennt die Bemühungen, ein ad duch einen Stände ode duch Anlehnen an eine Hauswand o dem Umkippen geschützt abzustellen. Auf einem uhenden ad sitzend das Gleichgewicht zu hallen, efodet in de Tat akobatische Fähigkeiten. Diese Efahungen weden jedoch zu Unecht zu Beuteilung eines fahenden adles heangezogen. Bewegte Objekte, seien es otieende eisel ode fliegende Bälle, ehalten sich öllig eschieden on uhenden. 3. u Technik des adfahens 3.. Ein adie ist ständig am Umkippen Die pimäe Vetautheit mit uhenden Objekten macht es efodelich, daß man das adfahen, d.h. die Beheschung eines bewegten Objekts, elent. Die Technik, die man sich dabei meh unbewußt als bewußt zu eigen macht, ist öllig eschieden on de Technik des Balancieens, mit de man labile uhende Objekte im Gleichgewicht hält. Auch ein fahendes Fahad wüde umkippen, wenn sich de Schwepunkt nicht meh senkecht übe de Vebindungslinie de beiden Beühpunkte ΑΒ mit dem Boden befände (gl. Bild ). Denn die am Schwepunkt S angeifende Schwekaft wüde

2 technic-didact 9/4, 57 (984). zu einem Dehmoment und damit zu eine Dehung um ΑΒ fühen. Da diese Situation paktisch ständig gegeben ist, fagt man sich, was ein adle macht, um nicht zu kippen. An eaktionsmöglichkeiten stehen ihm die Schwepunktselageungen duch Bewegung des eigenen öpes und die Dehung des Lenkes zu Vefügung. Vo allem letztee ist die entscheidende Maßnahme, die de paktisch ständig nach de einen ode andeen Seite kippende adle ausnutzt. Die naie Vemutung, daß man etwa bei einem ippen nach links nach echts gegenzusteuen hätte, ist falsch. Dies wüde den beginnenden Stuz nu noch beschleunigen. Man muß im Gegenteil in die gleiche ichtung, nach links, steuen. 3.. Wie fäht man eine ue? Um dies zu estehen, betachten wi, was passiet, wenn de Lenke eingeschlagen wid, d. h. das ad eine ue zu fahen beginnt: De Situation, wie sie de adfahe selbst elebt, angemessene ist die Bescheibung de uenfaht bezüglich des mit dem Fahad mitbewegten Bezugssystems. Die auf diese Weise heaustansfomiete entalkaft ist dann duch eine im Schwepunkt angeifende Scheinkaft, de entifugalkaft F = F zu beücksichtigen, die sich aus de Sicht des Fahes jedoch seh eal als eine ihn nach außen (on M weg) ziehende aft bemekba macht. Will e duch das auf diese Weise (bezüglich Dehpunkt A) wikende Dehmoment D, nicht umgekippt weden, so hat e duch Velageung seines Schwepunktes S dafü zu sogen, daß das Fahad um einen passenden Winkel α geneigt wid. Duch eine solche Neigung kann die Gewichtskaft ein D ausgleichendes Dehmoment D heoufen: Fü die Betäge on D und D gilt (gl. Bild ): Bild : Seitenansicht des Fahads mit den Beühpunkten A und B und dem Schwepunkt S (bezogen auf Fahad und Fahe). Um einfache Vehältnisse zu haben, fahe de adle auf eine eisbahn om adius, (in Bild pespektiisch angedeutet). Die uenfaht ist eine Abweichung on de gleichfömig geadlinigen Bewegung und efodet eine auf den eismittelpunkt M geichtete aft = m ˆ F () (wobei die Geschwindigkeit des ades, ˆ die ichtung bestimmende Einheitsadiusekto und m die im Schwepunkt S zentiet gedachte Gesamtmasse on Fahad und Fahe ist), Aufgebacht wid F duch die am eingeschlagenen Vodead angeifende eibungskaft F, die iheseits duch die Muskelkaft heogeufen wid, mit de de Fahe den Lenke eingeschlagen hält. Bild : ückansicht eines adles wähend de eisfaht (Mittelpunkt M, adiusekto. Links daneben die de Bewegung zugunde liegenden äfte. B F ist die eaktionskaft des Bodens. D = F a cosα = m a cosα, () D = FG a sinα = mg a sinα. (3) Aus de Gleichgewichtsbedingung D = D egibt sich F = FG tanα = mg tanα (4) bzw. fü den Neigungswinkel α α = actan. (5) g De Neigungswinkel α, de bei eine uenfaht zu Aufechtehaltung des (dynamischen) Gleichgewichts eingenommen wid, ist demnach um so göße, je göße die Fahgeschwindigkeit und je

3 technic-didact 9/4, 57 (984). enge die ue (d. h. je kleine ) ist. Dieses Egebnis wid duch die Efahung oll bestätigt. Will man eine enge ue mit goße Geschwindigkeit nehmen, so muß man sich stak in die ue legen. (Aus Günden, die wi weite unten noch anspechen weden, wid man in den meisten Fällen bei engen uen jedoch liebe den Neigungswinkel duch Heabsetzen de Geschwindigkeit möglichst klein halten). Fäht ein adfahe beispielsweise mit eine Geschwindigkeit on 5 km/h in eine eisbahn om adius = 0 m ein, so muß e sich um einen Winkel on α = 0 in die ue legen De adle pendelt um die Gleichgewichtslage Es bleibt die Fage zu kläen, wie es de Fahe eeicht, die Neigung in die koekte ichtung heozuufen. Denn ein bloßes Einschlagen des Lenkes füht nach dem eben Gesagten unweigelich zum Umkippen. De Tick besteht dain, daß de Fahe, wenn e z. B. eine Linkskue fahen möchte, kuz nach echts lenkt, daduch ein ippen nach links bewikt, dieses dann duch Einschlagen des Lenkes nach links abfängt und dabei die uenfaht heouft. ommen wi zum Ausgangspoblem de Technik des Gleichgewichtshaltens beim Fahadfahen zuück, so kann man die eben gewonnenen Aussagen umkehen und feststellen: Jede wie auch imme zustande kommende Abweichung des adles aus de Senkechten muß duch ein angemessenes Einschlagen des Lenkes beantwotet weden. Man schlägt den Lenke so stak ein, daß das daduch bedingte Dehmoment göße wid als das duch die Neigung heogeufene mit de Folge, daß das Fahad wiede aufgeichtet wid, Wähend de Aufichtung wid man den Lenke in dem Maße wiede in die Geadeausichtung bingen wie die Neigung aufgehoben wid. Ein in de Paxis kaum zu emeidendes Übesteuen mit de Folge eine Neigung in die andee ichtung wid man eneut mit eine entspechenden Steueaktion nunmeh in entgegengesetzte ichtung beantwoten. Mit andeen Woten: Das Gleichgewichthalten beim adfahen beuht auf einem äußest subtilen Wechselspiel zwischen ippen und Wiedeaufichten. De adfahe wid kaum exakt ein statisches Gleichgewicht einhalten, sonden ständig ein dynamisches Gleichgewicht einegeln, d. h. ständig um die Gleichgewichtslage pendeln. Von diesen Pendelbewegungen des Lenkes mekt man i.a. wenig, sie weden unbewußt als Antwot auf Abweichungen om Gleichgewicht ogenommen. Ist man jedoch z.b. auf sandigem Untegund, ode beim Begauffahen gezwungen, langsam zu fahen, ode geät man mit dem Fahad in Staßenbahnschienen, so mekt man jedoch seh wohl etwas on den Aktionen zu Aufechtehaltung des Gleichgewichts. Gemäß Glg. (3) müssen bei kleinen Geschwindigkeiten seh kleine ümmungsadien, d.h. seh enge uen gefahen weden, um die duch Stöungen bedingten Neigungen ( α 0) zu kompensieen. De Lenke muß also jeweils seh stak eingeschlagen weden. Da stakes Lenkeeinschlagen außedem mit zusätzlichen Stöungen des Gleichgewichts ebunden sein düfte, somit gößee a als nomal aufteten, beobachtet man in einem solchen Fall einen stak schwankenden adle mit stak übelappenden Spuen (z. B. in Sand ode Schnee) on Vode- und Hintead (siehe Bild 3). Bei eine Geschwindigkeit on beispielsweise 4 km/h und eine stöungsbedingten Neigung on α = 5 muß ein eisbogen om adius =,4 m befahen weden. Umgekeht zeichnen sich schnelle Fahten duch äußest uhigen, schwankungsfeien Lauf aus, zu ompensation on Stöungen des Gleichgewichts genügen kleinste Auslenkungen, entspechend seh goßen ümmungsadien. Beispielsweise woden stöungsbedingte Neigungen on α = 5 bei eine Geschwindigkeit on = 35 km/h duch eine on eine Geaden abweichenden uenfaht mit = 0 m behoben. Bild 3: Schematische Dastellung des Spuelaufs on Vodead (a) und Hintead (b) bei niedige Geschwindigkeit. Die Bedeutung des Lenkens, nicht nu fü die Fahtichtungsbestimmung, sonden auch fü das Einhalten des Gleichgewichts, mekt man spätestens dann, wenn - duch weichen Vofall auch imme - de Lenke blockiet ist. Dies füht in de egel zum Stuz. 3

4 technic-didact 9/4, 57 (984). 4. Die Bedeutung de eibung 4.. Seitliches Wegutschen Es wude beeits ewähnt, daß die fü eine uenfaht aufzubingende entalkaft F duch die eibungskaft F des ades mit dem Boden aufgebacht weden muß: F = F. F ist iheseits on de Gewichtskaft F G abhängig, mit de das Laufad auf den Boden dückt: Fü gilt betagsmä- die maximale eibungskaft F ßig: F = µ max F G, max wobei µ de om Untegund abhängende eibungskoeffizient ist (siehe Tabelle ). Die eibungskaft F und damit die entalkaft F, die fü eine uenfaht nötig ist, ist somit begenzt: Tabelle : eibungskoeffizienten µ fü einige typische Fahbahnen // Mateial µ Beton, Asphalt (tocken) F F max = µ F (6) G Wegen Glg. (4) daf deshalb ein Neigungswinkel on ( / ) actan µ 0,8-0,9 Beton, Asphalt (naß) 0,4-0,7 ollsplit 0,6-0,7 Lose Sand 0,3-0,4 Eis 0, - 0, α = actan F max mg = (7) nicht übeschitten weden. Andeenfalls kommt es zu einem Wegutschen des Vodeades und damit unweigelich zum Stuz. Auf eine sandigen Fahbahn ( µ = 0,3) daf ein Fahad einen Neigungswinkel on α = 6,7 nicht übescheiten. De maximale Winkel bei optimalen Staßenehältnissen ( µ = 0,9) betägt knapp 4. Bei eine Geschwindigkeit on 30 km/h kann man demnach auf Sandboden nu einen seh weiten eis mit > 4 m fahen. Selbst unte optimalen Bedingungen ( µ = 0,9) daf de eis nicht enge als 8 m sein. Damit eklät sich, daß ein adfahe, de einen engen eis fahen möchte, die Geschwindigkeit so stak heabsetzen muß, daß die Unglg. (6) efüllt bleibt. 4.. Fahbahnböschung Die Destabilisieung aufgund des Neigungswinkels bei uenfahten (beispielsweise bei Fahadennen im Stadion, bei denen goße Geschwindigkeiten aufteten) kann duch eine passende Neigung de Bahn aufgehoben weden. Eine solche Fahbahnneigung ist dann optimal, wenn das ad senkecht zu Bahn fäht. Aufgund on Glg. (5) muß bei eine gegebenen Geschwindigkeit fü kleine Bahnadien eine elati stake, fü goße adien eine elati schwache Bahnneigung ohanden sein. Bei ogegebenem Bahnadius muß die Neigung de Bahn umso göße sein, je schnelle gefahen wid. 5. Automatische Gleichgewichtsegelung Die bisheigen Übelegungen beuhten auf de Voaussetzung, daß das Gleichgewicht duch ein weitgehend unbewußtes, auf die Bedingungen de jeweiligen adfaht fein abgestimmtes egelehalten des Fahes eingestellt wid. JONES /4/ hat expeimentell festgestellt, daß es so gut wie unmöglich ist, ein nicht fahbaes ("unidable") Fahad zu konstuieen. Nomale Fahäde sind jedoch so konstuiet, daß sie das egelehalten des Fahes weitgehend untestützen. So ist es beispielsweise möglich, ein Fahad ohne Beühung des Lenkes zu lenken (etwa beim Feihändigfahen ode beim Schieben am Sattel), d.h. insbesondee auch uen zu fahen. Da nämlich beim nomalen Fahad die Lenkstangenachse geometisch elänget unte dem Mittelpunkt C des Vodeades obeigeht und o dem Beühpunkt A zwischen eifen und Boden den Boden in A' tifft (siehe Bild ) bewikt die (aufgund de Neigung des gesamten ades zu eine Seite) in C angeifende Schwekaft des Vodeades einen Lenkeeinschlag in dieselbe ichtung. Damit ist abe nach den obigen Ausfühungen je nach de Stäke de jeweiligen Fahadneigung ein Wiedeaufichten ode ein uenfahen möglich, ohne daß de Lenke beüht weden müßte. 6. eiseleffekte Bislang wude die Masse de Laufäde pauschal in die Gesamtmasse m mit einbezogen. Außedem wude ein mögliche eiseleffekt auf das Gleichgewichtsehalten des Fahads enachlässigt. Ob 4

5 technic-didact 9/4, 57 (984). und inwieweit eine solche Näheung geechtfetigt ist, soll kuz beleuchtet weden: Die mit eine Winkelgeschwindigkeit ω dehenden Laufäde des Fahads om adius ρ und Tägheitsmoment I stellen eisel da. Wid de Lenke eingeschlagen, beispielsweise um einen eisbogen on adius zu befahen, dann bewikt eine solche aufgezwungene Päzessionsbewegung des Laufades ein kippendes Dehmoment /gl. z. B. /: D auf die Laufadachse D = Iω Ω, (8) woduch gleichsam automatisch die zu Aufechtehaltung des Gleichgewichts notwendige adneigung eingeleitet wid. Ω ist die Winkelgeschwindigkeit de duch den Lenkeinschlag eingenommenen eisbahn und dahe duch den Quotienten / gegeben. Mit I = m ad ρ sowie ω = / ρ egibt sich dann: mad D = ρ. (9) Bei eine Geschwindigkeit on 30 km/h, einem eisbahnadius = 30 m, einem adadius ρ = 35 cm und eine eifenmasse m ad = kg egibt sich ein Dehmoment D = 0,8 Nm. Im Vegleich zum Dehmoment D (gl. Glg. ()), welches mit a = m und m = 85 kg den Wet D = 96 Nm annimmt, ist es jedoch enachlässigba klein. Alledings zeigen LEIN und SOMME- FELD /5/, daß die eiselwikungen de Laufäde insofen in "besondes intelligente Weise" zu Aufechtehaltung des Gleichgewichts beitagen, als sie "emöge de Phase ihe Wikung zuest ein Übefallen des ades spüen und dann die iel stäkeen, abe etwas langsamen Centifugalwikungen in den Dienst de Stabilität spannen" /5, S. 884/. /6/ LOWELL, J.; Mc ELL, H.D.: The stability of bicycles. Am. J. Phys. 50 (98), S.06. /7/ Mc GAW, G.T.: Enginee. (London) 30 (. Dez. 898). /8/ SOMMEFELD, A.: Mechanik. Leipzig: Akad. Velagsges, 968,8. S. 38. /9/ TIMOSHENO, S.; YOUNG, D.H.: Adanced Dynamics. New Yok: Mc Gaw, Hill 948. P. 39. /0/ WHIPPLE, F.J.W.: The stability of the motion of a bicycle. Quately Jounal of Pue and Applied Mathematics 30, (899), S // WHITT, F.; WILSON, D.: Bicycling Science: Egonomics and Mechanics. Cambidge, Mass.: Mit Pess 979. P. 80. Liteatu: / / DOUG LAS,..: Compute simulation of bicycle dynamics. Buffalo: Calspan Cop., ASME pape fall 973. P. 35 ff. // GETHSEN, C.; NESE, H.O.; VOGEL, H.: Physik. Heidelbeg etc.: Spinge 977, 3. S. 65 f. /3/ GAMMEL,.: De eisel Baunschweig: Vieweg 90. S. 83 ff. /4/ JONES, D.E.H.: The Stability of the Bicycle. Phys. Today 3 (970) 34 (Ap. 970). /5/ LEIN, F.;SOMMEFELD,A.: Übe die Theoie des eisels. Stuttgat: Teubne