Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 2

Transkript

1 990 Runde Aufgabe Ein Rehtek mit den Seitenlängen n m und m m wid in n m uadate de Seitenlänge m zelegt. In dieses Rehtek wid eine Diagonale eingezeihnet. a) Duh wie viele innee Gittepunkte geht diese Diagonale? b) Wie viele Einheitsquadate weden duh diese Diagonale in eilflähen zelegt?. Lösung Vobemekung Das Rehtek lässt sih so in ein Koodinatensystem eintagen, dass die linke untee Eke A mit dem Uspung des Koodinatensystems übeeinstimmt. Die ehte obee Eke C hat dann die Koodinaten (n/m). Die Gittepunkte des Rehteks sind bei diese Festlegung die Punkte mit ganzzahligen Koodinaten. a) Die Diagonale AC wid dann duh die Gleihung y = x mit 0 x n beshieben. m n Ist d de gößte gemeinsame eile von m und n, so gibt es natülihe Zahlen m* und n* mit m= d m*, n = d n* und gg(m*,n*) =. Die Gleihung de Diagonalen lässt sih dann m* auh in de Fom y = xsheiben, wobei n* de Buh m* niht meh geküzt weden n* kann. Diagonale mit vie inne e n G i t t e p un k ten m* Ist P(x 0 /y 0 ) ein innee Punkt de Diagonalen mit ganzzahlige x-koodinate, so ist yo = xo nu n* n dann ganzzahlig, wenn x 0 ein Vielfahes von n* ist. Wegen = d gibt es genau d Vielfahe von n* n*, die kleine als n sind. d sind dann innee Gittepunkte de Diagonalen. Die Anzahl de inneen Gittepunkte de Diagonalen betägt dann gg(m,n). Ist de gößte gemeinsame eile gleih, so gibt es keinen inneen Gittepunkt. Nu die Punkte P ( n*/m* ),P ( n*/m* ),,P ((d ) n*/(d ) m* ) y m m * A P n * C(n m) n x LWM 990 Runde Seite von 8

2 b) Betahtet man die Diagonale zwishen zwei aufeinande folgenden inneen Gittepunkten, so ist diese die Diagonale in einem kleineen Rehtek mit den Seitenlängen m* und n*. Duh die vetikalen Gittelinien wid die Diagonale in n* Punkten und duh die hoizontalen Gittelinien in m* Punkten geshnitten. Insgesamt gibt es auf diesem eilstük de Diagonalen m* + n* Shnittpunkte mit den Gittelinien. Diese Shnittpunkte zelegen die Diagonale in m* + n* eilsteken. Jede eilsteke zelegt ein Einheitsquadat in zwei eilflähen. Betahtet man nun die gesamte Diagonale, die sih aus d eilen zusammensetzt, so weden insgesamt d ( m * + n * ) = d m * + d n * d = m + n gg(m,n) Einheitsquadate in eilflähen zelegt. P i * n P i+ m *. Lösung Es sei dejenige innee Gittepunkt de Diagonalen, de am nähsten bei A liegt. Das Steigungsdeiek AP ist ähnlih zum Steigungsdeiek ABC, da die Innenwinkel de Deieke paaweise übeeinstimmen. Deshalb gilt AB : n = P : m. Da nah Voaussetzung das Steigungsdeiek AP das kleinste Steigungsdeiek mit ganzzahligen Kathetenlängen ist, sind die Maßzahlen n* und m* teilefemd, und es gibt eine natülihe Zahl d mit n = d n* und m= d m*. Dabei ist d de gößte gemeinsame eile von m und n. Die Steke A lässt sih insgesamt d-mal auf AC abtagen, wobei jede Endpunkt ein Gittepunkt ist. Es gibt deshalb d innee Gittepunkte auf de Diagonalen. Die weitee Lösung entspiht dem esten Lösungsweg. A P B C LWM 990 Runde Seite von 8

3 Aufgabe In einem Sehsek seien alle Innenwinkel gleih goß. Die Längen von jeweils dei aufeinande folgenden Seiten dieses Sehseks weden addiet. Zeige, dass diese sehs Summen höhstens zwei veshiedene Wete annehmen. Lösung Da die Winkelsumme in einem beliebigen Sehsek 70 betägt und alle Innenwinkel nah Voaussetzung gleih goß sind, betägt das Winkelmaß jeweils 0. Velänget man die Seiten des Sehseks wie in de Figu, so entstehen übe jede Seite Deieke mit jeweils zwei 60 -Winkeln, so dass diese entstandenen Deieke gleihseitig sind. Daaus egeben sih die in de nebenstehenden Figu eingetagenen Seitenlängen. Die Deieke PR und SU sind ebenfalls gleihseitig, woaus sih a + b + = + d + e = e + f + a und b + + d = d + e + f = f + a + b egibt. U f S d d e E D 60 0 d e e 6 0 F 0 f b a f A B a a C b b R Damit ist die behauptete Eigenshaft nahgewiesen, da jede möglihe de sehs Summen aus dei aufeinande folgenden Seitenlängen einmal vokommt. P. Lösung Velänget man in einem Sehsek mit den gefodeten Eigenshaften die Seiten BC und ED bis zum Shnittpunkt P, bzw. die Seiten AB und EF bis zum Shnittpunkt, so gilt in den Deieken CPD und AF: w(pcd) = w(cdp) = 60 und w(fa) = w(fa) = 60 Die Deieke CPD und AF sind deshalb gleihseitig. Im Vieek BPE egänzen sih benahbate Innenwinkel jeweils zu 80. Es ist deshalb ein Paallelogamm. Fü seine Seitenlängen folgt aus de Konstuktion f + a = + d (*) und b + = e + f. (**) f F E e f d b a f A B D C P LWM 990 Runde Seite 3 von 8

4 Um die Summen von dei aufeinande folgenden Seitenlängen zu ehalten, kann man noh jeweils die Längen de benahbaten Seiten addieen und ehält aus (*) die Bedingungen f + a + b = b + + d () und e + f + a = + d + e () bzw. (**) a + b + = e + f + a (3) und b + + d = d + e + f () Diese vie Gleihungen lassen sih zu f + a + b = b + + d = d + e + f und a + b + = e + f + a = + d + e zusammenfassen. LWM 990 Runde Seite von 8

5 Aufgabe 3 a) Zeige, dass n + nu fü n = eine Pimzahl egibt ( n ). b) Bestimme eine Zahl a so, dass n + a fü kein n eine Pimzahl egibt ( a, n ). Lösung a) Setzt man in den em fü n den Wet ein, so ehält man die Pimzahl 5. Duh eine geeignete Zelegung in Faktoen soll nun gezeigt weden, dass fü alle natülihen Zahlen n > de em n + keine Pimzahl dastellt. Dazu kann man folgende Umfomungen duhfühen: n + = n + n + n ( n ) n ( ) ( = + = n + + n n + n. Fü die beiden Faktoen und n > gilt + + = ( + ) + bzw. ( ) n n n 0 ) n n+ = n +. Damit hat man eine Zelegung des ems in zwei Faktoen gefunden, die fü alle natülihe Zahlen n > nu ganzzahlige Wete göße als annehmen. b) Wie bei eilaufgabe a) vesuht man, den em n + duh eine geeignete Egänzung in eine Summe aus einem Binom und einem uadat zu zelegen. Setzt man a = b mit b, so ehält man n + b = n + b n + b b n ( n b ) b n ( ) ( = + = n + b + bn n + b bn). Die beiden Faktoen stellen fü alle natülihen Zahlen b und n selbst ganze Zahlen da. Es ist nun zu übepüfen, unte welhen Voaussetzungen die eme n + b ± bn natülihe Zahlen göße als sind. Nah Abspaltung eines Binoms ehält man = ( + ) + > bzw. ( ) n bn b b n b b b n bn+ b + b = n b + b b. Wählt man b göße als, so sind beide Faktoen de Zelegung von n + b natülihe Zahlen göße als. Somit stellt de em n + a fü alle natülihen Zahlen a, die das Viefahe eine vieten Potenz göße als sind, keine Pimzahl da. Als kleinste Zahl ehält man a = 6. LWM 990 Runde Seite 5 von 8

6 Aufgabe Gegeben sind zwei konzentishe Keise. Konstuiee einen Keis, de den kleineen beüht und den gößeen ehtwinklig shneidet. Begünde die Konstuktion. Benennungen Die Keise k und k mit den Radien und ( < ) und dem Mittelpunkt Z seien vogegeben. In de Figu sei de Keis K um M mit Radius R beeits so konstuiet, dass e den Keis k im Punkt B beüht und den Keis k im Punkt othogonal sheidet. In den folgenden Lösungen wid jeweils ein Konstuktionsvefahen mit seine Begündung vogestellt. R B Z M k k K. Lösung Konstuktion. Wähle auf k beliebig.. Konstuiee die angente t an k im Punkt. 3. Bestimme auf t so, dass = gilt.. Die Paallele zu (Z) duh shneidet k in den Punkten B und B'. 5. Die Geade (ZB) shneidet die angente t im Punkt M. De Keis um M mit dem Radius MB ist de gesuhte Keis. Begündung Die esten dei Punkte de Konstuktion sind imme duhfühba. Die Existenz de Shnittpunkte aus den Konstuktionsshitten ) und 5) muss jedoh begündet weden. Die Paallele zu Z duh shneidet den Keis k imme in zwei Punkten, denn de Abstand des Punktes Z von diese Paallelen ist kleine als, denn die Steke hat die Länge und ist niht zu Geaden Z othogonal. Nah Konstuktion besitzen die Vieeke ZB und ZB' die paallelen Seiten Z und B bzw. B '. Außedem gilt ZB' = ZB = =. Eines de Vieeke ist deshalb ein gleihshenkliges apez, in dem sih die Velängeung de Shenkel shneiden. Das andee Vieek ist ein Paallelogamm. Es bleibt noh zu zeigen, dass de Keis um M mit Radius MB auh duh den Punkt geht. Dazu genügt de Nahweis, dass die Steken MB und M gleih lang sind. Die Punkte M,,, Z und B bilden eine Stahlensatzfigu mit den paallelen Geaden (Z) und (B). Da die Steken und ZB nah Konstuktion gleih lang sind, gilt dies nah dem esten Stahlensatz auh fü die Steken M und MB. M t k B k Z B ' LWM 990 Runde Seite 6 von 8

7 . Lösung Konstuktion Die esten dei Konstuktionsshitte stimmen mit denen de esten Lösung übeein. ) Die Mittelsenkehte von Z shneidet die angente t im Punkt M. De Keis um M mit dem Radius M ist de gesuhte Keis. Begündung Die Existenz des Shnittpunktes de Mittelsenkehten von Z mit de angenten t ist gesihet, da Z und t nah Konstuktion niht paallel sein können. Es bleibt zu zeigen, dass de Keis um M mit dem Radius M den Keis k beüht, d.h. dass M = MB gilt. Nah Konstuktion ist das Deiek ZM gleihshenklig, da M auf de Mittelsenkehten von Z liegt. Deshalb gilt M = M = MZ = MB. M t k B k Z 3. Lösung In de nebenstehenden Planfigu gilt nah dem Satz von Pythagoas ( ) + R = + R = R Gilt umgekeht diese Beziehung zwishen den Radien de dei Keise, so ist nah de Umkehung des Satzes von Pythagoas das Deiek ZM ehtwinklig. De Keis um M mit Radius R shneidet dann den Keis um Z mit Radius othogonal und beüht den Keis um Z mit Radius. M R R Z Konstuktion. B sei ein beliebige Punkt auf k.. Konstuiee die angente an k im Punkt B. 3. Die angente shneidet den Keis k in den Punkten U und U'.. Die angenten an k in den Punkten U und U' shneiden sih in einem Punkt S. De Keis mit dem Duhmesse BS ist de gesuhte Keis. Begündung Nah dem Satz von Pythagoas hat die Steke BU die Länge. Bezeihnet man den Radius des Keises mit dem Duhmesse BS mit R, so gilt nah dem Höhensatz im ehtwinkligen Deiek SZU genau die Beziehung = R, die an de Planfigu als notwendige und hineihende Bedingung fü die gefodeten geometishen Eigenshaften gefunden wude. LWM 990 Runde Seite 7 von 8

8 . Lösung Konstuktion. Zeihne eine beliebige Geade g duh den Mittelpunkt Z de beiden konzentishen Keise.. De Punkt B sei eine de beiden Shnittpunkte von g mit dem kleineen Keis k. 3. Konstuiee die angente an k im Punkt B und tage auf diese angente von B aus nah eine Seite eine Steke ab, deen Länge mit dem gößeen Radius übeeinstimmt. De Endpunkt diese Steke sei P.. Konstuiee die Mittelsenkehte de Steke ZP. 5. Diese Mittelsenkehte shneidet die Geade g aus ) im Punkt M. M B P Z g De Keis mit Mittelpunkt M und Radius MB ist de gesuhte Keis. Begündung Nah Konstuktion beüht de Keis um M mit dem Radius MB den kleineen Keis im Punkt B. Es genügt also nahzuweisen, dass diese Keis den gößeen de konzentishen Keise im Punkt othogonal shneidet. sei eine de beiden Shnittpunkte. Dazu soll gezeigt weden, dass die Deieke ZPB und ZP konguent sind. Da das Deiek ZPB nah Konstuktion bei B ehtwinklig ist, gilt dies dann auh fü den entspehenden Innenwinkel des Deieks ZP beim Punkt. Die Konguenz de Deieke ZPB und ZP folgt aus dem Konguenzsatz sss. a) Die Steke ZP gehöt zu beiden Deieken. b) Nah Konstuktionsshitt 3) gilt PB = = Z. ) Nah den Konstuktionsshitten ) und 5) ist das Deiek ZPM gleihshenklig, da M auf de Mittelsenkehten de Steke ZP liegt. Deshalb gilt MZ = MP. Da außedem auh MB = M ist, folgt dann auh die Gleihheit de Stekenlängen ZB und P. Damit ist die Gültigkeit diese Konstuktion nahgewiesen. Anmekung Wegen de Übesihtlihkeit de Zeihnungen wude auf die Konstuktion de Mittelsenkehten und angenten mit Zikel und Lineal vezihtet. LWM 990 Runde Seite 8 von 8