2 Freie Schwingungen. 2.1 Ungedämpfte Schwingungen. Beziehungen. [rad/s]: Drehwinkelgeschwindigkeit (2.7)
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- Mona Michel
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1 2 Freie Shwingungen Eine Struktur führt eine freie Shwingung durh, wenn sie aus ihre statishen Gleihgewiht gebraht wird, und anshliessend ohne jeglihe externe dynaishe Anregung shwingen kann 2. Ungedäpfte Shwingungen Beziehungen f n T n ω n 2π π k [rad/s]: Drehwinkelgeshwindigkeit (2.7) [/s], [Hz]: Anzahl Udrehungen pro Zeit (2.8) [s]: Benötigte Zeit pro Udrehung (2.9) t (2.) Uforung der Bewegungsgleihung 2.. Forulierung : Aplitude und Phasenwinkel u 2 () t + ut () (2.) Ansatz: ut () Aos( t φ) u 2 () t A os( t φ) Durh einsetzen von (2.2) und (2.3) in (2.): 2 A ( + k) os( ωn t φ) 2 + k (2.2) (2.3) (2.4) (2.5) Bestiungen der Unbekannten A und φ: Statishes Gleihgewiht durh Anfangsauslenkung u ( ) und Anfangsgeshwindigkeit u ( ) v gestört: 2 2 v A , tanφ (2.) Visualisierung der Lösung anhand der Exel Datei auf v k Eigenkreisfrequenz (2.6) Alessandro Dazio 23 Alessandro Dazio 24
2 2..2 Forulierung 2: Trigonoetrishe Funktionen 2..3 Forulierung 3: Exponentialfunktionen t (2.2) t (2.9) Ansatz: Ansatz: ut () A os( + A 2 sin( (2.3) ut () e λt (2.2) u 2 2 () t A os( A 2 sin( (2.4) u () t λ 2 e λt (2.2) Durh einsetzen von (2.3) und (2.4) in (2.2): Durh einsetzen von (2.2) und (2.2) in (2.9): A 2 2 ( + k) os( ωn + A 2( + k) sin( ωn (2.5) λ 2 + k (2.22) 2 + k (2.6) λ 2 k --- (2.23) k Eigenkreisfrequenz (2.7) Bestiungen der Unbekannten A und A 2 : Statishes Gleihgewiht durh Anfangsauslenkung u ( ) und Anfangsgeshwindigkeit u ( ) v gestört v A, A (2.8) λ ± i --- k ± iω n Die vollständige Lösung der DGL ist: ut () C e i t + C 2 e i t und it den Eulershen Foreln (2.24) (2.25) + osα , sinα (2.26) 2 2i e iα e iα e iα e iα e iα os( α) + isin( α), e iα os( α) isin( α) (2.27) Alessandro Dazio 25 Alessandro Dazio 26
3 Kann Gleihung (2.25) wie folgt ugefort werden: 2.2 Gedäpfte Shwingungen ut () ( C + C 2 ) os( + i( C C 2 ) sin( ut () A os( + A 2 sin( Gleihung (2.29) entspriht Gleihung (2.3)! (2.28) (2.29) u () t + u () t + ku() t (2.3) - Shwingungen klingen in Wirklihkeit ab - Däpfung existiert - Es ist praktish unöglih die Däpfung exakt zu shätzen - Viskose Däpfung ist atheatish einfah zu behandeln Däpfungskonstante: N s (2.3) Forulierung 3: Exponentialfunktionen u () t + u () t + ku() t Ansatz: (2.32) ut () e λt, u () t λe λt, u () t λ 2 e λt (2.33) Durh einsetzen von (2.33) in (2.32): ( λ 2 + λ + k)e λt λ 2 + λ+ k (2.34) (2.35) λ ± k 2 2 (2.36) Alessandro Dazio 27 Alessandro Dazio 28
4 Kritishe Däpfung: wenn 2 4k Arten von Bewegungen r 2 k 2 Däpfungsrate (Däpfung) r 2 k 2 Uforung der Bewegungsgleihung u () t + u () t + ku() t (2.37) (2.38) (2.39) u(/ [-].5 Unterkritishe Däpfung Kritishe Däpfung Überkritishe Däpfung u () t k u () t ut () (2.4) -.5 u 2 () t + 2 u () t + ut () Arten von Bewegungen: (2.4) t/t n [-] < : Unterkritish gedäpfte Bewegung r : Kritish gedäpfte Bewegung r > r : Überkritish gedäpfte Bewegung Alessandro Dazio 29 Alessandro Dazio 3
5 Unterkritishe Däpfung Durh einsetzen von: In: < 2 k und ω (2.42) 2 k 2 n --- r Die Bestiungen der Unbekannten A und A 2 erfolgt wie gewohnt anhand der Bedingungen für Anfangsauslenkung u ( ) und Anfangsgeshwindigkeit u ( ) v und es ergibt sih: v A, A (2.5) λ ± k 2 2 Es ergibt sih: ± k (2.43) Forulierung : Aplitude und Phasenwinkel Gleihung (2.5) kann als Aplitude und Phasenwinkel uforuliert werden: λ ± ± 2 (2.44) ut () Ae t os( t φ) (2.52) λ ± i 2 2 (2.45) gedäpfte Eigenkreisfrequenz (2.46) it 2 v + A + v , tanφ (2.53) λ ± i Die vollständige Lösung der DGL ist: ut () C e ( + i )t + C 2 e ut () e t C e iωdt C e iω d ( + t ) 2 ( i )t ut () e t ( A os( + A 2 sin( ) (2.47) (2.48) (2.49) (2.5) Die Bewegung ist eine sinusförige Shwingung der Eigenkreisfrequenz it abnehender Aplitude Ae t Alessandro Dazio 3 Alessandro Dazio 32
6 Beerkungen: - Die Periode der gedäpften Shwingung ist länger, d.h. die Shwingung ist langsaer Das logarithishe Dekreent 2 5 u Gesatantwort T n / Däpfungsrate 2 T n Vershiebung Zeit (s) Aplitude zweier aufeinaderfolgender Zyklen - Die Uhüllende der Bewegung hat die Gleihung: ut () Ae t 2 v it A u (2.54) - Visualisierung der Lösung anhand der Exel Datei auf u ---- u it Ae t ( + ) os( t φ) Ae t os( ( t+ ) φ) e ( t + ) e t e os( ( t+ ) φ) os( t + φ) os( t φ) (2.55) (2.56) (2.57) Alessandro Dazio 33 Alessandro Dazio 34
7 gilt: Auswertung über ehrere Zyklen ---- u e e (2.58) u u N un e ( ) N e N u u u 2 u N (2.6) Logarithishes Dekreent δ δ π ln ω u n π (wenn klein) 2 (2.59) δ --- ln N u N Halbierung der Aplitude (2.62) Logarithishes Dekreent δ Die Däpfungsrate (Däpfung) wird: δ δ (wenn klein) 4π 2 + δ 2 2π Exakte Gleihung Näherung (2.6) --- ln N u N --- ln( 2) N π 2π N N Nützlihe Forel für Shnellauswertung Aufpassen: Däpfungsrate vs. Däpfungskonstante Leer Voll, k, 2 >, k, (2.63) Däpfungsrate < 2 k 2 k 2 Alessandro Dazio 35 Alessandro Dazio 36
8 2.4 Reibungsdäpfung Freie Shwingung Es handelt sih u ein nihtlineares Proble! 2 5 Gesatantwort Reibungskraft a) b) f k () t f u μ () t f k () t + f u μ () t Vershiebung 5-5 t f μ t f μ - Lösung von b) ut () A os( + A 2 sin( + it u f ---- μ μ (2.64) k (2.65) Mit den Anfangsbedingungen u ( ), u ( ) v bekot an die Konstanten: A u μ, A 2 v Lösung von a): Analog, it u μ anstatt +u μ u μ u () t A sin( + A 2 os( Zeit (s) Berehnungsbeispiel: - Shritt : Bild: f.5 Hz,, v 5, u f Anfangsbedingungen u ( ), u ( ) A u μ, A 2 (2.66) π ut () [ u μ ] os( + u μ t < (2.67) Vershiebung a Ende: u π [ u u μ ]( ) + u μ + 2u μ Alessandro Dazio 37 Alessandro Dazio 38
9 - Shritt 2: Anfangsbedingungen u ( ) + 2u μ, u ( ) A u ( ) + u μ + 2u μ + u μ + 3u μ, A 2 (2.68) π ut () [ + 3u μ ] os( u μ t < (2.69) Vershiebung a Ende: u π [ u + 3u μ ]( ) u μ 4u μ - Shritt 3: Anfangsbedingungen... Vergleih Viskose Däpfung - Reibungsdäpfung Freie Shwingung: f.5 Hz,, v 5, u f Logarithishes Dekreent: U U N N δ [%] Mittel 5.57 Zu Beerken: Iterieren bei der Geshwindigkeitsukehr! Visualisierung der Lösung anhand der Exel Datei auf Vergleih: Reibungsdäpfung Viskose Däpfung Eigenshaften der Reibungsdäpfung - Lineare Abnahe der Aplitude u 4u μ pro Zyklus - Die Periode des gedäpften Shwingers und des ungedäpften Shwingers ist die gleihe T n 2π Vershiebung Zeit (s) Alessandro Dazio 39 Alessandro Dazio 4
Resultat: g. d) ω 0 = a) ml 2 ϕ + mglϕ = 0, 4 l2 c + mgl ϕ = 0, c) ml 2 ϕ + c ers l 2 + mgl ϕ = 0, mit c ers = c + c = 2c, 4 d) ml 2 ϕ + 9 c ersl 2 1
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