\ / \ / " \ / / \., . \ .! 1 ~2. 2 ( )

Transkript

1 5.1. Shwingungen 355 Für die kinetishe Energie gilt =t Ekio(/) v(t)2 it V(l) = YW o sin (wo l+ ((Jo), dann ist zu jede Zeitpunkt t gleih de Wert der gesaten Energie E ges (l) ist. Außerde erkennt an, daß sih die potentielle und kinetishe Energie it der doppelten Systefrequenz periodish hin und herbewegen. Dieser periodishe Energieaustaush ist wie bereits in der Einführung zu diese Hauptabshnitt erwähnt die Grundeigenshaft von Shwingungen. Nah G. (511) ist W6 = C,.so daß für die kinetishe Energie auh geshrieben werden kann (551) Werden G. (549) und (550) in die Gleihung für den Energieerhaltungssatz (548) eingesetzt, dann ergibt sih Elektroagnetishe Shwingung Ein elektroagnetisher Shwingkreis besteht aus eine Kondensator der Kapazität C und einer Spule der nduktivität L geäß Bild 517 (s. a. Abshn ). Für den Strokreis gilt, daß die Sue aller Spannungen gleih null ist: (554) E ges (l) = t C y2 [os 2 (wo l + ({Jo) + sin 2 (wo t + ({Jo)]. (552) Mit os 2 (wol)+sin 2 (WOl) =, v=woy und C = W6 gelten die Beziehungen Bild 518 zeigt die Differentialgleihungen und deren Lösungen für die Shwingung der Ladung q, der Strostärke i und der Spannung a Kondensator u. Alle Shwingungen haben dieselbe Kreisfrequenz Wo bzw. Periodendauer To: E ges (t) = t C y2 = t w6y2 = t v 2 = konstant. (553) Soit ist bestätigt, daß die gesate Shwingungsenergie der freien, ungedäpften Shwingung zu jeder Zeit konstant ist. Die Gesatenergie ist proportional zu Quadrat der Shwingungsaplitude y2 bzw. der Maxialgeshwindigkeit 2. v n Bild 516 ist der zeitlihe Verlauf der potentie~len Energie Epot (l), der kinetishen Energie E kin (l) und der Gesatenergie E ges () egezeihnet. Es wird deutlih, daß die Sue von potentieller und kinetisher Energie Wo = :;=:L=C=', (561) To = 2n LC. (562) (s. ThosonGl. (4302)). Beispiel 5.15: Die Kapazität des Shwingkreises (Bild 517) wird in Shalterstelung 02 durh eine angelegte Gleihspannung Uo aufgeladen, und durh Ushalten auf Stellung 12 wird die Shwingung er E. / \ / " \ /. /. / \ /. \ / \. X. \ / \., ~ 2. / / \,/. /.! 1 ~2. 2 ( ) Bild 516. Energieerha/tung bei Shwingungsliorgängen.

2 Shwingungen und Wellen ==C L Bild 519 zeigt die Analogie ehanisher (a Beispiel des FederMasseSystes) und elektroagnetisher Shwingungen (a Beispiel des Shwingkreises KondensatorSpule). Während bei ehanishen Syste die Auslenkung periodish shwingt und ein periodisher Austaush zwishen potentieller und kinetisher Energie stattfindet, shwingt o 1 Bild 517. Ungedäpjter elektroagnetisher Shwingkreis. i elektroagnetishen Syste die Ladung zwishen Kapazität und Spule hin und her, und es findet ein periodisher Austaush zwishen elektrisher und agnetisher Energie statt. Der Masse i ehanishen Syste regt. Es ist Uo = 2 V, L = 10 H und C = 1 lf. Zu berehnen sind a) Aplitude q und Nullphasenwinkel (POq der Ladung, b) Aplitude t und Nullphasenwinkel (PO i der Strostärke sowie ) die Eigenfrequenz/o. entspriht die Spule i elektroagnetishen Shwingkreis, die sih als träges Eleent der Stroänderung widersetzt. Die rüktreibende Kraft ist i ehanishen Syste proportional zur Federkonstanten und i elektroagnetishen Shwingkreis u so größer, je kleiner die Kapazität ist. Ausgangszustand (Bild 519, rp = 0) ist i? Lösung: a) Es gilt q = C Ct it Ct = Uo. Also ist q= 2 1O 6 C; für den Nullphasenwinkel gilt (POq = rpou = O. b) Es ist. dq. ( )' ( " 1= dl = q Wo s Wo t = q Wo os Wo t 2); die Aplitude beträgt. i = q w = q V = 20 A' o.c ' 1' der Phasenwinkel ist rpoi = ) Für die Frequenz gilt Wo 10 = = = 1, s. 2n 2nVl.C ehanishen Syste die Auslenkung axal und deshalb die potentielle Energe axial und die kinetishe Energie null. elektroagnetishen Shwingkreis ist die!z0ndensatorspannung und soit die e1ektnshe Energie axial; dagegen fließt kein S~ro durh die Spule, so daß die agnetshe Energie null ist. Nah eine Winkel von n/2 durhläuft die Masse it axialer Geshwindigkeit die N ullage. Die potentiel~e Energie ist null und die kinetishe Enerwe axial. Entsprehend ist i elektroagnetshen Shwingkreis die Spannung a Ko~densator und dait die elektrishe Energe gleih null, während der Spulenstro und de di q l dt' C dt u = L u= ~=i d 2 q 1 d 2 i 1 d 2 u 1 dt2 + LC q = 0 dt2+ LCi=O + 0 dt2 LCuC (555) (556) (557) q(t) = qos(wot+.,ooq) i(t) = fos(wot+.,o.) 0' (558) (559) U (t) = Uos(wot+.,oou) (560) w~i 1 0 LC Bild 518. (561) Differentialgleihungen und ihre Lösungen i ungedäpjten elektroagnetishen Shwingkreis.

3 5.1. Shwingungen 357 ehanishes Feder Masse Syste elektroagnetisher Shwingkreis u=u ox '1'= 0 y= Yax v=o + E pot = ax' E dn = 0 E =ax' E =0 el ' agn ;=1 ax S op=rr/2 Y=Q ';> r, v=v rnax,/ E =O'E =ax pot kln E = O' E el ' agn = ax op=rr u=u Y= Y ax ax v= 0.L+ ( Epot= ax; E kn = 0 E = ax' E = 0 el ' agn ;=1 ox '1'= 3rr/2 ::r S.C Y=Q, v=v rnax Epot = 0 ; E idn = ax E = 0' E el ' agn = ax ) 7> u=u ox '' = 2rr y= Yax ( v=o + ( ( Epot = ax; E idn = 0 E el = ax; E ~gn= 0 Bild 519. Analogie ehanisher und elektroagnetisher Shwingungen.

4 Shwingungen und Wellen agnetishe Energie axial sind. ehanishen bzw. elektroagnetishen Shwingungssyste wiederholen sih diese Zustände periodish Freie gedäpfte Shwingung Wird eine freie Shwingung durh Wirken von Reibungskräften gedäpft, so kot die Shwingung i Laufe der Zeit zur Ruhe. Energetish betrahtet wird ein Teil der Shwingungsenergie in thennishe Energie verwandelt, und zwar so lange, bis keine Shwingungsenergie ehr vorhanden ist. Tabelle 53 zeigt übersihtlih drei untershiedlihe Reibungskräfte bei freien, gedäpften Shwingungen: die geshwindigkeits unabhängige Gleit oder Rollrei bungskraft (563) die geshwindigkeitsabhängige Reibungskraft, die proportional zur Geshwindigkeit ist (Newtonshes Reibungsgesetz der viskosen Reibung), FR = b u, (564) die geshwindigkeitsabhängige Reibungskraft, die proportional zu Quadrat der Geshwindigkeit ist (z. B. Luftreibung), (565) Auh die Differentialgleihungen des Feder MasseSystes sind für diese drei Fälle in Tabelle 53 zusaengestellt. Die Lösungen werden (bis auf die vo Quadrat der Geshwindigkeit abhängige Reibungskraft) i folgenden näher erläutert. Geshwindigkeitsunabhängige Reibungskraft Je nahde, ob sih der Körper nah oben (u in Rihtung y) oder nah unten (u in Rihtung y) bewegt, wirkt die Reibungskraft in negativer oder positiver yrihtung. Deshalb üssen diese Bewegungsabläufe getren~! betrahtet werden. Bild 520 zeigt eine Ubersiht. Für die Aufwärtsbewegung gilt die Bewegungsgleihung (566) Die Konstante /1 F N kann gleih Yo gesetzt und als konstante Vorspannung aufgefaßt werden. Wird weiter y + Yo = s gesetzt, dann ergibt sih für s die Differentialgleihung der ungedäpften haronishen Shwingung (Abshn , G. (517)) $"+ s=o (567) Tabelle 53. Untershiedlihe Reibungskräfte und die entsprehenden Differentialgleihungen bei gedäpften Shwingungen. Reibungskraft geshwindigkeitsunab geshwindigkeitsab geshwindigke~tsabhängige Reibungskraft hängige viskose hängige Luftrel bungs Rei bungskraft kraft FR = J.l F N FR = bv FR = d v 2 Differentialgleihung ji ± J1 F N + C Y = 0 ji+by+ y =O ji ± d y2 + C Y == 0 Su bstitution: Yo= J.l F N des FederMasse Systes s = y ±Yo s = y b d ji+ y+ y=o ji ± _y2+ _y ==O n L S' + s=o

5 5.1. Shwingungen 359 Aufwärtsbewegung Abwärtsbewegung Y v Y FA F Fed FA F Fed v CY/lFN ;a CY+/lFN ;a y + p. FN + ev; 0 (5 66) V p. FN+ev;o l (571) Substitutionen: p.f N ; eva Substitutionen: p. F N ; eva y +e(y+ Yo) ; 0 y+ e(y Yo); 0 it y+ Ya; $ it y Yo; $ und y; $ und y ; $ e e 5+$ ; 0 $+$ ; 0 (5 67) (5 67) Lösung: Lösung: y; Cv + Yo) os(wo t + '1'0) Yo (5 70) y; Cv Yo) os(wot+ '1'0) + yo 1 (572) y Yot' B Ta 2 V T o +Ya 1, t Ta 0 t C 2 f A Bild 520. Bewegungsabläuje bei Wirken eer geshwindigkeitsunabhängigen Reibungskrajl. +V o Y { 0 2, Ta t it der Lösung s =.socos(wol+f/jo), Wo = (568) (569) D~r~ h Ersetzen von s durh y + yo gilt für den zelthhen Verlauf der Auslenkung y Y = (Y + YO) os (WO t + f/jo) YO. (570) Beginnt die Bewegung bei negativen Maxialwert A (f/jo = 0 a Punkt A) nah oben, so findet eine völlig ungedäpjle CosinusShwingung statt allerdings u die u Yo verse/zobene Ahse. Nah der halben Periodendauer T o /2 ist die Shwingung a höhsten Punkt B angelangt. Dort beginnt die Abwärtsbewegung, bei der die Reibungskraft da Vorzeihen ukehrt (Bild 520), so daß eine ungedäpfte Shwingung u die u + yo vershobene Ahse stattfindet. Da die Kurve stetig verlaufen uß (unteres Teilbild in Bild

6 Shwingungen und Wellen 520), ist nah jeder halben Periodendauer die Aplitude u 2 yo kleiner, d. h. nah einer D=. (575) 4 J1. F N ganzen Periodendauer T u 4 yo = '._.:.: C Die Aplituden werden aus diese Grund ier u denselben Betrag kleiner, so daß ihre Zahlenwerte einer arithetishen Reihe entsprehen. Dieser Reibungsvorgang hat zur Folge, daß das Syste niht genau bei y = 0 zur Ruhe kot, sondern außerhalb (in diese Fall bei yo). Dies kann bei Meßsysteen zu Nullpunktsabweihungen führen, die bei der Auswertung von Meßdaten berüksihtigt werden üssen. Geshwindigkeitsproportionale (viskose) Reibung Der doppelte Wert wird Verlustfaktor d genannt. Sein Kehrwert ist die Güte Q: b b d =2D=, (576) wo wo Q '= 2D b b (577) Mit de harakteristishen Paraeter D lautet die Differentialgleihung eines freien, gedäpften Systes?ie Reibungskraft ist in diese Fall proportonal zur Geshwindigkeit (Newtonshes Reibungsgesetz) : Y+ 2Dwoy+wh=0. (578) FR = bv. (564) Bild 521 zeigt die drei öglihen Lösungsfälle dieser Differentialgleihung. Die Proportionalitätskonstante b heißt Däpfungskoeffizient. Die zugehörige Differentialgleihung (Tabelle 53) lautet a) Shwingfall für Wo > b (D < 1) Die Lösung lautet b y+ y+ y=o. (573) y(t) =.Po e{)/ COS(Wd t + ({Jo). (579) Die Frequenz der gedäpften Shwingung Wd V Der Faktor / ist die Kreisfrequenz der ungedäpften Shwingung: Wo= (511) beträgt _b =Vw5 b2 4 2 = Wo V D 2. (580) bis (582) Der Faktor b/(2 ) wird als Abklingkoeffizient b (n S ) definiert: Dies bedeutet, daß die Kreisfrequenz d~s gedäpften Shwingers Wd kleiner al.s die Kreisfrequenz des ungedäpften Shw.wg ers b = b. 2 (574) Wo ist. (Entsprehend größer ist die Penod~ndauer der gedäpften Shwingung Td Vergleih zur ungedäpften Shwingung To ) Wie G. (579) verdeutliht, beshreibt er die exponentielle Aplitudenabnahe der freien gedäpften haronishen Shwingung nah G. (573). Das Verhältnis von Abklingkoeffizient bund Kreisfrequenz Wo ergibt den diensionslosen Däpjungsgrad D der gedäpften Shwingung: Wie aus G. (579) weiter hervorgeht, nehen die Aplituden entsprehend der Expone~tialfunktion e 5t ab. Dies heißt, daß d~e Aplitudenverhältnisse konstant sind. ~ur den zeitlihen Verlauf der ittleren Shwwgungsenergie E Sh gilt deshalb E Sh (t) = E Sh (0) e 25t. (583)

7 5.1. Shwingungen 361 Cl Shwingfall Kriehfall aperiodisher Grenzfall ::J D < 1 D > 1 D=1 Cl. wo ~ Ö wo<ö al!l W = Ö 0 y(t) = yoe ör os(wdt + '1'0) (579) (t) (i' r' i'w~ r y = y,e + y(t) = (y, + '7 t)e Ör (590) W = d b 2 (61 62 w2 )( () ( w Or C + Y2 e y t = Y, + '7 t)e 4 2 (589) Wd=VW~ _ö 2 y(t)=y,e w.(oyo'1 r + w d = Wo w d < Wo 1_D2 (580) bis (582) + Y2 e w.(o. yo' 1r w W =0 d agar d y T d Y Y.. 0 ",. Ör ". Yo " " yoe ::J u. / ~ " "l) T o _? ~ t T o 2T t T o o 2T t 2T o o Co ~ ~ Cl ~/ /' Bild 521. Lösungen der drei Fälle bei gedäpften Systeen. ~er Abklingkoeffizient b kann sowohl analy Jsh als auh graphish erittelt werden. Na.h G. (579) gilt für die Aplituden ZWeier aufeinanderfolgender Shwingungen.Pi+ =.Pi e btd oder Daraus errehnet sih der Abklingkoeffizient n, Yi " Yi+1 A b= 1d 1d (587), y., = e01d = k, Yi+1 (584) Bei der graphishen Bestiung von b geht an ebenfalls von G. (579) aus: d. h., das Aplitudenverhältnis zweier aufeina~derfolgender Shwingungen ist konstant. Es Wrd Däpfungsverhältnis k genannt. Für die note Aplitude gilt entsprehend (585) y (t) = Po e bi. Diese Gleihung wird durh Logarithieren auf eine Geradengleihung zurükgeführt: n (.9(t) /Yo) = 5t, y= x+b. (588) Z~r Bestiung des Abklingkoeffizienten b wrd G. (584) logarithiert. Der Logarith ~us z:veier aufeinanderfolgenden Aplituen wird logarithishes Dekreent A genannt: A =n = n (k) = b1d. (586) PH Daraus ist ersihtlih, daß der Abklingkoeffizient b der Steigung der Geraden entspriht n einer Graphik wird zwekrnäßigerweise auf halblogarithishe Papier der Logarithus der Aplituden Pi aufeinanderfolgender Shwingungen als Funktion der Zeit aufgetragen und aus der Steigung der Abklingkoeffizient b bestit.

8 Shwingungen \lnd Wellen Shwingfall wo:> 6 A 6 ). (D ) d A Yo y()=yo 'COS("'dl +'1'0 it 'l'o=artan un yo= osop 11D 2 0 > Cl " gedäpfte Shwingung it 0 = 0,1 ".4.>..2 " / \ ' ".2.4 a: > Cl " 4 ~.>..2 V \. 1 gedäpfte Shwingung it 0 = 0,2 ~ a: "'0 " e "'0 V.6 > Cl.(l.6 ".4.> gedäpfte Shwingung it 0 = 0,4 a: " "'01 aperiodisher Grenzfall '" 0 = 6 y(l) = yo(l +61)e6, aperiodisher Grenzfall it 0 = 1 > Cl 8 ~.6.4 ".> " a:.4 t "'0 Kriehfall r /l.+6 /1.+6 "'0< 6 Y()=~ e 6, en + l a 2/1. 2/1. e /l., Für y(o) = Va > _ )10(/1.+6). _ A /1.+6 ' y(o) = 0 y, 2/1. 'Y2 Yo 1 2/1. > '" 1.2 Kriehfall it 0 = /. = vi 6 2 _ "'~ " 4 0 = 1'0 " >..2 i a:.4 t "'0 Bild 522 Shwingfall, aperiodisher Grenzfall l1d Krielifall eilles gedäpften Systes it. den Anfangsbedgungen y (0) =' und y (0) =' Q.

9 5.1. Shwingungen 363 Beispiel 5.16: Die Aplitude eines gedäpften Feder MasseSystes beträgt zu Beginn der Shwingung Yo = O. Sie ist nah 20 Shwingungen noh halb so groß. Wie groß ist bei einer Shwingungsdauer T d = 2 s das Däpfungsverhältnis k, das logarithishe Dekreent A, der Abklingkoeflizient (j und die Frequenz des ungedäpften Systes? Wie lautet die Bewegungsgleihung y (t) des gedäpften Systes? Lösung: 20 Nah G. (585) gilt i = k 20 oder k = Vi = 1,0352. Das heißt, jede nahfolgende Aplitude ist u 3,4% kleiner als die vorausgegangene. Für das logarithishe Dekreent gilt nah G. (586) A = n (k) = 0, tritt gerade eben keine Shwingung ehr auf. Er spielt für viele Meßgeräte eine wihtige Rolle, wenn Shwingungen vellnieden und trotzde die Meßwerte öglihst shnell eingestellt werden üssen. Bild 522 zeigt den Einfluß des Däpfungsgrades D auf den Shwingungsverlauf Gedäpfte elektroagnetishe Shwingung Ein gedäpfter elektroagnetisher Shwingkreis besteht entsprehend Bild 523 aus einer Spule L, eine Kondensator C und eine ohsehen Widerstand R (s. auh Abshn ). L Nah G. (587) errehnet sih der Abklingkoeffizient (j zu A 0= T = 1, S. Nah G. (581) (Bild 521) errehnet sih Wo zu Wo = V wa + (j2 = 3,14160 S. Gedäpfter elektroagnetisher Shwing Bild 523. kreis. R Die. Kreisfrequenz des ungedäpften Systes Wo st Vergleih zur Kreisfrequenz des gedäpften Systes Wd nur geringfügig größer (1/10 Proille). Des 1st in der Praxis häufig der Fall. Day(O) = Yo ist, ist der Nullphasenwinkelrpo':'::! 0. Aus den zuvor errehneten Werten ergibt sih geäß G. (579) folgende Bewegungsgleihung: Y(/) = 10. e.73 10' s " os (11 S t). b) Kriehfall für Wo < () (D > ) Die Lösung ist in Bild 521 durh G. (589) angegeben. n diese Fall tritt keine Shwingung ehr auf, die Aplitude nit ganz langsa ab. Durh die Angabe der Anfangsbedgungen Y (0) und y (0) werden die beid~n ntegrationskonstanten Y und Y2 beshrnt. ) Aperiodisher Grenzfall für Wo = {)(D = 1) Die Lösung lautet für diesen Fall Aus der Forderung, daß die Sue aller Spannungen in einer Mashe eines Strokreises gleih null sein uß (UL + U + UR = 0), kann die Differentialgleihung für den gedäpften elektroagnetishen Shwingkreis hergeleitet werden. folgenden wird die Differentialgleihung aber über den Energiesatz aufgestellt. Da bei einer freien, gedäpften haronishen Shwingung die Energieverlustrate pro Zeiteinheit konstant ist, gilt _ deges = i2 R. d! (591 ) Die Verlustleistung i 2 R kann auh noh Verluste, wie z. B. Wirbelstroverluste oder Uagnetisierungsverluste, enthalten. Mit de Energieinhalt für Spule und Kapazität entsteht aus G. (5 91 ) d L' 2 q2 d! C (590) D'. le belden ntegrationskonstanten Y 1 und C2 Werden wieder durh die Anfangsbedingungen erittelt. Bei aperiodishen Grenzfall. di q. 2 R L 1=/. d! C d 2 i i di L = R. dt 2 C d! d dl und: i.

10 Shwingungen und Wellen Daraus ergibt sih d 2 i R di dt 2 + L dt + LC i = O. (592) Diese Differentialgleihung hat diesel be Struktur wie die eines freien, gedäpften ehanishen Systes (G. (573». n Tabelle 54 sind die ehanishen und elektrishen Größen von gedäpften shwingungsfähigen Systeen sowie die Gleihungen für die Kreisfrequenz Wo, den Abklingkoeffizienten 6' den ~äpfungsgrad D und die Güte Q g~genubergestell t. Tabe.He 5.4. Charakteristishe Kenngrößen eha.rush~r und elektroagnetisher Shwingkrese t Däpfung. ehanish Masse Däpfungskonstante b Federkonstante wo= elektroagnetish nduktivität der Spule L Widerstand R Kehrwert der Kapazität Kreisfrequenz Wo Wo= LC C Berehnet werden sollen a) die Eigenkreisfrequenz Wo, die Shwingungsdauer To, der Nullphasenwinkel 'Po und die Aplitude y, b) die oentane Auslenkung y (), die oentane Geshwindigkeit v () und die oentane Beshleunigung G () für die Zeit 1 = 1,2 s, ) die axiale Geshwindigkeit V ax und die axiale Beshleunigung G sowie ax d) die potentielle und die kinetishe Energie eines shwingenden Körpers der Masse = 0,1 kg bei der Auslenkung y () = 0,10. U 5.12: Ein Reagenzglas it de Durhesser d = 1,2, in de sih Blei befindet, shwit aufreht i Wasser. Die Gesatasse (Reagenzglas + Blei) beträgt = 30 g. Wird das Glas kurzzeitig ins Wasser gedrükt, dann führt es Shwingungen aus. a) Es soll nahgewiesen werden, daß bei Vernahlässigung der Flüssigkeitsreibung eine haronishe Shwingung in vertikaler Rihtung vorliegt; ferner sollen berehnet werden b) die "Federkonstante", die Shwingungsdauer To und die Eigenkreisfrequenz Wo des Systes, ) die Abhängigkeit der Eigenkreisfrequenz Wo vo Durhesser d des Reagenzglases sowie d) die potentielle und kinetishe Energie zur Zeit 1 = 1,2 s bei einer Aplitude von Y = und N ullphasenwinkel 'Po = 0. b= b 2 Abklingkoeffizient b R b= 2 L (593) Däpfungsgrad D D= b b b R C D= Wo 2 Wo 2 L (594) Ü 5.13: Ein Shwingkreis it einer Spule (L = 10 H) hat einen Drehkondensator it veränderliher Kapazität C. Bei einer Änderung ~es Drehwinkels u )' = wird ein Frequenzbereh von khz bis 3 khz überstrihen. Berehnet werden soll die Abhängigkeit der Eigenkreisfrequenz: (1)0 von de Drehwinkel )' des Drehkondensators behnearer Abhängigkeit der Kapazität C vo Drehwwkel )'. GüteQ V 1 Q=2D Q=2D Zur Übung Ü 5.~1: b R t L C (595) Ein Körper führt eine ungedäpfte, haroshe Shwingung it folgender WegZeit Glehung aus: Y(/) = 0,25. os (4 1t S +.!) 5. Ü 5.14: Bei einer gedäpften Shwingung beträgt die Aplitude der ersten Shwingung 20. Nah 15 Shwingungen nit sie u die Hälfte ab. Berehnet werden sollen a) das Däpfungsverhältnis k bzw. das logarithshe Dekreent A, b) der Abklingkoeffizient b bzw. die Kreisfrequ~nz der gedäpften Shwingung Wd bei einer SbWWg~ngsdauer von T d = 3,5 s sowie en ) de Shwgungsgleihung y () des gedapft Systes (Nullphasenwinkel 'Po = 0).

11 5.1. Shwingungen Erzwungene Shwingung Differentialgleihung der erzwungenen Shwingung Wird eine ehanishen (oder elektrishen) shwingungsfähigen Syste (Resonatol~ von eine äußeren Erreger eine periodishe Kraft (oder Spannung) aufgezwungen, dann ergibt sih eine erzwungene Shwingung. Nah einer ausreihend langen Zeit (Einshwingdauer) wird das shwingungsfähige Syste it der vo Erreger erzwungenen Kreisfrequenz WE shwingen. Für die folgenden Überlegungen wird das in Bild 524 dargestellte ehanishe Syste betrahtet. Hierbei gilt das N ewtonshe Bewegungsgesetz: (596) Lösung der Differentialgleihung der erzwungenen gedäpften Shwingung Die Differentialgleihung der erzwungenen Shwingung (598) ist i Gegensatz zu der Differentialgleihung für die freie Shwingung inhoogen. Die allgeeine Lösung einer linearen, inhoogenen Differentialgleihung ist Yinh = Yho + Ypan, (599) d. h. die Sue aus der allgeeinen Lösung der hoogenen Differentialgleihung Yho und irgendeiner, die inhoogene Differentialgleihung befriedigenden partikulären Lösung Ypan, wie aus Bild 525 hervorgeht. Die Lösung der hoogenen Differentialgleihung ist bereits bestit: Es ist die Bewegungsgleihung des Shwingfalles (G. (579)) der freien, gedäpften Shwingung (oberer Kurvenverlauf in Bild 525). lnfolge der Däpfung FFefj=CY ~ Bild 524. Erzwungene Shwingung des FederMasseSystes. Ruhelage Y v. FR=bv Für die periodish erregende Kraft FE gelte FE=FEos(wEt). (597) Hierbei ist FE der Maxialwert der erregenden K f M' d b dy gilt rat. tffed=yun FR = dt ~.urh dy d 2 y A yb +FEos(WEf)= d 2' dt f geeignete Ustellung und unter Beruksihtigung des Däpfungsgrades D ergibt sih die Differentialgleihung der er ZWungenen Shwingung: ~2y dy 2 h d 2 + 2D Wo + woy= COS(WEt). f dt (598) 3 2 "" 1 '" C :J 0.>l C ~ 1 '" :J <t 2 3 v = ~ e 6t os(w t) 'ho 0 d 10 3 Vpart = yos(wet) 2 '" 1 ~ 0 ;;; 1 :J <t "" g' 1 :J ~ 0 ~ 1 <t V 1nh = V ho + V part Wo = 2 ; 6=~S w = 2"S 1) Zeit t W= 1 ; W =0811S 1 ) E 20 Zeit t 20, Zeit t 1 Einshwingvorgang stationärer Zustand Bild 525. Einshwingvorgang und stationärer Zustand bei einer erzwungenen Shwingung

12 Shwingungen und Wellen rut der Beitrag der hoogenen Lösung it der Zeit ab. Für Zeiten ~ 1/15 bestit allein der Beitrag der partikulären Lösung (in diese Fall die Shwingung it der erregenden Kreisfrequenz WE) das Shwingungsverhalten. Da das Syste nah einer Einshwingzeit der Erregershwingung (G. (597» folgt, ist als Ansatz für die partikuläre Lösung (5100) zu wählen. Der Winkel y beshreibt die Phasenvershiebung zwishen der Erregerund der Resonatorshwingung. Bild 526 zeigt diesen Zusaenhang in der koplexen Ebene. Hierbei ist die_ erregende Kraft FE ein koplexer Zeiger FE ej"'e t, der it der erregenden Kreisfrequenz WE rotiert. Die Auslenkung des Shwingers yej(wet y ) rotiert als Zeiger rillt derselben Frequenz, jedoh u die Phasenvershiebung y verzögert. Wie groß Eingesetzt in die Differentialgleihung (598) ergibt it FE = FE e jwe1 y w~ ej(we y) + 2 D woj Y WE ej(wey) + wö y ej(wey) = FE ejwe1. Durh Division it ej(wey) resultiert y w~+j2dwoywe+wöy= FE ej y. Der koplexe Ausdruk auf der linken Gleihungsseite wird nah Real und aginärteil getrennt: Y(WÖw~)+j2DwoWEY= FE e jy. Realteil aginärteil (5 03) # # Nah der Eulershen Forel für den rehten Teil der Gleihung gilt diese Phasenvershiebung ist, hängt von der Erregerfrequenz WE, der Eigenfrequenz Wo und der Däpfung ab. FE FE = e JY = (os y + j sin y). (5104) aginär Soit kann der koplexe Zeiger FE/rn in Bild 527 in seinen Realteil E rreger, ~ Shwinger 'G,.~ \ \ult. 'Y jlw t ~) ye E, Real FE = (Real) = Y(WÖ w~) (5105) und in seinen aginärteil F =E (aginär) = 2 D wey Wo (5106) Bild 526. Erreger und Resonatorshwingung in der koplexen Ebene. zerlegt werden. Der Winkel zwishen de.rn koplexen Zeiger FE/ und der Realtelahse ist die Phasenvershiebung y. aginärteil j Als Ableitungen von G. (5100) errehnen. sih (5101) (5102) 2Dw e way _::_.. 1 L._ Y ~(W2_ (2) Realtel Bild 527. Real und aginärteil des Zeigers einer erzwungenen Shwingung. o E koplexen

13 5.1. Shwingungen 367 Aus der Lage des koplexen Zeigers läßt sih der Aplitudenverlauf in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz COE (Aplitudenresonanzfunktion) und der Verlauf der Phasenvershiebung y zwishen Resonator und Erreger ebenfalls als Funktion der Erregerfrequenz (PhasenresonanzJunktion) besti en. Die Aplituden und die Phasenresonanzfunktion sind in Abhängigkeit des Kreisfrequenzverhältnisses 17 = COE/COO in Bild 528 bzw. 530 dargestellt. Es sind drei wihtige Fälle in den Frequenzverhältnissen zu untersheiden: die quasi statishe Anregung 17 ~ 1, die Resonanz 17 ~ und die hohfrequente Anregung 17 ~. (::r ~ ("w 3.,, 0=0 ~ 21 :J ~. Co E «~.,. Ē ~ o : 1 o Bild ~ o=fi = 02 1 Kreisfrequenzverhältnis ) Aplitudenresonanzfunktion Aplitudenresonanzfunktion Für den Betrag des Zeigers in Bild 527 gilt nah Pythagoras 2 FE =y2(coö o~)2+(2d COOCOEy)2.. Daraus ergibt sih für den Aplitudenverlauf Tabelle 55. Aplituden und Phasenverlauf einer erzwungenen Shwingung für vershiedene Däpfungsgrade und untershiedlihe Kreisfrequenzverhältnisse. Däpfung D ohne Däpfung geringe Däpfung überkritishe Däpfung D=O D ;fi 0, D~tv'2 Für jeden dieser Fälle kann es je nah Däpfungsgrad D (keine Däpfung, geringe oder überkritishe Däpfung) Untershiede i Aplituden und Phasenverhalten geben. Sie werden i folgenden ausführliher erläutert. Die Ergebnisse sind in Tabelle 55 zusaengefaßt. Kreisfrequeverhältnis 17 quasistatishe Anregung 17 ~ 1 (WE ~ wo) Aplitude y FE = C bis 17 :::::: zunehend it 17 > 0 abnehend Phasenvershiebung y = 0 Resona 17 :::::: Aplitude Aplitude Aplitude (WE::::: wo) y + 00 Phasenvershiebung Y = f y + Maxiu y< FE hohfreq uente Aplitude y + 0 Anregung 17 ~ 1 (WE ~ wo) Phasenvershiebung y= 1t Phasenvershiebung Y + 1t (abhängig von D)

14 Shwingungen und Wellen A FE y = ~Vr(;=W:::;5<==W=:< :;:;) 2<=,+==(7.;2:=D::=w=0=W=E7)::<2 (5107) Zwekäßigerweise wird das Verhältnis der Kreisfrequenz der erzwungenen Shwingung WE ~nd der ungedäpften freien Shwingung Wo egeführt: (5108) Ohne Däpfung gilt: Wenn WE = Wo ist, wird ", = 1, und es tritt der für die erzwungene Shwingung harakteristishe Resonanzjall ein. Für '< 1 ist der Resonanzfall noh niht erreiht (WE< wo), und für '> 1 ist der Resonanzfall bereits übershritten (WE > wo). Unter Berüksihtigung des Paraeters ' und = /wij gilt für die Aplitudenresonanzfunktion allgeein (5 109) Bild 528 zeigt den Verlauf der Aplitudenresonanzfunktion in Abhängigkeit von ' für einige Däpfungsgrade D. n der Aplitudenresonanzfunktion treten folgende Spezialfalle auf (Tabelle 55). 1.) Sehr langsae, quasistatishe Auslenkung (11 ~ 1) Es wird FE A y = = y (stat). Dies ist die statishe Auslenkung aufgrund der Federkraft. 2.) Resonanzfall(", = l)ohnedäpfung(d = 0) n diese Fall wird der Nenner null, d. h. die Aplitude wird unendlih groß (Bild 528):.p (Res). 00. Der Erreger pupt bei jeder Shwingung phasengereht Energie in den Resonator, so daß dessen Aplitude ständig zunit. Es kot zur Resonanzkatastrophe. Sie kann durh bestite Maßnahen verhindert werden: Vereidung periodisher Kraftwirkungen, Einbau von Däpfungsgliedern o~er große Differenzen zwishen der Elgenkreisfrequenz Wo und der erregenden Kreisfrequenz WE (' ~ 1). 3.) Resonanzfall (' ~ ) it DäDpfung D st eine Däpfung vorhanden, so ~ird der Nenner in der Forel für die Anlphtudenresonanzfunktion (G. (5lO9» niht. ehr null. Es kann das KreisfrequenzverhältOl S "'Res bzw. die Resonanzfrequenz WRes erittelt werden, für die die Aplitude axial wird. Dies ist der Fall, wenn der Radikand R der Wu~zel i Nenner von G. (5109) ein Miniu Wrd : R =(1 rj2)2+(2d '1)2. Miniu. Wird die erste Ableitung nah ' gleih null gesetzt, so ergibt sih "'Res = V 1 2 D 2 (5110) ] oder die Resonanzkreisfrequenz (5111) ] Dies bedeutet, daß bei einer Däpfung das Maxiu der Aplitudenresonanzfunktion bei einer Resonanzfrequenz liegt, die stets kleiner als die Eigenkreisfrequenz Wo (bzw. Wd) ist. Werden die Beziehungen für rjres (G. (5110» bzw. WRes (G. (5111» in die Aplitudenresonanzfunktion (G. (5109» eingesetzt, so ergibt sih für die Größe der Aplitude i Resonanzfall (5112) Aus den Gleihungen für die Resonanzfrequenz (G. (5110) bzw. (5111» und der Resonanzaplitude (G. (5112» geht hervor, daß it steigende Däpfungsgrad D die Resonanzfrequenzen ier kleiner werden und die Aplituden ebenfalls a bnehen (Bild 528). Die Aplitudenüberhöhung findet nur bis zu einer Grenzdäpjung D Gr statt, für die die Wurzel in G. (5110) noh reell ist. Diese Grenze liegt bei

15 Shwingungen und Wellen o Bild ,4 D=O 0,2 2 W E 1)= Wo PhasenresonanzJunktion. f2 2 i Resonanzfall ein Sprung i Phasenwinkel von 0 auf n vorhanden. =5 3.) Resonanzfall (" ~ 1) it Däpfung D Es ist tan y = 00, d. h. y = ~. Für jeden Däpfungsgrad ist i Resonanzfall die Phasenvershiebung y = l' Deshalb wird auh für D = 0 der Shwingung dieser Phasenwinkel zugeordnet. 4.) Hohfrequente Anregung (" ~ 1) Der Erreger und der Resonator shwingen annähernd gegenphasig (für " ~ 00 ist Y = n), und zwar u so genauer, je geringer die Däpfung D ist (Bild 530). Zur Übung Ü 5.15: Eine Mashine der Masse = 1,5 t steht auf sehs gleihen Federn der Federkonstante = N/. Däpfungseleente bewirken eine Däpfung it de Däpfungsgrad D = 0,15. Wenn die Mashine it der Drehzahl nl = 500 in l läuft, treten infolge einer Erregerkraft Shwingungen it der Aplitude Yl = 1 rn auf. Wie groß uß die Drehzahl n 2 gewählt werden, dait die Aplitude auf.92 = 0, rn abnit? U 5.16: n einen elektrishen Shwingkreis it der nduktivität L = 20 H und der Kapazität C = 2 ~F wird ein Widerstand R eingebaut. Berehnet werden sollen a) die Eigenfrequenzfo bzw. die Eigenkreisfrequenz Wo des ungedäpften Systes, b) der Wert des Widerstandes R, wenn sih die Eigenfrequenz u 3%0 ändern soll, ) die Resonanzüberhöhung und die Breite der Resonanzkurve des Shwingkreises Überlagerung von Shwingungen Solange die Auslenkungen den elastishen Bereih niht übersteigen, können für die Ü berlagerung von Shwingungen die untershiedlihen oentanen Auslenkungen der Einzelshwingungen zeitpunktgereht zur oentanen Gesatauslenkung addiert werden (Superpositionsprinzip). Hierbei gelten die Additionstheoree der Trigonoetrie. Bei der Überlagerung von Shwingungen kot es darauf an, ob die Shwingungsrihtungen paralel sind oder senkreht aufeinanderstehen. Jede Shwingung kann sih von der zu überlagernden in ihrer Phase, Aplitude oder Frequenz untersheiden. Tabelle 56 zeigt die wihtigsten Phänoene, die sih ergeben, wenn Bewegungsrihtungen und Frequenzen gleihbleiben oder sih ändern. Tabelle 56. Resultierende Shwingung bei Shwingungsüberlagerung. Frequenz Bewegungs Bewegungsart rihtungen rihtungen parallel senkreht gleihe Shwingung glei vershiedene Frequen her Frequenz, Ellipsen je nah zen vershiedener Aplitude und Aplitude undl Phasenlage oder Phase unter Shwebungen ganzzahlige F~eshied FourierSynthese q uenzverhältsse lihe Fre LissajousFiguren quenzen Überlagerung haronisher Shwingungen gleiher Raurihtung und gleiher Frequenz Folgende zwei haronishe Shwingungen solen sih überlagern: Yl () =.P COS (w 1 + qjo ), Y2 () = h os (W + qj02). (5120) (5121) Sie ergeben die neue haronishe Shwingung Yneu(t) =.Pneu COS(W t + qjoneu)' (5122)