Einführung in die Vektoranalysis

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1 Einfühung in die Vektoanalysis Eckad Specht Geschieben fü Matoids Matheplanet Vesion. Novembe 23 Studenten stömen seit einigen Wochen wiede in die Hösäle und venehmen dieses fuchteinflößende Wot: Vektoanalysis. Bei Anfängen (insbesondee bei Physik-Studenten im. Semeste) uft es Angstzustände hevo, vo allem dann, wenn sie Übungsaufgaben vogelegt bekommen, in denen zum Beispiel de Laplace-Opeato in Kugelkoodinaten benutzt weden soll. Kennen de Mateie beeitet dieses Gebiet mitunte Vegnügen. Woan liegt das? Zum einen pallen hie fü den Neustudenten zwei Welten aufeinande: Vektoechnung und Analysis (spich Diffeential- und Integalechung, zusammen auch kuz Infinitesimalechnung genannt). Von beidem muss e nicht unbedingt wähend des Abitus ode de Matua gehöt haben jedes Gebiet ist fü sich genommen schon anspuchsvoll genug. E mag zwa von einem Paa Vektoen das Skala- und Vektopodukt beechnet haben und behescht einfache Gundintegale; doch jetzt soll e mit beiden veeint kla kommen. Zum andeen klafft geade fü junge Physikstudenten die Schee zwischen physikalischen Anwendungen de Vektoanalysis in de Mechanik ode Elektonamik und den beeitzustellenden mathematischen Gundlagen oft weit auseinande. Hie hilft nu ein möglichst fühzeitiges intensives Einabeiten in die Gundlagen beide Gebiete, damit de Rückstand im Veständnis de Volesungen nicht allzu goß wid. Diese Atikel vesucht dahe, etwas Licht ins vemeintliche Dunkel de Vektoanalysis zu bingen. Meine Beobachtung ist, dass die Mathematikvolesung meist hintehehinkt.

2 Skalae Felde und Vektofelde, Koodinatensysteme Zunächst muss man sich an die Vostellung gewöhnen, dass es sich bei den Objekten, um die es hie geht, duchweg um Funktionen de äumlichen Koodinaten, y, z handelt, und zwa um skalae Funktionen (die wi im Folgenden imme mit ψ(, y, z) bezeichnen wollen) ode um Vektofunktionen (entspechend F (, y, z) ); oft spicht man auch von skalaen Felden bzw. Vektofelden. Beispiele fü typische skalae Felde sind Tempeatuode Potentialfelde, dagegen sind Kaft- ode Geschwindigkeitsfelde von Hause aus Vektofelde. Bleiben wi gleich bei letzteen: Wie scheiben wi ein Vektofeld eigentlich auf? Dazu müssen wi zunächst eine geeignete Basis finden, was uns zu dem Begiff Koodinatensystem füht. Jede kennt die am häufigsten vewendeten katesischen Koodinaten, in denen de Otsvekto vom Uspung zu einem beliebigen Punkt P (, y, z) die Dastellung = e + ye y + ze z ode oft abküzend als = y z () (2) geschieben hat. Die Einheitsvektoen e, e y, e z (welche synonym mit den ebenfalls häufig benutzten i, j, k sind) bilden eine othonomale Basis, was nichts weite bedeutet, dass diese Vektoen paaweise senkecht aufeinande stehen ( otho ) und die Länge haben ( nomal von nomiet ). Othonomale Basen ode Koodinatensysteme, mit denen wi uns gleich beschäftigen, weden gen und besondes häufig vewendet, da sie einen entscheidenden Voteil gegenübe nicht-othogonalen Koodinaten haben: die Skalapodukte de Basisvektoen unteeinande veschwinden: e e y = e y e z = e z e =. (3) Und das hat wesentliche Veeinfachungen in den Rechnungen zu Folge, wie wi noch sehen weden. Wie sieht nun unse Vektofeld F (, y, z) aus? Natülich so: F = F (, y, z) F y (, y, z) F z (, y, z). Die Vektokomponenten F e, F y e y, F z e z geben also die Komponenten von F in Richtung de katesischen Koodinatenachsen, y, z an (die skalaen Funktionen F, F y, F z also ohne die Einheitsvektoen weden oft auch als Koodinaten des Vektos F bezeichnet). Zwischenfage: Wie beechnen wi die Koodinaten F, F y, F z aus dem gegebenen F bei Bedaf? Antwot: Wi müssen F lediglich einzeln mit den Einheitsvektoen skala multiplizieen, also so: F = F e, F y = F e y, F z = F e z. (5) Wi vewenden wie in Büchen üblich fette Buchstaben fü Vektoen. (4) 2

3 Geometisch gesehen, ist dies eine Pojektion von F auf die Koodinatenachsen. Was hie vielleicht noch tivial und sofot einleuchtend anmutet, muss späte nicht meh unbedingt so sein; wi kommen daauf zuück. Gadient Jetzt wagen wi einen esten Schitt in die Vektoanalysis, indem wi uns mit dem Gadienten eine skalaen Funktion ψ(, y, z) befassen; oft spicht man hie auch vom Nabla- Opeato. E ist (in katesischen Koodinaten) definiet als gad ψ = ψ. (6) Wi sehen hiean sofot: E ist ein Vekto und seine Komponenten sind die (patiellen) Ableitungen de Funktion nach, y, z. Eine anschauliche Intepetation dieses etwas gewöhnungsbedüftigen Objekts gibt es (im Zweidimensionalen) auch: Wi stellen uns ψ(, y) einfach als Höhenpofil h(, y) eines Gebiges vo. Dann besitzt gad ψ in jedem Punkt P (, y) die Richtung des Nomalenvektos zu de duch P gehenden Niveaulinie, die iheseits duch h(, y) = const bestimmt ist. Je stäke h wächst ode fällt (je dichte also die Niveaulinien liegen), desto göße ist gad ψ. Zylindekoodinaten Nun wenden wi uns andeen gebäuchlichen Koodinatensystemen zu und beechnen den Gadienten in diesen Systemen. Das neben dem katesischen Koodinatensystem wohl am häufigsten benutzte ist das zylindische (Pola-)Koodinatensystem (auch äumliche Polakoodinaten ode kuz Zylindekoodinaten genannt). Es ist das Koodinatensystem este Wahl bei aialsymmetischen Poblemen. In ihm dücken wi den Otsvekto eines beliebigen Punktes P nicht meh duch, y, z aus, sonden duch dei andee Koodinaten:, ϕ, z (die beiden z s sind hie haagenau gleich, also sind es eigentlich bloß zwei andee Koodinaten). Um die neuen Koodinaten und damit auch die Tansfomationsbeziehungen zwischen (, y, z) und (, ϕ, z) besse vestehen zu können, pojizieen wi unseen Punkt P (, y, z) noch in die y-ebene (d. h. wi fällen das Lot) und nennen diesen Punkt P. Dann ist de Abstand des Punktes P vom Uspung O und ϕ dejenige Winkel, den de Stahl OP mit de positiven -Achse bildet. Daaus lesen wi nun folgende Tansfomationsfomeln ab (jeweils links stehen die katesischen Koodinaten, echts die Zylindekoodinaten): =, y =, z = z (7) bzw. = z. (8) Wie machen wi uns am besten ein Bild von einem unbekannten, nicht vetauten Koodinatensystem? Wi vesuchen, uns die Flächen = const, ϕ = const und z = const, die sog. Koodinatenflächen vozustellen. Dazu müssen wi est die invesen Tansfomationsfomeln ausechnen, d. h. wi müssen obiges Gleichungssystem (7) nach, ϕ und z 3

4 auflösen. Das geht hie elativ einfach, weil eineseits duch Quadieen de Gleichungen fü und y und anschließendes Addieen das ϕ heausfällt ( tigonometische Pythagoas ) und andeeseits duch gegenseitige Division von y und das eliminiet wid. Wi gelangen so zu: = 2 + y 2, ( y ϕ = actan, z = z. (9) ) = const ode äquivalent 2 = 2 +y 2 leht uns die analytische Geometie sind Keise mit dem Radius, im Raum also Zylinde mit dem Radius (aha, dahe also de Name!), ϕ = const gleichbedeutend mit y/ = const sind Geaden, die duch den Uspung gehen, im Raum also ein entspechendes Ebenenbündel und schließlich z = const (wie in katesischen Koodinaten auch) sind Ebenen paallel zu y-ebene. Auf eines müssen wi hiebei stets achten, nämlich auf die Bedingungen, unte denen die Tansfomation egulä ist. Damit ist gemeint, ob sich die Tansfomationsbeziehungen eineindeutig umkehen lassen. Hiefü gibt es ein einfaches Kiteium: die sog. Jakobische Funktionaldeteminante J (auf die späte nähe eingegangen wid) daf bei Regulaität nicht veschwinden. Bei den Zylindekoodinaten können wi uns meken ist die Tansfomation nu fü = (also im Uspung) nicht egulä. Jetzt wid es Zeit, die Basisvektoen in unseem Zylindekoodinatensystem auszuechnen; nennen wi sie in Anlehnung an die wohlbekannten e, e y, e z uhig e, e ϕ, e z. Dafü gibt es eine einfache Voschift, nämlich diese: e =, e ϕ =, e z =. () Also echnen wi mit (7): = e = = e ϕ = = y, = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ =,, (), y, = 2 sin 2 ϕ + 2 cos 2 ϕ =,, (2) =, e z =. (3) 4

5 Tangentenvektoen Anschaulich können wi uns die Basisvektoen als Tangentenvektoen an die Koodinatenlinien duch einen bestimmten Punkt vostellen; letztee entstehen, wenn zwei Koodinaten fest gewählt weden und die ditte veändelich ist, also z. B. ϕ, z = const, beliebig (Geaden duch die z-achse paallel zu y-ebene), z, = const, ϕ beliebig (Keise um die z-achse paallel zu y-ebene),, ϕ = const, z beliebig (Geaden paallel zu z-achse). Jeweils zwei diese Basisvektoen spannen demzufolge eine de Tangentialebenen auf. Übepüfen wi sogleich, ob unsee neuen Basisvektoen ebenfalls ein Othonomalsystem bilden: e e ϕ = e ϕ e z = e z e = (othogonal sind sie hiemit schon), (4), (5) (6) e 2 = e e =, e ϕ 2 = e ϕ e ϕ =, e z 2 = e z e z = (7) (damit sind sie soga othonomal). Im Gegensatz zu den otsunabhängigen e, e y, e z sind die Basisvektoen kummlinige Koodinaten von Punkt zu Punkt veschieden; man spicht in diesem Zusammenhang auch vom begleitenden Deibein. Jacobische Funktionalmati We sich etwas mit Matizenechnung auskennt, sieht schnell ein, dass die Vektoen /, / und / auch spaltenweise zu eine Mati zusammengefasst weden können. Diese Mati ist die sog. Jacobische Funktionalmati J: J = mit J =. (8) Diese Mati enthält die Tansfomationsvoschift fü die Diffeentiale,,, die wi späte benötigen, wenn wi Integale in kummlinigen Koodinatensystemen beechnen wollen: J d dϕ 5 d dϕ. (9)

6 We dieses Podukt Mati mal Vekto ausfühlich hinscheibt, sieht, dass es sich hiebei geade um die Kettenegel handelt. Die Deteminante J = heißt dementspechend Jacobische Funktionaldeteminante und spielt bei Gebietsintegalen eine goße Rolle. Wenn wi schon beim Thema Jacobi sind, muss gleichzeitig gesagt weden, dass J auch eine invese Mati J hat; natülich nu dann, wenn J ungleich null, d. h. die Tansfomation egulä und damit eineindeutig, ist. Wie sieht die Invese aus? Zunächst können wi sie als Tansfomationsmati eben de invesen Tansfomation, also de Abbildung P (, ϕ, z) P (, y, z), einfühen. So gesehen gilt: J =. (2) Die letzte Fom ehalten wi, wenn wi die invesen Tansfomationsfomeln (9) benutzen. Andeeseits tansfomieen sich die Diffeentiale gemäß d dϕ J. (2) Setzen wi nun die Gleichung (2) in obige invese Gleichung (9) ein, folgt J J = (J J ) = J J = I (Einheitsmati), (22) was unsee Scheibweise als invese Mati letztendlich echtfetigt. Zu Übung multipliziee de geneigte Lese beide Matizen miteinande und übezeuge sich, dass das Podukt tatsächlich die Einheitsmati ist. Auf analoge Weise wie wi eingangs J aus dei Vektoen zusammengefügt haben, können wi die Tansponiete von J (waum?) auch in dei Spaltenvektoen zelegen. Nomieen wi diese Vektoen noch, geben sie uns die Dastellung de Einheitsvektoen e, e y, e z im Deibein e, e ϕ, e z an: e = e e ϕ, (23) e y = e + e ϕ, (24) e z = e z. (25) Gadient in Zylindekoodinaten Nun kommen wi zum Finale des esten Teils diese Atikelseie, indem wi endlich den Gadienten in Zylindekoodinaten ausechnen. Wie wi oben gesehen haben, ist e ein Vekto (6), fü den wi jetzt die Tansfomationsfomeln (2) einsetzen: gad ψ = (26)

7 Gleichung (26) ist noch die Dastellung in katesischen Komponenten; zu den Komponenten in echte Zylindekoodinatendastellung gelangen wi, indem wi diesen Vekto jeweils mit e, e ϕ, e z () bis (3) skala multiplizieen (de Lese möge dieses bitte fü sich nachechnen): (gad ψ) =, (gad ψ) ϕ =, (gad ψ) z =, (29) = gad ψ = e + e ϕ + e z. (3) (27) (28) Beispiele : ψ (, y, z) = 2 y + y 2 z + z 2. In katesischen Koodinaten ist: 2y + z 2 gad ψ = 2 + 2yz. y 2 + 2z z 2 : ψ 2 (, y, z) = ln. Hie wid die Vewendung von Zylindekoodinaten offensichtlich 2 +y2 und wi ehalten: ( ) z ψ 2 = ln = ln z ln = gad ψ 2 = e + z e z = y + z e z = e + y e y 2 + y 2 + z e z. 3 : ψ 3 (, y, z) = y = tan ϕ. = gad ψ 3 = cos 2 ϕ e ϕ = cos 2 ϕ y y 2 e + e y. Im nächsten Teil weden wi uns de Divegenz, de Rotation und dem Laplace-Opeato sowie Kugelkoodinaten zuwenden. 7