Theoretische Physik C - Zusammenfassung

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1 Theoretishe Physik C - Zusammenfassung Diese Zusammenfassung erhebt keinen Anspruh auf Vollständigkeit oder Korrektheit. Solltet ihr Fehler finden oder Ergänzungen haben, teilt sie mir bitte mit: rihard.gebauer@student.kit.edu SI-System Gauß-System Maxwell-Gleihungen. MWG im Vakuum Gaußshes Gesetz E = ɛ 0 ρ E = 4πρ Gaußshes Gesetz für Magnetfelder B = 0 Induktionsgesetz Erweitertes Ampere-Gesetz E + B t = 0 E + B E t = µ 0 j B. MWG in Materie Elektrishe Flussdihte / Vershiebung B t = 0 E t = 4π j D := ɛ 0 E + P D := E + 4π P Magnetishe Feldstärke H := µ 0 B M H := B 4π M Gaußshes Gesetz D = ρ frei D = 4πρfrei Gaußshes Gesetz für Magnetfelder B = 0 Induktionsgesetz Erweitertes Ampere-Gesetz E + B t = 0 E + H D t = j frei H B t = 0 D t = 4π j frei Seite von 9

2 Elektrostatik Coulomb-Gesetz E r) = 4πɛ 0 Kraft auf Ladung dv ρ r ) r r E r) = 3 F = q E dv ρ r ) r r 3 Gauß-Gesetz Integralform) da E = dv ρ = Q ɛ 0 ɛ 0 V V V da E = 4π dv ρ = 4πQ V Skalarpotential ϕ r) = 4πɛ 0 dv ρ r ) ϕ r) = dv ρ r ) Spannung U = ϕ ϕ Elektrishe Feldstärke E = ϕ Poisson-Gleihung Laplae-Gleihung für ρ = 0) ϕ = ɛ 0 ρ ϕ = 4πρ Dirihlet-Randbedingung Das Skalarpotential auf den Oberflähen S i der Leiter ist bekannt bspw. wenn der Leiter geerdet ist) Flähenladungsdihte ϕ r S i ) = φ i kann durh Sprung des elektrishen Feldes an der Oberflähe bestimmt werden: σ = ɛ 0 E, E, ) σ = 4π E, E, ). Matrix der Kapazitäten gibt Zusammenhang zwishen Ladungen und Potential auf den Oberflähen der Leiter an: Q i = φ i = n C ij φ j j= n C ) ij Q j Elektrostatishe Energie W = dv ρ r )ϕ r ) = Q i φ i = C ij φ i φ j = C ) ij Q i Q j i j= ij ij Seite von 9

3 . Lösung der Laplae-Gleihung Greenshe Funktion [Definition hier bzgl. des Differentialoperators] r G r, r ) = δ r r ) Hieraus erhält man die niht eindeutig bestimmte) Funktion: G r, r ) = 4π Vershwindet G auf einer Oberflähe V, d.h. G r, r ) r V = G r, r ) r V = 0, lässt sih das Skalarpotential bestimmen zu sofern ϕ r V ), d.h. auf der Oberflähe, bekannt ist): ϕ r) = dv G r, r ɛ )ρ r ) ϕ r) = 4π dv G r, r )ρ r ) 0 V da ϕ r ) G r, r ) V n V da ϕ r ) G r, r ) V n Kugelflähenfunktionen l + l m)! Kugelflähenfunktionen Y lm θ, φ) = 4π l + m)! P l m os θ)e imφ Zugeordnete Legendre-Polynome Pl m x) = )m l x m/ dl+m ) l! dx l+m x ) l Hiermit kann man die allgemeine Lösung der Laplae-Gleihung shreiben als: ϕr, θ, φ) = l=0 m= l l A lm r l + B lm r l+) )Y lm θ, φ).3 Multipol-Entwiklung ϕ r) = q 4πɛ 0 r + p i r i r 3 + r i Q ij r j r i ij = [ q p r + 4πɛ 0 r r 3 + r T ] Q r r Monopol q = Dipol-Moment p i = Quadrupol-Moment Q ij = dv ρ r ) ϕ r) = q r + i dv ρ r )r i = q r p i r i r 3 dv ρ r )3r ir j r ) δ ij ) + ij r i Q ij r j r p r + r 3 + r T Q r r Multipol-Entwiklung in Kugelkoordinaten ϕr, θ, φ) = ɛ 0 l=0 m= l l l + r l+ Y lmθ, φ)q lm Multipol-Moment q lm = ϕr, θ, φ) = 4π l l=0 m= l dv r ) l Y lmθ, φ )ρ r ) l + r l+ Y lmθ, φ)q lm Seite 3 von 9

4 3 Magnetostatik Biot-Savart-Gesetz B r) = µ 0 4π dv j r ) r r ) B r) = 3 dv j r ) r r ) 3 Kraft auf Strom F = dv j r ) B r ) F = dv j r ) B r ) Ampere-Gesetz Integralform) dl B = µ 0 da j = µ 0 I A Vektorpotential A besitzt Eihfreiheit: A = A + χ für beliebiges χ r)) A r) = µ 0 4π Magnetishe Flussdihte dv j r ) B = A A dl B = 4π A r) = A da j = 4π I dv j r ) Magnetisher Fluss Φ m = da B Kontinuitätsgleihung j + ρ t = 0 B-Feld Lange Spule L >> r, Anzahl Windungen N) B = µ 0 N L I B-Feld Kreisförmige Leitershleife in x-y-ebene, Radius R) B = 4π N L I Bz) = µ 0 I R R + z ) 3/ e z Bz) = π I R R + z ) 3/ e z 3. Magnetishes Dipol m = [ ] dv r j r ) m = [ ] dv r j r ) Näherung des magnetishen Flusses B r) µ [ ] 0 3 m er ) e r m 4π r 3 B r) 3 m e r) e r m r 3 Drehmoment in äußerem B-Feld N = m B Seite 4 von 9

5 Dipol-Moment einer ebenen Leitershleife Flähennormale n) m = IA n 3. Induktivitätskoeffizienten zwishen zwei Leitershleifen C i und C j : M ji = M ij = µ 0 4π C i C j dli dl j r i r j M ji = M ij = m = IA n C i C j dli dl j r i r j Zusammenhang zwishen magnetishem Fluss und Strom Φ m,i = j M ij I j I i = j M ) ij Φ m,j Eigeninduktivität L φ m = LI Magnetostatishe Energie W = dv B = M ij I i I j = Φ m,i I i W = µ 0 8π ij i dv B = M ij I i I j = Φ m,i I i ij i 4 Elektrodynamik im Vakuum Elektromotorishe Kraft Induktionsspannung) E = dl E = d dt Φ m = d da dt B E = A 4. MWG in vershiedenen Eihungen Homogene MWG A B = A A dl E = d dt Φ m = d dt A da B E = ϕ A t E = ϕ A t Eihfreiheit für beliebige Funktion χ r, t) aber für beide gleih!): A = A + χ ϕ = ϕ χ t ϕ = ϕ χ t Seite 5 von 9

6 Inhomogene MWG: Lorenz-Eihung A + ϕ t = 0 A ϕ + t = 0 Hieraus ergibt sih für die inhomogenen MWG: ϕ ϕ t = ɛ 0 ρ ϕ ϕ t = 4πρ A A t = µ 0 j A A t = 4π j Inhomogene MWG: Coulomb-Eihung A = 0 Hieraus ergibt sih für die inhomogenen MWG: ϕ = ɛ 0 ρ A A t ϕ t = µ 0 j A A t = µ 0 j Für die Umformung der letzten Gleihung wurde eingeführt: ϕ = 4πρ A A t ϕ t = 4π j A A t = 4π j j = j + j mit j = 0 und j = 0 möglih, falls: j r ) = 0) Poynting-Vektor S = µ 0 E B S = 4π E B Impuls des EM-Feldes und Impuls-Dihte g em P em = dv g em = dv S Elektromagnetisher Drehimpuls L em = dv r g em = dv r S Maxwellsher Spannungstensor T jk = ɛ 0 E j E k + µ 0 B j B k δ jk ɛ 0E + ) B µ 0 T jk = [ E j E k + B j B k δ jk E + B 4π )] 4. Elektromagnetishe Wellen Benutzen Coulomb-Eihung und da im Vakuum ρ = 0, j = 0): ϕ = 0 Wahl = ϕ = 0 Wellengleihung und d Alembert-Operator A A t = 0 f := f f t = 0 mit f r, t) {A x r, t), A y r, t), A z r, t)} Seite 6 von 9

7 D Lösung 3D Lösung fx, t) = f 0 e ikx ωt) mit ω = k f r, t) = f 0 e i k r ωt) mit ω = k = k Ebene Welle in 3D E = A t = iω A = E 0 e i k r ωt) mit E 0 = iω A 0 A r, t) = A 0 e i k r ωt) E = A t = ik A = E 0 e i k r ωt) mit E 0 = ik A 0 B = A = i k A = B 0 e i k r ωt) mit B0 = i k A 0 Haben im Vakuum TEM-Welle: E k, B k, A k und es gilt weiter: S k, E B und ) ) B = k k E k B = E k E = B E = B Polarisation kann durh komplexe Wahl von A 0 beshrieben werden. Hieraus ergibt sih: E = E 0,x e x oskz ωt) + E 0,y e y sinkz ωt) B = B 0,y e y oskz ωt) B 0,x e x sinkz ωt) mit B 0,y = E 0,x und B 0,x = E 0,y Lineare Polarisation: E 0,x = 0 oder E 0,y = 0 mit B 0,y = E 0,x und B 0,x = E 0,y Zirkulare Polarisation: E 0,x = E 0,y Elliptishe Polarisation: 0 E 0,x E 0,y 0 inhomogene Wellengleihung mit Quelle f ψ = ψ ψ t = f Green-Funktion der Wellengleihung löst die Wellengleihung für die Delta-Funktion als Quelle: G r, t, r, t ) = δ r r )δt t ) Kennt man G, so ergibt sih die partikuläre Lösung für eine allgemeine Quelle f r, t): ψ p r, t) = dv dt G r, t, r, t )f r, t ) Als allgemeine Greenshe Funktion für den d Alembert-Operator erhält man: δt t ) ) G r, t, r, t ) = 4π Seite 7 von 9

8 Retardierte Potentiale ergeben sih in der Lorenz-Eihung direkt aus der Greenshen Funktion: ϕ r, t) = 4πɛ 0 dv ρ r, t ) ϕ r, t) = dv ρ r, t ) A r, t) = µ 0 4π dv j r, t ) Betrahten jetzt oszillierende Ladung und Strom: A r, t) = dv j r, t ) ρ r, t) = ρ 0 r)e iωt und j r, t) = j 0 r)e iωt Oszillierende Ladung und Strom: Nahzone r, r λ) Hier tritt keine Retardierung/Verzögerung auf: Quasistatishe Situation ϕ r, t) = 4πɛ 0 A r, t) = µ 0 4π dv ρ r, t) dv j r, t) Oszillierende Ladung und Strom: Fernzone r λ) ϕ r, t) = A r, t) = dv ρ r, t) dv j r, t) Hier ist die Retardierung niht mehr vernahlässigbar: A 0 r) = µ 0e ikr ) ) 4πr gk e r) + O A r 0 r) = eikr r gk e r) + O r mit gk e r ) := dv j 0 r )e ik er r Strahlungsleistung Im Fernfeld gilt: S = E µ B = µ 0k ) e r 0 3π r e r g + O r 3 Für die abgestrahlte Leistung pro Raumwinkel gilt: dp dω = S e r r = µ 0k ) e r 3π e r gk e r ) + O r Die gesamte Leistung erhält man durh Integration über den Raumwinkel: P = dω dp dω S = ) 4π E B = k e r 8πr e r g + O r 3 ) dp dω = S e r r = k e r 8π e r gk e r ) + O r Entwikelt man g und betrahtet nur den Dipol-Anteil p = p 0 e iωt ), erhält man: Dipol-Fernfeld) B 0 = µ 0 eikr k 4π r e r p 0 E 0 = k eikr 4πɛ 0 r e r e r p 0 ) B 0 = k eikr r e r p 0 E 0 = k eikr r e r e r p 0 ) woraus sih letztlih die Strahlungsleistung eines Dipols ergibt: mit θ = e r, p 0 )) Seite 8 von 9

9 dp dω = µ 0ω 4 3π p 0 sin θ P = µ 0ω 4 π p 0 dp dω = ω4 8π 3 p 0 sin θ P = ω4 3 3 p 0 Hat man diese, so lässt sih der Strahlungswiderstand R S einer Antenne mit Amplitude des fließenden Stroms I 0 ) bestimmen, der gegeben ist durh: 5 Elektrodynamik in Materie P = R SI 0 Mittelung F r, t) = dv F r, tf r r ) mit Mittelungsfunktion f r), die erfüllt: dv f r) = Polarisation P ist die gemittelte Dipolmomentdihte: P = n p n δ r r n ) Magnetisierung M ist die gemittelte Dihte von magnetishen Dipolen: M = n m n δ r r n ) mit magnetishem Dipol-Moment eines Moleküls m n : m n = [ ] dv r r n ) j n r) m n = dv [ ] r r n ) j n r) gemittelte Ladungsdihte gemittelte Stromdihte ρ = ρ frei + ρ geb = ρ frei P ρ geb = P j geb = P t + M j = j frei + j geb j geb = P t + M Für shwahe anliegende Felder erhält man näherungsweise eine lineare Antwort: elektrishe Suszeptibilität χ e P = χ e ɛ 0 E P = χe E magnetishe Suszeptibilität χ m M = χm H Seite 9 von 9

10 Permittivität ɛ D = ɛ E ɛ = ɛ 0 + χ e ) = ɛ 0 ɛ r ɛ = + 4πχ e Permeabilität µ B = µ H µ = µ 0 + χ m ) = µ 0 µ r µ = + 4πχ m Stetigkeitsbedingungen an Grenzflähen E, = E,, D, = D,, H, = H,, B, = B, Poynting-Vektor S = E H S = 4π E H Energiebilanz allgemein w em t w em t = H B t + E D t + S = j E mit räumliher Energiedihte w em w em t = H B 4π t + E D ) t Energiedihte für lineare Antwort w em = ) E D + H B w em = ) E D + H B 8π 5. Lorentz-Modell Gebundene Elektronen werden durh EM-Welle in Bewegung versetzt: m a + γ a + ω0 a) = qee i k a ωt) elektrishe Polarisierbarkeit Zusammenhang zwishen induziertem Dipolmoment und elektrishem Feld am Ort eines Moleküls: p ind = α ee α e = 4πɛ 0 e mω 0 ω iγω) α e = e mω 0 ω iγω) elektrishe Suszeptibilität Mit der Teilhendihte n Gitteratome pro Volumen) erhält man hieraus: χ e = ɛ 0 ne mω 0 ω iγω) χ e = ne mω 0 ω iγω) 5. Brehungsindex n = ɛ r µ r = n r + iκ = n e iδ n = ɛµ = n r + iκ = n e iδ Betrahten jetzt nur den Fall k = k e k mit k C Seite 0 von 9

11 Vektorpotential Phasengeshwindigkeit A = A [ 0 exp ωκ ] e k r }{{} Dämpfung [ ωnr )] exp i e k r ωt }{{} Oszillation v p = n r Wellenlänge λ = λ 0 n r mit Wellenlänge im Vakuum λ 0 Zeitvershiebung für komplexe Brehungsindize ergibt sih eine Verzögerung zwishen E und B-Feld um t = δ/ω): B r, t) = n e k E r, t δ/ω) B r, t) = n ek E r, t δ/ω) Dämpfung: Eindringtiefe d = µ r κω ωim d = µ ɛ r κω 5.3 Ebene Welle ohne Dämpfung Brehungsindex reell) Snellius Gesetz Polarisation E Einfallsebene) n sin α = n sin α ωim ɛ E T 0 n os α = E E0 n os α + µ n os α µ n E os α µ n os α R0 µ = E E0 n os α + µ n os α µ µ n os α n os α + n os α µ sinα α ) sinα + α ) Reflexionskoeffizient Transmissionskoeffizient R = S R,z S E,z = E R E E sin α α ) sin α + α ) T = S T,z S E,z = n os α E T n os α E E = R Polarisation E Einfallsebene) E T 0 E E0 E R0 E E0 µ n + tanα ) α ) n tanα + α ) µ tanα α ) tanα + α ) Seite von 9

12 Reflexions- und Transmissionskoeffizient R = T = S R,z S E,z = E R E E tan α α ) tan α + α ) 5.4 Drude-Lorentz-Modell m r + γ r) = e E Relaxationszeit mittlere Stoßzeit) τ = γ Drude-Leitfähigkeit mit Ladungsträgerdihte n: σ D = ne τ m Leitfähigkeit σω) = σ D iωτ Plasmafrequenz ω p = ne ɛ 0 m ω p = 4πne m Dielektrishe Funktion ɛω) = ɛ geb σω) iωɛ 0 = ɛ geb ω p ωω + i/τ) ɛω) = ɛ geb 4πσω) iω = ɛ geb ω p ωω + i/τ) Häufig ist dabei der Anteil der im Atom gebundenen Ladungsträger ɛ geb Plasma-Wellen A = 0 d.h. B = 0) ϕ r, t) = ϕ 0 e i k r ω pt) E r, t) = iϕ 0 ke i k r ω pt) Longitudinale Welle der Ladungsdihte 6 Spezielle Relativitätstheorie Galilei-Transformation d.h. niht relativistish) Das Inertialsystem IS) K bewegt sih relativ zu K mit konst. Geshwindigkeit v: t = t, r = r vt Postulate von Einstein Physikalishe Gesetze in allen IS identish Lihtgeshwindigkeit in allen IS identish und unabhängig von der Rihtung Seite von 9

13 Lorentz-Faktor γ = v / Lorentz-Transformation IS K bewegt sih relativ zu K mit Geshwindigkeit v in x-rihtung, zum Zeitpunkt t = 0 lagen die Ursprünge der Systeme aufeinander, sie sind zudem gleih orientiert bzgl. ihrer Ahsen) Rüktransformation x = γx vt), y = y, z = z, t = γt vx ) Gleihe Bedingungen wie oben, jetzt Transformation von K nah K x = γx + vt ), y = y, z = z, t = γt + vx ) Eigenzeit τ = t 0 dt v t) für v=onst. = t γ Addition von Geshwindigkeiten Objekt bewegt sih in K mit Geshwindigkeit u. Dann gilt für die Geshwindigkeit u in K: u x = u x + v + vu x Und die Rüktransformation analog:, u y = u y/γ + vu x, u z = u z/γ + vu x u x = Kontravarianter Vierer-Vektor Kovarianter Vierer-Vektor u x v vu, u x y = u y/γ vu, u x X µ = t, r) = t, x, y, z) z = X µ = t, r) = t, x, y, z) u z/γ vu x Vierer-Abstand S = X µ X µ = X µ X µ = t x y z = t r Summenkonvention Über gleihe Indizes, die oben und unten vorkommen, wird summiert: X µ X µ = µ X µ X µ metrisher Tensor g µν = g µν = diag,,, ) =: g Seite 3 von 9

14 Lorentz-Gruppe O3, ) Λ O3, ) Λ T gλ = g Eigentlihe Lorentz-Gruppe SO3, ) O3, ) Λ SO3, ) Λ O3, ) und det Λ = Eigentlihe orthohrone Lorentz-Gruppe Hier gilt zusätzlih zu Λ SO3, ) noh: Λ 0 0 > 0, d.h. die Rihtung der Zeit bleibt erhalten. Lorentz-Boost wie obige Lorentz-Transformation) γ γ v 0 0 Λ µ ν = γ v γ Rotation z.b. um die z-ahse mit Drehwinkel α Λ µ ν = os α sin α 0 0 sin α os α Tensor N-ter Stufe T α...α N erfüllt: T ββ...β N = Λ β α Λ β α... Λ β N αn T αα...α N mit Λ βi α i O3, ), β i {0,,, 3} i {,,..., N} Inverses Element Vierer-Gradient Λ = Λ T da Λ T Λ = mit Λ = Λ β α µ = µ = = X µ X µ = t, x, y, ) z t, x, y, ) z = g αµ g βν Λ µ ν d Alembert-Operator = α α = x + y + z t = t Vierer-Geshwindigkeit u µ = dxµ dτ = γ, d r ) dt Vierer-Strom j µ = ) ρ, j Seite 4 von 9

15 Kontinuitätsgleihung µ j µ = 0 ρ t + j = 0 Vierer-Potential A µ = ) ϕ, A A µ = ϕ, A ) Lorenz-Eihung µ A µ = 0 A + ϕ t = 0 µa µ = 0 A + ϕ t = 0 Inhomogene Maxwell-Gleihungen Elektromagnetisher Feldtensor A µ = µ 0 j µ A µ = 4π jµ ist ein antisymmetrisher Tensor zweiter Stufe F µν = F µν = µ A ν ν A µ 0 E x / E y / E z / E x / 0 B z B y E y / B z 0 B F µν = x E z / B y B x 0 Dualer elektromagnetisher Feldstärketensor 0 E x E y E z E x 0 B z B y E y B z 0 B x E z B y B x 0 F µν = F µν = ɛµναβ F αβ mit Levi-Civita-Symbol s.u.) 0 B x B y B z 0 B x B y B z B x 0 E z / E y / B y E z / 0 E x / F µν = B x 0 E z E y B y E z 0 E x B z E y / E x / 0 B z E y E x 0 Levi-Civita-Symbol allgemein) + falls α,..., α n ) gerade Permutation von 0,,..., n ) ɛ α...αn = falls α,..., α n ) ungerade Permutation von 0,,..., n ) 0 sonst, d.h. mind. zwei Indizes sind identish Homogene Maxwell-Gleihungen Elektromagnetishe Feld-Transformationen µ F µν = 0 E = E E = γ E + v B ) B = B B = γ B ) v E E = E E = γ E + ) v B B = B B = γ B ) v E Seite 5 von 9

16 Vierer-Wellenvektor ω ) k µ =, k 7 Relativistishe Mehanik Wirkung S = dtl Lagrange-Funktion Kinematisher) Impuls L r, v, t) = m v = m γ p i = L v i p = γm v Energie Vierer-Impuls E = p v L = γm = m 4 + p = m p µ = ) E, p = mu µ + p m 7. Geladenes Teilhen im Elektromagnetishen Feld Vierer-Kraft f µ = dpµ dτ ) f µ = qf µν u ν = q E v, E + v B Lagrange-Funktion = γ dpµ dt f µ = q F µν u ν = q E v, E + ) v B L = m γ qϕ + q A v L = m γ qϕ + q A v Kanonisher Impuls P i = L v i P = p + q A P = p + q A Energie E = P v L = γm + qϕ = m 4 + p + qϕ Hamilton-Funktion entspriht i.d.r. der Energie des Systems) H P, r, t) = m 4 + P qa) + qϕ H P, r, t) = m 4 + P q A) + qϕ Seite 6 von 9

17 8 Nützlihes r = 4πδ r r ) r = r r 3 Biot-Savart-Integral dx x + a) = x 3/ a x + a Quellfreie Stromdihte wg. j = 0) dv x i j j + j i x j ) = 0 für alle i, j 8. Aus früheren Semestern [SI] Drehimpuls L = r p Drehmoment M = r F Kapazität C = Q/U 8. Koordinatensysteme Kugelkoordinaten x = r sin θ os φ y = r sin θ sin φ z = r os θ dv = r sin θ dr dθ dφ da = r sin θ dθ dφ dω = sin θ dθ dφ e r, e θ, e φ ) bildet ein Rehts-System f f = e r r + e f θ r θ + e f φ r sin θ φ A = r ) r A r + r r sin θ θ sin θa θ) + A φ r sin θ φ A = r sin θ θ sin θa φ) A ) θ e r + A r φ r r sin θ φ ) r ra φ) e θ + r Entwiklung in Kugelflähenfunktionen ϕr, θ, ϕ) = l l=0 m= l mit Kugelflähenfunktionen Y lm θ, φ) = [ A lm r l + B lm r l+)] Y lm θ, φ) l + )l m)! 4πl + m)! r ra θ) A ) r e φ θ Pl m os θ)e imφ und zugeordneten Legendre-Polynomen P m l x) = )m l l! x m/ dl+m ) dx l+m x ) l Seite 7 von 9

18 Für Funktionen gθ, φ) ohne r-abhängigkeit gilt sogar: l gθ, φ) = C lm Y lm θ, φ) mit C lm = l=0 m= l dω gθ, φ)y lmθ, φ) Zylinderkoordinaten x = r os φ y = r sin φ z = z dv = r dr dφ dz da = r dφ dz f f = e r r + e f φ r φ + e f z z A = r r ra r) + A φ r φ + A z z A A z = r φ A ) φ e r + z 8.3 Vektor-Identitäten Kettenregel und Operator-Identitäten fa ) fa ) ) A B ) A B ) A e r, e φ, e z ) bildet ein Rehts-System Ar z A z r = A ) ) f + f A ) = f A A ) f = B ) A A ) B ) ) ) = B A A B + A B = ) A A fg) = fg) = f g + f g + g f ) e φ + r r ra φ) A ) r e z φ B ) A BAC-CAB und mehr ) A B C ) B C A = B ) A C = B C ) A B C A ) C A B ) 8.4 Fourier-Transformation f k) = d 3 rf r)e i k r f r) = π) 3 d 3 k f k)e i k r Orthogonalitätsbeziehung d 3 re i k r = π) 3 δ k), d 3 ke i k r = π) 3 δ r) Seite 8 von 9

19 8.5 Trigonometrie φ 0 π/6 π/4 π/3 π/ sin φ 0 / / 3/ os φ 3/ / / 0 tan φ 0 / sinx ± y) = sin x os y ± os x sin y, osx ± y) = os x os y sin x sin y sin x + sin y = sin x + y os x + os y = os x + y sinx) = sin x os x, osx) = os x sin x os x y os x y, sin x sin y = sin x y, os x os y = sin x + y os x + y sin y x sin x sin y = osx y) osx + y)), os x os y = osx y) + osx + y)) sin x os y = sinx y) + sinx + y)), 8.6 Konstanten As ɛ 0 = 8, V m = 8, A s 4 kgm 3 µ 0 = 4π 0 7 N A, N A =, m s e =, C m e = 9, kg m p =, kg m3 G = 6, kgs =, m s e = 4, F r Franklin) m e = 9, g m p =, g 8 m3 G = 6, gs Seite 9 von 9