Mathematik - Oberstufe

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Kai Vogt
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1 Mathematik - Oberstufe Aufgaben und Musterlösungen zu linearen Funktionen Zielgruppe: Oberstufe Gmnasium Shwerpunkt: Geraden, Streken und Dreieke im Koordinatensstem Aleander Shwarz Letzte Aktualisierung: November 009 Datei: Übungsaufgaben zu linearen Funktionen

2 Übungsaufgaben zu linearen Funktionen Geraden, Streken und Dreieke im Koordinatensstem Aufgabe : Bestimme die Gleihung der Geraden g, welhe durh die unkte (/-) und Q(-/0) geht. Aufgabe : Gegeben ist die Gerade g: 0 a) Zeihne die Gerade. b) In welhem unkt shneidet die Gerade die -Ahse? ) Wie lautet die Gleihung der arallelen zu g durh den unkt (/)? Aufgabe : Durh die unkte A(/) und B(0/-) sei eine Gerade g bestimmt. Berehne die Gleihung der Gerade h, die senkreht auf g steht und den unkt (0/) enthält. Aufgabe : Bestimme den Abstand der arallelen g und h mit g: und h: Aufgabe : Eine Straße besitzt eine Steigung von 7%. a) Wie groß ist ihr Steigungswinkel α? b) Welher Höhenuntershied überwindet ein Auto, das auf dieser Straße km hohfährt? ) Welhe prozentuale Steigung besitzt eine Straße mit einem Steigungswinkel von? Aufgabe 6: Gegeben sind die unkte (/) und Q(7/6). a) Berehne den Abstand d von Q zu. Bestimme diejenigen unkte der -Ahse, die von den gleihen Abstand d haben. b) Bestimme die Gleihung der Geraden durh und Q. ) Berehne die Gleihung der Mittelsenkrehten von Q.

3 Aufgabe 7: Die unkte A(-,/-0,), B(,/,) und C(/6) bilden ein Dreiek. a) rüfe rehnerish, ob das Dreiek rehtwinklig ist. b) Berehne die Länge der Seitenhalbierenden s ( CM ). ) Berehne die Innenwinkel α, β und γ auf zwei Dezimalen genau. d) Wie lang ist die Höhe h b? Aufgabe 8: Gegeben sei ein Dreiek mit den Ekpunkten A(-/-), B(/) und C(0/6). a) Zeihne das Dreiek ABC (LE m) b) Bestimme den Höhenshnittpunkt H der Höhen auf den Dreieksseiten AB und AC. ) Der Höhenshnittpunkt aus Teilaufgabe b), die Eke A sowie die Höhenfußpunkte auf den Seiten AB und AC bilden ein Vierek. Berehne die Innenwinkel dieses Viereks. d) Wie weit ist der in b) ermittelte Höhenshnittpunkt H von der Eke A entfernt? Aufgabe 9: Bestimme von folgenden Geraden die Funktionsgleihungen.

4 Musterlösungen zu Übungsaufgaben zu linearen Funktionen Geraden, Streken und Dreieke im Koordinatensstem Aufgabe : Die Gerade enthält den unkt (/-) und Q(-/0). Steigung der Gerade: 0 m Q Q Die Geradengleihung erhält man nun mit der unkt-steigungs-form: m Alternative zur unkt-steigungs-form: Ansatz m mit m. Einsetzen von in die Geradengleihung: Aufgabe : a) Auflösen der Geradengleihung nah : b) Shnittpunkt mit der -Ahse: Setze 0: ) 0 / N( 0 ) Die arallele hat dieselbe Steigung wie die Gerade, also m. unkt-steigungs-form: 7

5 Aufgabe : A B Die Steigung der Geraden durh A und B ist mg A B 0 Die orthogonale Gerade besitzt die Steigung m. m Die Gleihung der gesuhten Geraden erhält man mit der unkt-steigungs-form: m 0 g Aufgabe : Das Abstandsproblem zweier paralleler Geraden kann reduziert werden auf das roblem Abstand eines unktes auf einer der Geraden zu der anderen Geraden. Ein unkt auf der Geraden g ist zum Beispiel (0/). Der Abstand der Geraden g und h entspriht daher dem Abstand des unktes von der Geraden h. Um den Abstand von zu h zu berehnen, wird eine Lotgerade von auf h aufgestellt (wie in Aufgabe ). Berehnung der Steigung der senkrehten Lotgeraden: mh mlot mlot Mit der unkt-steigungs-form ergibt sih die Gleihung der Lotgeraden: 0 Der Shnittpunkt F von h mit dem Lot ist der sogenannte Lotfußpunkt F: 8, 8 8 Daraus ergibt sih F( / ) F(,6 /,) Abstand von g und h: F (,6 0) (, ),, 79

6 Aufgabe : a) Eine Steigung von 7% bedeutet, dass bei einer waagrehten Streke der Höhenuntershied 7% von, also 0,07 beträgt. α 0,07 Die Straße, die man auh als Teil einer Gerade interpretieren kann, besitzt die Steigung 0,07 m 0,07 Nun gilt für den Steigungswinkel: m 0,07 α b) Betrahtet das Steigungsdreiek als rehtwinkliges Dreiek, ist die Länge der Hpotenuse des Dreieks mit km gegeben. Gesuht ist bzgl. α die Gegenkathete. h sin α h sin 0, km 0 m Das Auto überwindet einen Höhenuntershied von 0 m. ) Bei α ist die waagrehte Streke genau so lang wie der Höhenuntershied. Es ergibt sih als Steigung m und dies entspriht einer Steigung von 00%. (m tan ) Aufgabe 6: a) d Q (7 ) (6 ) Ein beliebiger unkt auf der -Ahse ist Q(0/). Q ( 0) ( ) 6 0 oder -. Die unkte auf der -Ahse sind Q(0/) und R(0/-). 0 6 b) Steigung der Gerade: m 7 0 unkt-steigungs-form: ) Die Mittelsenkrehte steht orthogonal auf der Gerade durh und Q und geht durh den Mittelpunkt der Streke Q. Steigung der Mittelsenkrehten 7 6 Mittelpunkt von und Q: M ( / ) M(, / ) Gleihung mit unkt-steigungs-form: 8,, 6

7 Aufgabe 7: a) Für die Steigungen der einzelnen Streken gilt:, 0, 6 0, 6, 7 m AB ; m AC ; m BC,, 7,, Da m m gilt, ist das Dreiek ABC im unkt B rehtwinklig. AB BC b) Die Seitenhalbierende geht durh den unkt C(/6) und durh den Mittelpunkt der,, 0,, Streke AB : M C ( / ) (/) CM ( ) (6 ) 9 LE ) Aus a) folgt: β 90 Berehnung von α : Hierzu werden die Steigungswinkel der Geraden AB und AC berehnet. mab α, 7 mac α 9, 77 Nun ergibt sih α 9,77, 6, 7 und da α laut Zeihnung kleiner als 90 ist, ist 6,7 auh der rihtige Winkel. Der dritte Winkel ergibt sih aus der Winkelsumme: γ ,7 6, d) Für die Höhe h b muss eine Lotgerade von B auf der Gerade AC berehnet werden. Der Shnittpunkt der Lotgerade mit der Geraden AC ergibt den Lotfußpunkt D. Lotgerade: m und geht durh B(,/,). mac, 8 unkt-steigungs-form:, Geradengleihung der Gerade AC: unkt-steigungs-form: 6 m und geht durh C(/6). 7 7

8 8 7 Shnittpunkt D der beiden Geraden: 90 7,9 und daraus folgt,9, 7 also D(,9/,7). Höhe h BD (,,9) (,7,),6, b Aufgabe 8: a) b) Für den Höhenshnittpunkt müssen die beiden Geradengleihungen, auf der die Höhen liegen, ermittelt werden. Höhe auf AB : Es gilt m AB, also gilt 6 unkt-steigungs-form: Höhe auf AC : Es gilt m AC 8, also gilt 0 unkt-steigungs-form: m Höhe m Höhe Shnittpunkt der Höhengeraden: , also H ( / ) und Gerade enthält C. und Gerade enthält B ) Zwei der Innenwinkel sind aufgrund der Höhen bereits bekannt (siehe Skizze). Der Winkel bei Ekpunkt D und E ist jeweils 90. Berehnung von α : Hierzu werden die Steigungswinkel der Geraden AB und AC berehnet. mab α 08 7

9 mac 8 α 8, 9 Daraus folgt α 8,9, 9 was auh zur Skizze passt. Als vierter Winkel folgt aufgrund der Winkelsumme γ ,9 8, 08 8 d) AH (, 09 LE Aufgabe 9: Gerade g: -Ahsenabshnitt - und Steigung also Gerade h: -Ahsenabshnitt und Steigung also Gerade i: Senkrehte Gerade hat eine spezielle Gleihung: - Gerade j: Waagrehte Gerade mit Steigung 0 hat die Gleihung Gerade k: -Ahsenabshnitt - und Steigung also 9

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