Theoretische Physik III (Elektrodynamik)

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1 Theoretishe Physik III (Elektrodynamik) Prof. Dr. Th. Feldmann 8. Juni 03 Kurzzusammenfassung Vorlesung 6 vom.6.03 Impulserhaltung Analog zur Energieerhaltung leiten wir nun Kontinuitätsgleihung für Impulsdihte her. Ausgangspunkt ist Änderung des Impulses der geladenen Materie durh Lorentzkraft, dp ( m = F dt = q E + v ) ( B = d 3 x ρe + ) j B d 3 x t p m ( x, t) () Die beiden Terme shreiben wir wieder mit Maxwell-Gleihung um ρ E = (div D) E j, B = [ roth ] td B Weiterhin t D B = t ( D B) D t B = t ( D B) + D (rot E) Zusammengefasst ergibt sih somit t p m = [ E (div D) B (rot H) t( D B) D (rot E) Wenn wir die zeitlihe Änderung der Impulsdihte des elmg. Feldes mit t p f := ( ) t D B ] () (3) identifizieren, und einen Term H (divb) = 0 addieren, damit das Ergebnis symmetrish in elektrishen und magnetishen Feldern aussieht, ergibt sih t [ p m + p f ] = [ ] E (divd) + H (divb) B (roth) D (rote) (4) Drei unabhängige Gleihungen für drei unabhängig erhaltene Impulskomponenten.

2 Form einer Kontinuitätsgleihung? Zeige, dass sih rehte Seite als Divergenz einer Impulstromdihte shreiben lässt. Dazu soll in der Übung überprüft werden, dass t [ p m + p f ] i = j T ij, j mit T ij = [ E i D j + H i B j ] δ ij ( E D + H B) (5) Die Größe T ij heisst Maxwellsher-Spannungstensor. Anmerkung: Im Vakuum ist E = D und B = H, und somit p f = ( ) E B = S (ɛ = µ = ) Beispiel: Energiebilanz für ebene Welle (linear pol.) Für die elektrishen und magnetishen Felder haben wir die Zeitabhängigkeit E( x, t) = E 0 ɛ sin( k x ωt) (E 0 k A 0 ) B( x, t) = E 0 k ɛ k sin( k x ωt) Daraus lässt sih der Poynting-Vektor direkt berehnen S( x, t) = E B = E 0 ɛ ( k ɛ) k sin ( k x ωt) Doppeltes Kreuzprodukt ergibt ɛ ( k ɛ) = k ( ɛ) ɛ ( k ɛ) = k, und somit S( x, t) = E 0 k k sin ( k x ωt) Poynting-Vektor zeigt in Rihtung der Wellenausbreitung ( e k = k/k) Betrag der Energiedihte oszilliert periodish mit sin (..). Im zeitlihen (bzw. räumlihen) Mittel ergibt sih (mit ϕ = k x ωt) S = E 0 π π 0 dϕ sin ϕ = E 0 8π Die Energiestromdihte der elektromagnetishen Welle ist also proportional zum Amplitudenquadrat E 0 und zur Lihtgeshwindigkeit. Die lokale Energiedihte der elektromagnetishen Welle berehnet sih analog aus ω f ( x, t) = 8π ( E + B ) = ( E 8π 0 sin ϕ + E0 sin ϕ ) = E 0 sin ϕ

3 Im Mittel haben wir wieder ω f = E 0/8π, und somit S = e k ω f, (Vegleih: j = v q) d.h. die elektromagnetishe Welle transportiert (im Mittel) die Energie mit Lihtgeshwindigkeit in Rihtung von e k. Wir können für diesen Fall auh explizit das Poynting-Theorem nahprüfen, t ω f = ω E 0 π os ϕ sin ϕ k=ω/ = S = ( k ek ) E 0 π os ϕ sin ϕ Die analoge Diskussion für die Impulsbilanz erfolgt in den Übungen. Elektromagnetishe Strahlung von lokalisierten Quellen Wir hatten bisher als elementare Wellenmoden ebene Wellen mit festem Wellenvektor k betrahtet. Anshaulih (vgl. Wasserwellen) entspriht dies einer Idealisierung, bei der die Quelle entweder unendlih weit entfernt oder unendlih ausgedehnt ist. Für lokalisierte (z.b. punktförmige) Quellen erwarten wir eher so etwas wie Kugelwellen, die radial von der Quelle ausghen ( Skizze) Mathematish entspriht der letzte Fall der Lösung der inhomogenen Wellengleihung mit einem räumlih lokalisierten Quellterm, U( x, t) = f( x, t). Führe zunähst Fourier-Transformation bezüglih der Zeitabhängigkeit durh, U( x, t) + π Ũ( x, ω) e iωt, f( x, t) + π f( x, ω) e iωt (6) Dann gilt mit t e iωt = iω e iωt und t e iωt = ω e iωt, dass + ] U( x, t) = [ ω π e iωt Ũ( x, ω) (7) Mit k = ω/ lautet die Wellengleihung für die Fourier-Transformierten also ( + k ) Ũ( x, ω) = f( x, ω) (8) und für k = 0 ergibt sih als Spezialfall wieder die bekannte Poissongleihung. Spezielle Lösungen für k 0 lassen sih wieder mit Hilfe der Greenshen Funktion konstruieren, welhe folgende DGL löst, ( + k ) G k ( x, x ) = δ (3) ( x x ) (9) wobei shon bekannt ist, dass G k=0 ( x, x ) = x x (0) 3

4 O.B.d.A. (Translationsinvarianz) können wir die Quelle in den Ursprung setzen ( x = 0), und erhalten so ein kugelsymmetrishes Problem, so dass r r (r G k (r)) + k G k (r) = δ (3) ( x) Wir lösen zunähst die DGL für r = x 0, so dass ( r + k ) (r G k (r)) = 0 rg k = α e ikr + β e ikr Für allgemeine Abstände r = x x entspriht das zwei unabhängigen Lösungen G ± k ( x x ) x x e±i k x x () Die allgemeine Lösung ergibt sih dann durh Überlagerung und die Forderung, dass G 0 das bekannte Ergebnis liefert, G k = a + G + k + a G k mit a + + a = G 0 = Wie sieht der zeitlihe Zusammenhang zwishen f( x, t) und U( x, t) aus? x x Spezielle Lösung für Ũ aus Greensher Funktion Ũ ± ( x, ω) = d 3 x G ± k ( x, x ) f( x, ω) (3) Damit spezielle Lösung für U durh Fourier-(Rük-)Transformation + U ± ( x, t) = π e iωt d 3 x x x e±i k x x f( x, ω) ( ) = d 3 x x x π f( x, ω) e iω t x x = d 3 x x x f( x, t = t x x ) (4) Beispiel: periodishe Störung an festem Ort x = 0 f( x, t) := f 0 os(ω 0 t) δ (3) ( x ) U ± ( x, t) = f 0, r os ( ω 0 (t r ) ) Maxima breiten sih gemäß r = ±t mit Lihtgeshw. in radialer Rihtung aus. U + beshreibt radial auslaufenden Kugelwellen mit () t = t r < t retardiert Entspriht physikalish kausaler Situation: Ursahe f(t ) vor Wirkung U + (t). 4

5 U entspriht radial auslaufenden Kugelwellen mit t = t + r > t avaniert Allg. Lsg. durh Überlagerung ( Huygenshes Prinzip in der Wellenoptik) Z.B. für skalares Potential in Lorentz-Eihung (Lösung von φ = ρ) φ ret. ( x, t) = d 3 x x x ρ( x, t = t x x ) zu vergleihen mit instantantem Coulomb-Potential (t = t ) in Coulomb-Eihung. 5