Komplexe Widerstände

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1 Paktikum Gundlagen de Elektotechnik Vesuch: Komplexe Widestände Vesuchsanleitung 0. Allgemeines Eine sinnvolle Teilnahme am Paktikum ist nu duch eine gute Vobeeitung auf dem jeweiligen Stoffgebiet möglich. Von den Teilnehmen wid dahe eine intensive Beschäftigung mit de efodelichen Theoie sowie mit de Aufgabenstellung bzw. ihem Zweck voausgesetzt. Es gelten die allgemeinen Vehaltensvoschiften de Hochschule, insbesondee die aboodnung des Fachbeeiches Elektotechnik und die Abeitsodnung fü das Paktikum Gundlagen de Elektotechnik. 05/

2 . Vesuchsziel Kennen lenen des Fequenzvehaltens de lineaen Gundschaltelemente ohmsche Widestand, Induktivität und Kapazität als Einzelelemente sowie bei deen Zusammenschaltung. Expeimentelle ntesuchung de Escheinung de esonanz und ihe Kenngößen beim eihen- und Paallelschwingkeis. 2. Gundlagen 2.. Allgemeines Das Vehalten de (idealen) lineaen Gundschaltelemente ohmsche Widestand, Induktivität und Kapazität C wid duch die folgenden Zusammenhänge zwischen den als zeitlich veändelich betachteten Stömen i(t) und Spannungen u(t) an den Anschlussklemmen chaakteisiet: ohmsche Widestand: u (t)= i (t) bzw. i (t)= u (t) = G u (t) () Induktivität: di (t) u (t)= bzw. i (t) = u (t)dt dt (2) Kapazität: du C(t) u C(t)= i C(t)dt bzw. i C(t)=C (3) C dt Betachtet man ausschließlich Schaltungen, die aus Quellen mit ein sinusfömigem Spannungs- und Stomvelauf gespeist weden, so weisen nach hineichend goße Zeit alle Stöme und Spannungen de Schaltung einen sinusfömigen Velauf auf. In diesem Fall kann die Beechnung de inteessieenden Gößen mit Hilfe de symbolischen Methode efolgen. Den Zeitfunktionen u(t) und i(t) weden die komplexen Zeitfunktionen u(t)und i(t) sowie letztlich die zeitunabhängigen komplexen Gößen und I zugeodnet, die als komplexe Effektivwete de Spannung und des Stomes bezeichnet weden und als Zeige in de komplexen Zahlenebene dagestellt weden können. Fü paktische echnungen kann de Zwischenschitt übe die komplexen Zeitfunktionen meist entfallen, d. h. es efolgt sofot die Zuodnung u(t) und i(t) I

3 u(t)=u cos( ω+ϕ t ) = 2 cos( ω+ϕ t ) (4) u u jϕu jωt u(t)= 2 e e j u = e ϕ i(t)=i cos( ω+ϕ t ) = 2 I cos( ω t +ϕ ) (5) i i jϕi jωt i(t)= 2 I e e j i I= I e ϕ Setzt man die komplexen Zeitfunktionen u(t) und i(t) nach (4) und (5) in die Stom-Spannungsbeziehungen (l)... (3) ein, so findet man jϕu jωt jϕi 2 e e = 2 I e e und damit = I (6) fü ohmsche Widestände. Fü Induktivitäten gilt: jϕu jωt jϕi 2 e e = jω 2 I e e bzw. = jω I (7) und fü Kapazitäten: jϕu jωt jϕi jωt 2 C e e = 2 IC e e bzw. C = IC (8) jωc jωc Man ekennt, dass und I an allen dei Gundschaltelementen duch die gleiche Stom-Spannungs-Beziehung jωt jωt jϕz =Z I=Z e I mit Z= Z =, I und ϕ =ϕ ϕ =ϕ ϕ=phasenveschiebungswinkel z u i (9) veknüpft sind, wobei gilt: Z = + j0 = e Z = 0 + jω = ω e Z = 0 - j = e ωc ωc j0 π j 2 π -j 2 ohmsche Widestand Induktivität (0) Kapazität

4 Analog zum ohmschen Gesetz bei Gleichstom ist de komplexe Effektivwet de Spannung dem des Stomes I popotional. De Popotionalitätsfakto wid als Widestandsopeato, komplexe Widestand ode Impedanz bezeichnet, sein Betag Z=Z als Scheinwidestand. De ealteil von Z e { Z } = () heißt ohmsche Widestand, Wikwidestand ode esistanz, de Imaginäteil Im { Z } = X (2) dagegen Blindwidestand ode eaktanz. Analog zum eitwet G bei Gleichstom definiet man den eitwetopeato I Y= = = Y e Z I mit Y= Y = = und ϕ Z jϕy = ϕ ϕ = ϕ Y i u z (3) de auch als komplexe eitwet ode Admittanz bezeichnet wid. De Betag des komplexen eitwetes Y = Y heißt Scheinleitwet. Fü den ealteil von Y e { Y } = G (4) sind die begiffe Wikleitwet ode Konduktanz gebäuchlich, fü den Imaginäteil Im { Y } = B (5) dagegen Blindleitwet ode Suszeptanz. Betachtet man die idealen Gundschaltelemente. und C, so lässt sich bezüglich des komplexen Widestandes Z feststellen: Bei ohmschen Wideständen ist Z ein eell und fequenzunabhängig; zwischen Spannung und Stom titt keine Phasenveschiebung auf. Bei Induktivitäten ist Z ein imaginä; die Phasenveschiebung zwischen Spannung und Stom betägt ϕ u - ϕ i = 90. Sowohl Z als auch Z sind fequenzabhängig (diekte Popotionalität zwischen Z und ω). Bei Kapazitäten ist ebenfalls Z ein imaginä; die Phasenveschiebung zwischen Spannung und Stom betägt hie jedoch ϕ u - ϕ i = -90. Sowohl Z als auch Z sind fequenzabhängig (indiekte Popotionalität zwischen Z und ω)

5 2.2. eale Schaltelemente Jede Spule hat Veluste (Ewämung infolge des Widestandes de Wicklung, Wibelstom und Hysteeseveluste bei Vohandensein eines Eisenkens). Dies bedeutet, dass de Scheinwidestand eine Spule kein eine Blindwidestand ist. Denkt man sich die Spulenveluste veusacht duch einen in eihe zu Induktivität liegenden Widestand (Abb. a), so egibt sich de Scheinwidestand Z= +jω (6) Definiet und zu Chaakteisieung de Veluste benutzt wid die so genannte Spulengüte: ω g = (7a) ode de Velustfakto δ = g = ω (7b) Abe auch eine andee Esatzschaltung, veköpet duch einen zu Induktivität paallel geschalteten Widestand, ist denkba (Abb. b). Dabei liefet die echnung fü geinge Veluste 2 (ω ) = p= und p= (8) bzw. (unte Vewendung de Definition de Spulengüte) p 2 =g. (9) a) b) p p j jω p, p gω ω g = Abb.: Esatzschaltbilde de velustbehafteten Induktivität - 5 -

6 Auch technische Kondensatoen sind nicht vollkommen velustfei, selbst wenn sie sich dem Idealfall meh nähen, als das bei Spulen de Fall ist. Die Veluste des Kondensatos haben ihe sache in eine gewissen, wenn auch minimalen eitfähigkeit des Dielektikums sowie in mpolaisieungs- und michtungsvelusten de Moleküldipole. Das elektische Esatzschaltbild eines velustbehafteten Kondensatos in Fom eine Paallelschaltung zeigt Abb. 2a. Die Veluste weden üblicheweise duch einen Velustwinkel chaakteisiet, de wie folgt definiet wid: tan δc =. (20) ωc p Selbstveständlich lässt sich auch beim Kondensato eine eihenesatzschaltung angeben (Abb. 2b), wobei folgende mechnung gilt: 2 ( ) ωcp 2 Cp C =C und =tan δc p (2) C p a) b) p p j p jωc p δ C C C C p, tan δ C /ωc p / p Abb.2: Esatzschaltbilde de velustbehafteten Kapazität 2.3. Zusammenschaltung von Gundschaltelementen Weden die Gundschaltelemente, und C sowie Spannungs- und Stomquellen zu elektischen Netzweken zusammengeschaltet, so kann die Beechnung diese Schaltungen mit Hilfe de symbolischen Methode vollkommen analog zu Beechnung von Gleichstom-Netzweken efolgen, d.h., alle dot üblichen Beechnungsmethoden sind weite anwendba. Besondeheiten egeben sich zum einen aus de Fequenzabhängigkeit de komplexen Widestände und zum andeen daaus, dass Blindwidestände sowohl positive als auch negative Wete haben können. Dies hat zu Folge, dass sich die Blindwidestände von aus, und C aufgebauten Zweipol-Schaltungen unte gewissen Voaussetzungen fü bestimmte Fequenzen gegenseitig aufheben. Anhand de beiden elementaen Schaltungen eihen- und Paallelschwingkeis soll diese als esonanz bezeichnete Effekt nähe untesucht weden. Ein schwingungsfähiges System enthält stets zwei veschiedene Enegiespeiche

7 2.4. eihenschwingkeis Widestandsvelauf Abb. 3 zeigt die Schaltung des eihenschwingkeises. Fü dessen Scheinwidestand egibt sich in Abhängigkeit von de Keisfequenz Z=+jω+ =+j(ω- ) jωc ωc bzw. Z=Z(ω) e j ϕ(ω) (22) mit ω- 2 2 Z= +(ω- ) und ϕ=actan ωc ωc C I C Abb.3: Elektische eihenschwingkeis De Velauf des Scheinwidestandes und des Phasenwinkels sowie die Otskuve sind in Abb. 4 gafisch dagestellt. Dabei zeigt sich, dass de Widestand seinen Minimalwet bei de esonanzfequenz eeicht. Fü diese Fequenz heben sich induktive und kapazitive Blindwidestand gegenseitig auf. Fü die esonanzfequenz folgt daaus ω - =0 bzw. ω = ode f =. ω C C 2π C (23) - 7 -

8 Z(ω) Z ω a) j Z(ω ) ω Z(ω) b) ω ϕ ω ϕ ω -45 ω 0 ω +45 /ωc ω ω -45 ϕ(ω) c) ω ω 0 ω -90 Abb. 4: Otskuve (a), Betag des Scheinwidestandes (b) und Phasenveschiebung zwischen Stom und Spannung (c) des eihenschwingkeises Stomaufnahme nte de Voaussetzung eines niedigen Innenwidestandes des Geneatos ist die Spannung am Schwingkeis konstant und fü den Stom folgt I= bzw. I= (24) +j(ω- ) 2 2 +(ω- ) ωc ωc Bei de esonanzfequenz (ω = ω 0 ) eeicht diese Stom sein Maximum: I=

9 Spannungsvelauf an C,, Die Teilspannungen an den Schaltelementen sind duch die Beziehungen = I(ω), =ω I(ω) und C= I(ω) (25) ωc festgelegt. Im esonanzfall wid = 0 C =ρ mit ρ= 0 C ρ- Güte (auch Q) (26) d.h., bei esonanz sind die Teilspannungen an und C gegenübe de konstanten Klemmenspannung ρ-mal übehöht, deshalb wid ρ auch als esonanzübehöhung bezeichnet. Als Folge des ohmschen Widestandes sind diese esonanzspannungen an den Blindschaltelementen nicht die gößten an und C auftetenden Spannungen. Das absolute Maximum fü bzw. C liegt bei 2 2 ω =ω max 0[+( ) ] bzw. ω C =ω max 0[-( ) ]. (27) 2ρ 2ρ Diese Abweichungen von ω o sind gewöhnlich seh klein und betagen selbst bei eine niedigen esonanzübehöhung von ρ=5 nu % (Abb. 5).,I C Abb. 5: Spannungen und Stom beim eihenschwingkeis I ω 0 ω - 9 -

10 Bandbeite Bildet man das Vehältnis des Stomes des Schwingkeises zu seinem jeweiligen Maximalwet (bei esonanz), egibt sich (siehe Pkt ): I = I ω ω +ρ ( - ) ω ω (28) Abb. 6 zeigt diese Abhängigkeit fü unteschiedliche esonanzübehöhungen. I/I 0 0,8 ρ=2 / 2 0,6 ρ=5 0,4 0,2 ρ=25 B ω /ω 0 = /ρ=0,04 0 0,9,0,,2 ω/ω 0 Abb. 6: esonanzkuven I/I 0 fü eihenschwingkeise unteschiedliche esonanzübehöhung Es ist deutlich zu ekennen, dass die esonanzeigenschaften eines Keises mit wachsendem ρ ausgepägte in Escheinung teten. Ähnlich wie zu Kennzeichnung de Übetagungseigenschaften von Vestäken, Übetagen usw. weden die Fequenzen, bei denen die esonanzkuve auf den l/ 2-ten Teil ihes Maximalwetes absinkt, als obee bzw. untee Genzfequenz (f +45 ; f -45 ) definiet. De dazwischen liegende Fequenzbeeich wid als Bandbeite B (auch Δf) des Schwingkeises bezeichnet: ω0 f0 ω ρ f ρ B =ω -ω =, B =f -f = (29) - 0 -

11 Die Bandbeite ist also de esonanzübehöhung (Güte) umgekeht popotional. Das Fequenzband liegt nahezu symmetisch zu esonanzfequenz. De Index ±45 esultiet daaus, dass bei diesen Fequenzen de Phasenwinke zwischen Schwingkeisspannung und -stom +45 bzw. -45 betägt, wobei Wik- und Blindkomponente des Schwingkeiswidestandes betagsmäßig gleich goß sind (siehe auch Abb. 4): ω - =± bzw. Z = 2 Z = 2. (30) 2.5. Paallelschwingkeis ±45 ±45 0 ω±45c De velustbehaftete, hochohmig gespeiste Paallelschwingkeis ist in Abb. 7a dagestellt. m übesichtliche Vehältnisse hinsichtlich solche Gößen wie Spannungs- und eitwetvelauf sowie esonanzeigenschaften zu schaffen, wid die Schaltung so veeinfacht, wie es in Abb. 7b dagestellt ist. Die mechnung efolgt in de unte Pkt beschiebenen At und Weise. a) b) I i p C I=konst. C Abb. 7 : Velustbehaftete Paallelschwingkeis Diese Schaltung liefet zum eihenschwingkeis duale Egebnisse. Es vetauschen sich lediglich Widestand gegen eitwet und Stom- gegen Spannungsvehältnisse. (Auf einzelne Ableitungen wid hie vezichtet. Diese sollen im ahmen de Vobeeitungsaufgabe selbst eabeitet weden). - -

12 3. Vobeeitungsaufgaben 3.. eiten Sie fü den Paallelschwingkeis eitwet, Schwingkeisspannung und -stöme als Funktion von ω sowie die Kenngößen ρ und B ab! 3.2. Beechnen Sie fü den gegebenen Schwingkeis die folgenden Gößen: esonanzfequenz f 0 esonanzübehöhung ρ Genzfequenzen f ±45 Bandbeite B f =30Ω tan δ c =0-3 (bei khz) C =μf = 20mH p Cp - 2 -

13 4. Messaufgaben 4.. Messen Sie die Stomveläufe de voliegenden ohmschen Widestände, Spulen und Kondensatoen in Abhängigkeit von de Fequenz bei konstante Spannung des Geneatos! Beechnen Sie daaus die Widestandsveläufe und stellen Sie diese gafisch da! 4.2. Bestimmen Sie nach dem Messvefahen von 4.. die Widestandsveläufe a) de eihenschaltung und b) de Paallelschaltung von =40 mh und =00Ω in Abhängigkeit von de Fequenz und stellen Sie diese gafisch da! 4.3. Schalten Sie =20 mh und C=μF zu einem eihenschwingkeis und messen Sie bei konstante Spannung des Geneatos I I C =f(f), =f(f) und =f(f). max max Cmax 4.4. Schalten Sie einen zusätzlichen Dämpfungswidestand D =8Ω mit dem I Schwingkeis in eihe und messen Sie eneut =f(f). I Entnehmen Sie den aufgenommenen Kuvenveläufen aus 4.3. ( D =0Ω) und 4.4. die Bandbeiten und bestimmen Sie daaus ρ! 4.5. Messen Sie fü den o.g. eihenschwingkeis mit und ohne Dämpfungswidestand ( D =8Ω, D =0) das Vehältnis max C =f(f)! Bestimmen Sie aus den aufgenommenen Kuvenveläufen die esonanzübehöhungen ρ. Vegleichen Sie die Egebnisse mit denen aus Aufgabe 4.4.! Emitteln Sie mit Hilfe von ρ den Velustwidestand de Spule fü f 0 (Veluste des Kondensatos venachlässigen)! - 3 -

14 4.6. Schalten Sie =20 mh und C=μF paallel und messen Sie bei konstantem Gesamtstom: I IC =f(f), =f(f), =f(f) I I max max Cmax Bestimmen Sie fü den Paallelschwingkeis die Güte ρ aus de Bandbeite und beechnen Sie daaus den wiksamen esonanzwidestand! 4.7. Messen Sie am Paallelschwingkeis bei esonanz (f=f 0 ) den Gesamtstom und den Stom duch den Kondensato und bestimmen Sie daaus die Güte ρ! Vegleichen Sie das Egebnis mit dem von 4.6.! 4.8. Bestimmen Sie den wiksamen esonanzwidestand des Paallelkeises aus Aufgabe 4.6. mit Hilfe eines Zusatzwidestandes! Vegleichen Sie den Messwet mit dem aus 4.6. gewonnenen Wet fü den esonanzwidestand! Messmethode: Ein geeichte ohmsche Widestand wid den Schwingkeiselementen paallel geschaltet und so veändet, dass die esonanzspannung auf die Hälfte des uspünglichen Wetes absinkt. Dann ist de wiksame Dämpfungswidestand des Paallelkeises gleich dem eingestellten Zusatzwidestand