Senkrechter freier Fall

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Gerhardt Bretz
vor 8 Jahren
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1 Senkrehter freier Fall Die Raumzeitkrümmung in der Shwarzshildmetrik [] zeigt sih unter anderem darin, dass die Zeit in der Nähe des Zentralkörpers langsamer läuft Um diesen Effekt zu veranshaulihen, soll die Zeit für einen freien Fall einerseits im System eines weit entfernten Beobahters und andererseits im fallenden System dh die Eigenzeit τ) berehnet werden Klassish Aus dem Energiesatz m v 2 2 G m M r = G m M r ) ergibt sih sofort die Geshwindigkeit: v = dr dt = 2 G M r ) 2) r G ist die Gravitationskonstante, M ist die Masse des Zentralkörpers und r ist der Abstand zum Zeitpunkt t = 0 Da niht rt), sondern tr) gesuht ist, muss für die Integration der Reziprokwert dt dr = 2 G M r ) r 3) verwendet werden Die Fallzeit ist gegeben durh das Integral r dr t = ) 2 G M r r r 2 4) r 2 ist ein Radius, der beliebig nahe beim Shwarzshildradius r s = 2 G M 2 liegen kann Wird die dimensionslose Variable x = r r s 5) 6) eingeführt, ergibt sih das Integral x x x 7)

2 Senkrehter freier Fall 2 Wenn bei der numerishen Integration von aussen nah innen summiert wird, ist für den ersten Summanden x = x Somit vershwindet der Nenner und dieser Summand wird unendlih Da der Probekörper an der Stelle x = x aus der Ruhe losgelassen wird, ist die Geshwindigkeit während des ganzen ersten Integrationsshrittes gleih null und damit die für die Streke dr benötigte Zeit gleih unendlih Das kann vermieden werden, entweder indem shon vor der Berehnung des ersten Terms der Shritt x x ausgeführt wird oder indem für das erste Zeitintervall die Beziehung 2 2 r dt = g dr = 2 4 r G M dr = 2 s x 8) 2 verwendet wird Mit beiden Verfahren wird keine befriedigende Genauigkeit erreiht Besser ist es, wenn von innen nah aussen integriert wird Relativistish Wenn der Probekörper keinen Bahndrehimpuls hat, ergibt sih in der Shwarzshildmetrik für die Eigenzeit der Fallbewegung formal die gleihe Beziehung wie in der klassishen Mehanik [2]: dτ dr = 2 G M r ) 9) r Die Umrehnung von der Eigenzeit τ auf die Zeit t eines in grosser Entfernung ruhenden Beobahters liefert den zusätzlihen Faktor [3] dt dτ = r s r = Damit wird die Fallzeit: x 0) x ) x x x ) Fallzeiten Fallzeit klassish t k x x x 2) Fallzeit relativistish t r x ) x x x 3)

3 Senkrehter freier Fall 3 Beispiele r s = 3 km x = 0 3 t k = s = t r = s Es mag erstaunlih sheinen, dass der Untershied zwishen der Eigenzeit und der Zeit des weit entfernten Beobahters so gering ist Der Faktor dt/dτ wirkt sih jedoh erst für Abstände r aus, die nur wenig grösser sind als der Shwarzshildradius r s, dh nur die allerletzten Zeitintervalle ersheinen vergrössert, aber diese geben in der gesamten Fallzeit keinen wesentlihen Beitrag Der Zeituntershied maht sih nur dann deutlih bemerkbar, wenn der Fall in unmittelbarer Nähe des Shwarzshildradius betrahtet wird x = t k = s = t r = 97 s Für den in grosser Entfernung ruhenden Beobahter erreiht der fallende Körper den Shwarzshildradius in unendlih langer Zeit Er kommt ihm jedoh in endliher Zeit beliebig nahe Analytishe Integration Für den Bereih x < + ε, ε können die Integranden der Integrale 7 und nah Potenzen von ε entwikelt werden, worauf die Integrale sih analytish berehnen lassen Klassish x x x x = + ε x = + ε = + 5) 4) ε dε ε ε 6) ε = y dε = dy 7) t = r s y dy y + ε 2 y + ε 2 ε ε 2 ε ε ε ) 8) y ε Da ε, gilt ε ε und es folgt: t = 2 r s ε 9) Für das obige Beispiel x = ist ε = 0 8 und für t ergibt sih t = s = s 20)

4 Senkrehter freier Fall 4 Relativistish x ) x x 2) x x = + ε x = + ε = + 22) ε = y ε y dε ε ε ε dε = dy dy y y + ε Die Integraltabelle [4] liefert 23) 24) 25) y + ε ε y ln ε y + ε + ε 26) ε ε ε ε ln ε ε ε + ε [ ln ε ε ] ε ln ε ε ε + ε 27) ln ε ε + ε ) ε ε ε ε ) ε + ε ln ε ε 28) ε Da ε, können die Wurzeln nah Potenzen von /ε entwikelt werden ln + /ε ε /ε Es ergibt sih shliesslih: ε ln 2 2 /ε 2 /ε 29) ε ln 4 ε 30) Für das obige Beispiel mit ε = 0 8, = 0 6 wird t = ln 4 s = 98 s 3) 0 6 In Turbo Pasal wird der Real-Datentyp extended mit 9 bis 20 Stellen dargestellt Bei der Integration von bis x kann daher in x = +ε für ε kein kleinerer Wert als etwa 0 8 eingesetzt werden In der aus der analytishen Integration erhaltenen Beziehung 30) kann dagegen der Wert beliebig klein gewählt werden Wenn der Absturz von x = bis = einen Nukleondurhmesser vom Shwarzshildradius entfernt) verfolgt wird, ergibt sih t = ln s = 25 s 32)

5 Senkrehter freier Fall 5 Literaturverzeihnis [] Torsten Fliessbah, Allgemeine Relativitätstheorie, Spektrum Akademisher Verlag, Heidelberg, Berlin, Oxford 995 Kapitel 24 [2] Ibid, Kapitel 25 [3] Ibid, Kapitel 45 [4] IN Bronstein, KA Semendjajew, Tashenbuh der Mathematik, Frankfurt am Main, Zürih Mai 206 A Ruh

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