Flächeninhalt ohne Höhen die Dreieckformel von Heron (oder Archimedes?)

Transkript

1 Aufgabe 1: Zeichne in dein Heft einen Keis mit beliebigem Radius (abe bitte nicht zu klein), und konstuiee ein umbeschiebenes Deieck. Deine Zeichnung könnte etwa so aussehen wie die nebenstehende kizze. Beachte, dass de Radius senkecht zu eine eite im Beühpunkt veläuft. Miss nun die 3 eitenlängen deines Deiecks und die Göße von. 1 c ' AB ' a ' BC ' b ' AC ' = Die umme de dei eitenlängen eines Deiecks nennt man die Umfangslänge U. - Bilde nun das Podukt: = Das Podukt zweie teckenlängen stellt siche einen Flächeninhalt da. - Jedoch welchen? Aufgabe 2: Bestimme den Flächeninhalt des Deiecks ABC. Wie geht das eigentlich? - Fälle vom Punkt C das Lot auf die Gundseite AB und miss die Höhe: h c ' LC ' Mit Hilfe de schaffieten Egänzung de Figu ist es siche möglich, den Flächeninhalt A zu bestimmen. A = Gibt es einen Zusammenhang zu de voheigen Göße - Vegleiche mit den Egebnissen deine Nachban. 1 Eigentlich sind die Messwete nu Näheungswete. Wi vewenden hie dennoch das Zeichen: = statt..

2 Aufgabe 3: Konstuiee die este Figu mit deinen Maßen in andee Reihenfolge! - Beginne mit de Deieckskonstuktion und konstuiee danach den Innenkeis! Kennzeichne auch die Beühpunkte des Keises mit dem Deieck, etwa so wie in de nebenstehenden Figu. Moment einmal, - wie findet man eigentlich den Mittelpunkt des Innenkeises? We wiklich fit ist, de konstuiet Keis und Beühpunkte nu mit Zikel und Lineal nach den Gundkonstuktionen de Giechen (möglichst wenig Hilfslinien einzeichnen)! Aufgabe 4: Begünde, dass de Mittelpunkt des Innenkeises de chnittpunkt de Winkelhalbieenden ist. Kennzeichne die Winkel geeignet! Duch die Lote und die Winkelhalbieenden, die sich alle im Mittelpunkt des Innenkeises teffen, wid das Deieck in 6 Teildeiecke zelegt. Aufgabe 5: (Das ist die voläufige Könung!) Begünde, das jeweils 2 Teildeiecke konguent sind und dass sich diese 2 Teildeiecke zu jeweils einem Rechteck zusammenlegen lassen. Bestimme den Flächeninhalt des Deieckes übe diese 3 Rechtecke! Bei jedem diese Rechtecke taucht de Innenkeisadius als Beite auf. - Was ist die umme de Rechteckslängen? Begünde: A '

3 Das voheige ist di vielleicht schon aus Klassenstufe 7 bekannt gewesen (eine Wiedeholung schadet ja manchmal auch nichts weil man zuweilen etwas vegesslich ist), doch jetzt wandeln wi noch ein wenig weite auf den puen de goßen giechischen Mathematike. 2 Wi wollen deshalb auch die von Heon vewendeten Bezeichnungsweisen übenehmen und setzen: s :' 1 Aufgabe 6: Begünde, dass gilt: A ' (s&a)@ % (s&b)@ % (s&c)@ Nun, ich weiß nicht, wie Heon die nun folgende Beziehung gefunden hat, eine Fomel, die schon Achimedes gekannt haben soll, denn sie hat nicht diekt mit dem Flächeninhalt des Deieckes zu tun, sonden mit dem Quadat des Flächeninhaltes! Aufgabe 7: Bilde mit den Maßzahlen deines speziellen Deieckes folgenden Ausduck: 3 s@(s&a)@(s&b)@(s&c) Bestätige, dass gilt: A ' s@(s&a)@(s&b)@(s&c) Beechne damit den Radius des Innenkeises deines Deiecks. Wi wollen uns im folgenden dem Beweis diese beühmten Deiecksfomel mit einzelnen chitten nähen. Aufgabe 8: Die Gundseite AB wude übe A hinaus um die Länge de tecke FC velänget, d.h. es gilt: HA ' FC. Begünde, dass de schaffiete Flächeninhalt des Rechteckes genauso goß wie de Flächeninhalt des Deieckes ist, d.h. es gilt: A ' DM wobei M den Mittelpunkt des Innenkeises bezeichnen soll. 2 3 Quelle: C.J.ciba / P. cheibe: 5000 Jahe Geometie (pinge-velag) Unglaublich! - Wie kommt man nu auf so etwas?

4 Egänze nun die Figu so wie nebenstehend. - Eventuell solltest du neu beginnen, falls es schon zu unübesichtlich gewoden ist. - De Punkt L wid so konstuiet: LM z BM und LA z AB. De Punkt K ist de chnittpunkt von LM und AB. Flächeninhalt ohne Höhen Aufgabe 9: Begünde, dass gilt: Die Punkte L, B, M, A liegen auf einem Keis um den Mittelpunkt de tecke LB. 4 Damit ist das Vieeck ~LBMA ehnenvieeck eines Keises. Da wi wissen, dass die gegenübeliegenden Winkelgößen bei einem ehnenvieeck 180E egeben, folgt: (1) ËAMB % ËBLA ' 180E und (2) ËLAM % ËMBL ' 180E. Aufgabe 10: Beweise: ËCMF ' ËBLA Tipp: Vewende die obige Winkelbeziehung (1) und zeige, dass ËCMF auch Egänzungswinkel zu 180Efü ËAMB ist; hie geht entscheidend die Eigenschaft de Winkelhalbieenden im ABC ein. Die Deiecke: ALB und FMC sind ähnlich (siehe kizze auf de nächsten eite). Mit diese Eigenschaft gilt: FC ' AB AL Ebenso sind natülich die Deiecke: ALK und KDM ähnlich (siehe kizze auf de nächsten eite). Womit weitehin gilt: AL ' AK KD Aufgabe 11: Bestätige, dass gilt: AB FC % 1 ' AK KD % 1 ] HB HA ' AD KD 4 Was sagte noch einmal de Kehsatz des atzes des Thales?

5 Wi sollten uns hie an alle voheigen Beziehungen einnen: (1) A ' DM ] A 2 ' HB DM 2 ' HB 2 (2) HB HA ' AD KD (3) HA ' (s&c); AD ' (s&a); DB ' (s&b); HB ' s Die Vebindung de Gleichungen (2) und (1) efolgt nun übe das Deieck: KBM: Aufgabe 12: Begünde, dass gilt: DB ' 2 ' DM 2 und dass damit aus de Beziehung (2) folgt: (4) HB 2 HA ' DB 2

6 Aufgabe 13: Bestätige duch Vebindung de Gleichungen (1) und (4) dass gilt: A ' s@(s&a)@(s&b)@(s&c) ( Aufgabe 14: a) Es sei ein Deieck duch folgende Maße gegeben: c = 10 cm, b = 7 cm, a = 5 cm. - Konstuiee dieses Deieck, bestimme zeichneisch das (ungefähe) Maß eine geeigneten Höhe und beechne den Flächeninhalt des Deieckes, einmal unte Vewendung de Höhe, ein weitees Mal unte Vewendung de Heonschen Fomel. b) Beechne den Flächeninhalt eines gleichseitigen Deiecks mit de eitenkante a = 6 cm, einmal unte voheige Beechnung de Höhe, einmal unte Vewendung de Heonschen Fomel. Eine Beweisaltenative: 5 Wi knüpfen an die Beziehungen: (1) A ' DM ] A 2 ' HB DM 2 ' HB 2 (2) HB HA ' AD KD (3) HA ' (s&c); AD ' (s&a); DB ' (s&b); HB ' s an. Aufgabe 15: a) Beweise unte Vewendung de nebenstehenden kizze, dass gilt: HB HA ' AD KD ' AL % Tipp: = MD taucht auch in de Velängeung de tecke AL auf. b) Kennzeichne in de nebenstehenden kizze begündet, α wo übeall Winkel de Gößen, β, γ auftauchen von D. Leo Bocek, Kals-Univesität Pag

7 c) Da die schaffieten Deiecke ähnlich sind, gilt: AL % AD ' DB Begünde die obige Beziehung und zeige, dass sich unte Vewendung von a) egibt: 2 ' DB etze nun in (1) ein und zeige: A 2 ' (s&c) We findet noch einen weiteen Beweis? Nachtag fü besondes Inteessiete: Es liegt die Fage nahe, ob es auch eine solche Fomel fü den Flächeninhalt eines Vieeckes gibt. Tatsächlich wid wiedeum Heon von Alexandia die folgende Fomel zugeschieben, die fü ehnenvieecke eines Keises gilt bzw fü Vieecke, die einen Außenkeis besitzen (s ist wiedeum die halbe Umfangslänge): A ~ ' (s&d) Da die Heleitung etwas aufwendig ist, gehöt dies nicht unbedingt zum chulstoff 6. Dennoch kann man ja die Beziehung am Beispiel bestätigen. Also we möchte: Keis zeichnen - ehnenvieeck einzeichnen - ehnenvieeck duch die Diagonale in 2 Deiecke zelegen - ehnen und Diagonale messen - den Flächeninhalt de 2 Deiecke (näheungsweise) bestimmen (Heonsche Deiecksfomel) - Flächeninhalte de Deiecke addieen - Heonsche Vieecksfomel zu Flächeninhaltsbestimmung des ehnenvieecks anwenden - vegleichen! 6 Bekannt ist diese Beziehung unte dem Namen: Fomel von Bahmagupta (Klassenstufe 10)

8 Eine weitee Beweisaltenative: 7 Aufgabe 16: a) Begünde unte Vewendung de nebenstehenden kizze, dass gilt: AD ' AF ' s&a DB ' BE ' s&b FC ' CE ' s&c und natülich: A = s. b) Eine Ankeisfigu mit einigen noch unbewiesenen Bezeichnungen: Begünde: A ' 1 a % 1 a & 1 a ' 1 % 1 % 1 & a ' a A 2 ' s@(s&a)@@ a 7 Quelle: (Antonio Gutieez)

9 Es gilt weitehin: AH ' AG ' s BG ' s&c Nun, dass die tecken AH und AG gleich lang sind ist leicht zu begünden, abe fü das weitee müssen wi noch einige Übelegungen anstellen. Dazu die nebenstehende Teilskizze, die bei de Agumentation helfen könnte. Begünde die folgenden Teilaussagen: ~BKCM ist ein ehnenvieeck. MK ist ein Duchmesse des Umkeises des ehnenvieecks. CL und EB sind gleich lang. CE und LB sind gleich lang. Und nun zuück zu Gesamtskizze: LB ' BG ' s&c CH ' s&b c) Die Deiecke DBM und BGK sind ähnlich (Begündung?), womit gilt: (s&b) ' (s&c) a ' (s&b)@(s&c) a und damit: A 2 ' s@(s&a)@(s&b)@(s&c)