Abstandsbestimmungen

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Heidi Linden
vor 7 Jahren
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1 Abstandsbestimmungen A) Vektoechnungsmethoden (mit Skalapodukt): ) Abstand eines Punktes P von eine Ebene IE im Raum (eine Geade g in de Ebene ): Anmekung: fü Geaden im Raum funktioniet diese Vektomethode nicht! Hie müssen zusätzliche Bedingungen vewendet weden. Altenatives Bild: Wie man sieht, müssen folgende Gößen gegeben sein: Geadenpunkt (Ebenenpunkt) A, Ausgangspunkt P und Nomalenvekto n. Statt des Nomalenvektos kann abe auch de Richtungsvekto u ( bei Geaden) ode Spannvektoen u und v (bei Ebenen) gegeben sein. In diesen Fällen muss de Nomalenvekto aus diesen Gößen est bestimmt weden, was bekanntlich bei Ebenen wesentlich aufwändige ist als bei Geaden! Eine Fomel zu Beechnung des Abstandes d egibt sich mithilfe des cos(α) wie folgt: Eineseits gilt cos(α) Ankathete Hypotenuse d AP d p a andeeseits wegen de Skalapoduktdefinition: cos(α) Duch Vegleich folgt: d n pa n, n pa n pa. Altenative Heleitung: nap n AF FP n n n AF nfp n n FP n n FP cosϕ n FP d Achtung: d kann auch negativ sein! (dies ist de Fall, wenn α > 9 ist). Da Abstände imme positiv sind, vewendet man den Betag: d n pa n

2 Beispiele: Geaden in de x-y-ebene (D): a) Gegeben g: x und P(/). Emittle d appoximativ (mit D-Zeichnung) und exakt mit de Fomel. Lösung mit Fomel: Bestimme n o n. Also ist d ) ( ) ) ( (., De Abstand betägt also d, LE. b) Gegeben g: 9 x und P(7/9). Lösung: c) Gegeben g: x und P(9/-9). Lösung: d) Gegeben g: x y 7 und P(6/). Lösung: e) Gegeben g: x und P(/). Lösung: f) Beechne den Flächeninhalt von ABC mit A(/) B(8/-) C(6/). Lösung: Ebenen im Raum (D): a) Gegeben IE: t x und P(//). Eine Zeichnung ist fü Paametefomen in de Regel nicht sinnvoll! Zuest wid ein Nomalenvekto bestimmt. Es ist n o n. Also ist d ) (. De Abstand betägt also d LE. b) Gegeben IE: 6 t x und P(7//). Lösung:

3 c) Gegeben IE: x und P(//).Lösung: d Fü P(//-8) folgt in c) die Lösung d Fü P(//) folgt in c) die Lösung d 6/ Waum funktioniet die Lösungsfomel nicht fü eine Geade im Raum?? Antwot: Bei eine Geaden im Raum gibt es unendlich viele Nomalenvektoen, die alle um den Richtungsvekto de Geaden g dehen. Dahe müssen weitee Bedingungen gefunden weden, um das Poblem zu lösen. Man benötigt noch die Ebene, in de P liegt und die senkecht zu g veläuft! ( siehe weite unten )

4 ) Abstand eines Punktes P von eine Geaden g im IR :. Methode: Man bestimmt eine Hilfsebene IE, die senkecht auf g steht und somit als Nomalenvekto den Richtungsvekto de Geaden hat. Schneidet man diese Ebene mit g, so ehält man den Lotfußpunkt F. Dann gilt : d FP Bestimmung von F: Gegeben seien p und g : x aλ u Est Hilfsebene IE bestimmen: u xp Dann IE g: u aλ up Auflösung nach u pa λ u De Lotfußpunkt F egibt sich duch: u pa x F a u u Es folgt d x F p. Methode: Man kennt Punkte A und B de Geaden g im R ode man bestimmt diese anhand de Geadengleichung. Dann lässt sich de Winkel α mit dem d Skalapodukt AB AP bestimmen. Außedem gilt: sin(α) AP. Da α nun bekannt ist lässt sich auch d bestimmen.. Methode Gegeben sind OP und die Geadengleichung OX x aλ u. Gesucht ist ein Punkt X auf g, so dass XP senkecht auf g steht. XP u OP OX u OP a λu u OP a λ u u OP a u OP a u λu u OP a u λu u u u λ Hat man λ bestimmt, so lässt sich F bestimmen und somit auch d FP.

5 ) Abstand Geade g Geade h a) Geaden g und h paallel : Hie kann man den Abstand eines Punktes von h zu Geaden g beechnen ( siehe ) ). Als Punkt nimmt man zweckmäßigeweise den Stützpunkt Q von h. b) Geaden g und h windschief : Hie benötigt man zunächst einen Nomalenvekto n, de sowohl auf g als auch auf h senkecht steht. Sind u und v die Richtungsvektoen de beiden Geaden, so gilt: u n und v n. Aus dem daaus sich egebenden LGS bestimmt man einen Nomalenvekto. Sind p und q die beiden Stützvektoen de Geaden, so beechnet man den Abstand mit de Fomel d n pq n Hinweis: De Nomalenvekto kann auch mit dem Vektopodukt bestimmt weden! ( n u v ) ) Abstand Geade g Ebene IE bzw. Ebene IE - Ebene IE Diese Fälle lassen sich imme auf das Poblem Punkt Ebene zuückfühen!

6 B) Analysismethode: ) Abstand eines Punktes P von eine Geaden g im R ode R ( eine Ebene IE im R ): Anmekung: fü Geaden im Raum funktioniet auch diese Analysismethode! Fü Ebenen im Raum ist die Methode kompliziet!! De Abstand wid hie bestimmt mit Extemwetmethoden de Analysis: Zuest wid die Entfenung e zwischen P und einem Punkt Q gebildet, welche auf g wanden soll. Zunächst ekennt man, dass e q p gilt, d.h. Geade in de Ebene: x e e y x q q y x p p y Geade im Raum: x e y e e z Nach Pythagoas gilt dann e (x q x p ) (y q y p ) fü den -dimensionalen Fall sowie e (x q x p ) (y q y p ) (z q z p ) fü den -dimensionalen Fall. xq y q q z xp y p p z Aus de Vektogleichung de Geaden g ehält man x q und y q ( und z q ), denn Q wandet ja auf de Geaden g und muss somit auch die Vektogleichung efüllen. Diese Koodinaten sowie diejenigen des gegebenen Punktes P weden in den Tem fü e eingesetzt. Man ehält somit eine Funktion f, welche das Entfenungsquadat e in Abhängigkeit des Paametes de Geadengleichung ausdückt, also f(). Bildet man nun die. Ableitung f ( ) und setzt diese Null, so ehält man übe eine Bestimmungsgleichung dasjenige min, mit dem man das el. Minimum de Entfenung (den Abstand) emitteln kann. Das el. Min. ist dann d e min f ) ( min

7 9 Rechnung fü eine Geade in de Ebene: g: x und P(7/9). xq 9 Es gilt :, woaus x y q 9 und y q - folgt. q Es folgt dann e f( ) (x q x p ) (y q y p ) ( ) (-) Also ist f ( ). Aus f folgt. Deshalb egibt sich fü die gesuchte minimale Entfenung d e min f Rechnung fü eine Geade im Raum: g: x und P(/-/) xq Es gilt: yq, woaus folgt: x q y q z q - zq Es folgt dann e f ( ) (x q x p ) (y q y p ) (z q z p ) () () (--) 9 6. Also ist f ( ). Aus f ( ) folgt -6/. Deshalb egibt sich fü die gesuchte minimale Entfenung d e min f ( ) 6, 767

8 Weitee Aufgaben fü Geaden im Raum: ) Beechne den Abstand: a) g: x und P(6/7/-) b) g: 7 x und P(9//6) c) g: 9 x und P(9//9) ) Beechne den Flächeninhalt von ABC: a) A(//), B(7//7), C(/6/-) a) A(//), B(//), C(//) ) Begünde die Paallelität von g und h und beechne den Abstand g-h: g: 8 6 x h: 6 x

9 ) Abstand eines Punktes P von eine Ebene IE mit Analysismethoden : Die Zeichnung fü Geaden muss noch um einen. Spannvekto eweitet weden, was hie nicht ausgefüht weden soll. De Punkt Q muss jetzt auf de Ebene wanden, d.h. es müssen dann Paamete, nämlich und t, vaiiet weden. Man muss nun patielle Ableitungen bilden, nämlich df/d sowie df/dt und diese jeweils setzen (Gadientenvefahen). Es egibt sich ein LGS zu Bestimmung de min, t min. Das el. Min. ist hie e min f min,t min Rechnung fü mit IE: x t und P(//). Achtung: Die Rechnung ist seh aufwändig (Gadientenvefahen beim Ableiten) und eignet sich dahe allenfalls fü den Leistungskus, möglichst mit CAS-Rechne! Es gelten xq -t yq -t zq --t Dann folgt f(,t) (--t) (-t) (t) 9 8 t t t. df/d -8-t und df/dt -t-. Lösung dieses LGS: 9/ und t 7/. Bildet man jetzt f(9/,7/), so ehält man das Egebnis 6. Also ist de Abstand d e min. Anmekung: Eweiteung de Analysismethode ( sowohl fü Ebenen als auch fü Geaden): Das Minimum lässt sich appoximativ auch übe ein Iteationsvefahen bestimmen, bei dem man sukzessive den Paamete veändet und den minimalen Wet aus de Tabelle abliest.

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