2. Wellenausbreitung

Transkript

1 2. Wellenausbreitung Die Wellengleihung beshreibt die Bewegung des Stabes: 2 u t 2 =2 2 u x 2 Für die eindeutige Festlegung der Lösung müssen zusätzlih Anfangsbedingungen und Randbedingungen angegeben werden. 2. Stabshwingungen 2.2-1

2 2. Wellenausbreitung Die Anfangsbedingungen geben Vershiebung und Geshwindigkeit des Stabes zu Beginn der Bewegung (t = 0) an: u x,0 =u 0 x, u x, 0 =v 0 x Die Randbedingungen definieren die Verhältnisse an den Rändern des Stabes. 2. Stabshwingungen 2.2-2

3 2. Wellenausbreitung 2.1 d'alembertshe Lösung 2.2 Anfangsbedingungen 2.3 Randbedingungen 2. Stabshwingungen 2.2-3

4 2.1 d'alembertshe Lösung Elementare Lösung: Für die Funktion gilt: 2 t 2 =0, 2 x 2 =0 x,t = x t Sie erfüllt daher die Wellengleihung für beliebige Werte von α und β. 2. Stabshwingungen 2.2-4

5 2.1 d'alembertshe Lösung Weitere Lösungen: Ansatz: u x,t = f x,t Ableitungen: u t = d f d u x =d f d t = d f d, 2 u t 2 = 2 d 2 f d 2 x = d f d, 2 u d f 2 x 2= 2 d 2 2. Stabshwingungen 2.2-5

6 2.1 d'alembertshe Lösung Einsetzen in die Wellengleihung: 2 d 2 f d 2= 2 2 d 2 f d 2 Die Wellengleihung ist für eine beliebige Funktion f erfüllt, wenn gilt: 2 = 2 2 =± 2. Stabshwingungen 2.2-6

7 2.1 d'alembertshe Lösung Ohne Beshränkung der Allgemeinheit kann gewählt werden. Dann lautet die Lösung: =1 u x,t = f 1 x t f 2 x t Dabei sind f 1 und f 2 beliebige Funktionen. Diese Lösung wird als d'alembertshe Lösung bezeihnet. 2. Stabshwingungen 2.2-7

8 2.1 d'alembertshe Lösung Untersuhung der d'alembertshen Lösung: Es gilt: f 1 x t = f 1 x t = f 1 x t Zum Zeitpunkt t+τ hat die Funktion f 1 am Ort x+τ den gleihen Wert wie zum Zeitpunkt t am Ort x. Sie beshreibt also eine Welle, die mit konstanter Geshwindigkeit ohne Änderung der Form in positive x-rihtung läuft. 2. Stabshwingungen 2.2-8

9 2.1 d'alembertshe Lösung Entsprehend beshreibt die Funktion f 2 eine Welle, die mit konstanter Geshwindigkeit in negative x- Rihtung läuft. Δt Δt f 1 f 2 x x 2. Stabshwingungen 2.2-9

10 2.2 Anfangsbedingungen Die Funktionen f 1 und f 2 werden durh die Anfangsbedingungen festgelegt: u x,0 = f 1 x f 2 x =u 0 x u x,0 = f 1 ' x f 2 ' x =v 0 x Integration der zweiten Gleihung führt auf f 1 x f 2 x = 1 x 0 x v 0 d C 2. Stabshwingungen

11 2.2 Anfangsbedingungen x 0 ist ein beliebiger Punkt und C ist eine Konstante. Addition der ersten Gleihung mit der integrierten zweiten Gleihung führt auf 2 f 2 x =u 0 x 1 x 0 x v 0 d C f 2 x = 1 2 [ u 0 x 1 x 0 x v 0 d C ] 2. Stabshwingungen

12 2.2 Anfangsbedingungen Aus der integrierten zweiten Gleihung folgt dann f 1 x = f 2 x 1 x 0 x v 0 d C = 1 2 [ u 0 x 1 x 0 x v 0 d C ] 2. Stabshwingungen

13 2.2 Anfangsbedingungen Damit lautet die Lösung u x,t = f 1 x t f 2 x t u x,t = 1 [ 2 u 0 x t u 0 x t 1 x t x t v 0 d ] Diese Lösung ist rihtig, solange die Wellen auf keine Ränder treffen. 2. Stabshwingungen

14 2.2 Anfangsbedingungen Beispiel: Betrahtet wird ein unendlih langer Stab mit den Anfangsbedingungen u 0 x ={1 os x L, L x L 0, x L v 0 x =0 2. Stabshwingungen

15 2.2 Anfangsbedingungen Die Lösung lautet: u x,t = 1 2 [ u 0 x t u 0 x t ] t = 0 t = t 2 t = t 1 x 2. Stabshwingungen

16 2.3 Randbedingungen Bei einem Stab endliher Länge müssen an den Rändern die Randbedingungen erfüllt sein: Feste Einspannung Freies Ende Vorgegebene Kraft 2. Stabshwingungen

17 2.3.1 Feste Einspannung L x Linkes Ende: x=0 : u 0,t =0 2. Stabshwingungen

18 2.3.1 Feste Einspannung Die nah links laufende Welle trifft auf den linken Rand. Die Randbedingung u = 0 wird erfüllt, wenn der einlaufenden Welle eine nah rehts laufende reflektierte Welle gleiher Form aber mit umgekehrtem Vorzeihen überlagert wird. 2. Stabshwingungen

19 2.3.1 Feste Einspannung u u t 1 t 3 t 2 u t 4 u 2. Stabshwingungen

20 2.3.1 Feste Einspannung Analytish: u x,t = f x t g x t Randbedingung: Also: u 0,t = f t g t =0 g x = f x Ergebnis: u x,t = f x t f t x 2. Stabshwingungen

21 2.3.1 Feste Einspannung Entsprehend muss bei fester Einspannung am rehten Ende der nah rehts laufenden Welle eine nah links laufende reflektierte Welle gleiher Form aber mit umgekehrtem Vorzeihen überlagert werden: u x,t = f x t f 2 L x t 2. Stabshwingungen

22 2.3.2 Freies Ende L x Rehtes Ende: x=l : L,t =0 u x L,t =0 2. Stabshwingungen

23 2.3.2 Freies Ende Die nah rehts laufende Welle trifft auf den rehten Rand. Die Randbedingung u/ x = 0 wird erfüllt, wenn der einlaufenden Welle eine nah links laufende reflektierte Welle gleiher Form mit gleihem Vorzeihen überlagert wird. 2. Stabshwingungen

24 2.3.2 Freies Ende u u t 1 t 3 t 2 u t 4 u 2. Stabshwingungen

25 2.3.2 Freies Ende Analytish: Rehter Rand: u x,t = f x t f 2 L x t Linker Rand: u x,t = f x t f x t 2. Stabshwingungen

26 2.3.3 Vorgegebene Kraft L F(t) x F t Rehtes Ende: L,t =E L,t = u x A L,t = F t EA 2. Stabshwingungen

27 2.3.3 Vorgegebene Kraft Beispiel: Auf einen am linken Ende fest eingespannten Stab aus Aluminium trifft am rehten Ende ein Shlag. Daten: Länge L = 20m Quershnittsflähe A = m 2 Wellenfortpflanzungsgeshwindigkeit = 5000m/s Elastizitätsmodul E = N/m 2 2. Stabshwingungen

28 2.3.3 Vorgegebene Kraft Anfangsbedingung: Der Stab ist am Anfang in Ruhe: u x,0 =0 Randbedingungen: Linkes Ende: Feste Einspannung: u 0,t =0 Rehtes Ende: vorgegebene Kraft t ={ 1 : 0 t T 0 : t T F t = F 0 t mit F 0 = 1000N, T = 0,001s 2. Stabshwingungen

29 2.3.3 Vorgegebene Kraft Phase 1: Es läuft eine Welle von rehts nah links. Zeit bis zum Eintreffen am linken Rand: t 1 = L = Wellenform: 20 m 5000 m/s =0,004 s u x,t = f x t u x x,t = f ' x t 2. Stabshwingungen

30 2.3.3 Vorgegebene Kraft u x L,t = f ' L t = F 0 EA t Substitution: y=l t, t= y L df dy = F 0 EA y L f y = F 0 [ EA y L C ] mit '= 2. Stabshwingungen

31 2.3.3 Vorgegebene Kraft Für t = 0: y=l u L,0 = f L =0 C= 0 Mit der gegebenen Funktion gilt: t ={ 0 : t 0 t : 0 t T T : t T 0 =0 C=0 Ergebnis: u x,t = F 0 EA x t L 2. Stabshwingungen

32 2.3.3 Vorgegebene Kraft 0s t 0,0040s 2. Stabshwingungen

33 2.3.3 Vorgegebene Kraft Phase 2: Die am fest eingespannten Ende reflektierte Welle kommt hinzu Zeit: 0,004s t 0,008s Funktion: u x,t = F 0 EA [ x t L x t L ] 2. Stabshwingungen

34 2.3.3 Vorgegebene Kraft 0,0044s t 0,0080s 2. Stabshwingungen

35 2.3.3 Vorgegebene Kraft Phase 3: Die am freien Ende reflektierte Welle kommt hinzu Zeit: 0,008s t 0,0012s Funktion: u x,t = F 0 [ EA x t L x t L x t 3 L ] 2. Stabshwingungen

36 2.3.3 Vorgegebene Kraft 0,0084s t 0,0120s 2. Stabshwingungen

37 2.3.3 Vorgegebene Kraft Die Lösung für den gesamten Zeitbereih lautet: [ u x,t = F 0 EA 1 x t 2 1 L =1 x t 2 1 L ] 2. Stabshwingungen

38 2.3.3 Vorgegebene Kraft 2. Stabshwingungen