AR: Rechnen mit Tensoren

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1 Auto: Walte Bislin von walte.bislins.ch/doku/a : AR: Rechnen it Tensoen In de Tenso-Algeba geht es u Tensoen it hochgestellten und tiefgestellten Indizes, deen Tansfoationseigenschaften und den Metik-Tenso, it dessen Hilfe die Indizes anipuliet weden können. Tenso-Aithetik Tenso-Kontaktion Index-Manipulation pe Metik-Tenso Rauzeit-Tensoen Neu

2 Auto: Walte Bislin von 3 walte.bislins.ch/doku/a : Tenso-Aithetik Weil Skalae und Vektoen Subklassen von Tensoen sind ist zu ewaten, dass Tensoen den selben bekannten Rechenegeln fü Addition, Subtaktion, Multiplikation und Division folgen. Dies stit eistens, jedoch it einigen Ändeungen und Einschänkungen. Tensoen zeigen zude neue Eigenschaften, die es bei Skalaen und Vektoen nicht gibt. Null-Tenso Wenn bei eine beliebigen Tenso Z alle Koponenten Null sind, spicht an vo Null-Tenso: Z ::: = () n::: Null-Tenso Die Koponenten des Null-Tensos sind in allen Koodinatensysteen Null. Dies folgt aus de At wie Tensoen tansfoiet s ::: (2) Z n::: (y) = ::: n s::: ::: Wenn also hie alle Koponenten des Tensos Z s::: (x) Null sind, können sie auch in allen andeen Koodinatensysteen nu Null sein, da Null al etwas ie Null egibt. Gleichheit von Tensoen Wenn zwei Tensoen in eine bestiten Koodinatensyste gleich sind, d.h. vo selben Typ sind und identische Koponenten haben, so sind sie in allen Koodinatensyste gleich. Wenn also gilt dass: (3) A n (x) = B n (x) dann kann an auch scheiben: (4) A n(x) B n (x) = A B A 2 B 2 A 3 B 3 A 2 B 2 A 22 B 22 A 32 B 32 A 3 B 3 A 23 B 23 A 33 B 3 C A = C A = Rechts steht fü den Null-Tenso. Da de Null-Tenso in allen Koodinatensysteen Null ist gilt auch, dass die linke Seite de Gleichung in allen Koodinatensysteen Null ist. Das heisst abe

3 Auto: Walte Bislin 2 von 3 walte.bislins.ch/doku/a : nichts andees als dass zwei gleiche Tensoen in allen Koodinatensysteen gleich sein üssen! Beachte: Die Koponenten von A n und B n können in veschiedenen Koodinatensyste unteschiedlich sein. Abe in eine bestiten Koodinatensyste sind die Koponenten de beiden Tensoen jeweils identisch. Wenn in eine Tenso-Gleichung fü ein bestites Koodinatensyste bewiesen ist, dass die linke Seite des Gleichheitszeichens gleich de echten Seite des Gleichheitszeichens ist, dann gilt diese Gleichheit fü alle Koodinatensystee! Dies ist eine de wichtigsten Eigenschaften von Tensoen und Tenso-Gleichungen! Die Gleichheit von Tensoen ist eine geoetische Eigenschaft, die nicht von eine Koodinatensyste abhängig ist! Die Koponenten von Tensoen jedoch sind abhängig vo gewählten Koodinatensyste. Addition und Subtaktion Zwei Tensoen können nu dann addiet ode subtahiet weden, wenn sie vo selben Typ sind. De Tenso-Typ bestit Rang, Diension und Koponenten-At eines Tensos. n Wenn zu Beispiel A und B n beides Tensoen sind, dann ist auch die Sue de beiden ein Tenso: (5) C n = A n + B n = B n + A n Die Reihenfolge de Addition spielt keine Rolle (Koutativgesetz). Die Subtaktion folgt den selben Regeln wie die Addition. Die entspechenden Tensoen üssen also auch bei de Subtaktion vo selben Typ sein: (6) D n = A n B n Multiplikation U zwei Tensoen iteinande zu ultiplizieen, weden sie einfach zu eine neuen Tenso zusaengefügt, inde alle unabhängigen Indizes in ihe entspechenden Position kobiniet weden: abc fg (7) T de R = P abcfg hjkl dehjkl Achtung: Die Reihenfolge de Multiplikation von Tensoen spielt eine Rolle. Bei de Tenso- Multiplikation gilt das Koutativgesetzt geneell nicht. Ausnahe: Multiplikation it eine Skala!

4 Auto: Walte Bislin 3 von 3 walte.bislins.ch/doku/a : Division Die Division eines Tensos duch einen andeen ist nicht geneell öglich. Die einzige Ausnahe ist die Division eines Tensos duch einen Skala. In diese Fall wid de Tenso einfach neu skaliet, inde jede Koponente des Oiginal-Tensos duch den Skala dividiet wid. Assoziativgesetz Die Addition und Multiplikation von Tensoen sind assoziativ: (8) An + ( B n + Cn ) = ( A n + Bn ) + Cn (9) n T (R S ) = ( T R n n ) S = P () a ( b T ) = ( a b) T Koutativgesetz Tensoen koutieen geneell nicht. Ausnahe: Multiplikation it eine Skala. () C n = A B n = B n A = C n Das Koutativgesetz gilt jedoch fü die Addition: (2) A + B = B + A

5 Auto: Walte Bislin von 3 walte.bislins.ch/doku/a : Tenso-Kontaktion Tenso-Kontaktion ode Tensovejüngung bedeutet, eine kontavaianten und eine kovaianten Index eines Tensos den selben Naen zu geben und übe diesen Index zu suieen (Einsteinsche Suenkonvention). Dieses Zusaenfühen von Indizes ist eine Opeation auf Tensoen, die wiedeu einen Tenso abe it niedigee Rang ezeugt. Beispiel it eine einfachen deidiensionalen Tenso vo Rang 2: () T = T + T T 3 3 = S Diesen Tenso T kann an als Matix betachten und die Tenso-Kontaktion entspicht de Beechnen de Spu de Matix. Aus diese Gund wid die Abbildung auch Spubildung genannt. Das Resultat diese Opeation ist hie ein Skala. U nachzuweisen, dass wenden wi die Regel fü die Tansfoation eines Tensos it geischten Indizes an: S S ein Skala ist, (2) s (y) = n s Tansfoation Tenso it geischten Indizes Nun setzen wi n = und schauen was dabei heauskot: s (y) = T (x) T (x) T s s s = s = T s Die küzen sich weg. De vebleibende =@x egibt das Konecke-Delta s, denn ist, wenn ist und Null in allen andeen Fällen, weil die veschiedenen =@x = s x voneinande unabhängige Basisvektoen sind. Das Konecke-Delta auf einen Tenso angewandt bedeutet einfach, dass an die Indizes des Tensos zusaenfühen soll wie in (3) ganz echts gezeigt. Man pickt it de Konecke-Delta quasi nu jene Tenso-Eleente heaus, welche die selben Indizes haben und suiet diese. Wi ehalten also: (4) T (y) = T (x) ) T + T T 3 3 = S Links steht ein Tenso i Y-Koodinatensyste und echts eine i X-Koodinatensyste. Diese spezielle Kobination hängt also nicht davon ab, welches Koodinatensyste wi benutzen! Was esultiet ist in diese Fall ein Skala, also ein Tenso ohne Indizes.

6 Auto: Walte Bislin 2 von 3 walte.bislins.ch/doku/a : Kontaktion von Tensoen it eheen Indizes Fü koplizietee Tensoen it vielen Indizes funktioniet die Tenso-Kontaktion entspechend: (5) T nop nop s = T s Die zusaengefühten Indizes (hie ) veschwinden bei Suieen. Das Resultat ist in jede Falle wiede ein Tenso, was wie in (3) gezeigt bewiesen weden kann. Ein Anwendungsbeispiel in de allgeeinen Relativitätstheoie ist die Kontaktion des ieannschen Küungstensos zu Ricci-Tenso: (6) l R ijk ) R j ijk = R ik R wobei l = Rieannsche Küungstenso ijk R ik = Ricci-Tenso Skalapodukt als Tenso-Kontaktion Ein einfache Tenso von Rang 2 kann aus zwei Vektoen gebildet weden: (7) T n = V W n Wenn wi hie die Indizes zusaenfühen ehalten wi das Skalapodukt de beiden Vektoen: (8) T W W W W = V = V + V V 3 3 Index-Kontaktion it de Metik-Tenso De Metik-Tenso hat eine geoetische Bedeutung: E stellt eine Beziehung zu Abstand benachbate Punkte he. Dait sind hie infinitesial kleine Abstände zwischen Punkten geeint, sog. diffeenzielle Abstände : (9) 2 = dx dx n g n (x) = dx dx wobei = infinitesiale Abstand zweie benachbate Punkte dx ; dx n = kontavaiante Diffeentiale

7 Auto: Walte Bislin 3 von 3 walte.bislins.ch/doku/a : g n (x) = Metik-Tenso i X-Koodinatensyste Dies ist ein Spezialfall de Regel de Index-Kontaktion. Die Indizes und weden zusaengezogen. Es bleiben keine Indizes übig! Das Resultat ist also ein Skala. n

8 Auto: Walte Bislin von 2 walte.bislins.ch/doku/a : Index-Manipulation pe Metik-Tenso Duch Multiplizieen it de Metik-Tenso können Tenso-Indizes hoch- und tiefgestellt weden, also kontavaiante Koponenten eines Tensos in kovaiante Koponenten ugewandelt weden und ugekeht (siehe Kovaiante und Kontavaiante Koponenten). V n = V g () n Index tiefstellen n (2) Index hochstellen V n = V g Bei V und V handelt es sich u den selben (physikalischen) Vekto V, jedoch einal it kontavaianten Koponenten und einal it kovaianten Koponenten ausgedückt. Zwischen den beiden Koponenten-Dastellungen kann also ittels des Metik-Tensos und seine Invesen ugeechnet weden. Jede Tenso hat soit ehee Identitäten. Sie untescheiden sich nu duch den Gebauch von kontavaianten ode kovaianten Koponenten bzw. zwischen hochgestellten und tiefgestellten Indizes. Zwischen diesen Dastellungen kann it Hilfe des Metik-Tensos gewechselt weden. Dies gilt auch fü Tensoen vo Rang gösse als : Wenn wi zu Beispiel den esten Index des Tensos T n ~ hochstellen wollen, so geht das wiefolgt: (3) T n = g T n Auch hie gilt: Die Koponenten von T n und T n sind nicht die selben! Die beiden Tensoen epäsentieen jedoch das selbe Objekt! Anwendung: Länge eines Vektos beechnen Gehen wi von eine kleinen Vekto ~ aus, de in Tenso-Scheibweise als it kontavaianten dx Koponenten geschieben weden kann: (4) dx = dx ~ e + dx 2 ~ e 2 ~ ~ e 2 x wobei e ; = Einheitsvektoen (Vektoen de Länge ) in Richtung bzw. x 2

9 Auto: Walte Bislin 2 von 2 walte.bislins.ch/doku/a : Wi können den selben Vekto jedoch auch it Hilfe des Metik-Tensos it kovaianten Koponenten bescheiben: (5) n dx = g n dx Wie z.b. hie gezeigt können wi daaus einen neuen Tenso duch Multiplizieen bilden: (6) T n = dx dx n Was passiet nun, wenn wi diesen Tenso kontahieen? (7) T = dx dx = S Duch die Tenso-Kontaktion ehalten wi einen Skala, de tansfoations-invaiant ist. Wi können den kovaianten Vekto noch duch (5) ausdücken und ehalten dait: S (8) S = dx dx n g n S 2 ~ Diese Skala ist nichts andees als das Quadat de Länge des Vektos : 2 = dx dx n gn = dx n dx = dx dx n g (9) Distanz-Foel Dies ist das Gundpinzip des Metik-Tensos! Beachte, dass g n ist! n g die Invese des Metik-Tensos Weitee Infoationen Metik-Tenso Invese des Metik-Tensos Kovaiante und Kontavaiante Koponenten

10 Auto: Walte Bislin von 4 walte.bislins.ch/doku/a :2 Rauzeit-Tensoen Tensoen können nicht nu aus äulichen Koponenten bestehen, sonden auch eine zeitliche Koponente haben. Hie zeige ich, dass sich bei de Tensoechnung nichts gundlegend ändet, wenn an den Übegang von Rau zu Rauzeit vollzieht. Voaussetzungen und Konventionen Die Spezielle Relativitätstheoie von Einstein füht die Idee de Rauzeit ein. U die folgende Bescheibung zu vestehen, wid ein gundlegendes Veständnis von Loenz-Tansfoationen voausgesetzt. In de Physik wid oft in Einheiten geechnet, in denen die Lichtgeschwindigkeit c Die Konstante dient als Uechnungsfakto zwischen Rau und Zeit: c = gesetzt wid. () x = c t wobei = äuliche Koodinate it Längen-Einheiten = zeitliche Koodinate it Zeit-Einheiten c = Lichtgeschwindigkeit: ca. 3' k/s Man kann die Einheiten von Rauzeit-Koodinatensysteen ie so wählen, dass woduch Diagae und Foeln einfache weden. Dies nicht so zu achen wäe gleich unpaktisch, wie fü jede Raukoodinate eine andee Einheit (Mete, Fuss, Inches) zu vewenden, woduch in allen Foeln entspechende Uechnungsfaktoen eingefüht weden üssten, analog c = zu! x t c = ist, Übegang von Rau zu Rauzeit Wi beschänken uns zunächst auf echtwinklige katesische Koodinatensystee i flachen Rau. Diese Koodinatensystee können gegeneinande veschoben ode otiet sein. Sie haben alle die Eigenschaft, dass bei de Tansfoation von eine Koodinatensyste 2 in ein andees das Längeneleent den selben Wet beibehält (Invaianz): (2) 2 = ( dx ) ( dx ) 2 + ( dx ) 3 2 De Metik-Tenso Konecke-Delta g n in solchen katesischen Koodinatensysteen ist ie gleich de n. Dait kann diese Metik auch folgendeassen geschieben weden:

11 Auto: Walte Bislin 2 von 4 walte.bislins.ch/doku/a :2 (3) 2 = g dx dx n n n = n dx dx Fü ehdiensionale Räue weden einfach entspechend eh Thee fü jede zusätzliche Diension angehängt. Bei Übegang von Rau zu Rauzeit wid neben den dei Raukoodinaten eine viete Zeit-Koodinate eingefüht. Rauzeit hat also 4 Koodinaten - sie bilden zusaen einen 4-diensionalen Rau. Ein Rauzeit-Vekto hat also 4 Koponenten: eine davon entspicht de Zeit, die andeen 3 sind Raukoodinaten. In de Speziellen Relativitätstheoie gibt es eine zu analoge invaiante Gösse: die Eigenzeit : d (4) d 2 = dt 2 (dx ) ( dx ) ( dx ) c = I Gegensatz zu (2) bleibt bei de Loenz-Tansfoation de Speziellen Relativitätstheoie nicht die Sue de Quadate invaiant, sonden die Quadate de Rau-Koodinaten üssen vo Quadat de Zeit-Koodinate subtahiet weden! Diese Invaiante tie). nennt an Eigenzeit (engl: pope Wenn an it Einheiten echnen will, in denen die Lichtgeschwindigkeit ist, so sieht (4) wiefolgt aus: d c = (5) d 2 = dt 2 (dx ) ( dx ) ( dx ) c 2 Rauzeit-Tansfoationen (Loenz-Tansfoationen) sind gekennzeichnet daduch, dass sie die obige Metik bewahen! Diese Metik stellt die Eigenzeit da, i Gegensatz zu äulichen Abstand bei einen äulichen Tansfoationen. Loenz-Tansfoationen sind also jene 2 Tansfoationen von eine Koodinatensyste zu eine andeen, in welchen in allen Koodinatensysteen den selben Wet hat! d d Notation von Rauzeit-Tensoen Indizes von ein äulichen Tensoen weden it lateinischen Buchstaben geschieben. Fü Indizes von Rauzeit-Tensoen weden gichische Buchstaben vewendet: (6) Rau-Koodinatensystee Rauzeit-Koodinatensystee x = ( x ; x 2 ; x 3 ) x = ( x ; x ; x 2 ; x 3 ) x = t

12 Auto: Walte Bislin 3 von 4 walte.bislins.ch/doku/a :2 Die este Koponente bei Rauzeit-Vektoen ist ie die Zeit-Koponente: x = t. Weitee äuliche Koponenten weden bei Bedaf einfach hinten angefügt (z.b: in de Sting-Theoie). Mit diese Notation kann die Tenso-Scheibweise de Metik paktisch beibehalten weden: (7) Rau-Koodinatensystee (Euklid-Koodinaten) Rauzeit-Koodinatensystee (Minkowski-Koodinaten) 2 n = g n (x) dx dx d 2 = g (x) dx dx (x) g n(x) g (x) De Te von bzw. weist daauf hin, dass die Koponenten des Metik-Tensos (8) Rau-Koodinatensystee (Euklid-Koodinaten) bei geküten Koodinatensysteen ode geküten Räuen Funktionen de Position bzw. de Rauzeit-Position sind. Wie sieht ein solche Metik-Tenso aus? Vegleichen wi de Einfachheit halbe den Metik-Tenso in ungeküten Koodinaten/Räuen. In (3) haben wi gesehen, dass in diese Fall de Metik- Tenso gleich de Konecke-Delta entspicht. In Minkowski-Koodinaten existiet ein analoge Metik-Tenso: Rauzeit- Koodinatensystee (Minkowski-Koodinaten) n = C A = C A Metik- Tenso i flache Rau Das de Konecke-Delta entspechende wid Eta-ü-nü ausgespochen. Übegang zu geküte Rauzeit Was passiet it (4), wenn wi geküte Koodinaten ode geküte Rauzeit einfühen? Betachten wi zuest den einfachsten ungeküten Fall. Wenn wi Eta in (7) einsetzen und ausultiplizieen ehalten wi die Foel (4): (9) d 2 = dx dx = ( dx ) 2 ( dx ) 2 2 ( dx ) 2 ( dx ) 3 2 In geküten Koodinaten/Rauzeit ist de Metik-Tenso kopliziete und in de Regel sind die Koponenten keine Konstanten, sonden Funktionen de Rauzeit-Position. Entspechend kopliziete sieht (7) in so eine Falle ausultipliziet aus. Das Pinzip bleibt abe das selbe. g (x)

13 Auto: Walte Bislin 4 von 4 walte.bislins.ch/doku/a :2 Eigenwete des Metik-Tensos Die wesentlichen Eigenschaften des Metik-Tensos (Syetie usw.) gelten auch in de Relativitätstheoie. In 3D-Rau-Systeen hat de Metik-Tenso jedoch ie 3 positive Eigenwete, wähend in de 4D-Rauzeit de Metik-Tenso ie einen positiven und 3 negative Eigenwete hat! Zusaenfassung Paktisch alles was bishe übe Tensoen und deen Tansfoations-Eigenschaften gesagt wude, gilt auch fü Rauzeit-Tensoen. Die Unteschiede sind die zusätzlichen Zeit-Koponenten und die Vewendung giechische statt lateinische Indizes. So ist die Tansfoation eines kontavaianten Rauzeit-Vektos z.b. folgendeassen definiet (vegleiche it Tansfoation kontavaiante Tensoen): () V (y) V