Lösungen zu delta 9 neu

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1 Lösungen zu delta 9 neu Kann ich das noch? Lösungen zu den Seiten 7 und 8. a) L = { 0} b) L = {6} c) L = {} d) L = { } e) L = { } f) L = g) L = {} h) L = {}. a) Fuchtjoghut b) Eckenanzahl Anzahl de c) Menge Nähwet eines Vielecks Diagonalen 0 g 6 kcal 0 g 9 kcal g kcal 7 g kcal n X \{; } [n(n )] : Die Gößen sind zueinande diekt popotional. Die Gößen sind zueinande wede diekt noch indiekt popotional. Radiuslänge Keisflächeninhalt 7 cm 9π cm cm 0 m 00π m m 6,000 cm, cm cm π cm cm,999 mm,6 mm Die Gößen sind zueinande wede diekt noch indiekt popotional.. d) Radiuslänge Keisumfangslänge e) 7 cm π cm cm 0 m 0π m 6 m 6,9 dm dm cm π cm 7 cm 9,99 cm 68 mm,999 mm,6 mm Die Gößen sind zueinande diekt popotional. Pizza mit A Pizza = 0,07 m Anzahl de gleich goßen Stücke Flächeninhalt eines Stücks 60 cm 8 90 cm, dm,6 dm Die Gößen sind zueinande indiekt popotional. 8 ml : (8 l) = 0,00 = 0 : 0 = 0,0 = 0 0 m : ( 000 mm) = 0 0 : 000 = 00 = 0 0,00 : 0,00000 = 000 = 0 0,0 = 0 0, m : ( μm) = 0 ( m) : (0, dm) = : 0,8 = : 0,0008 = 0 9 (0 0 ) : 0 = 0 0. a) L = { } b) L = {} c) L = {} d) L = {} e) L = {6} f) L = {; } g) L = { ; ; ; ; ; } h) L = { } i) L = { ; } j) L = {} k) L = { ; 0; ; ; ; } l) L = {} m) L = { ; 7; 6; ; }. a) T() = ( ) + + ( + ) = =. Wenn eine natüliche Zahl ist, ist de Wet von ein Vielfaches von und somit duch teilba. b) T(y) = (y )y(y + ). Wenn y eine geade natüliche Zahl ist, dann ist de Wet des Tems (y )y(y + ) eine geade Zahl, d. h. duch teilba. Wenn y eine ungeade natüliche Zahl ist, dann ist sowohl y wie auch y + geade, und somit ist de Wet des Tems T(y) ebenfalls duch teilba. c) Die Faktoen z, z und z + sind dei aufeinande folgende natüliche Zahlen, von denen stets genau eine ein Vielfaches von ist; somit ist de Wet des Zähletems duch teilba. Da e duch [vgl. Teilaufgabe b)] und duch teilba ist, ist e auch duch 6 teilba, und deshalb ist de Wet des Tems T(z) eine natüliche Zahl.

2 Lösungen zu delta 9 neu 6. TR = a 9 cm 8 cm cm ( cm) cm (8 cm) cm (6 cm) _ AP = c cm cm cm cm ( cm) cm (8 cm) h 6 cm 6 cm 8 cm ( cm) cm ( cm) cm ( cm) 7. a) y = b) = c) y = d) y = + e) y = f) Beispiele: y = 0, +,; y = 0, +,7 g) y = Anmekung: Bei Teilaufgabe f) gibt es unendlich viele Lösungsgeaden; ihe Steigungen sind ebenso wie ihe y-achsenabschnitte kleine als, abe positiv. 8. a) L = {(; )} b) L = {(; )} c) L = {(; )} d) L = {(; )} 9. p = 0, 9, d. i. ein zehnmillionstel Pozent 0. a) Stat 0 f 0 ct f 0 f. Wuf 0 f 0 ct f 0 f 0 f 0 ct f 0 f 0 f 0 ct f 0 f 0 f 0 ct f 0 f. Wuf 0 f 0,0 0 0,0,0 0,0,0 0 0,0 00 f = {0 f; 0 ct; f;,0 f; f; 0 f; 0,0 f; f; 00 f} b) () P(00 f) = _ = 6, % () P( f) = 0% () P(meh als f) = _ = 6,%. _ = _ cm ;, cm (. Stahlensatz) = 7 cm, cm, cm _ y = _, cm ; 8 cm (. Stahlensatz) y = cm 8 cm cm A = 8 cm cm = 60 cm ; A = cm, cm = cm. a) Es müssen mindestens fünfzig schwaze Wüfelchen im Sack sein. b) Es können höchstens (0 + =) 77 schwaze Wüfelchen im Sack sein. c) p min = 8 = 8,%; p = 7 ma = 60% Kann ich das? Lösungen zu Seite 8 _. a),6,86 b) 9 c) 0 d) ,98 _. a) 0 b) _ c) d) + 6. a) y y b) y + _ y y + y c) d) _ e) 7 _ + y f) g) 0

3 Lösungen zu delta 9 neu. Flächeninhalt des kleinsten Quadats: cm Flächeninhalt des zweitkleinsten Quadats: cm Flächeninhalt des ditten Quadats: cm Flächeninhalt des gößten Quadats: 8 cm = ; wegen > 0 ist = cm.. Die vie Intevalle sind jeweils ineinande geschachtelt. Mögliche Lösungen: a) b) π c) 6. a) 0, 7 X b) 0, 7 X c) d) X e) 0 X 7. Die Zahl ist Element de Menge 0, 9 0_ 7 π _ 7 6 ; ; _ 0, = 0, ; 0, = ; 0 =. 0 Da > > > > 0, ist, folgt _ ( ) > _ 0, > 0 > > _ 0, ( ) = 9. T (in C) v ( in m s ) T W (in C) a) 0,7 b) 6, c) 0 6 0, 0. Länge eine Plattendiagonale: 80 cm, m 0 m : (0,8 m) = 0,9 6 m : (0,8 m) =,8 Man muss etwa (0 + 6) : = 0 Platten diagonal halbieen. Insgesamt baucht man etwa _ : 0, Platten.

4 Lösungen zu delta 9 neu. Kann ich das? Lösungen zu Seite 0 Deieck ABE BCF EBC CEF AED Satz von Pythagoas a = ( + y) + c b = g + y ( + y) = b + e e = + g c = d + b. Länge jede de Raumdiagonalen des Wüfelinneen: d = 0 cm 7, cm > 6 cm. De Bleistift passt also in diese Schachtel.. a a b c b a + b + c + d b 0 a d d c () 0 < a < (in de Zeichnung ist a 0,). Also ist a < a, hie a 0,, und a > a, hie _ a 0,6. () < _ b < _ (in de Zeichnung ist b,6; also ist b,6). Hieaus egibt sich b > b, hie b,,8, und b > b, hie b,6. () c > (in de Zeichnung ist c,0). Also ist c < c, hie c,0. () d > (in de Zeichnung ist d,). Also ist d < d, hie _ d,6. () Aus diesen Weten egibt sich a + b + c + d 8,, also a + b + c + d,9.. Das echtwinklige Deieck LIE ist ein halbes gleichseitiges Deieck, da LEI = 90 0 = 60 ist. _ EL = 6 cm; : _ EL = cm und IE = EL : = cm Das Deieck FID ist gleichschenklig-echtwinklig, da DIF = 90 = = IFD ist. Somit ist das Deieck DIL ebenfalls ein gleichschenklig-echtwinkliges Deieck; also ist _ LD = IL = 6 cm und ID = 6 cm = _ DF und FI = ( 6 cm ) = cm. a) U FELD = FI + IE + EL + _ LD + _ DF = cm + cm + cm + 6 cm + 6 cm = 8 cm + 6 cm + 6 cm = 6 ( + + ) cm 7 cm _ b) A FELD = _ FE + LD IL = cm + _ cm + 6 cm 6 cm = 6 ( 9 + ) cm. a). Möglichkeit: m CA = 7 = = ; 7 ( ) m BC = _ 6 = 8 = =. A Da m BC = m ist, stehen die Stecken [BC] und [CA] CA aufeinande senkecht; das Deieck ABC ist also echtwinklig. y C. Möglichkeit (Längen in cm): _ M AB : [6 ( )] + ( ) = = 00 = 0 _ BC : ( 6) + [7 ( )] = = 80 = _ CA : ( ) + ( 7) = 6 + = 0 = Es ist 00 = , also _ AB = _ BC + _ 0 CA ; somit ist nach dem Kehsatz des Satzes von Pythagoas das Deieck ABC echtwinklig. b) M ( ); = _ AB : = cm. A Keis = ( cm) π 78, cm A Deieck ABC = Buchteil: A Deieck ABC 0 A Keis 78, % BC _ CA = _ 80 0 cm = 0 cm k B

5 Lösungen zu delta 9 neu 6. Da die Punkte T, R und E auf einem Keis mit Duchmesse [TR] liegen, ist das Deieck TRE nach dem Satz von Thales echtwinklig. Also ist OE = ab (Höhensatz) und _ ME = _ MR = _ a + b. Da auch im Deieck MOE die Hypotenuse (hie [EM]) länge als jede de beiden Katheten (hie [OE] und [MO]) ist, gilt _ a + b _ > ab, falls O M, also a b ist. Das Gleichheitszeichen gilt, wenn das Deieck TRE gleichschenklig-echtwinklig, also O = M (und das Deieck MOE in eine Stecke ausgeatet) ist. 7. a) A Vieeck = ( ) FE = 8,7 FE Buchteil: _ 8 _ b) U Vieeck = ( + ( ( 6 _ 6 + = _ 7% Buchteil: _,60,8 % ) + _ ( ) + + _ + ( ) + _ ( ) + ) LE = 6 + _ 7 _ _ 9 6 ) LE (,6 +,9 +,9 +,60) LE =,8 LE 8. Beite (und Höhe) des liegend tanspotieten Gefieschanks: 0,8 _ m < 0,90 m <,9 m; Länge jede de Seitenflächendiagonalen des quadefömigen Gefieschanks:, + 0,8 m, m >, m. De Gefieschank kann somit zwa in den vogesehenen Raum gebacht, abe dot nicht aufgestellt weden. Kann ich das? Lösungen zu Seite 86. a) Scheitelfom des Funktionstems: f() = ( ) + b) Scheitel von P: S ( ); Symmetieachse von P: = Nullstellen von f: = ; = Schnittpunkte von P mit de -Achse: N ( 0); N ( 0) Schnittpunkt von P mit de y-achse: T (0,) Die Paabel P ist nach unten geöffnet und weite als die Nomalpaabel; ih Scheitel S liegt im I. Quadanten und ist de obeste Paabelpunkt. P veläuft duch alle vie Quadanten. c) Gleichung von P*: y = ( ) ; Scheitel von P*: S* ( ) d) Das Vieeck SN S*N ist ein Quadat, da die Diagonalen gleich lang sind, einande halbieen und aufeinande senkecht stehen. U = cm = 8 cm, cm A = cm cm = 8 cm e) Schätzwet: A cm y P* T S P* P N 0 S* N P. Die Paabel ist konguent zu Nomalpaabel ist enge als die Nomalpaabel ist weite als die Nomalpaabel und nach oben geöffnet und nach unten geöffnet P : y = + P : y = 0, P : y = ( ) P : y = ( ) P : y = ( )

6 6 Lösungen zu delta 9 neu Nach unten geöffnete Paabeln: Die Paabel P : y = ( ) hat den Punkt S ( 0) mit de -Achse gemeinsam. Die Paabel P : y = ( ) hat die Punkte O (0 0) und N ( 0) mit de -Achse gemeinsam. Nach oben geöffnete Paabeln: Die Paabel P : y = + hat den Punkt T (0 ) mit de y-achse gemeinsam. Die Paabel P : y = 0, hat den Punkt T (0 ) mit de y-achse gemeinsam. Die Paabel P : y = ( ) hat den Punkt T (0 ) mit de y-achse gemeinsam.. a) y L = { ; } 0 P: y = 6 b) L = { } c) L = { 0,9; _,7 } d) L = {}. Diskiminante: D = k a) D = 0; wenn k = ist, hat die Gleichung übe G = genau eine Lösung. b) D > 0; wenn k < ist, hat die Gleichung übe G = zwei Lösungen. c) D < 0; wenn k > ist, hat die Gleichung übe G = keine Lösung. d) Wenn man = in die Gleichung einsetzt, ehält man aus + + k = 0 den Wet k = 8. Die Gleichung lautet dann + 8 = 0. Aus ihe faktoisieten Fom ( )( + ) = 0 egibt sich als zweite Lösung =.. Paabel Makiete Gittepunkte Scheitel P ( ); ( 0); (0 ); ( 0); ( ) (0 ) Gleichung in Scheitelfom y = ( 0) = Gleichung in ausmultipliziete Fom y = P ( ); (0 ); ( ) (0 ) y = 0,( 0) + = 0, + y = 0, + P ( 0); (0 ); ( ); ( 0) ( ) y = ( ) + y = + + P (0 0); ( ); ( 0) ( ) y = ( ) + y = +

7 Lösungen zu delta 9 neu 7 Kann ich das? Lösungen zu Seite 06. ( + ) ( 7) < 0; 7 + < 0; + < 0; ( ) < 0; + ( ) < ; < ; < : < 7; > : > gößte ganze Zahl: = 6; kleinste ganze Zahl: =. y P B d O B P B B B B ( ) ( 8) 0 (0 ) (0 ) ( ) ( 0) ( 6) ( ) Fü die Länge d() de Stecke [B B ] gilt: d() = + [ ( ) + ] = = + = ( + ) + = ( ) + : d ist am kleinsten, wenn = ist; d min =.

8 8 Lösungen zu delta 9 neu. y m - O Ansatz: y = a +,7; a < 0 Koeffizient a: 0 = a 9 +,7; a = _,7 9 = 0,; Paabelgleichung: y = 0, +,7. z = + (6 ) ; z = ; z = + 6; z = ( 6 + 9) 8 + 6; z = ( ) + 8: z ist am kleinsten, wenn = ist. Dann gilt z = 8, d. h. (wegen z > 0) z =, und die vie abgeschnittenen Deiecke sind gleich schenkligechtwinklig mit Kathetenlänge cm. Die Seitenlänge des einbeschiebenen Quadats betägt dann cm, cm und sein Flächeninhalt ( cm) = 8 cm.. a) Solche Deiecke gibt es: L = {(0 ; 0 ; 0 )} b) Solche Deiecke gibt es: L = {(0 ; ; )} c) Solche Deiecke (mit α = 0 und β = γ = 90 ) gibt es nicht. 6. a) D = \ { 6; }; L = { 8; 8} b) D = \ { ); L = { ; 0} Pobe fü = 0: L.S.: _ = + = ; R.S.: ; L.S. = R.S. Pobe fü = : L.S.: = _ 6 _ = ; R.S.: ; L.S. = R.S. c) D = \{ ; }; L = { } 7. a) f () = b) f () = + c) f*: f*() = _ + ; D = D = ; f* f* ma y 0 G f G f* G f G f g

9 Lösungen zu delta 9 neu 9 Kann ich das? Lösungen zu Seite. a) b) c) d) e) 0 f) 0 g) h) 0, i) 6. a) D = ; = 9; = 7; = X D; L = {} + b) D = 0 ; = 7; = 7 ; = 9 X D; L = {9} c) D = + ; = _ ( ) ; ( ) = ; = X D; = D; L = {} j) 7 k) l). Volumen des Quades: a a a = 96 cm 6a = 96 cm ; : 6 a = 6 cm ; a = 6 cm Kantenlängen: 6 cm, cm und 8 cm Obeflächeninhalt: A = (6 cm cm + 6 cm 8 cm + cm 8 cm) = 96 cm = 79 cm Raumdiagonalenlänge: _ d = (6 cm) + ( cm) + (8 cm) = 0 cm = 6 cm, cm Wüfelvolumen: _ V Wüfel = (6 cm) = 6 cm = 0 cm, dm _ 96 cm Pozentsatz: 0 = _,% cm 98. a) b) 0 c) 0 d) 9 0 = 0 e) 0 =. a) b) c) d) e) f) Näheungswet,6,,7 _,70,,0 Veeinfachte Tem Näheungswet,6,,7,70,,0

10 0 Lösungen zu delta 9 neu 6. a) b) c) d) Näheungswet,06 8,98 Veeinfachte Tem 7 _ Näheungswet,06 8,98 e) f) g) h) Näheungswet 0,79 8,60 Veeinfachte Tem 8 6 Näheungswet 0,79 8,60 i) j) k) l) Näheungswet,7,7,87 Veeinfachte Tem 8 Näheungswet,7,7,67 m) n) o) p) Näheungswet,00 0,9 0,79,00 Veeinfachte Tem Näheungswet,00 0,9 0,79,00 7. a) 9 b) c) ( ) d) 8 e) _ ; > 0 f) _ ; > 0 8. a) L = { } b) L = {00} c) L = { 9} d) L = { ; } e) L = {; } 9. a) = ( ) b) 9 = ( ) c) 9 = ( ) d) 9 = ( _ 6 8 ) e) 9 = ( _ 7 8 ) 0. Mögliche Lösungen: a) > ; > b) < 0, ; < 0, c) > _ ; _ > _. Mögliche Lösungen: a) = ; = 0 b) = ; = 0 c) = ; = _ 0 d) = ; = 6 e) = ; = f) = ; = 8 Kann ich das? Lösungen zu Seite 0, cm. a) β = 90 7 = 6 ; b =, cm tan 6 8,8 cm; c = 9,9 cm sin 7 U, cm; A 9,9 cm b) sin β = _ 8 _ 7 ; β 8, ; α = 90 β 6,9 ; a = 7 8 dm = dm U = 0 dm; A = 60 dm c) h =, cm sin 0,0 cm c =, cm cos 0,9 cm h sin α = _ cm ; α 6,8 ; c = cm cos α,60 cm U 0, cm; A,9 cm. sin α < sin β < sin γ < sin δ < sin ε cos ε < cos δ < cos γ < cos β < cos α tan α < tan β < tan γ < tan δ < tan ε

11 Lösungen zu delta 9 neu. sin cos tan _ 8 7 _ 7 _ 8 _ 0,8 _ 0,6 _ 9 _ 0 _ 9 0 _ 6 _ 60 6 _ 60. a) sin α b) c). tan α = 0,9; α 6, ; = s cos α, m; y = s sin α 6, m; h + y = tan ; h m 6. y = 0 ft tan 8, ft; Höhe des Hauses:, ft + 6 ft = 7, ft 8, m Mays Egebnis ist (auf m geundet) ichtig. 7. a) α = 60 : 0 = 6 b) s = 0 cm sin 8 ; s 6,8 cm c) h = 0 cm cos 8 9, cm; A Zehneck = 0 s h 9 cm A Keis cm ; Buchteil: 9 9% k h α s s Kann ich das? Lösungen zu Seite 60. a) p a = 6 ( 6 ) = _ 6 % b) p = b 6 ( 6 ) = _ 7 % c) p c = ( 6 ) = 9 6 % d) p = d ( ) = % e) p e = = 6 %. a) Stat b) () P(; sss) = = _ 6 0% 8 8 () P(s; s; s) = s. Zug = _ 8 % () P(s; ss) = = _ 6 7% s s. Zug 6 6. a) Stat b) () P(; sss) = = _ 9 6 0% 8 8 s. Zug () P(s; s; s) = = % () P(s; ss) = = _ 6 % s s. Zug s s s s s s s s. Zug. Zug

12 Lösungen zu delta 9 neu. In eine Une sind schwaze und 88 weiße Kugeln. Es wid zehnmal je eine Kugel mit Zuücklegen gezogen. Bei einmaligem Ziehen: Ziehen eine schwazen Kugel ( Es teten Nebenwikungen auf. ): p s = 0, Ziehen eine weißen Kugel ( Es teten keine Nebenwikungen auf. ): p w = 0,88 Bei zehnmaligem Ziehen: P( Zehnmaliges Ziehen eine weißen Kugel ) = 0,88 0 8% P( Ziehen mindestens eine schwazen Kugel ) = 0,88 0 7%. a) In de Une befinden sich 9 osa Kugeln und hellblaue Kugeln. Es wid zehnmal je eine Kugel mit Zuücklegen gezogen. b) () 0, 0 0,% () 0 0,9 0, 9,% () 0, 0 99,88% 6. Lage de zwanzig Zufallspunkte : 0,76 0,90 0,9 0, 0, 0, 0,76 0, 0, 0,6 y 0, 0, 0,0 0,8 0,6 0,8 0,7 0, 0, 0,98 o u 0,8 0,7 0,6 0, 0,77 0,0 0, 0,9 0,68 0, y 0, 0, 0,7 0, 0,7 0,0 0,9 0,7 0,7 0,77 o u (o: De Punkt liegt obehalb des Paabelbogens. u: De Punkt liegt untehalb des Paabelbogens) Absolute Häufigkeit: k = 6 y Relative Häufigkeit: k n = _ 6 0 = 0,0 0

13 Lösungen zu delta 9 neu Kann ich das? Lösungen zu Seite 96. a) V Zylinde = πh; π 8 cm = 0π cm ; : (8 cm π) = cm ; = cm A Zylinde = π + πh = ( cm) π + cm π 8 cm = 0 cm 7 cm b) Basishöhe _ h des gleichschenkligen Deiecks: h = (0 cm) ( cm) = 9 cm ; h = 9 _ cm 9, cm _ V = 6 9 cm cm ; A = 6 9 cm + cm 69 cm c) V Restköpe = V Zylinde V Kegel = 8 π dm 69 dm Mantellinienlänge s des Kegels: s = (8 dm) + (, dm) = 76, dm ; s 8,7 dm A Restköpe (8 dm) π + 8 dm π, dm + 8 dm π 8,7 dm 96 dm d) V Messbeche = (9 cm) π cm = 68π cm 06 cm =,06 l l Schätzung: Individuelle Lösungen Rechnung: () π h = 00 cm (Kegelvolumen) () _ 9 cm = h ; 9 cm (. Stahlensatz) cm h = 00 cm 6 = 0 π cm cm 6π. a) Länge jede de Quadatdiagonalen: d =, m Pyamidenhöhe: h = (, m) [(, m) : ] =, m ; h,06 m: Das Gatenhäuschen ist etwa (,06 m +, m ), m hoch. Umbaute Raum: V = (, m), m + (, m) h 6 m b) Neigungswinkel: h h tan α = 0,d,06 m 0,68; α ; M,6 m α h tan β = _,6 m,06 m = 0,66; β,6 m, cm, cm, cm 9 cm h h M*, cm β cm. a) m m m h* m b) Basishöhe h* jede de Seitenflächen de Pyamide: h* = h + ( m) = 6, m ; h* 6,0 m Dachflächeninhalt: A Pyamidenmantel 8 m 6,0 m = 96 m Mantellinienlänge des Kegels: s = h* Dachflächeninhalt: A Kegelmantel m π 6,0 m 7 m Das Pyamidendach ist also göße als das Kegeldach.

14 Lösungen zu delta 9 neu. a) cm cm b) Höhe h de Pyamide: h = (, cm) (, cm) =,7 cm ; h = 0, 7 cm, cm Volumen: V = ( cm) 7 cm = 7 cm,97 cm cm Basishöhe h* jede de Seitenflächen: h* = (, cm) (, cm) = cm ; h* = cm Obeflächeninhalt: A = ( cm) + 0, cm cm = cm c) = 7 cm ; =, 7 cm = _ cm: die Maßzahl ist nicht ational;,8 cm. ode: V Pyamide =,97 cm a Wüfel =,97 cm,8 cm. a) = (7 m) ( m) = m ;,90 m V Pisma (0, m,90 m) m = 7 m b) V Pisma = (0, 6,6 m,0 m) (0,6 m, m) =,8 m V Pyamide = (6,6 m, m),0 m =,7 m V Dachaum = V Pisma + V Pyamide =,8 m +,7 m = 6, m 6 m