Strahlungseffekte bei instationären Heizdrahtmessungen an porösen Wärmedämmstoffen

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1 Stahlungseffekte bei instationäen Heizdahtmessungen an poösen Wämedämmstoffen Von de Fakultät fü Maschinenbau, Vefahens- und Enegietechnik de Technischen Univesität Begakademie Feibeg genehmigte DISSERTATION zu Elangung des akademischen Gades Doktoingenieu (D.-Ing.) vogelegt von Dipl.-Ing. Le-Thanh-Son Tan geboen am in Saigon/Vietnam Gutachte: Pof. D. Ulich Goß, Feibeg Pof. D. Wolfgang Mönch, Feibeg Pof. D. Jög Huhn, Desden Tag de Veleihung:

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3 Vowot Die voliegende Abeit entstand wähend meine Tätigkeiten als Stipendiat des Gaduietenkollegs Tanspotvogänge in poösen Systemen de Vefahens- und Geotechnik und anschließend als wissenschaftliche Mitabeite am Institut fü Wämetechnik und Themodynamik de Technischen Univesität Begakademie Feibeg. Allen am Gelingen diese Abeit beteiligten Pesonen und Oganisationen speche ich gen meinen hezlichen Dank aus, besondes: Hen Pof. D.-Ing. habil. U. GROß fü die feundliche Aufnahme, fü die motivieende Beteuung, fü die ständige Diskussionsbeeitschaft und nicht zuletzt fü die Emöglichung alle notwendigen Gundbedingungen zu Beabeitung de Thematik. Pof. D. e. nat. habil. W. MÖNCH fü die Beatung bei de Anwendung de Numeik in diese Abeit und fü die Übenahme des Gutachtens. Hen Pof. D.-Ing. habil. J. HUHN fü die Übenahme des Gutachtens und die hilfeichen Anegungen zu diese Abeit. Hen G. BARTH fü die stets feundliche Hilfsbeeitschaft, Fau R. WULF, Fau C. WERNER und Hen T. POLET fü das engagiete Koektulesen diese Abeit, den Mitabeiten des Institut fü die Untestützung, die egen Diskussionen sowie fü die feundschaftliche Atmosphäe. De Deutschen Foschungsgemeinschaft (DFG) fü die Födeung wähend de Tätigkeit als Stipendiat des Gaduietenkollegs. Mein ganz besondee Dank gilt meine lieben Fau MINH DUNG fü das Motivieen zu Pomotion, fü das goße Veständnis und fü die fotwähende Untestützung. Feibeg, im August 22 Le-Thanh-Son Tan III

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5 Kuzfassung Die paktische Anwendung des instationäen Heizdahtvefahens zu Bestimmung de Wämeleitfähigkeit von opaken Festköpen wid auf die Vemessung von poösen Mateialien ausgedehnt, in welchen neben de diffusiven Wämeleitung de Stahlungstanspot zusätzlich zum Gesamtwämetanspot beitägt. Da Stahlung übe weite Abstände den Wämetanspot diekt beteiben kann, weicht sie von einem Diffusionspozess ab und füht deshalb zu einem zeitlichen Velauf de Heizdahttempeatu, welche de üblichen analytischen Lösung de Heizdahtmethode nicht meh entspicht. Duch numeische Simulation weden in de voliegenden Abeit die physikalischen Pobleme analysiet, welche wähend eine Heizdahtmessung an poösen Mateialien aufteten, nämlich die gekoppelte Stahlung/Leitung und de themische Kontaktwidestand zwischen dem Daht und de Messpobe. Zu Auswetung von Heizdahtmessungen vewendet man gewöhnlich den zeitlichen Tempeatuvelauf des Heizdahtes. Mittels numeische Simulation wid die Abhängigkeit dieses Velaufs und de damit vebundenen beechneten Wämeleitfähigkeit von Einflusspaameten (zu gekoppelten Stahlung/Leitung: dem Extinktionskoeffizienten E, de Dahtemissivität εw, de Umgebungstempeatu T und de im Daht eingekoppelten längenbezogenen Heizleistung Q & ; zum themischen Kontaktwidestand: de Spaltdicke dl und de Tansmissivität de Pobenobefläche τm) bestimmt. Anhand de Simulationsegebnisse de voliegenden Abeit kann festgestellt weden, dass das Auswetungsvefahen de Heizdahtmethode nu bei stahlungsduchlässigen Mateialien goße Extinktion genaue effektive Wämeleitfähigkeit liefen kann. Die untee Genze des Anwendungsbeeiches des Auswetungsvefahens hinsichtlich de Extinktion veschiebt sich mit zunehmende Messtempeatu zu gößeen Extinktionskoeffizienten. Die Untescheitung diese Genze füht zu eine Untebestimmung de effektiven Wämeleitfähigkeit de Pobe. Ein duch einen Luftspalt zwischen dem Heizdaht und de Messpobe hevogeufene themische Kontaktwidestand veusacht eine Vefälschung de Messegebnisse. Bei Poben mit stak eflektieenden Beandungen und bei stak emittieenden Heizdähten liefet das Heizdahtvefahen eheblich abweichende Messegebnisse. Die Abweichung de gemessenen von de tatsächlichen effektiven Wämeleitfähigkeit kann aufgund de Simulationsegebnisse duch Vewendung von Heizdähten geinge Emissivität V

6 (z.b. Platin) und duch Reduzieung des Reflektionsgades von Pobenobeflächen (beispielweise duch Beschichtung) veinget weden. Die numeische Simulation, bei de die Methode de disketen Odinaten zu Lösung de Stahlungstanspotgleichung vewendet wid, zeichnet sich duch hohe Genauigkeit im ganzen Extinktionsbeeich ( E ) aus. Sie vewendet die bewähte Finite-Diffeenzen-Methode fü die numeische Beechnung und ist zu Simulation des instationäen Wämetanspots duch gekoppelte Wämeleitung und -stahlung bei Heizdahtmessungen seh gut geeignet. VI

7 Inhaltsvezeichnis Einleitung und Zielstellung 2 Wämetanspot in poösen Medien 3 2. Festköpewämeleitung Wämetanspot duch das Gas Wämestahlungstanspot Gesamtwämetanspot und Methoden zu Emittlung de effektiven Wämeleitfähigkeit Das Heizdahtvefahen 5 3. Gundlagen und Messpinzip Fehleeinflüsse und deen Koektuteme Endliche spezifische Wämekapazität und Wämeleitfähigkeit des Dahtes Endliche adiale Pobendimension Tempeatuabhängige Mateialeigenschaften des Pobenmediums Modellieung de gekoppelten Stahlung/Leitung Mathematische Bescheibung des Poblems Enegietanspotgleichung Stahlungstanspotgleichung Stand de Foschung im Hinblick auf Stahlungseffekte bei Heizdahtmessungen Stahlungseffekte bei Fluiden Stahlungseffekte bei stahlungsduchlässigen Feststoffen Schlussfolgeung VII

8 4.3 Lösungsmethoden fü die Stahlungstanspotgleichung Einfühung Diffeentielle Appoximation Methode de disketen Odinaten ( S N -Appoximation) Numeisches Lösungsvefahen fü die gekoppelte Stahlung/ Leitung Zu Enegietanspotgleichung Zu Stahlungstanspotgleichung Vogehensweise de Iteation Egebnisse de numeischen Simulation Fall de einen Wämeleitung ( E ) Fall de Tanspaenz ( E = ) Vaiation des Extinktionskoeffizienten ( < E < ) Vegleich de diffeentiellen mit de S4 -Appoximation Zeitabhängige Übetempeatu des Heizdahtes Radiale Übetempeatupofile Veteilung de Leitungs- und Stahlungsstomdichte Schlussfolgeung Bestimmung de effektiven Wämeleitfähigkeit Anfangstempeatu als Bezugstempeatu Zeitliche effektive Wämeleitfähigkeit Mittlee effektive Wämeleitfähigkeit Mitteltempeatu als Bezugstempeatu Schlussfolgeung Einfluss de Steuung Einfluss des themischen Kontaktwidestandes Einfühung Lösungsmethode VIII

9 5.6.3 Numeische Egebnisse Zusammenfassung Symbolvezeichnis 5 Liteatuvezeichnis 9 Abbildungsvezeichnis 29 Tabellenvezeichnis 32 Anhang 33 IX

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11 Einleitung und Zielstellung Poöse Wämedämmstoffe sind duch einen hohen Gasanteil gekennzeichnet, woduch die Wämeleitfähigkeit stak veinget ist. De Feststoffanteil gibt ihnen eine meh ode wenige ausgepägte mechanische Stabilität und kann unteschiedlich stuktuiet sein (Fasen, Pulve, schaumatig, u.a.). De Einsatz solche Wekstoffe efodet die genaue Kenntnis de themischen Eigenschaften, wozu insbesondee die Wämeleitfähigkeit zählt. Dies ist beispielsweise fü die Minimieung von Wämevelusten in de Bautechnik und technischen Hochtempeatuanlagen ode fü den Schutz bestimmte Teile vo Übehitzung notwendig. Neben de Entwicklung von Wekstoffen müssen deshalb auch genaue und effektive Messmethoden zu Emittlung de Wämeleitfähigkeit zu Vefügung gestellt weden. Es existieen heutzutage zahleiche Messvefahen, die Unteschiede in de Messgenauigkeit und im Aufwand aufweisen. Da goße Diffeenzen zwischen den gemessenen Wämeleitfähigkeiten mit unteschiedlichen Vefahen zu beobachten sind, wid veschiedentlich duch Ringvesuche untesucht, solche Diffeenzen zu ekläen, unte andeem von eine Foschungsguppe an de TU Begakademie Feibeg, die sich seit 992 mit den Messungen von poösen Dämmstoffen mit unteschiedlichen Messvefahen und deen Vegleich bis zum Hochtempeatubeeich beschäftigt. Zu Emittlung de Wämeleitfähigkeit weden u.a. Platten-, Roh- und Heizdahtvefahen vewendet. Im Egebnis zeigt das instationäe Heizdahtvefahen goße Abweichungen in de Wämeleitfähigkeit im Vegleich mit stationäen Vefahen. Das Heizdahtvefahen ist eine attaktive und weitvebeitete Messmethode, die sowohl in Deutschland als auch in den USA als Standadvefahen genomt ist. Das Vefahen kann auf nahezu alle Mateialien mit isotope Wämeleitfähigkeit angewandt weden. So können sowohl gasfömige als auch flüssige [MCLAUGHLIN, 97; NIETO DE CASTRO, 99] und feste Stoffe [NILSSON, 989] vemessen weden. Insbesondee fü Gase und Flüssigkeiten kann die Wämeleitfähigkeit mit diese Messmethode seh päzise (genaue als %) emittelt weden. Im Gegensatz dazu liefet diese Messmethode bei Anwendung auf feste Stoffe eine ehöhte Ungenauigkeit, insbesondee bei poösen Mateialien. Um das Heizdahtvefahen auch auf die Klasse poöse Stoffe anwenden zu können, ist dahe eine gündliche theoetische Analyse de Methode notwendig. Dabei sind Effekte zu beücksichtigen, welche bei Anwendung auf poöse Stoffe aufteten. Solche Effekte sind u.a. de Stahlungseffekt, de duch Anwesenheit von Hohläumen innehalb de poösen Stoffe und zwischen Heizdaht und zu vemessende Pobe ( themische Kontaktwidestand ) entsteht.

12 Da es sich beim Heizdahtvefahen um eine instationäe Messmethode handelt, basiet die Auswetung von Messungen auf dem zeitlichen Velauf de Dahttempeatu. Dieses Auswetevefahen bezieht sich auf opake Poben, in welchen de Wämetanspot ausschließlich duch Wämeleitung efolgt. Bei Anwendung des Heizdahtvefahens auf poöse Mateialien, in denen Leitung und Stahlung den Wämetanspot gleichzeitig beteiben, wid de zeitliche Velauf de Dahttempeatu neben de Wämeleitfähigkeit duch eine Wämeleitung auch duch die Stahlungseigenschaften de Messpobe und soga de Beandungen beeinflusst. Dies stellt deshalb eine Abweichung von de Basis de Heizdahtmethode da. Je nach Tanspaenz des Mateials titt dann eine meh ode wenige goße Abweichung und daduch ein meh ode wenige ungenaues Egebnis de gemessenen Wämeleitfähigkeit auf. Ebenso bedeutet ein Luftspalt zwischen dem Daht und de Pobe als themische Kontaktwidestand eine Abweichung von de Basis de Heizdahtmethode. In Abhängigkeit von de Dicke des Luftspaltes und den Stahlungseigenschaften de Pobenobefläche weicht de vohandene Gesamtwämetanspot von dem de Basis des Vefahens meh ode wenige ab. Das Ziel diese Abeit ist es deshalb, den Wämetanspot in Heizdahtmessungen im Zusammenhang mit den genannten Abweichungen theoetisch zu analysieen. Zu Untesuchung des Stahlungseffekts ist eine geeignete Lösungsmethode de Stahlungstanspotgleichung anzuwenden, die möglichst genau ist. Damit sind Paametestudien duchzufühen, um die Anwendbakeit sowie die Genauigkeit des Heizdahtvefahens bei poösen Stoffen unte unteschiedlichen Bedingungen zu untesuchen und Kiteien ode Bemekungen fü die Anwendung auf poöse Mateialien vozulegen. 2

13 2 Wämetanspot in poösen Medien Poöse Medien sind natüliche Mateialien (z.b. Steine, Schüttungen aus Sand, tieische ode pflanzliche Wolle, Schwämme) ode industielle Ezeugnisse (z.b. Schaumstoffe, Fasen, Filte, Schüttgüte, keamische Mateialien). Anwendung finden poöse Mateialien in vielen Gebieten wie Chemie, Umwelttechnik, Mechanik, Ölindustie sowie Geologie. Im Beeich de Wämetechnik, insbesondee de Wämedämmung weden poöse Dämmstoffe seh häufig eingesetzt. Die besondee Eigenschaft von poösen Mateialien hinsichtlich de Wämedämmung liegt dain, dass sie die niedige Wämeleitfähigkeit von Gasen, deen Wämeleitfähigkeit mehee Gößenodnungen untehalb de Wämeleitfähigkeit von Feststoffen liegen, ausnutzen. Duch den geingeen Massenanteil des Feststoffs und damit hohen Anteil des in kleinen Poen (geschlossenen ode offene) uhenden Gases können manche poöse Dämmstoffe bei niedigen Tempeatuen die Wämeleitfähigkeit de Gößenodnung de Wämeleitfähigkeit des Gases (z.b. Fasen, Pulve, Schaumstoffe) und soga kleinee Wämeleitfähigkeit als die des Gases (z.b. Fasepapiee, mikopoöse Pulve) eeichen. Poöse Mateialien sind heteogene Systeme, die aus eine soliden Matix und von Fluiden gefüllten Hohläumen bestehen. Themische Eigenschaften eines poösen Mediums hängen deshalb davon ab, welche Rolle die einzelnen Phasen im gesamtem Wämetanspot duch das Medium spielen. In einem poösen Medium efolgt de Wämetanspot folgendemaßen: In stak absobieenden Festköpephasen wie Metallen wid die Wäme nu duch Leitung übetagen. In schwach absobieenden Festköpen z.b. Gläsen tägt intene Stahlung zusätzlich zum gesamten Wämetanspot bei. Innehalb de Hohläume, in welchen sich das Gas befindet, efolgt die Wämeübetagung duch Leitung im Gas und duch den Stahlungsaustausch zwischen den Wänden de Hohläume, falls das Gas fü Wämestahlung tanspaent ist. Im andeen Fall muss die Wikung des Gases auf den Stahlungstanspot beücksichtigt weden. Wämetanspot in de Gasphase duch Konvektion, de an den makoskopischen Tanspot von Mateie, also Stömung von Fluiden gebunden ist, kann nu in poösen Mateialien seh geinge Dichte aufteten. Im Rahmen diese Abeit wid die Konvektion nicht beücksichtigt. Im folgenden weden die einzelnen Tanspotmechanismen eläutet: 3

14 2. Festköpewämeleitung Die klassische Theoie de Wämeleitung bescheibt die komplizieten physikalischen Pozesse mit Hilfe des Fouieschen Efahungssatzes. Danach ist die Wämestomdichte q & f fü isotope Medien gegeben duch: q & = λ gadt. (2.) f f De Popotionalitätsfakto λf definiet die Wämeleitfähigkeit und ist eine Mateialkonstante, die lediglich von de physikalischen Natu des Mateials ode de chemischen Zusammensetzung abhängt, jedoch unabhängig von de Pobendicke, dem Tempeatugadienten und de Wämestomdichte ist. Nach [KITTEL, 973] und [REIF, 99] wid die Wämeleitfähigkeit λf im Sinne de kinetischen Theoie von Tanspotpozessen duch mikoskopische Gößen beschieben: Teilchengeschwindigkeit v, mittlee feie Weglänge l de Teilchen und die Ändeung de inneen Enegie mit de Tempeatu du / dt = c, d.h. die spezifische Wämekapazität: v λf = cv,f ρf vf lf. (2.2) 3 Teilchen im Festköpe in diesem Sinne sind Quasiteilchen, die als Phononen bezeichnet weden und den Enegietäge von Gitteschwingungen dastellen. Die Wämeleitfähigkeit λf ist aufgund de Tempeatuabhängigkeit de Wämekapazität und de mittleen feien Weglänge ebenfalls von de Tempeatu abhängig. Die mittlee feie Weglänge von Phononen wid hauptsächlich duch zwei Pozesse bestimmt, nämlich die Steuung an Kistallfehlen und die Steuung an andeen Phononen. Weil die Anzahl de angeegten Phononen bei hohen Tempeatuen popotional zu T und die mittlee feie Weglänge l f umgekeht popotional zu Anzahl de Phononen ist, egeben sich die Beziehungen l f ~ / T und λ f ~ / T.DieTempeatuabhängigkeit l f ~ / T bei kistallinen Stoffen wid in den Abeiten von [DEBYE, 94] und [PEIERLS, 929] theoetisch diskutiet und expeimentell duch [EUCKEN, 9], [EUCKEN, 94], [KINGERY, 955], [CHARVAT, 957] und [LEE, 96] bestätigt. 4

15 Bei ungeodneten Systemen, wie polykistallinen und nichtkistallinen Stoffen, weden die Gitteschwingungen duch mangelnde Peiodizität und duch die Anwesenheit von Kongenzen gestöt. Die mittlee feie Weglänge de Phononen wid duch die Göße de Inhomogenitäten eingeschänkt. Die Wämeleitfähigkeit ist bei niedigen Tempeatuen entspechend geing. Mit zunehmende Tempeatu kann in diesen Stoffen die Gitteodnung kaum noch ungeodnete weden und die mittlee feie Weglänge bleibt fast konstant. Die geinge Tempeatuabhängigkeit de Wämeleitfähigkeit diese Stoffe ist somit auf die Tempeatuabhängigkeit de spezifischen Wämekapazität zuückzufühen. Zu diese Poblematik sei auf die Abeiten von [EUCKEN, 9], [EUCKEN, 94], [KITTEL, 949], [KLEMEN, 95] und [LEE, 96] hingewiesen. 2.2 Wämetanspot duch das Gas Expeimentelle Abeiten zeigen, dass die Wämeleitfähigkeit des in einem poösen Medium befindlichen Gases von de Wämeleitfähigkeit, die im Feien gemessen wude, abweichen kann. Man ist zu Schlussfolgeung gekommen, dass das Vehalten de Gaswämeleitung nicht nu von den Eigenschaften des Gases, sonden auch von de Dimension des umschließenden Raumes z.b. Poen in poösen Medien abhängt. Dieses Poblem ist unte Anwendung de kinetischen Gastheoie ekläba, bei de die Abhängigkeit de Wämeleitfähigkeit des Gases von eine Kennzahl, de Knudsenzahl Kn, festgestellt wude. Die Knudsenzahl ist als Vehältnis de mittleen feien Weglänge de Gasmoleküle l g zum Poenduchmesse dp des Mediums definiet: lg Kn =. (2.3) d P Die Knudsenzahl gibt folgenden Sachvehalt wiede: Bei kleinen Kn -Zahlen übewiegen Zusammenstöße de Gasmoleküle unteeinande, wähend bei goßen Kn -Zahlen Zusammenstöße de Gasmoleküle mit umschließenden Wänden dominieen. Bei Kn -Zahlen de Gößenodnung spicht man vom Übegangsbeeich. Daduch untescheidet man dei Beeiche de Gaswämeleitung: Feies Gas ( Kn << ): Man spicht von einem feien Gas, wenn die mittlee feie Weglänge de Gasmoleküle wesentlich kleine ist als de Abstand l g 5

16 de begenzenden Wände. Nach de kinetischen Gastheoie beechnet sich die Wämeleitfähigkeit eines feien idealen Gas zu: λ 3 g = cv ρg vg lg, (2.4) mit cv ρ g = p g /(RT ) v 3k T g B / m spezifische Wämekapazität bei konstantem Volumen, Dichte des Gases, mittlee Geschwindigkeit de Gasmoleküle, lg = kbt 2 pgσ mittlee feie Weglänge de Gasmoleküle, und R Gaskonstante, pg Gasduck, kb Boltzmannkonstante, m Masse eines Gasatoms, Stoßqueschnitt de Gasatome. σ Danach wid de Wämeleitvogang im Gas als ein Diffusionspozess beschieben: Duch Stöße wid Enegie von Gasmolekül zu Gasmolekül übetagen. Daduch diffundiet die Wäme duch das Gas. Weil cv und v g nicht vom Duck abhängen, wähend ρg ~ pg und l g ~ / pg sind, ist die Wämeleitfähigkeit eines feien Gases vom Duck unabhängig. Sie hängt jedoch von de Tempeatu ab und ist tatsächlich popotional zu T : cv kbt λ g ~. (2.5) σ m De Wämetanspot efolgt in einem feien Gas hauptsächlich duch Wechselwikung de Gasmoleküle unteeinande. Molekulae Beeich ( Kn >> ): Weil de Poenduchmesse wesentlich kleine als die mittlee feie Weglänge de Gasmoleküle ist, stoßen sich die Gasmoleküle hauptsächlich an den Poenwänden und übetagen dabei Enegie diekt von de heißen zu kalten Seite de Poen. Ein solche Fall titt bei stak vedünnten Gasen ode in seh kleinen Hohläumen auf. 6

17 Wid die feie Weglänge allein duch den Wandabstand ode den Poenduchmesse dp bestimmt (man spicht dann von molekulae Wämeleitung) soist: kbt λ ~ ncvdp, (2.6) m wobei n die Teilchenzahldichte bezeichnet. Aufgund de Abhängigkeit von de Poengöße ist λ nicht meh eine Wämeleitfähigkeit im Sinne des dp Fouieschen Efahungssatzes, sonden wid als eine Pseudoleitfähigkeit bezeichnet. Unvollständige Enegieübetagung beim Stoß eines Gasmoleküls an de Wand wid mit dem Akkommodationskoeffizienten γ duch den Fakto ( 2 / γ ) a beücksichtigt [KNUDSEN, 9]. Bei gegebene Tempeatu ist λ popotional zum Gasduck λ ~ / T (da n ~ / T ). p n ~ p ) ; bei konstantem Gasduck ist g ( g Übegangsbeeich ( Kn ): In diesem Fall wid die Wämeleitfähigkeit duch Stöße de Gasmoleküle unteeinande und an den Wänden gleichemaßenbeeinflusst.nach[smoluchowski, 898] wid die Einschänkung de mittleen feien Weglänge duch die Wände insbesondee in de Wandnähe aufgund de hohen Stoßwahscheinlichkeit an de Wand wiksam. Daaus esultiet dot eine geingee Leitfähigkeit und damit ein gößee Tempeatugadient (SMOLUCHOWSKI-Effekt). Im Übegangsbeeich gilt die Gaswämeleitfähigkeit: a λg λg =, (2.7) + 2β l / d g p dabei ist β ein Fakto, de von de Gasat abhängt. Damit ist Einfluss von vom Gasduck abhängig. l g λg duch den Abeiten zum Thema Wämetanspot in vedünnten Gasen findet man in denabeiten[springer, 97] und [GIEDT, 985]. Anwendungen auf Aeosole weden duch [HRUBESH, 994] und [ZENG, 994] diskutiet. Geneelle Diskussionen weden in de Abeit [WOLF, 994] duchgefüht und zu 7

18 Anwendungen auf Fasedämmstoffen sei auf die Abeiten [STARK, 993] und [ZHENG, 994] hingewiesen. 2.3 Wämestahlungstanspot Wie beeits ewähnt wude, efolgt die Stahlungsausbeitung in einem poösen Medium duch einen Austauschpozess zwischen den Teilchenobeflächen, welche von de Tempeatudiffeenz zwischen den Teilchenobeflächen und den Stahlungseigenschaften (Emissivitäten) de Teilchenobeflächen abhängt, und eventuell duch einen Tanspotpozess innehalb des stahlungsduchlässigen Festköpes, welche duch die Stahlungseigenschaften des soliden Feststoffes bestimmt ist. Die fü die Beechnung des Stahlungswämestomes wichtigen Paamete umfassen dahe nicht meh auf Obeflächen/Obeflächen-Austauschwechselwikungen beschänkte Übelegungen, sonden den Gesamteinfluss de Teilchen auf die Stahlungsauslöschung entlang eine mittleen feien Weglänge. In vielen Fällen kann ein heteogenes poöses Medium zu Veeinfachung als ein Kontinuum behandelt weden, fü welches effektive Stahlungseigenschaften eingefüht weden können, die nachfolgend kuz beschieben weden: Duchdingt Wämestahlung in einem poösen Medium eine dünne Schicht ds,sowidihespektaleintensität I duch Absoption und Steuung um Λ di ( s) E ( s I ds (2.8) Λ = Λ ) Λ geschwächt. Die Popotionalitätskonstankte EΛ ist eine Mateialeigenschaft und wid als Extinktionskoeffizient bezeichnet. Sie ist ein Maß fü die Abschwächung elektomagnetische Stahlung duch Steuung und Absoption. De ezipoke Wet davon entspicht de mittleen feien Weglänge l m von sich im Medium ausbeitenden Photonen de Wellenlänge Λ. Die mittlee feie Weglänge l m stellt die Pfadlänge de Stahlung vo de Abschwächung duch Absoption und Steuung da [SIEGEL, 992]. De spektale Extinktionskoeffizient setzt sich additiv aus dem spektalen Absoptionskoeffizienten k a ( Λ, T ) und dem Steukoeffizienten k s ( Λ, T ) zusammen: E( Λ, T ) = k ( Λ, T ) + k ( Λ, T ). (2.9) a s 8

19 Das Vehältnis des Steu- zum Extinktionskoeffizienten ist als Albedo bekannt ω = k s / E. (2.) Das Integal de Gleichung (2.9) übe die Weglänge s de Stahlung wid als optische Dicke ode optische Tiefe bei eine bestimmten Wellenlänge bezeichnet: s τ, Λ( s) = EΛ( s ) ds. (2.) Sie ist ein Maß fü die Abschwächung de Stahlung auf dem Weg s.poben mit τ >> fü alle wichtigen Wellenlängen weden als optisch dick bezeichnet (in de Fachliteatu meist mit τ 5 angegeben). Die mittlee feie Weglänge l m de Photonen ist dann im Vegleich zu chaakteistischen Dicke de Pobe seh klein. In diesem Fall kann die Stahlungsausbeitung in de Pobe als ein Diffusionspozess behandelt weden, wobei eine Stahlungsleitfähigkeit λ nach dem Rosseland-Diffusionsmodell definiet ist: 2 6 n σ 3 = T λ. (2.2) 3 E In diese Gleichung bezeichnen σ die Stefan-Boltzmann-Konstante ( σ = 5,67 Wm K ), n den Realteil des effektiven Bechungsindex des poösen Mediums (de bei hohe Poosität nahe eins ist), und T eine mittlee Stahlungstempeatu T = ( T + T2 ) ( T + T2 ). (2.3) 4 T und T 2 bezeichnen die Wandtempeatuen des Hohlaums. In einem gauen Medium ist de Extinktionskoeffizient E in Gleichung (2.2) einfach eine tempeatuunabhängige Konstante. Ist das poöse Medium nicht gau, wid fü E in Gleichung (2.2) ein wellenlängengemittelte Wet (und deswegen pinzipiell tempeatuabhängige Wet) E R (T ) 9

20 benötigt, welche von E(Λ) ist [ SIEGEL, 972]: abhängt und als ROSSELAND-Mittelwet bekannt ( ) = Λ f( Λ, T ) Λ Λ E R T, (2.4) f( Λ, T ) Λ E( Λ) wobei f( Λ, T ) die Gewichtungsfunktion πc C f( Λ, T ) = 2Λ σt 5 exp[ C {exp[ C 5 5 /( ΛT )] 2 /( ΛT )]} (2.5) ist, mit den Konstanten C 4 = 5,9544 [W m²], C 5 =, [m K]. In optisch dünnen Poben mit τ << kann Stahlung weitgehend ungehindet das Medium duchdingen. Jedes Element de Pobe steht in diekte Wechselwikung mit den Ränden. Fü den Stahlungstanspot müssen die Beandungsflächen mit den Emissivitäten ε und ε 2 beücksichtigt weden. Zu diesem Thema sei auf die Abeiten von [SIEGEL, 972] und [CAPS, 997] hingewiesen. Bis hiehe wude angenommen, dass das betachtete poöse Medium fü Stahlung isotop ist, d.h. Stahlung wid in allen Raumichtungen gleichmäßig gesteut (gekennzeichnet duch den Extinktionskoeffizienten E ohne Sten). Zu Beücksichtigung anisotope Steuung, die viele eale poöse * Medien zeigen, ist E in einen Effektivwet E zu übefühen. Vowätssteuung bedeutet gegenübe dem isotopen Fall eine Vemindeung des Tanspotwidestandes fü die Stahlung, was eine Reduzieung von E(Λ) bzw. E R (T ) entspicht. Bei Rückwätssteuung ehöht sich de Widestand und E(Λ) bzw. E R (T ) wid göße. Daduch ändet sich E(Λ) auf E * ( Λ) * T und E R (T ) entspechend auf E R ( ). Zu Kennzeichnung dieses Steuvehaltens wude de sogenannte Asymmetiefakto g eingefüht = + g Φ ( µ s ) µ sdµ s (2.6) 2

21 wobei µ s den Kosinus des Steuwinkels und Φ( µ s ) die Phasenfunktion de Steuung bezeichnen. De Asymmetiefakto g liegt im Intevall ( ; + ). De Genzwet g = wid nu dann eeicht, wenn die einfallende Stahlung vollständig in Vowätsichtung wiede austitt (also im Gunde nicht gesteut wid). g = bedeutet eine Rückwätssteuung. Isotope Steuung liegt vo, wenn die Phasenfunktion unabhängig vom Steuwinkel ist, de Asymmetiefakto g hatindiesemfalldenwet.mitdemasymmetiefakto g lassen sich Effektivwete definieen und * E = ω g) E τ ( * = ( ω g) τ (2.7) (2.8) Zu Veanschaulichung des Einflusses de Steuung auf die effektive Extinktion wid ein Beispiel von Glasfasen in Abbildung A. im Anhang ausgefüht, wobei Extinktionskoeffizienten ohne und mit Beücksichtigung de Steuung zum Vegleich gegenübegestellt weden. Tab. : Effektive, dichtespezifische, wellenlängengemittelte Extinktionskoeffizienten E / ρ veschiedene Supeisolationen * [VDI-Wämeatlas]. Mateial kaloimetisch (E*/ρ) [m²/g] spektoskopisch (E*R/ρ) [m²/g] theoetisch (E*R/ρ) [m²/g] Fumed Silica + 6% Fe3O4,46,42 Bosilikat-Glasfasen, d = 3 5 µm,58,6,6 Fibeglas bonded mats, d = 4 µm,,87 Fibeal (Al2O3-Fasen), d = 5 µm,9,4 Bosilikat-Glasfasen + 3% Fe3O4,77 Bosilikat-Glasfasen + 33% Fe3O4,67,58 (E/ρ) Polyestefasen d=4µm,35,38 d=26µm,229,253,247 d=6µm,47,422,4 Polypopylenfasen d=2µm, ein,328

22 De Extinktionskoeffizient kann kaloimetisch, spektoskopisch ode theoetisch bestimmt weden. Zu den Methoden zu Emittlung des Extinktionskoeffizienten sei auf die Abeiten [CAPS, 986] und [REISS, 988] hingewiesen. Um einen Übeblick übe die Gößenodung de Extinktion zu vemitteln, sind in Tabelle einige Beispiele ausgefüht. 2.4 Gesamtwämetanspot und Methoden zu Emittlung de effektiven Wämeleitfähigkeit Wie andee Popotionalitätskoeffizienten wid die gesamte/effektive Wämeleitfähigkeit λeff eines dispesen Mediums nomaleweise als eine Göße betachtet, die unabhängig von de expeimentellen Messanodnung sein muss. Nach dem Fouieschen Efahungsgesetz gilt im stationäen Fall T q& = λeff. (2.9) x In diese Beziehung bezeichnet q& die gesamte Wämestomdichte duch das Medium, die duch den Tempeatugadienten T / x veusacht wid. Pinzipiell setzt sich q& aus den patiellen Wämestomdichten q& i bzw. λeff aus den Wämeleitkomponenten λ i zusammen. In einem poösen Medium sind q& i die Wämestomdichten duch Gaswämeleitung q& g, duch Festköpewämeleitung q& f und duch Wämestahlung q&, die beeits einzeln beschieben wuden. Die gesamte Wämestomdichte q& ist die Summe de einzelnen Komponenten: q & = q& + q& + q& g f (2.2) Wid diese Beziehung fü die Wämeleitfähigkeiten angewandt, dann egibt sich bei einem gegebenen Tempeatugadienten λ = λ + λ + λ. (2.2) eff g f Es ist jedoch ehe eine gobe Näheung, wenn die Komponenten q& g, q& bzw. λ g, λf und λ unabhängig voneinande beechnet weden. Zunächst wid gepüft, ob die einzelnen Wämeleitkomponenten λ i wiklich q& f und 2

23 existieen. Eine Wämeleitkomponente λ i existiet, wenn de entspechende Wämetanspot ein lokale Pozess ist, de vom lokalen Tempeatugadienten abhängt. Diese Bedingung efüllen die diffusiven Wämetanspotmechanismen Gas- und Festköpewämeleitung. Dagegen kann de Stahlungstanspot übe einen goßen Abstand efolgen, nämlich übe die mittlee feie Weglänge de Photonen l m, die zum Extinktionskoeffizienten E umgekeht popotional ist. Deshalb nähet sich nu de Stahlungstanspot in optisch dicken Medien ode Medien hohe Extinktion einem diffusiven Pozess an, so dass in diesem Fall auch die Stahlungskomponente λ existieen kann. In de Paxis wid häufig eine Gesamtwämeleitfähigkeit duch eine Wämeleitung in den Bestandteilen eines poösen Mediums λc vewendet. Aufgund de nichtlineaen Kopplung de beiden leitenden Pozesse, Gasund Festköpewämeleitung, entspicht die Summe de beiden Komponenten λ g + λf nicht de gesamten Wämeleitfähigkeit λ c. Neben den Wämeleitkomponenten λ g und λf hängt λc von veschiedenen Einflusspaameten wie de Poosität, de Patikelfom/Poenfom, de Patikelgöße/Poengöße, dem Kontaktwidestand zwischen den Patikeln usw. Fü die Beechnung de Wämeleitfähigkeit duch eine Wämeleitung eines dispesen zweiphasigen Systems sind zahleiche Modellvostellungen in de Fachliteatu vohanden: Fü Schüttungen weden z.b. das einfache Modell von [EUCKEN, 932], das Plattenmodell von [KRISCHER, 956] und insbesondee das kompliziete, abe genauee Einheitszellenmodell von [ZEHNER, 97] häufig eingesetzt. Fü poöse Baustoffe, die geschlossene sowie offene Poen enthalten, finden u.a. die Modelle von [LOEB, 954], [RUSSEL, 935] und [TRAUSTEL, 96] Anwendung. Zu den Modellen fü Fasemateialien zählen z.b. die von [THIGPEN, 959], [BHATTACHARYYA, 98], [RATH, 99] und [STARK, 993]. Lässt sich de Stahlungstanspot als ein Diffusionspozess bescheiben, kann die gesamte Wämestomdichte in Fom des Fouieschen Efahungsgesetzes geschieben weden: q & = λ ( T ) gadt + λ ( T ) gadt, (2.22) c und damit die totale ode effektive Wämeleitfähigkeit definiet weden: λ = λ ( T ) + λ ( T ). (2.23) eff c 3

24 Fü die expeimentelle Emittlung de effektiven Wämeleitfähigkeit gibt es veschiedene Messvefahen. [MAGLIC, 992] gibt eine ausfühliche Dastellung zu Theoie und eine Bescheibung de paktischen Anwendung veschiedene Vefahen zu Bestimmung de Wämeleitfähigkeit an. Die wichtigsten Vefahen sind das Platten-, Zylinde- und Heizdahtvefahen, die nachfolgend kuz eläutet weden: Bei dem Plattenvefahen handelt es sich um ein stationäes Absolutvefahen, bei dem Messpoben in Plattenfom vemessen weden und de Wämestom senkecht zu Platte veläuft. Aus dem die Platte duchdingenden Wämestom, de bekannten Pobendicke und de Tempeatudiffeenz zwischen de heißen und kalten Seite de Platte wid die Wämeleitfähigkeit de Platte emittelt. In Deutschland ist dieses Vefahen in de Nom DIN festgeschieben. Als intenationale Nom findet man die ISO 832 und als ameikanische Nom die ASTM C Weil beim Plattenvefahen die Wämeleitfähigkeit in eine bestimmten Richtung gemessen wid, ist dieses Vefahen fü anisotope Mateialien geeignet. Das Zylindevefahen abeitet nach einem ähnlichen Pinzip wie das Plattenvefahen. De Unteschied hiein ist de adiale Velauf des Wämestoms duch die hohlzylindische Pobe. Aufgund des adialen Velaufs des Wämestoms ist dieses Vefahen fü anisotope Mateialien wenig geeignet. Fü dieses Vefahen gibt es die Nom ISO/DIS Die beiden oben genannten stationäen Vefahen zeigen einen Nachteil in de langen Messdaue. Im Gegensatz dazu bietet das Heizdahtvefahen die Möglichkeit an, Messungen, auch im Hochtempeatubeeich, viel schnelle zu duchzufühen. Nachfolgend wid das Vefahen nähe beschieben. 4

25 3 Das Heizdahtvefahen Das Heizdahtvefahen abeitet nach dem Pinzip eines instationäen Absolutvefahens, wobei aus dem zeitlichen Velauf des Tempeatuanstieges eines elektisch geheizten Dahtes bei Kenntnis de eingekoppelten Leistung die Wämeleitfähigkeit des ihn umgebenden Mediums emittelt weden kann. Das Vefahen hat eine lange Entwicklungszeit: Anfang de 3e Jahen wude eine neue Methode nach dem Pinzip des Heizdahtvefahens zu Emittlung de Wämeleitfähigkeit von veschiedenen Pulven duch STÅHLHANE UND PYK [STÅLHANE, 93] vogestellt. STÅHLHANE UND PYK fanden die empiische Beziehung: T w 2 Q& w = A ln( λ t + B), (3.) mit Tw Q & w t : Tempeatuanstieg am Heizdaht, : elektische Heizleistung po Dahtlänge, : Dahtadius, : Zeitvaiable. A und B sind Konstanten, die sich aus de Vemessung von Mateialien mit bekannte Wämeleitfähigkeit egaben. Diese empiische Beziehung mathematisch abzuleiten, wude 932 duch [HELD, 932] vesucht. Eine klae theoetische und expeimentelle Bescheibung de Heizdahtmethode liefeten späte [EUCKEN, 938] und [PFRIEM, 938], die Gase und Flüssigkeiten untesuchten. Vollständige theoetische Gundlagen des Heizdahtvefahens wuden von [FISCHER, 94], [CARSLAW, 948] und [HELD, 949] geschaffen. Anfangs wuden zu expeimentellen Emittlung des zeitlichen Tempeatuanstieges des Heizdahtes Themomete vewendet, um die spialfömig de eigentliche Heizdaht gewickelt wude [STÅLHANE, 93]. Bei [HELD, 932] wude ein Kupfe/Konstantan-Themoelement in de Mitte eines Manganin- Heizdahtes angebacht. [GILLAM, 955] benutzte dann nu einen einzelnen Platindaht gleichzeitig als Heizelement und Tempeatusenso, de duch seinen tempeatuabhängigen elektischen Widestand die Tempeatu emittelt. 5

26 Gute Genauigkeiten kann das Heizdahtvefahen liefen bei Messung von Gasen (±,2%) [KESTIN, 978] und von Flüssigkeiten (±,5%) [NIETO DE CASTRO, 976]. Bei de Vemessung von gepessten Salzpulven bei [HAKANSSON, 988] liegt eine Ungenauigkeit von % - 2% vo. Heutzutage vewendet man das Heißvefahen in dei gebäuchlichen Vaianten: Bei dem Keuzdahtvefahen, das häufig auf feste Mateialien angewandt wid, wid in de Mitte des Heizdahtes ein Themoelement befestigt, das die zeitliche Tempeatuändeung des Heizdahtes efasst. In Deutschland ist dieses Vefahen in de Nom DIN EN zu Bestimmung de Wämeleitfähigkeit von feuefesten Ezeugnissen und Wekstoffen mit eine Wämeleitfähigkeit kleine als,5 W/m K beschieben. Die ISO gibt den intenationalen Standad dieses Vefahens an. Bei de Heizdaht-Widestandstechnik wid die Heizdahttempeatu duch die Ändeung im tempeatuabhängigen, elektischen Widestand des Heizdahtes emittelt. De Voteil dieses Vefahen ist die Efassung de mittleen Tempeatu des gesamten Heizdahtes zwischen den Vebindungspunkten. Genomt ist dieses Vefahen in de ameikanischen Nom ASTM C 3-9 (Platinum Resistance Themomete Technique). Diese Vaiante wid meistens bei Vemessung von Flüssigkeiten und Gasen eingesetzt. In den Nomen DIN EN und ISO wid eine weitee Vaiante des Heizdahtvefahens, nämlich das Paallelvefahen, zu Emittlung de Wämeleitfähigkeit von feuefesten Mateialien vogeschlagen. Hiebei wid paallel zum Heizdaht ein Tempeatusenso angebacht. Im Rahmen diese Abeit wid die Keuzdahtanodnung bzw. die Heizdaht-Widestandstechnik untesucht, bei denen de Tempeatuanstieg des Heizdahtes zu Emittlung de Wämeleitfähigkeit dient. Die Theoie diese Vefahen wid in Abeiten [HEALY, 976], [KESTIN, 978], [KHALIFA, 979] und [CLIFFORD, 98] ausfühlich beschieben. 6

27 3. Gundlagen und Messpinzip Pobe I T w ln(t) U Themoelement Heizdaht Abb. : Schematische Messanodnung des Keuzdahtvefahens Die mathematische Bescheibung des Keuzdahtvefahens, dessen schematische Messanodnung in Abbildung dagestellt ist, basiet auf dem Poblem eine idealen unendlichen Linienquelle in einem unendlich ausgedehnten, umgebenden Medium: ρc p T t = q & = ( λ T ), ( λ = konst.) (3.2) c c c mit den Anfangs- und Randbedingungen: t : t, = : t, = : T(, t) = T, T Q& lim( ) =, 2πλ T(, t) = T, c (3.3) deen Lösung lautet: 2 Q& (, ), 4 4 T t = E πλ c at (3.4) wobei 7

28 u e 2 E ( x) = du = γ ln x + x + O( x ) (3.5) u x das Exponentialintegal und γ = ln C =, die Eulekonstante bezeichnen und x = /(4at) sowie a = λc /( ρcp) sind. 2 Wenn /(4at) seh klein ist (z.b. bei kleinem Dahtduchmesse und bei goßen Zeiten), eduziet sich die Gleichung (3.4) zu eine Langzeitnäheung Q& 4at T (, t) = T(, t) T = ln. 2 4πλ c C (3.6) In Gleichung (3.6) kommt die unbekannte Tempeatuleitfähigkeit a vo. Zum Eliminieen de Tempeatuleitfähigkeit wid die Dahttempeatu zu zwei unteschiedlichen Zeiten t und t 2 gemessen. Damit lässt sich die Wämeleitfähigkeit bestimmen duch Q& lnt2 lnt λc =. π T ( t ) T ( t ) 4 w 2 w (3.7) Dazu muss man aus dem logaithmisch zeitlichen Velauf de Heizdahttempeatu einen lineaen Abschnitt wählen, dessen Anfang und Ende die Tempeatuen T w ( t ) und T w ( t 2 ) dastellen, damit die Einflüsse de endlichen Wämekapazität des Heizdahtes (fü kuze Zeiten; d.h. zu Beginn de Messung) und de äußeen Beandung (fü goße Zeiten) ausgeschlossen weden. 3.2 Fehleeinflüsse und deen Koektu In de Paxis weichen die expeimentellen Bedingungen von denen des idealen Modells ab, was als Fehleeinflüsse Abweichungen de Dahttempeatu veusacht. Es ist jedoch in vielen Fällen möglich, duch entspechende Gestaltung de expeimentellen Duchfühung die Lösung de idealen Linienquelle als gute Näheung anwenden zu können und esultieende Abweichungen unabhängig voneinande als kleine additive Koektuteme zu behandeln [HEALY, 976]: 8

29 Tw,id = Tw + δ Ti. (3.8) i Dabei gilt Gleichung (3.8) nu fü kleine Koektuteme δ Ti, da die einzelnen Koektuteme in diesem Fall als voneinande unabhängig betachtet weden können. Ausfühliche Diskussionen zu solchen Koektutemen sindindenabeiten[horrocks, 963], [MCLAUGHLIN, 97],[HEALY, 976] und [NIETO DE CASTRO, 988] zu finden. Im folgenden weden einige wichtige Koektuteme andiskutiet. Neben den Diskussionen um die Koektuvefahen weden in de Fachliteatu auch andee Fehle duch Abweichungen von de idealen Lösung theoetisch sowie expeimentell analysiet. Zu diesem Thema wid auf folgende Abeiten hingewiesen: De nicht-veschwindende Dahtadius: [HEALY, 976] und [LIANG, 995], Die endliche Dahtlänge: [HEALY, 976], [HORROKS, 962] und [LIANG, 995], Stahlungseffekt an de Kontaktstelle zwischen dem Daht und de Pobe: [NAGASHIMA, 987] Endliche spezifische Wämekapazität und Wämeleitfähigkeit des Dahtes In diesem Fall gibt [HEALY, 976] einen Koektutem an Q& w[( ρcp ) w ρcp ] 4at w w λc δt = ln + 2 4πλc 2λct w C 4at 4awt 2λw (3.9) wobei λw bzw. aw die Wäme- bzw. Tempeatuleitfähigkeit des Dahtes bezeichnet und de Index w fü Dahteigenschaften steht. Fü Heizdahtmessungen de Wämeleitfähigkeit sind nu die zeitabhängigen Teme in Gleichung (3.9) zu beücksichtigen. Bei Vemessung von festen Mateialien sind lediglich Dahttempeatuen bei goßen Zeiten von Inteesse, so dass diese Koektutem nicht meh von Bedeutung ist. 9

30 3.2.2 Endliche adiale Pobendimension De Einfluss de äußeen Beandung am Ot = a auf die Dahttempeatu am Ot = w wude u.a. von [FISCHER, 939] untesucht. Fü a / w >> und 4at / 2 >> gibt Fische den Koektutem fü die Dahttempeatu w Q& 4at = δt2 ln exp( β / )[ 2 i at a πy ( βi )] 4πλc a C i= (3.) an, wobei βi die Nullstellen von J ( β ) sind. Diese Koektu ist venachlässigba, wenn de äußee Pobenadius einen bestimmten Wet nicht untescheitet. Dafü gibt [Healy, 976] den minimalen äußeen Pobenadius an = a > 5,783at, (3.) max bei dem eine Abweichung δt2 / Tw <, [2ln( a / w )] eeicht wid. Dies entspicht etwa de Gößenodnung O ( ). [MANI, 97] schlägt einen gößeen minimalen äußeen Pobenadius 4 a > 28at max (3.2) vo, bei dem die Tempeatuändeung am Ot venachlässigba ist. = T ( a ) <, T a Somit kann man bei gegebene Tempeatuleitfähigkeit a des Mediums einen minimalen Pobenadius entspechend eine maximalen Messzeit a tmax bestimmen. In einem Medium, in dem die Stahlung von Bedeutung ist, hängt de minimale Pobenadius nicht nu von de Wämeleitfähigkeit duch eine Wämeleitung, sonden auch von den Stahlungseigenschaften des Mediums ab. Bei den Beechnungen in de voliegenden Abeit wid das Kiteium von MANI angewandt, um den Einfluss de äußeen Beandung auszuschließen. Dabei wid statt a eine effektive Tempeatuleitfähigkeit aeff = λeff /( ρcp ) vewendet. a 2

31 3.2.3 Tempeatuabhängige Mateialeigenschaften des Pobenmediums Die Lösung de idealen Linienquelle gilt nu fü eine konstante Wämeleitfähigkeit λ und eine konstante volumetische Wämekapazität ρcp des Mediums. Eine Tempeatuabhängigkeit de lineaen Fom: ρ c ( T ) = ( ρc ) ( + ϕt ), λ ( T ) = λ ( + χt ) (3.3) p p wid von [HEALY, 976] untesucht, wobei ϕ und χ Konstanten sind und de Index fü Anfangswete entspechend de Anfangstempeatu T steht. HEALY leitet daaus den Koektutem fü die Tempeatu ab: 2 δ 3 χ( ) Q& T = T + ( χ ϕ)ln4 2 4πλ 2 (3.4) De zweite Tem in Gleichung (3.4) ist von de Zeit unabhängig und beeinflusst deshalb nicht den Anstieg de Dahttempeatu und die Wämeleitfähigkeit. Fü die Messung de Wämeleitfähigkeit ist daum de zweite Tem nicht zu beücksichtigen. De este Tem de Gleichung (3.4) veusacht eine deutliche Biegung de Kuve T w (lnt). De mittlee Anstieg ist T ( t2 ) T ( t ) Q& w w = lnt2 lnt χ 4πλ + [ Tw ( t ) T 2 w. (3.5) ( t2 )] Diese Ausduck ist identisch mit de Lösung de idealen Linienquelle (Gleichung (3.7)); zuzuodnen ist deshalb in diesem Fall die gemessene Wämeleitfähigkeit des Mediums de Tempeatu T 2 eal = [ Tw ( t ) + Tw ( t2 )] + T (3.6) Im Fall von stahlungsduchlässigen Medien liegt eine Stahlungsleitfähigkeit (in optisch dicken Medien) vo, die de ditten Potenz de Tempeatu popotional ist. Die effektive Wämeleitfähigkeit ist deshalb von de ditten Potenz de Tempeatu abhängig. Fü eine deatige Abhängigkeit ist eine analytische Lösung nicht meh möglich. 2

32 4 Modellieung de gekoppelten Stahlung/Leitung Eine nicht venachlässigbae Abweichung von de Lösung de idealen Linienquelle, welche bei Heizdahtmessungen an poösen Mateialien auftitt, ist de Wämetanspot duch Stahlung, deen Effekt das Untesuchungsthema de voliegenden Abeit dastellt. Bei stak absobieenden Mateialien stehen Leitungs- und Stahlungstanspot in eine staken Wechselwikung, so dass eine getennte Behandlung de Stahlung nicht möglich ist. In diesem Fall ist in de Fachliteatu kein Koektutem bekannt, da eine analytische Lösung de gekoppelten Stahlung/Leitung nicht ealisieba ist. Das betachtete Poblem, welches in Abbildung 2 dagestellt ist, kann dahe nu duch eine numeische Simulation untesucht weden. Heizdaht Pobe w q& = q& c + q& Abb. 2: Gekoppelte Stahlung/ Leitung bei instationäen Heizdahtmessungen. 4. Mathematische Bescheibung des Poblems Mit Rücksicht auf die Lösbakeit des Poblems weden fü die Modellieung folgende Veeinfachungen getoffen: Das Medium sei isotop, homogen und in axiale Richtung unendlich ausgedehnt. Die esultieende Gesamtwämeleitfähigkeit λc fü Gas und Feststoff und die volumetische Wämekapazität ρcp sollen als tempeatuunabhängig betachtet weden. Das Medium sei von zwei koaxialen Zylinden eingeschlossen. De innee Zylinde stellt hiebei den Heizdaht mit dem Radius w da, wähend de äußee Zylinde mit dem Radius den isothemen Pobenand mit de konstanten Umgebungstempeatu T a makiet. 22

33 Die Heizdahtobefläche sei gau, sie emittiet und eflektiet Stahlung diffus. Die äußee Pobenbeandung sei schwaz ( ε a = ). Das Medium sei im lokalen themischen Gleichgewicht, womit Kichhoff sches und Planck sches Gesetz Gültigkeit besitzen. De Stahlungstanspot wid als stationä angenommen. Die Tempeatuändeung im Medium wid duch die Wämekapazität gepägt. Das Medium sei gau und habe wellenlängen- und tempeatuunabhängige Stahlungseigenschaften und einen konstanten Bechungsindex n =. haben Daht und Medium die Umgebungstempe- Zum Zeitpunkt t = atu T. 4.. Enegietanspotgleichung Die Lösung de idealen Linienquelle wude auf de Basis de einen Wämeleitung abgeleitet, deen Wämetanspot diffusiv efolgt. Anwendung findet die Lösung de idealen Linienquelle bei infaot-optisch opaken homogenen ode bei völlig tanspaenten Medien, bei denen de Stahlungstanspot völlig von de Wämeleitung entkoppelt ist. In poösen Medien, efolgt de Wämetanspot duch zwei in Wechselwikung stehende Pozesse: die diffusive Wämeleitung und die Wämestahlung. De letztgenannte Tanspotpozess kann bei optisch dicken Medien als ein diffusive Vogang betachtet weden. Andenfalls ist e kein Diffusionsvogang, so dass die Lösung de idealen Linienquelle die Anwendbakeit veliet. Unte Anwendung de Additionsnäheung fü die Gesamtwämestomdichte q& als Summe aus dem Leitungs- und Stahlungsanteil eweitet sich die Wämeleitungsgleichung (3.2) zu eine Integal-Diffeentialgleichung fü die gekoppelte Stahlung/Leitung: T ρ cp = (λc T ) q &, (4.) t wobei als Stahlungstem die Divegenz de Stahlungsstomdichte q & = Ω ka 4πI b Id. (4.2) 4π 23

34 den Unteschied zum Wämeleitungspoblem nach Gleichung (3.2) dastellt. Fü ein Medium zwischen zwei koaxialen Zylinden, nämlich dem Daht des Radius w und dem äußeen Pobenand des Radius a, wobei a genügend goß ist, so dass diese Beandung einen venachlässigba kleinen Einfluss auf den zeitlichen Velauf des Heizdahtes hat, lauten die Anfangs- und Randbedingungen wie folgt: t, t, =, w t, =, a T(, t) = T, T Q& q& ( w ) = +, 2πw λc λc T(, t) = T, (4.3) Es besteht die Fage, unte welchen Bedingungen de Stahlungstanspot in einem poösen Medien als ein Diffusionspozess angesehen weden daf. In de Liteatu betachtet man als Kiteium fü die Diffusionsfage des Stahlungstanspots die optische Dicke τ eine Pobe, die als eine Eigenschaft eine gegebenen Pobe gilt, da τ popotional von de Pobendicke D abhängt. Eine solche Betachtung gilt abe nu bei stationäen Vogängen. Bei eine instationäen Heizdahtmessung spielen nu lokale Eigenschaften des Mediums in de unmittelbaen Umgebung des Dahtes eine wesentliche Rolle beim Wämetanspot. Deshalb ist nicht die optische Dicke, sonden die lokale infaot-optische Eigenschaft de Pobe, nämlich die Extinktion, entscheidend. Es ist daum zu kläen, wie goß de Extinktionskoeffizient E sein muss, damit de Stahlungstanspot bei eine Heizdahtmessung als diffusiv angesehen und die Lösung de idealen Linienquelle mit gute Genauigkeit angewandt weden daf. Falls de Stahlungstanspot in eine Heizdahtmessung diffusiv mit de Stahlungsleitfähigkeit λ (s. Gleichung 2.2) efolgt, veeinfacht sich die Divegenz de Stahlungsstomdichte in Gleichung (4.2) zu einem dem Fouieschen Gesetz ähnlichen Modell q & = ( λ T ). (4.4) Duch additive Kombination de Wämeleitfähigkeit duch eine Wämeleitung λ c mit de Stahlungsleitfähigkeit λ wid dann die effektive Wämeleitfähigkeit definiet 24

35 λ = λ + λ. (4.5) eff c Schließlich egibt sich aus den Gleichungen (4., 4.4 und 4.5) die veeinfachte Enegiegleichung fü das Poblem de gekoppelten Stahlung/Leitung [ λ ( T ) T ] T ρ cp = eff, (4.6) t die mit de Wämeleitungsgleichung (3.2) fü das Modell de idealen Linienquelle identisch ist. Damit escheint es, dass die effektive Wämeleitfähigkeit λeff mittels de Lösung de idealen Linienquellen emittelt weden kann. Dafü muss eigentlich noch eine weitee wichtige Bedingung efüllt weden, nämlich die Dastellung de Stahlungsstomdichte q& ( w ) in de Randbedingung de Gleichung (4.3) in eine diffusiven Fom anhand des Diffusionsmodells. Das bedeutet, dass die Stahlungsstomdichte dem Fouieschen Gesetz entspechen muss (d.h. q & ( w ) = λ( T / ) = w ), damit fü die gekoppelte Stahlung/Leitung eine dem Wämeleitpoblem entspechende Randbedingung t, = : w T Q& Q& = = 2π ( λ + λ ) 2π λ w c w eff (4.7) eeicht wid. Laut [SIEGEL, 972] und [VISKANTA, 962] daf in de Nähe von Beandungsflächen (in diesem Fall vom Heizdaht) de Stahlungstanspot nicht mit de Diffusionsnäheung appoximiet weden. De Wet de nach Gleichung (4.7) beechneten Wämestomdichte q& ( w ) weicht deshalb umso stäke vom tatsächlichen Wet ab, je kleine de Extinktionskoeffizient E ist. Man kann abe mit seh goßen Extinktionskoeffizienten E eine seh gute Gültigkeit de Gleichungen (4.6) und (4.7) und damit Genauigkeit bei Anwendung de Lösung de idealen Linienquelle eeichen. Ein Kiteium fü den mindestens efodelichen Wet des Extinktionskoeffizienten E kann nu duch eine numeische Simulation emittelt weden. Ein zweites Poblem, das mit de effektiven Wämeleitfähigkeit zusammenhängt, ist die stake Tempeatuabhängigkeit, welche die Bestimmung de zu gemessenen effektiven Wämeleitfähigkeit gehöenden Bezugstempeatu eschwet. Fü eine konstante Wämeleitfähigkeit duch eine Wämeleitung λ c untescheiden sich Gleichung (3.2) und Gleichung (4.6) voneinande duch die Tempeatuabhängigkeit de effektiven Wämeleitfähigkeit 25

36 aufgund de Anwesenheit de de ditten Potenz de Tempeatu popotionalen Stahlungsleitfähigkeit λ. Eine solch stake Tempeatuabhängigkeit ist besondes bei kleinen Extinktionskoeffizienten ausgepägt, da λ dem Extinktionskoeffizienten umgekeht popotional ist. Die stake Tempeatuabhängigkeit füht bei Heizdahtmessungen zu eine uneindeutigen Zuodnung de Bezugstempeatu, da wähend de Messung die Tempeatu des Mediums im Nahbeeich des Heizdahtes um mehee Kelvin steigt. Die Übetempeatu des Mediums in eine Messung hängt von de eingekoppelten Heizleistung ab. Je höhe die Heizleistung ist, desto göße ist die Übetempeatu und damit die gemessene effektive Wämeleitfähigkeit. Die Annahme de Anfangstempeatu als Bezugstempeatu ist im Fall de stak tempeatuabhängigen effektiven Wämeleitfähigkeit nicht meh beechtigt. Sie gilt näheungsweise bei seh kleinen Übetempeatuen, die mit seh kleinen Heizleistungen eeicht weden können. In de Paxis sind kleine Tempeatuhübe aufgund messtechnische Günde nicht möglich. Wie beeits oben ewähnt wude, empfehlen AKSEL ROD UND VISGNEVSKII [AKSEL ROD, 984] die lineae Relation de effektiven Wämeleitfähigkeit von de Heizleistung auf eine Null-Heizleistung zu extapolieen, um die wahe Wämeleitfähigkeit mit de Anfangstempeatu als zughöige Bezugstempeatu zu ehalten. Ob eine solche lineae Relation existiet, wid in de voliegenden Abeit untesucht. In de Paxis wid manchmal die aithmetisch mittlee Tempeatu wähend des Messvogangs als Bezugstempeatu vewendet. Eine solche Annahme de mittleen Tempeatu als Bezugstempeatu ist physikalisch nicht begündet, liegt jedoch nähe an de wahen Bezugstempeatu als die Anfangstempeatu. Das Poblem de Bezugstempeatu soll deshalb in de voliegenden Abeit untesucht weden. 3 T 4..2 Stahlungstanspotgleichung Zu Lösung des Poblems de gekoppelten Stahlung/Leitung ist die Enegiegleichung (4.) zu lösen. Dazu ist die Kenntnis de Veteilung de Stahlungsdivegenz q & () efodelich, die aus de Stahlungstanspotglei- chung zu gewinnen ist. Da de Stahlungstanspot etwa mit Lichtgeschwindigkeit efolgt, ist dessen Relaxationszeit gegenübe de Wämeleitung venachlässigba [ÖZISIK, 973], so dass fü die instationäe Heizdahtmessung die Lösung de stationäen Stahlungstanspotgleichung vollkommen genügt. 26

37 dω e I(φ, ψ) dω ψ da dv dω φ I(s) ds I(s+ds)=I(s)+dI(s) Abb. 3: Ändeung de Stahlungsintensität I(s) entlang eine Weglänge ds in einem absobieenden, emittieenden und steuenden Medium. In einem absobieenden, emittieenden und steuenden Medium nimmt eine Stahlungsintensität I(s) entlang eine Weglänge ds und im Raumwinkel dω um ds duch Absoption und Steuung ab, duch Emission des Volumenelements da ds und duch Einsteuung alle ankommenden Intensitäten I ( φ, ψ ), die vom Volumenelement in die s -Richtung gesteut weden, abe zu, wie in Abbildung 3 veanschaulicht ist. Daduch egibt sich fü die Intensitätsändeung die allgemeine Stahlungstanspotgleichung [SIEGEL, 992]: di ds ks = s I = ( ka + ks ) I + ka Ib + I( s ) Φ( s s ) dω, (4.8) 4 π 4 π mit I : geichtete Stahlungsintensität, I 4 : Schwazköpeintensität = σ T / π, b k a k s : Absoptionskoeffizient, : Steukoeffizient, Φ : Steuungsphasenfunktion, s : Koodinate paallel zum Stahlungsweg, s : Einheitsvekto paallel zum Pfad s, s : Einheitsvekto beliebige Richtung, Ω : Raumwinkel. 27