Klassische Elektrodynamik

Transkript

1 Klassishe Elektrodynamik Theoretishe Physik II Vorlesungs-Skriptum Deutshe Fassung Franz Wegner Institut für Theoretishe Physik Rupreht-Karls-Universität Heidelberg 2003

2 Franz Wegner Universität Heidelberg Kopieren für den privaten Gebrauh unter Angabe des Autors gestattet. Kommerzielle Verwertung verboten. Hinweise auf Drukfehler nehme ih gerne entgegen. Jörg Raufeisen, Andreas Haier, Stephan Frank und Bastian Engeser bin ih dankbar, dass sie mih auf mehrere Drukfehler in der ersten deutshen Auflage aufmerksam gemaht haben. In gleiher Weise danke ih Björn Feuerbaher, Sebastian Diehl, Karsten Freese, Markus Gabrysh und Jan Tomzak, dass sie mih auf Drukfehler der zweiten Auflage hingewiesen haben. Cornelia Merkel, Melanie Steiert und Sonja Bartsh danke ih für das sorgfältige Lesen und Korrigieren des Textes der zweisprahigen Ausgabe. Büher: BECKER, SAUTER: Theorie der Elektrizität I JACKSON, Classial Eletrodynamis LANDAU, LIFSCHITZ: Lehrbuh der Theoretishen Physik II: Klassishe Feldtheorie PANOFSKY, PHILLIPS, Classial Eletriity and Magnetism SOMMERFELD: Vorlesungen über Theoretishe Physik III: Elektrodynamik STRATTON, Eletromagneti Theory STUMPF, SCHULER: Elektrodynamik

3 A Grundgleihungen 2003 Franz Wegner Universität Heidelberg Vorbemerkungen Ih gehe davon aus, dass der Student bereits etwas mit der klassishen Elektrodynamik aus einer einführenden Vorlesung vertraut ist. Daher setze ih die vollständigen Gleihungen an den Anfang und führe von diesen ausgehend die jeweiligen Spezialisierungen ein. In dieser Ausarbeitung verwende ih das GAUßshe Maßsystem und niht das SI-System. Der Zusammenhang und die Motivation wird im nähsten Abshnitt und in Anhang A angegeben. Im Anhang B sind Formeln zur Vektoralgebra und Vektoranalysis angegeben. Der Leser /Die Leserin sei jedoh gewarnt, dass er/sie an einigen Stellen (B.11, B.15, B.34-B.50 und Aufgabe nah B.71) die Ergebnisse selbst einzutragen hat. Er/Sie ist also aufgefordert, die Rehnungen selbst durhzuführen oder zumindest die Ergebnisse, die in dem Skriptum erarbeitet werden, dort einzutragen. 1 Grundgleihungen der Elektrodynamik Die Elektrodynamik befasst sih mit elektrishen und magnetishen Feldern, ihrer Erzeugung durh Ladungen und Ströme, ihrer Ausbreitung (elektromagnetishe Wellen), ihrer Rükwirkung auf die Materie (Kräfte). 1.a Ladungen und Ströme 1.a.α Ladungsdihte Die Ladungsdihte ρ(r) ist die Ladung q pro Volumenelement V Damit ergibt sih die Ladung q im Volumen V zu q = q ρ(r) = lim V 0 V = dq dv. (1.1) V d 3 rρ(r). (1.2) Besteht die Ladungsverteilung aus Punktladungen q i an den Orten r i, so ist die Ladungsdihte durh die Summe ρ(r) = q i δ 3 (r i r), (1.3) i gegeben, wobei die DIRACshe Delta-Funktion (eigentlih Delta-Distribution) die Eigenshaft V d 3 r f (r)δ 3 (r r 0 ) = { f (r0 ) falls r 0 V 0 falls r 0 V (1.4) hat. Ähnlih definiert man die Flähenladungsdihte σ(r) an Grenz- oder Oberflähen als Ladung pro Flähe ähnlih auh die Linienladungsdihte. σ(r) = dq d f, (1.5) 3

4 4 A Grundgleihungen 1.a.β Strom und Stromdihte Der Strom I ist die Ladung dq, die pro Zeiteinheit dt durh eine Flähe F fließt, I = dq dt. (1.6) Es sei nun v(r, t) die mittlere Geshwindigkeit der Ladungsträger, n die (auf die Länge 1 normierte) Flähennormale. Dann ist vdt der Weg, den die Ladungen in der Zeit dt zurüklegen. Multipliziert mit n ergibt sih die Shihtdike v ndt, die die in der Zeit dt durh die Flähe geflossenen Ladungen bilden.multipliziert mit dem Flähenelement d f ergibt sih das Volumen der Ladung, die durh d f geflossen ist. Weitere Multiplikation mit der Ladungsdihte ρ ergibt die Ladung dq, die in der Zeit dt durh die Flähe d f tritt n v dq = I = dq/dt = mit der Stromdihte j = ρv und dem gerihteten Flähenelement df = nd f. 1.a.γ Ladungserhaltung und Kontinuitätsgleihung Die Ladung q in einem festen Volumen V ändert sih pro Zeiteinheit um F F vdt nd f ρ (1.7) v(r, t)ρ(r, t) n(r)d f = j(r, t) df (1.8) q(t) = dq(t) dt = V V F d 3 rρ(r, t) (1.9) d 3 r ρ(r, t). (1.10) t Da die Ladung erhalten ist, kann sie sih nur durh einen Strom durh die Oberflähe V des Volumens ändern. Wir bezeihnen mit I den nah außen fließenden Strom. Dann ist dq(t) = I(t) = j(r, t) df = d 3 r div j(r, t), (1.11) dt V wobei wir vom GAUßshen Satz (B.59) Gebrauh mahten. Da die Beziehungen (1.10) und (1.11) für jedes Volumen und auh jedes Volumenelement gilt, folgt die Gleihheit der Integranden in den beiden Volumenintegralen ρ(r, t) + div j(r, t) = 0. (1.12) t Diese Gleihung bezeihnet man als Kontinuitätsgleihung. Sie drükt in differentieller Form die Erhaltung der Ladung aus. 1.b MAXWELL-Gleihungen Die elektrishen Ladungen und Ströme erzeugen das elektrishe Feld E(r, t) und die magnetishe Induktion B(r, t). Diese Beziehung wird durh die vier MAXWELL-Gleihungen beshrieben V E(r, t) rot B(r, t) t = 4π j(r, t) (1.13) div E(r, t) = 4πρ(r, t) (1.14) B(r, t) rot E(r, t) + t = 0 (1.15) div B(r, t) = 0. (1.16)

5 1 Grundgleihungen der Elektrodynamik 5 Diese MAXWELL-Gleihungen werden bisweilen als MAXWELL-Gleihungen im Vakuum bezeihnet. Sie gelten jedoh auh in Materie. Die Ladungsdihte und die Stromdihte enthalten alle Beiträge, also freibeweglihe und Polarisations-Ladungsdihten und freibeweglihe, Polarisations- und Magnetisierungs-stromdihten. Vielfah verlangt man als Randbedingung noh, dass das elektrishe und das magnetishe Feld im Unendlihen vershwinden. 1. COULOMB- und LORENTZ-Kraft Das elektrishe Feld E und die magnetishe Induktion B üben auf eine Ladung q am Ort r, die sih mit der Geshwindigkeit v bewegt, die Kraft K = qe(r) + q v B(r) (1.17) aus. Dabei sind E und B die Beiträge, die niht von q selbst herrühren. Die von q selbst erzeugten Felder bewirken die Reaktionskraft, die wir jedoh im Weiteren niht betrahten. Der erste Beitrag in (1.17) ist die COULOMB-Kraft, der zweite die LORENTZ-Kraft. Dabei ist = m/s. Wir werden später sehen, dass diese Konstante die Lihtgeshwindigkeit im Vakuum ist. (Man hat sie zu obigem Wert definiert und damit den Umrehnungsfaktor zwishen Zeit und Länge festgelegt.) Die Kraft, die auf ein kleines Volumen V wirkt, lässt sih shreiben als K = k(r) V (1.18) k(r) = ρ(r)e(r) + 1 j(r) B(r). (1.19) Man bezeihnet k als die Kraftdihte. Die auf das Volumen V wirkende elektromagnetishe Kraft ergibt sih dann zu K = d 3 rk(r). (1.20) V

6 6 A Grundgleihungen 2 Dimensionen und Einheiten 2.a GAUßshes Maßsystem In dieser Vorlesung verwenden wir das GAUßshe Maßsystem. Wir betrahten nun die Dimensionen der auftretenden Größen. Aus der Kontinuitätsgleihung (1.12) und den MAXWELLgleihungen (1.13) bis (1.16) folgt Daraus folgt sowie [ρ]/[t] = [ j]/[x] (2.1) [B]/[x] = [E]/([][t]) = [ j]/[] (2.2) [E]/[x] = [B]/([][t]) = [ρ]. (2.3) [ j] = [ρ][x]/[t] (2.4) [E] = [ρ][x] (2.5) [B] = [ρ][][t] = [ρ][x] 2 /([][t]), (2.6) [] = [x]/[t] (2.7) [B] = [ρ][x]. (2.8) Daraus sieht man, dass tatsählih die Dimension einer Geshwindigkeit hat. Um die weiteren Größen in ihrer Dimension festzulegen, müssen wir noh den Ausdruk (1.19) für die Kraftdihte k verwenden Daraus folgt dann [k] = [ρ][e] = [ρ] 2 [x]. (2.9) [ρ] 2 = [k]/[x] = dyn m 4 (2.10) [ρ] = dyn 1/2 m 2 (2.11) [E] = [B] = dyn 1/2 m 1 (2.12) [ j] = dyn 1/2 m 1 s 1 (2.13) [q] = [ρ][x] 3 = dyn 1/2 m (2.14) [I] = [ j][x] 2 = dyn 1/2 m s 1. (2.15) 2.b Andere Einheitensysteme Für jede Größe kann die Einheit in jedem System unabhängig definiert werden. Glükliherweise maht man davon niht vollständigen Gebrauh. Neben dem GAUßshen Maßsystem werden noh eine Reihe weiterer gs-systeme sowie das SI-System (internationales Maßsystem, GIORGI-System) verwendet. Letzteres ist das gesetzlihe Maßsystem in vielen Ländern (z.b. in USA seit 1894, in Deutshland seit 1898) und wird in der Tehnik angewandt. Während das GAUßshe Maßsystem alle elektromagnetishen Größen in m, g und s ausdrükt, verwendet das GIORGI-System neben den mehanishen Einheiten m, kg und s noh zwei weitere Einheiten A (Ampere) und V (Volt), allerdings niht unabhängig voneinander, vielmehr gilt für die Einheit der Energie 1 kg m 2 s 2 = 1 J = 1 W s = 1 A V s. (2.16) Die Umrehnung einiger gebräuhliher Maßsysteme ineinander kann durh drei Umrehnungsfaktoren ɛ 0, µ 0 und ψ beshrieben werden. Dabei können ɛ 0 und µ 0 (im SI-System als Dielektrizitätskonstante und Permeabilitätskonstante des Vakuums bekannt) und die Verkettungskonstante γ = ɛ 0 µ 0 (2.17)

7 2 Dimensionen und Einheiten 7 dimensionsbehaftet sein, während ψ ein dimensionsloser Zahlenfaktor ist. Man untersheidet zwishen rationalen Maßsystemen (ψ = 4π) und niht rationalen Maßsystemen (ψ = 1). Die Umrehnungsfaktoren einiger gebräuhliher Maßsysteme sind Maßsystem ɛ 0 µ 0 γ ψ GAUß Elektrostatish (esu) Elektromagnetish (emu) HEAVISIDE-LORENTZ 1 1 4π GIORGI (SI) ( 2 1 4π µ 0 ) Vs 10 7 Am 1 4π Die bisher eingeführten Größen drüken sih durh die Größen der anderen Maßsysteme (mit einem Stern versehen) folgendermaßen aus E = ψɛ 0 E 1 dyn 1/2 m 1 ˆ= V/m (2.18) B = ψ/µ 0 B 1 dyn 1/2 m 1 ˆ=10 4 Vs/m 2 (2.19) 1 q = q 1 dyn 1/2 m ˆ=10 9 /3As, ähnlih ρ, σ, I, j. (2.20) ψɛ0 Ein Umrehnungsbeispiel: Die COULOMB-LORENTZ-Kraft lässt sih shreiben K = q(e + 1 v B) = q ψɛ0 ( ψɛ 0 E + ψ µ 0 v B ) = q (E + 1 ɛ 0 µ 0 v B ) = q (E + 1 γ v B ). (2.21) Die Elementarladung e 0 ist in dem von uns verwendeten GAUßshen Maßsystem dyn 1/2 m und im SI-System As. Das Elektron trägt die Ladung e 0, das Proton e 0, ein Kern der Kernladungszahl Z die Ladung Ze 0, Quarks die Ladungen ±e 0 /3 oder ±2e 0 /3. Weitere Angaben werden jeweils bei der Einführung weiterer Größen gegeben und sind im Anhang A zusammengefasst. 2. Motivation für GAUßshe Einheiten Im SI-System sind das elektrishe Feld E und die dielektrishe Vershiebung D wie auh die magnetishe Induktion B und das Magnetfeld H mit untershiedlihen Dimensionen behaftet. Hierdurh wird leiht der irreführende Eindruk erwekt, es handele sih um unabhängige Felder. Auf einem mikroskopishen Niveau hat man es nur mit zwei Feldern, E und B zu tun, ( ) (LORENTZ 1892). Tatsählih wird der zweite Satz Felder nur dadurh eingeführt, dass man Polarisations- und Magnetisierungsanteile der Ladungen und Ströme in Materie aus den totalen Ladungen und Strömen herauszieht und zu den Feldern addiert (Abshnitt 6 und 11). Dieser enge Zusammenhang kommt besser in einem gs-system zum Ausdruk, in dem E und D gleihe Dimension haben wie auh B und H. Leider gehört das GAUßshe Maßsystem zu den irrationalen, während das SI-System ein rationales ist, so dass bei Umrehnungen auh immer Faktoren 4π auftreten. Ih hätte ein rationales Maß-System wie das von HEAVI- SIDE und LORENTZ vorgezogen. Leider wird aber in gängigen Lehrbühern nur das SI-System und das GAUßshe verwendet. Ih möhte die Studierenden niht mit einem Maßsystem konfrontieren, mit dem praktish kein Lehrbuh arbeitet.

8 8 A Grundgleihungen

9 B Elektrostatik 2003 Franz Wegner Universität Heidelberg 3 Elektrishes Feld, Potential, Energie des Feldes 3.a Statik In der Statik behandelt man das zeitunabhängige Problem. Das heißt, die auftretenden Größen hängen nur vom Ort ab, ρ = ρ(r), j = j(r), E = E(r), B = B(r). Dann zerfallen die Kontinuitätsgleihung (1.12) und die MAXWELL-Gleihungen ( ) in zwei Gruppen div j(r) = 0 rot B(r) = 4π j(r) div E(r) = 4πρ(r) div B(r) = 0 rot E(r) = 0 Magnetostatik Elektrostatik k ma = 1 j(r) B(r) k el = ρ(r)e(r) (3.1) Die erste Gruppe von Gleihungen enthält nur die magnetishe Induktion B und die Stromdihte j. Sie beshreibt die Magnetostatik. Die zweite Gruppe von Gleihungen enthält nur das elektrishe Feld E und die Ladungsdihte ρ. Sie ist Grundlage der Elektrostatik. In der letzten Zeile sind noh die entsprehenden Anteile der Kraftdihte k hinzugefügt. 3.b Elektrishes Feld und Potential 3.b.α Elektrishes Potential Wir führen nun das elektrishe Potential Φ(r) ein. Hierzu betrahten wir das Wegintegral von E auf zwei vershiedenen Wegen (1) und (2) von r 0 nah r r r dr E(r) = dr E(r) + dr E(r), (3.2) r 0 (1) r 0 (2) wobei das letztere Integral über den geshlossenen Weg von r 0 auf (1) nah r und von dort in entgegengesetzter Rihtung auf (2) nah r 0 zu erstreken ist.das letztere Integral lässt sih mit dem STOKESshen Satz (B.56) in das Integral über die von (1) und (2) berandete Flähe df rot E(r) überführen, das wegen der MAXWELLgleihung rot E(r) = 0 (3.1) vershwindet. r 0 (2) F (1) r Daher ist das Integral (3.2) vom Weg unabhängig und man definiert das elektrishe Potential Φ(r) = r r 0 dr E(r) + Φ(r 0 ). (3.3) Dabei sind r 0 und Φ(r 0 ) willkürlih, aber fest. Φ(r) ist daher bis auf eine willkürlihe additive Konstante bestimmt. Wir haben auf Grund der Definition (3.3) dφ(r) = dr E(r), E(r) = grad Φ(r). (3.4) 9

10 10 B Elektrostatik 3.b.β Elektrisher Fluss und Ladung Aus div E(r) = 4πρ(r), (3.1) folgt d 3 r div E(r) = 4π d 3 rρ(r) (3.5) V V und damit mit dem GAUßshen Satz (B.59) df E(r) = 4πq(V), (3.6) V das heißt der elektrishe Fluß des Feldes E durh die Oberflähe ist das 4π-fahe der Ladung q im Volumen V. Eine einfahe Anwendung hat dies für das elektrishe Feld einer kugelsymmetrishen Ladungsverteilung ρ(r) = ρ(r) mit r = r. Aus Symmetriegründen weist das elektrishe Feld in Normalenrihtung E = E(r)r/r so dass man für das Feld 4πr 2 E(r) = 4π r 0 r ρ(r )r 2 dr dω = (4π) 2 ρ(r )r 2 dr, (3.7) E(r) = 4π r 2 r 0 0 ρ(r )r 2 dr (3.8) erhält. Als Spezialfall betrahten wir jetzt noh eine Punktladung q im Ursprung. Dann gilt 4πr 2 E(r) = 4πq, E(r) = q r, E(r) = r q. (3.9) 2 r3 Das Potential hängt aus Symmetriegründen nur von r ab. Dann gilt woraus durh Integration grad Φ(r) = r r dφ(r) dr = E(r), (3.10) Φ(r) = q + onst. (3.11) r folgt. 3.b.γ Potential einer Ladungsverteilung Wir gehen aus von Punktladungen q i an Orten r i. Das zugehörige Potential und die Feldstärke erhält man aus (3.11) und (3.10) durh Vershieben von r um r i zu q i Φ(r) = (3.12) r r i i q i (r r i ) E(r) = grad Φ(r) = r r i. (3.13) 3 Wir gehen nun von den Punktladungen zu einer Ladungsdihte ρ(r) über. Wir führen dabei den Übergang i q i f (r i ) = i Vρ(r i ) f (r i ) nah d 3 r ρ(r ) f (r ) durh, was Φ(r) = d 3 r ρ(r ) r r ergibt. Aus E = grad Φ und div E = 4πρ folgt die POISSON-Gleihung i (3.14) Φ(r) = 4πρ(r). (3.15) Man untersheide = und =Delta. Wir mahen auf (3.15) die Probe. Zunähst bilden wir Φ(r) = d 3 r ρ(r ) r r r r = d 3 a ρ(r + a) a (3.16) 3 a 3

11 3 Elektrishes Feld, Potential, Energie 11 und Φ(r) = d 3 a( ρ(r + a)) a a 3 = 0 da dω a ρ(r + a) a = dω a (ρ(r + e a ) ρ(r)) = 4πρ(r), (3.17) wenn ρ im Unendlihen vershwindet. Dabei haben wir das dreidimensionale Integral über a zerlegt in das Integral über den Radius a und den Raumwinkel Ω a, d 3 a = a 2 dadω a (vergleihe Abshnitt 5). Aus der POISSON-Gleihung folgt Φ(r) = d 3 r ρ(r ) 1 r r = 4πρ(r) = 4π d 3 r ρ(r )δ 3 (r r ) (3.18) und aus der Gleihheit der Integranden 1 r r = 4πδ3 (r r ). (3.19) 3. COULOMBkraft und Feldenergie Auf die Ladung q i am Ort r i wirkt die Kraft K i = q i E i (r i ). (3.20) Dabei ist E i das elektrishe Feld ohne das von der Ladung q i selbst erzeugte. Damit folgt die COULOMB-Kraft K i = q i j i q j (r i r j ) r i r j 3. (3.21) Aus dieser Formel erkennt man auh die Definition der Ladungseinheit im GAUßshen Maßsystem: 1 dyn 1/2 m ist die Ladung, die auf eine gleihe Ladung in 1 m Entfernung die Kraft 1 dyn ausübt. Die potentielle Energie ist U = 1 q i q j 2 r i r j = 1 q i Φ i (r i ). (3.22) 2 i j i Der Faktor 1/2 rührt daher, dass jedes Paar von Ladungen in der Summe zweimal auftritt. So ist die Wehselwirkungsenergie zwishen Ladung 1 und Ladung 2 sowohl in i = 1, j = 2 wie auh in i = 2, j = 1 enthalten. Daher ist durh 2 zu dividieren. Dabei ist in Φ i ebenfalls der von q i herrührende Beitrag zum Potential niht enthalten. Die Kraft folgt daraus wie üblih zu i K i = grad ri U. (3.23) Im Kontinuum erhält man unter Verwendung von (B.62) U = 1 d 3 rρ(r)φ(r) = 1 d 3 r div E(r)Φ(r) = 1 df E(r)Φ(r) 1 2 8π 8π F 8π d 3 re(r) grad Φ(r), (3.24) wobei jetzt der Beitrag der Ladungsdihte zu Φ am gleihen Ort niht mehr auszunehmen ist, da er für eine kontinuierlihe Verteilung vernahlässigbar ist. F shließe alle Ladungen ein und sei etwa eine Kugel vom Radius R. Im Limes R geht Φ 1/R, E 1/R 2, 1/R 0. Man erhält dann die elektrostatishe F Energie U = 1 d 3 re 2 (r) = d 3 r u(r) (3.25) 8π mit der Energiedihte u(r) = 1 8π E2 (r). (3.26)

12 12 B Elektrostatik Klassisher Elektronenradius Als Beispiel betrahten wir den klassishen Elektronenradius R 0 : Man nimmt an, die Ladung sei auf einer Kugelshale vom Radius R 0 gleihmäßig verteilt. Die elektrishe Feldenergie stimme mit der Energie m 0 2 überein, wobei m 0 die Elektronenmasse ist. 1 8π R 0 ( e0 r 2 ) 2 r 2 drdω = e2 0 2R 0 = m 0 2 (3.27) ergibt R 0 = m. Die Annahme einer homogenen Ladungsverteilung in der Kugel ergibt ein etwas anderes Ergebnis. Aus hohenergetishen Streuprozessen weiß man allerdings, dass die Ausdehnung des Elektrons um mindestens einen Faktor 100 kleiner sein muss, obige Annahme also unzutreffend ist.

13 4 Elektrisher Dipol und Quadrupol 13 4 Elektrisher Dipol und Quadrupol Gegeben sei eine Ladungsverteilung ρ(r ) innerhalb einer Kugel vom Radius R um den Ursprung. Außerhalb sei ρ(r ) = 0. 4.a Das Feld für r > R r Das Potential der Ladungsverteilung ist Φ(r) = d 3 r ρ(r ) r r. (4.1) R Wir führen nun eine TAYLOR-Entwiklung nah r, das heißt nah den drei Variabeln x 1, x 2 und x 3 durh 1 r r = l=0 ( r ) l Als erstes müssen wir den Gradienten von 1/r berehnen löse (B.39, B.42). Daraus folgt dann Als nähstes berehnen wir (B.47) r r 3 l! 1 r = 1 r (r ) 1 r (r )(r ) 1... (4.2) r 1 r = r r 3, da f (r) = r r f (r), (4.3) (r ) 1 r = r r r 3. (4.4) = 1 grad ( r) + ( r) grad r3 ( ) 1 r 3 = 3( r)r (4.5) r3 r 5 unter Verwendung von (B.27) und Lösung von (B.37, B.39). Damit erhalten wir die TAYLOR-Entwiklung Wir formen zunähst noh 3(r r ) 2 r 2 r 2 um 1 r r = 1 r + r r r 3 + 3(r r ) 2 r 2 r 2 2r (4.6) 3(r r ) 2 r 2 r 2 = x αx β (3x αx β r 2 δ α,β ) = (x αx β 1 3 r 2 δ α,β )(3x α x β r 2 δ α,β ) (4.7) wegen δ α,β (3x α x β δ α,β r 2 ) = 3x α x α r 2 δ α,α = 0. Hier und auh im Folgenden verwenden wir die Summationskonvention: Über alle Indies (von Komponenten), die zweimal in einem Produkt auftreten, wird summiert, in (4.7) also über α und β. Wir führen nun die Größen q = d 3 r ρ(r ) Ladung (4.8) p = d 3 r r ρ(r ) Dipolmoment (4.9) Q α,β = d 3 r (x αx β 1 3 δ α,βr 2 )ρ(r ) Komponenten des Quadrupolmoments (4.10) ein und erhalten damit die Entwiklung für das Potential und die elektrishe Feldstärke Φ(r) = q r + p r r 3 + Q α,β 3x α x β r 2 δ α,β 2r 5 + O( 1 r 4 ) (4.11) E(r) = grad Φ(r) = qr 3(p r)r pr2 + + O( 1 r3 r 5 r 4 ) (4.12)

14 14 B Elektrostatik 4.b Transformationseigenshaften Die Multipolmomente sind definiert bezüglih eines vorgegebenen Punktes, zum Beispiel des Ursprungs. Vershiebt man den Bezugspunkt um a, das heißt r 1 = r a, so findet man mit ρ 1 (r 1 ) = ρ(r ) q 1 = d 3 r 1 ρ 1(r 1 ) = d 3 r ρ(r ) = q (4.13) p 1 = d 3 r 1 r 1 ρ 1(r 1 ) = d 3 r (r a)ρ(r ) = p aq. (4.14) Die Gesamtladung ist unabhängig vom Bezugspunkt. Das Dipolmoment ist unabhängig vom Bezugspunkt, falls q = 0 (reiner Dipol), sonst hängt es vom Bezugspunkt ab. Ähnlih findet man, dass das Quadrupolmoment unabhängig vom Bezugspunkt ist, falls q = 0 und p = 0 (reiner Quadrupol). Unter Drehung x 1,α = D α,βx β ist q invariant (Skalar), wobei D eine Drehmatrix sei, also eine orthogonale Transformation beshreibe. Der Dipol p transformiert sih wie ein Vektor p 1,α = d 3 r D α,β x β ρ(r ) = D α,β p β (4.15) und der Quadrupol Q wie ein Tensor zweiter Stufe Q 1,α,β = d 3 r (D α,γ x γ D β,δx δ 1 3 δ α,βr 2 )ρ(r ). (4.16) Beahtet man, dass auf Grund der Orthogonalität von D so folgt also das Transformationsgesetz für Tensoren zweiter Stufe. 4. Dipol δ α,β = D α,γ D β,γ = D α,γ δ γ,δ D β,δ, (4.17) Q 1,α,β = D α,γ D β,δ Q γ,δ, (4.18) Der Prototyp eines Dipols besteht aus einer Ladung q am Ort r 0 + a und einer entgegengesetzten Ladung q am Ort r 0. Das Dipolmoment beträgt dann p = qa. (4.19) Als Ladungsverteilung ergibt sih dann Wir führen nun eine TAYLORentwiklung nah a durh ρ(r) = q(δ 3 (r r 0 a) δ 3 (r r 0 )). (4.20) ρ(r) = qδ 3 (r r 0 ) qa δ 3 (r r 0 ) + q 2 (a )2 δ 3 (r r 0 ) +... qδ 3 (r r 0 ), (4.21) wobei sih der erste mit dem letzten Term weghebt. Wir führen nun den Limes a 0 durh, wobei wir das Produkt qa = p festhalten. Dann bleibt als Ladungsverteilung eines Dipols p am Ort r 0 und sein Potential Φ(r) = d 3 r ρ(r ) r r = p = p ρ(r) = p δ 3 (r r 0 ) (4.22) d 3 r 1 r r grad δ 3 (r r 0 ) = p d 3 r grad 1 r r δ3 (r r 0 ) d 3 r r r r r 3 δ3 (r r 0 ) = p (r r 0) r r 0 3, (4.23) wobei die Gleihungen (B.61) verwendet und (B.50) gelöst wurden.

15 4 Elektrisher Dipol und Quadrupol 15 4.d Quadrupol Der Quadrupol wird durh die zweiten Momente der Ladungsverteilung beshrieben. 4.d.α Symmetrien Q ist ein symmetrisher Tensor Q α,β = Q β,α. (4.24) Er lässt sih daher ähnlih wie der Trägheitstensor durh eine orthogonale Transformation auf Diagonalform bringen. Weiterhin folgt aus der Definition (4.10) Q α,α = 0, (4.25) das heißt die Spur des Quadrupol-Tensors vershwindet. Daher hat der Tensor niht sehs, sondern nur fünf unabhängige Komponenten. 4.d.β Symmetrisher Quadrupol Ein Spezialfall ist der symmetrishe Quadrupol. Seine Ladungsverteilung hängt nur von z und dem Abstand von der z-ahse ab, ρ = ρ(z, x 2 + y 2 ). Für ihn gilt weil ρ(x, y, z) = ρ( x, y, z) = ρ(x, y, z). Weiter ist Q x,y = Q x,z = Q y,z = 0, (4.26) z r Q x,x = Q y,y = 1 2 Q z,z =: 1 3 ˆQ. (4.27) θ Die erste Gleihung folgt aus ρ(x, y, z)=ρ(y, x, z), die zweite daraus, dass die Spur von Q vershwindet. Das letzte Gleihheitszeihen gibt die Definition von ˆQ an. Man findet ˆQ = 3 2 Q z,z = d 3 r ( 3 2 z r 2 )ρ(r ) = d 3 r r 2 P 2 (os θ )ρ(r ) (4.28) mit dem LEGENDRE-Polynom P 2 (ξ) = 3 2 ξ Auf die LEGENDRE-Polynome werden wir im nähsten Abshnitt und im Anhang C noh zurükkommen. Als Beispiel betrahten wir noh den gestrekten Quadrupol mit zwei Ladungen q an den Orten ±ae z und einer Ladung 2q am Ursprung. Wir finden ˆQ = 2qa 2. Die einzelnen Ladungen tragen zum Quadrupolpotential bei. Φ(r) = 1 3 ˆQ 3x2 r 2 2r ˆQ 3y2 r 2 2r ˆQ 3z2 r 2 2r 5 = ˆQP 2 (os θ) r 3 (4.29) 4.e Energie, Kraft und Drehmoment auf einen Multipol im äußeren Feld Eine Ladungsverteilung ρ(r), die um den Ursprung lokalisiert sei, sei in einem äußeren elektrishen Potential Φ a (r), das etwa von einer entfernten Ladungsverteilung ρ a erzeugt sei. Die Wehselwirkungsenergie beträgt dann U = d 3 rρ(r)φ a (r). (4.30) Hier tritt kein Faktor 1/2 vor dem Integral auf, wie man es wegen (3.24) annehmen könnte, da zum Integral über ρ(r)φ a (r) noh ein zweiter Beitrag mit dem Integral über ρ a (r)φ(r) hinzutritt, der noh einmal den gleihen Beitrag liefert. Wir entwikeln nun das äußere Potential und erhalten für die Wehselwirkungsenergie { U = d 3 rρ(r) Φ a (0) + r Φ a r=0 + 1 } 2 x αx β α β Φ r=0 a +... = qφ a (0) + p Φ a r=0 + 1 ( Q α,β + 1 ) 2 3 δ α,β d 3 rρ(r)r 2 α β Φ r=0 a +... (4.31)

16 16 B Elektrostatik Der Beitrag proportional zum Integral über ρ(r)r 2 vershwindet, da α α Φ a = Φ a = 4πρ a (r) = 0, da sih am Ursprung keine Ladungen befinden, die Φ a erzeugen. Damit bleibt für das Wehselwirkungs-Potential U = qφ a (0) p E a (0) Q α,β α β Φ a +... (4.32) Wir können daraus zum Beispiel die potentielle Energie zweier Dipole, p b im Ursprung und p a bei r 0 bestimmen. Der Dipol p a erzeugt das Potential Die Wehselwirkungsenergie ergibt sih dann zu (vgl. B.47) Φ a (r) = p a (r r 0 ) r r 0 3. (4.33) U a,b = p b Φ a r=0 = p a p b r 3 0 3(p a r 0 )(p b r 0 ). (4.34) r 5 0 Die Kraft auf einen Dipol im Ursprung ergibt sih zu K = d 3 rρ(r)e a (r) = d 3 rρ(r)(e a (0) + x α α E a r=0 +...) = qe a (0) + (p grad )E a (0) +... (4.35) Das Drehmoment auf einen Dipol im Ursprung ergibt sih zu M meh = d 3 r ρ(r )r E a (r ) = p E a (0) +... (4.36)

17 5 Multipol-Entwiklung in Kugelkoordinaten 17 5 Multipol-Entwiklung in Kugelkoordinaten 5.a POISSON-Gleihung in Kugelkoordinaten Wir leiten zunähst den Ausdruk für den LAPLACE-Operator in Kugelkoordinaten z e r d r x = r sin θ os φ (5.1) y = r sin θ sin φ (5.2) z = r os θ (5.3) r sin θ e φ d φ d r her. Dabei benützen wir zunähst nur, dass es sih dabei um krummlinige Koordinaten handelt, die sih unter rehtem Winkel shneiden, so dass wir r r e θ d θ dr = g r e r dr + g θ e θ dθ + g φ e φ dφ (5.4) shreiben können, wobei die e r, e θ und e φ eine orthonormierte ortsabhängige Basis bilden. Man findet leiht, dass θ g r = 1, g θ = r, g φ = r sin θ. (5.5) Das Volumenelement ist gegeben durh d 3 r = g r drg θ dθg φ dφ = r 2 dr sin θdθdφ = r 2 drdω (5.6) mit dem Raumwinkelelement dω = sin θdθdφ. (5.7) 5.a.α Der Gradient Zur Berehnung des Gradienten betrahten wir das Differential einer Funktion Φ(r) dφ(r) = Φ r dr + Φ θ Φ dθ + dφ, (5.8) φ die mit ( grad Φ) dr übereinstimmen muss. Aus der Entwiklung des Vektorfeldes in seine Komponenten und (5.4) folgt dann grad Φ = ( grad Φ) r e r + ( grad Φ) θ e θ + ( grad Φ) φ e φ (5.9) dφ(r) = ( grad Φ) r g r dr + ( grad Φ) θ g θ dθ + ( grad Φ) φ g φ dφ, (5.10) woraus wir ( grad Φ) r = 1 g r Φ r, ( grad Φ) θ = 1 g θ Φ θ, ( grad Φ) φ = 1 g φ Φ φ (5.11) für die Komponenten des Gradienten erhalten.

18 18 B Elektrostatik 5.a.β Die Divergenz Zur Berehnung der Divergenz verwenden wir den GAUßshen Satz (B.59). Wir integrieren die Divergenz von A(r) über ein Volumen begrenzt durh die Koordinaten r, r + r, θ, θ + θ, φ, φ + φ. Wir erhalten d 3 r div A = g r g θ g φ div A drdθdφ = A df = g θ dθg φ dφa r+ r r + g r r drg φ dφa θ+ θ θ + g θ r drg θ dθa φ+ φ φ φ [ ( ) ( ) ( ) ] = gθ g φ A r + gr g φ A θ + gr g θ A φ drdθdφ (5.12) r θ φ Da die Identität für beliebig kleine Volumina zutrifft, müssen die Integranden auf der rehten Seite der ersten Zeile und auf der dritten Zeile übereinstimmen. Daraus folgt [ 1 ( ) ( ) ( ) ] div A(r) = gθ g φ A r + gr g φ A θ + gr g θ A φ. (5.13) g r g θ g φ r θ φ 5.a.γ Der LAPLACE-Operator Durh Bildung von Φ = div grad Φ erhalten wir shließlih 1 Φ(r) = g r g θ g φ [ ( gθ g φ r g r ) Φ + ( gr g φ r θ g θ ) Φ + ( gr g θ θ φ g φ )] Φ. (5.14) φ Diese Formel gilt noh generell für orthogonale krummlinige Koordinaten (wenn wir sie mit r, θ, φ bezeihnen). Setzen wir nun die Werte für g ein, so folgt für sphärishe Koordinaten 2 Φ = 1 r r (rφ) r ΩΦ, 2 (5.15) Ω Φ = 1 Φ (sin θ sin θ θ θ ) Φ sin 2 θ φ. 2 (5.16) Der Operator Ω wirkt nur auf die beiden Winkel θ und φ, aber niht auf den Abstand r. Er wird auh LAPLACE- Operator auf der Kugel genannt. 5.b Kugelflähenfunktionen Wie wir im Anhang C näher ausführen, gibt es einen vollständigen Satz orthonormierter Funktionen Y l,m (θ, φ), l = 0, 1, 2,..., m = l, l + 1,...l, die der Gleihung Ω Y l,m (θ, φ) = l(l + 1)Y l,m (θ, φ) (5.17) genügen. Diese heißen Kugelflähenfunktionen. Vollständigkeit heißt: Ist f (θ, φ) auf der Kugel differenzierbar und sind die Ableitungen beshränkt, so lässt sih f (θ, φ) darstellen als konvergente Summe f (θ, φ) = fˆ l,m Y l,m (θ, φ). (5.18) l,m Daher führen wir jetzt die entsprehende Entwiklung für Φ(r) und ρ(r) durh Φ(r) = ˆΦ l,m (r)y l,m (θ, φ), (5.19) ρ(r) = l,m ˆρ l,m (r)y l,m (θ, φ). (5.20) l,m

19 5 Multipol-Entwiklung in Kugelkoordinaten 19 Die Kugelflähenfunktionen sind orthonormal, das heißt, das Integral über den Raumwinkel ergibt dωyl,m (θ, φ)y l,m (θ, φ) = dφ sin θdθyl,m (θ, φ)y l,m (θ, φ) = δ l,l δ m,m. (5.21) Diese Orthogonalitätsbeziehung können wir zur Berehnung der ˆΦ und ˆρ verwenden dφ sin θdθyl,m (θ, φ)ρ(r) = ˆρ l,m (r) dφ sin θdθyl,m (θ, φ)y l,m (θ, φ) l,m = ˆρ l,m (r)δ l,l δ m,m = ˆρ l,m(r). (5.22) l,m Wir geben hier einige der Kugelflähenfunktionen an Allgemein ist 1 Y 0,0 (θ, φ) = (5.23) 4π 3 Y 1,0 (θ, φ) = os θ (5.24) 4π 3 Y 1,±1 (θ, φ) = 8π sin θe±iφ (5.25) ( 5 3 Y 2,0 (θ, φ) = 4π 2 os2 θ 1 ) (5.26) 2 15 Y 2,±1 (θ, φ) = 8π sin θ os θe±iφ (5.27) Y 2,±2 (θ, φ) = π sin2 θe ±2iφ. (5.28) Y l,m (θ, φ) = mit den zugeordneten LEGENDRE-Funktionen P m l 2l + 1 (l m)! 4π (l + m)! Pm l (os θ)eimφ (5.29) ( )m (ξ) = 2 l l! (1 ξ2 m/2 dl+m ) dξ l+m (ξ2 1) l. (5.30) Generell ist Y l,m das Produkt aus (sin θ) m e imφ und einem Polynom der Ordnung l m in os θ. Je nahdem, ob l m gerade oder ungerade ist, handelt es sih dabei um ein gerades oder ungerades Polynom in os θ. Es gilt die Symmetrie-Beziehung Y l, m (θ, φ) = ( ) m Yl,m (θ, φ). (5.31) 5. Radialgleihung und Multipol-Momente Unter Verwendung der Entwiklung von Φ und ρ nah den Kugelflähenfunktionen lautet die POISSON- Gleihung nun Φ(r) = l,m ( 1 r d 2 dr 2 (r ˆΦ l,m (r)) l(l + 1) r 2 ) ˆΦ l,m (r) Y l,m (θ, φ) = 4π Durh Gleihsetzen der Koeffizienten von Y l,m erhalten wir die Radialgleihungen l,m ˆρ l,m (r)y l,m (θ, φ). (5.32) ˆΦ l,m (r) + 2 r ˆΦ l,m (r) l(l + 1) r 2 ˆΦ l,m (r) = 4πˆρ l,m (r). (5.33)

20 20 B Elektrostatik Die Lösung der homogenen Gleihung lautet ˆΦ l,m (r) = a l,m r l + b l,m r l 1. (5.34) Für die inhomogene Gleihung maht man nun wie üblih den Ansatz (ih lasse im Moment die Indies l und m weg.) ˆΦ = a(r)r l + b(r)r l 1. (5.35) Dann folgt ˆΦ = a (r)r l + b (r)r l 1 + la(r)r l 1 (l + 1)b(r)r l 2. (5.36) Wir fordern nun wie üblih und erhalten dann für die zweite Ableitung a (r)r l + b (r)r l 1 = 0 (5.37) ˆΦ = la (r)r l 1 (l + 1)b (r)r l 2 + l(l 1)a(r)r l 2 + (l + 1)(l + 2)b(r)r l 3. (5.38) Setzen wir diese Ausdrüke in die Radialgleihung ein, so heben sih die Anteile, die a und b ohne Ableitung enthalten, weg. Es bleibt la (r)r l 1 (l + 1)b (r)r l 2 = 4πˆρ, (5.39) Aus den Gleihungen (5.37) und (5.39) folgt dann durh Auflösen nah a und b Wir integrieren nun die Gleihungen da l,m (r) dr db l,m (r) dr = 4π 2l + 1 r1 l ˆρ l,m (r), (5.40) 4π = 2l + 1 rl+2 ˆρ l,m (r). (5.41) a l,m (r) = b l,m (r) = 4π 2l + 1 4π 2l + 1 r r 0 dr r 1 l ˆρ l,m (r ) (5.42) dr r l+2 ˆρ l,m (r ). (5.43) Addieren wir eine Konstante zu a l,m (r), so ist dies auh eine Lösung der POISSON-Gleihung, da r l Y l,m (θ, φ) homogene Lösung der POISSON-Gleihung ist. Wir wünshen aber eine Lösung, die für großes r abfällt. Daher wählen wir a l,m ( ) = 0. Addieren wir eine Konstante zu b l,m, so ist das eine Lösung für r 0. Für r = 0 hingegen erhält man eine Singularität, die die POISSON-Gleihung niht erfüllt. Daher muss man b l,m (0) = 0 setzen. Wir können nun die Entwiklungs-Koeffizienten ˆρ l,m einsetzen und erhalten 4π a l,m (r) = d 3 r r 1 l Yl,m 2l + 1 (θ, φ )ρ(r ) (5.44) r >r 4π b l,m (r) = d 3 r r l Yl,m 2l + 1 (θ, φ )ρ(r ). (5.45) r <r Wir können nun die Ausdrüke für a l,m und b l,m in (5.19) und (5.35) einsetzen. Die r- und r -Abhängigkeit ergibt sih für r < r aus dem a-term zu r l /r l+1 und für r > r aus dem b-term zu r l /r l+1. Dies fasst man zusammen, indem man mit r > den größeren, mit r < den kleineren der beiden Radien r und r bezeihnet. Dann folgt 4π l Φ(r) = d 3 r rl < ρ(r )Yl,m 2l + 1 (θ, φ )Y l,m (θ, φ). (5.46) l=0 m= l Ist ρ(r ) = 0 für r > R, dann folgt für r > R Φ(r) = l,m r> l+1 4π 2l + 1 q l,m Y l,m (θ, φ) r l+1 (5.47)

21 5 Multipol-Entwiklung in Kugelkoordinaten 21 mit den Multipolmomenten q l,m = 4π 2l + 1 d 3 r r l Y l,m (θ, φ )ρ(r ). (5.48) Für l = 0 erhalten wir das Monopolmoment Ladung, für l = 1 haben wir die Komponenten des Dipol- Moments, für l = 2 die Komponenten des Quadrupolmoments. Speziell für m = 0 hat man q 0,0 = 4π 4π q 1,0 = 3 4π q 2,0 = 5 1 d 3 r 4π ρ(r ) = q (5.49) 3 d 3 r 4π r os θ ρ(r ) = d 3 r z ρ(r ) = p z (5.50) d 3 r 5 4π r 2 ( 3 2 os2 θ 1 2 )ρ(r ) = d 3 r ( 3 2 z r 2 )ρ(r ) = 3 2 Q zz. (5.51) 5.d Punktladung am Ort r, zylindersymmetrishe Ladungsverteilung Wir betrahten jetzt noh den Fall einer Punktladung q am Ort r. Wir können ausgehen von dem bekannten Potential q Φ(r) = r r = q r2 + r 2 2rr os ψ. (5.52) Dabei ist ψ der Winkel zwishen r und r. Wir entwikeln nun nah r < /r > Φ(r) = q r > 1 + ( r < r> ) 2 2 r < r> os ψ = q l=0 r< l r> l+1 P l (os ψ). (5.53) Dabei bezeihnet man P l (ξ) als LEGENDRE-Polynome. Für os ψ = ±1 sieht man sofort aus der Entwiklung von 1/(r > r < ), dass P l (1) = 1 und P l ( 1) = ( ) l gilt. Wir können andererseits auh mit (5.46) arbeiten und finden Φ(r) = q l=0 r< l 4π r> l+1 2l + 1 l Y l,m (θ, φ)yl,m (θ, φ ). (5.54) m= l Durh Vergleih findet man das Additionstheorem für Kugelflähenfunktionen P l (os ψ) = 4π 2l + 1 l Y l,m (θ, φ)yl,m (θ, φ ), (5.55) m= l wobei sih der Winkel ψ zwishen r und r ausdrüken lässt durh r r = rr os ψ und unter Verwendung von ( ) os ψ = os θ os θ + sin θ sin θ os(φ φ ). (5.56) Wir betrahten jetzt noh den Spezialfall θ = 0, das heißt ψ = θ. Dann vershwinden alle Y l,m (θ, φ ) wegen der Faktoren sin θ außer denen für m = 0 und das Additions-Theorem reduziert sih auf P l (os θ) = 4π 2l + 1 Y l,0(θ)y l,0 (0) = P 0 l (os θ)p0 l (1). (5.57) Aus der Darstellung (5.30) P 0 l (ξ) = 1/(2l l!)d l (ξ 2 1) l /dξ l folgt für ξ = 1 und Zerlegen (ξ 2 1) l = (ξ + 1) l (ξ 1) l das Ergebnis P 0 l (1) = [(ξ + 1)l /2 l ] ξ=1 [d l (ξ 1) l /dξ l /l!] ξ=1 = 1. Damit haben wir gefunden, dass gilt. P 0 l (ξ) = P l(ξ) (5.58)

22 22 B Elektrostatik Speziell für zylindersymmetrishe Verteilungen ρ(r), die also nur von r und θ, aber niht von φ abhängen, gilt dann P l (os θ) Φ(r) = q r l+1 l,0 (5.59) mit den Momenten l q l,0 = d 3 r r l P l (os θ )ρ(r ). (5.60) Alle Momente mit m 0 vershwinden für die zylindersymmetrishe Verteilung. Aufgabe Berehnen Sie aus (5.1) bis (5.5) die Vektoren e r, e θ und e φ und prüfen Sie nah, dass diese ein Orthonormalsystem bilden. Aufgabe Berehnen Sie mit Hilfe des Satzes von STOKES (B.56) die Rotation in Kugelkoordinaten. Aufgabe Berehnen Sie für Zylinderkoordinaten x = ρ os φ, y = ρ sin φ und z die metrishen Faktoren g ρ, g φ und g z, das Volumenelement und Gradient und Divergenz.

23 6 Elektrishes Feld in Materie 23 6 Elektrishes Feld in Materie 6.a Polarisation und dielektrishe Vershiebung Die bisher aufgestellten Feldgleihungen gelten auh in Materie. Auf ein äußeres elektrishes Feld reagiert die Materie im allgemeinen durh Polarisation. Die Elektronen vershieben sih gegenüber den Kernen, wodurh Dipole entstehen, oder bereits existierende Dipole von Molekülen oder Molekülgruppen rihten sih gegen die thermishe Bewegung aus. Ein elektrishes Feld bewirkt also die Vershiebung von Ladungen q i vom Ort r i zum Ort r i + a i, das heißt Dipole p i = q i a i werden induziert. Man erhält die Ladungsverteilung der Polarisationsladungen (4.22) ρ P (r) = p i grad δ 3 (r r i ). (6.1) i Führen wir eine Dipolmomentdihte P ein, die man als Polarisation bezeihnet, pi P(r) = V, (6.2) wobei p i die Summe der Dipolmomente in einem infinitesimalen Volumen V ist, so folgt ( ) ρ P (r) = d 3 r P(r ) grad δ 3 (r r ) = div d 3 r P(r )δ 3 (r r ) = div P(r). (6.3) Wir veranshaulihen diese Gleihung. Wir gehen aus von einem Festkörper, in dem sih (auf einer Skala groß gegen den Atomabstand) die Ladungen der Ionen und Elektronen kompensieren (oberste Figur).Legt man ein Feld E an, so vershieben sih die Elektronen gegenüber den Ionen (zweite Figur). Im Inneren hat man Ladungskompensation. Nur am Rand bleiben Netto-Ladungen übrig. Im dritten Bild ist die Polarisation P = ρ el a aufgezeihnet, wobei diese am Rand stetig ausgeshmiert wurde.im letzten Bild ist die Ableitung dp/dx aufgetragen. Man sieht, dass diese mit der des zweiten Bilds übereinstimmt. - ρ ρ P d P d x ρ Ionen ρ Elektronen unpolarisiert x polarisiert x E ρ el <0 a<0 P=ρ el a x x Damit setzt sih die Ladungsdihte ρ zusammen aus einer freibeweglihen Ladungsdihte ρ f und der Polarisations-Ladungsdihte ρ P (erstere kann zum Beispiel die Ladungsdihte sein, die auf eine Kondensatorplatte aufgebraht wird) ρ(r) = ρ f (r) + ρ P (r) = ρ f (r) div P(r). (6.4) Damit führt man in der MAXWELLgleihung die dielektrishe Vershiebung D ein so dass div E(r) = 4πρ(r) = 4πρ f (r) 4π div P(r) (6.5) D(r) = E(r) + 4πP(r), (6.6) div D(r) = 4πρ f (r) (6.7) gilt. Für den Fluss der dielektrishen Vershiebung durh die Oberflähe eines Volumens erhält man dann die freibeweglihe Ladung q f (V) in diesem Volumen df D(r) = 4πq f (V). (6.8) V

24 24 B Elektrostatik Für viele Substanzen sind bei niht zu großer Feldstärke P und E in guter Näherung proportional P(r) = χ e E(r) χ e elektrishe Suszeptibilität (6.9) D(r) = ɛe(r) ɛ (relative) Dielektrizitätskonstante (6.10) ɛ = 1 + 4πχ e. (6.11) χ e und ɛ sind Tensoren für anisotrope Materialien, sonst Skalare. Bei Ferroelektrika ist P bereits für E = 0 von 0 vershieden. Allerdings ist die Polarisationsladung meist durh Oberflähenladungen kompensiert. Doh wird sie offensihtlih, wenn die Polarisation durh äußere Änderungen verändert wird, zum Beispiel durh Druk beim Quarz (Piezoelektrizität) oder Temperaturveränderung. Im GAUßshen System sind die Dimensionen von D, E und P übereinstimmend dyn 1/2 m 1. Im SI-System wird aber E in V/m, D und P in As/m 2 gemessen. Da das SI-System ein rationales Maßsystem ist, das GAUßshe ein irrationales, untersheiden sih die Umrehnungsfaktor für D und P um 4π. Dementsprehend untersheiden sih auh die χ e in beiden Systemen um einen Faktor 4π. Dagegen sind die relativen Dielektrizitätskonstanten ɛ identish. Genaueres findet sih im Anhang A. 6.b Grenzflähen zwishen Dielektrika Wir betrahten nun die Grenzflähe zwishen zwei Dielektrika oder Dielektrikum und Vakuum. Aus der MAXWELLgleihung rot E = 0 folgt, dass die Komponenten des elektrishen Feldes tangential zur Grenzflähe in beiden Dielektrika übereinstimmen E 1,t = E 2,t. (6.12) Um dies zu sehen, muss man nur ein Linienintegral dr E(r), das parallel zur Grenzflähe in einem Dielektrikum hin, im anderen zurükführt, ausführen und in das Flähenintegral df rot E(r) = 0 überführen. Man sieht dann, dass das Linienintegral vershwindet. Sind die Integrationswege in den beiden Dielektrika infinitesimal benahbart, so folgt, da das für beliebige Wege gilt, dass E t in beiden Dielektrika übereinstimmen muss. Andererseits können wir ein GAUßshe Dose einführen, deren Dekflähe infinitesimal von der Grenzflähe entfernt in einem Dielektrikum und deren Grundflähe ebenfalls infinitesimal von der Grenzflähe im anderen Dielektrikum verläuft. Sind auf der Grenzflähe keine freibeweglihen Ladungen, so gilt V d3 r div D = 0, was dazu führt, dass man auf der Oberflähe df D = 0 hat. Rükt man die Oberflähe nun an die Grenzflähe heran, so folgt die Stetigkeit der Normalkomponenten von D D 1,n = D 2,n. (6.13) Shließt das elektrishe Feld (in isotropen Dielektrika) mit der Flähennormalen die Winkel α 1 und α 2 ein, so gilt E 1 sin α 1 = E 2 sin α 2 (6.14) D 1 os α 1 = D 2 os α 2 (6.15) tan α 1 = tan α 2. (6.16) ɛ 1 ɛ 2 E t ε E D ε 1 2 D D 2 D1 1 E 2 α E 1 t α2 n n Wir betrahten jetzt einen Hohlraum im Dielektrikum. Ist der Hohlraum sehr dünn in Rihtung des Feldes (a) und in beiden dazu senkrehten Rihtungen vergleihsweise sehr ausgedehnt, dann stimmt die dielektrishe Vershiebung D im Hohlraum und im Dielektrikum überein.

25 6 Elektrishes Feld in Materie 25 Handelt es sih dabei um einen sehr langgestrekten Hohlraum in Rihtung des Feldes (b), so muss der Abfall des Potentials in dieser langgestrekten Rihtung übereinstimmen, so dass im Inneren und im Äußeren des Hohlraums das elektrishe Feld E übereinstimmt.daneben treten vor allem an den Rändern auh Streufelder auf. Es ist für Ellipsoide möglih, das Feld im Innern eines Hohlraums exakt zu berehnen. Siehe zum Beispiel im Buh von BECKER und SAUTER. Das Feld im Inneren des Ellipsoids ist homogen. Für die Kugel führen wir die Berehnung anshließend durh. a b E D ε 6. Dielektrishe Kugel im homogenen elektrishen Feld Wir betrahten eine dielektrishe Kugel mit Radius R und Dielektrizitätskonstante ɛ 2, die in ein anderes Dielektrikum mit Dielektrizitätskonstante ɛ 1 eingebettet ist. Im Dielektrikum 1 herrshe in sehr großer Entfernung ein homogenes Feld E(r) = E 1 = E 1 e z r R. (6.17) R ε 2 ε 1 Daraus folgt das Potential Φ(r) = E 1 r = E 1 r os θ r R. (6.18) Da os θ das LEGENDRE-Polynom P 1 (os θ) ist, führt der Ansatz Φ(r) = f (r) os θ (6.19) zum Erfolg. Die Lösung der homogenen POISSON-Gleihung ( f (r) os θ) = 0 ist eine Linearkombination (5.34) aus f (r) = r (homogenes Feld) und f (r) = 1/r 2 (Dipolfeld). Da am Ursprung kein makroskopisher Dipol sitzt, können wir ansetzen { E Φ(r) = os θ 2 r r R E 1 r + p/r 2 r R. (6.20) An der Grenzflähe gilt Φ(R + 0) = Φ(R 0), was identish ist mit E 1,t = E 2,t und auf führt. Die Bedingung D 1,n = D 2,n führt mit D n = ɛ Φ r auf Aus diesen beiden Gleihungen erhält man E 1 R + p R 2 = E 2R (6.21) ɛ 1 (E 1 + 2p R 3 ) = ɛ 2E 2. (6.22) E 2 = p = 3ɛ 1 E 1 ɛ 2 + 2ɛ 1 (6.23) ɛ 2 ɛ 1 R 3 E 1. ɛ 2 + 2ɛ 1 (6.24) Speziell für die dielektrishe Kugel (ɛ 2 = ɛ) im Vakuum (ɛ 1 = 1) folgt E 2 = ɛ E 1, p = ɛ 1 ɛ + 2 R3 E 1. (6.25)

26 26 B Elektrostatik Die Polarisation im Inneren der Kugel bewirkt eine Veränderung des mittleren elektrishen Felds um Für eine Hohlkugel (ɛ 2 = 1) im Dielektrikum (ɛ 1 = ɛ) erhält man dagegen E 2 E 1 = 1 ɛ 2 + ɛ E 1e z = 4π P. (6.26) 3 E 2 = 3ɛ 1 + 2ɛ E 1. (6.27) 6.d Dielektrizitätskonstante nah CLAUSIUS und MOSSOTTI CLAUSIUS und MOSSOTTI leiten die Dielektrizitätskonstante aus der Polarisierbarkeit α der Moleküle (Atome) wie folgt her: Im Feld E eff ist das mittlere Dipolmoment Bei einer Dihte der Dipole (Atome) n ergibt sih die Polarisation p = αe eff. (6.28) P = np = nαe eff. (6.29) Wir müssen daher das effektive Feld E eff bestimmen, das auf den Dipol wirkt. Dazu shneiden wir eine Kugel vom Radius R aus der Materie um den Dipol heraus. Diese Dipole erzeugen, wie wir am Beispiel der dielektrishen Kugel im Vakuum aus (6.26) sehen, ein mittleres Feld Ē P = E 2 E 1 = 4π 3 P. (6.30) Dieses Feld fehlt nah dem Herausshneiden der Kugel. Dafür ist das shnell veränderlihe Feld der einzelnen Dipole innerhalb der Kugel zu addieren (mit Ausnahme des Dipols, an dessen Stelle das Feld bestimmt werden soll) p i ri 2 + 3(p i r i )r i E eff = E Ē P +. (6.31) i Die Summe hängt von der Anordnung der Dipole (Kristallstruktur) ab. Falls die Dipole auf einem kubishen Gitter sitzen, vershwindet die Summe, denn die Beiträge aus δ α,β ri 2 + 3x i,α x i,β e α p β α,β i r 5 i r 5 i (6.32) heben sih für α β weg, wenn man die Beiträge jeweils für x α und x α zusammenfasst, die für α = β, wenn man die drei Beiträge, die man durh zyklishes Permutieren der drei Komponenten erhält, zusammenfasst. Damit bleibt für ein kubishes Gitter χ e E = P = nαe eff = nα(e + 4π 3 P) = nα(1 + 4π 3 χ e)e, (6.33) woraus die Beziehung von CLAUSIUS (1850) und MOSSOTTI (1879) folgt. χ e = nα 1 4πnα 3 oder 4π 3 nα = ɛ 1 ɛ + 2 (6.34)

27 7 Elektrizit ät auf Leitern 27 7 Elektrizität auf Leitern 7.a Elektrishe Leiter Innerhalb eines Leiters ist das elektrishe Feld E = 0, da ein von Null vershiedenes Feld sofort die Ladungen vershieben würde. Das Potential ist daher in jedem Leiter konstant. Für den Leiter #i gilt daher Φ(r) = Φ i. Außerhalb der Leiter ist der Potentialverlauf durh die POISSON-Gleihung gegeben Φ(r) = 4πρ(r) oder div (ɛ(r) grad Φ(r)) = 4πρ f (r). (7.1) 7.a.α Randbedingungen an der Leiteroberfl ähe An der Leiteroberflähe hat man ein konstantes Potential (auh auf der Seite des Dielektrikums). vershwinden die Komponenten von E tangential zur Oberflähe Daher E t (r) = 0, (7.2) Auf der Leiteroberflähe befinden sih in der Regel Influenzladungen. Wir bezeihnen die Oberflähenladungsdihte mit σ(r). Leiter n Bei Integration über ein Stük der Oberflähe folgt dann df E a (r) = 4πq = 4π d f σ(r). (7.3) Daher gilt für die Feldstärke E a an der Oberflähe im Außenraum E a (r) = 4πσ(r)n, Φ n = 4πσ(r). (7.4) Im allgemeinen wird sih die Ladungsdihte σ an der Oberflähe zusammensetzen aus der freibeweglihen σ f auf der Leiteroberflähe und der Polarisationsladungsdihte σ P auf dem Dielektrikum σ(r) = σ f (r) + σ P (r) mit D a (r) = 4πσ f (r)n, (7.5) woraus dann mit D = ɛe σ f = ɛ(σ f + σ P ), σ P = ( 1 ɛ 1)σ f (7.6) folgt. 7.a.β Kraft auf Leiter (im Vakuum) Zunähst könnte man vermuten, die Kraft sei gegeben durh d f E a σ(r). Dies ist aber falsh. Denn genau so könnte man argumentieren, man müsse das Feld im Leiter E i = 0 einsetzen. Die Wahrheit liegt in der Mitte. Dies erkennt man, wenn man davon ausgeht, dass die Ladung niht exakt auf der Oberflähe sitzt, sondern über eine Shihtdike l vershmiert ist. Nehmen wir an innerhalb einer Shiht der Dike a befindet sih die Ladung s(a)σ(r)d f mit s(0) = 0 und s(l) = 1, dann wirkt in der Tiefe a die Feldstärke E i (r an) = (1 s(a))e a (r), da der Bruhteil s(a) bereits abgeshirmt ist. Mit ρ(r an) = s (a)σ(r) folgt dann l K = d f daρ(r an)e(r an) = d f σ(r)e a (r) das (a)(1 s(a)). (7.7) Das Integral über a ergibt (s(a) s 2 (a)/2) l 0 = 1/2, so dass wir shließlih die Kraft K = 1 d f σ(r)e a (r) (7.8) 2 erhalten. 0

28 28 B Elektrostatik 7.b Kapazitäten Wir betrahten jetzt mehrere Leiter eingebettet in das Vakuum oder in Dielektrika. Außerhalb der Leiter seien keine freibeweglihen Ladungsdihten, ρ f = 0. Die elektrishen Potentiale Φ i der Leiter #i seien vorgegeben. Gesuht sind die freibeweglihen Ladungen q i auf den Leitern. Da die MAXWELL-Gleihungen linear sind (und wir annehmen, dass lineare Beziehungen D = ɛe bestehen), können wir das Potential als Superposition von Lösungen Ψ i shreiben Φ(r) = Φ i Ψ i (r). (7.9) Dabei ist Ψ i die Lösung, die auf dem Leiter #i den Wert 1, auf den anderen den Wert 0 annimmt i Ψ i (r) = δ i, j r Leiter j. (7.10) Die Ladung auf dem Leiter #i ist dann gegeben durh q i = 1 d f ɛ Φ 4π F i n = C i, j Φ j (7.11) a mit den Kapazitätskoeffizienten j C i, j = 1 d f ɛ Ψ j. (7.12) 4π F i n a Im GAUßshen Maßsystem hat die Kapazität die Dimension Ladung/Spannung = Länge. Die Umrehnung in das SI-System geshieht mit dem Faktor 4πɛ 0, so dass 1 m ˆ= 1/ As/V = 10/9 pf (Piofarad). Die elektrostatishe Energie ergibt sih aus du = Φ i dq i = Φ i C i, j dφ j, (7.13) i i, j das heißt U Φ j = C i, j Φ i, (7.14) i 2 U = C i, j = = C j,i, Φ i Φ j Φ j Φ i (7.15) U = 1 C i, j Φ i Φ j = 1 Φ i q i 2 2 (7.16) i, j 2 U i Als Beispiel betrahten wir den Kugelkondensator. Zwei konzentrishe leitende Kugeln mit Radien r 1, r 2, wobei r 1 < r 2, seien mit den Ladungen q 1 und q 2 belegt. Der Außenraum sei Vakuum. Zwishen den beiden Kugeln sei ein Dielektrikum mit Dielektrizitätskonstante ɛ. Im Außenraum gilt dann ε r 1 Φ(r) = q 1 + q 2 r r r 2. (7.17) Im Raum zwishen den beiden Kugeln hat man einen Abfall des Potentials der Form q 1 /(ɛr). Da das Potential bei r = r 2 stetig sein muss, folgt Φ(r) = q 1 ɛr q 1 + q 1 + q 2 r 1 r r 2. (7.18) ɛr 2 r 2 r 2 In der kleineren Kugel ist das Potential konstant. Φ(r) = q 1 ɛr 1 q 1 ɛr 2 + q 1 + q 2 r 2 r r 1. (7.19)

29 7 Elektrizit ät auf Leitern 29 Daraus errehnen sih dann die Ladungen als Funktion der Potentiale Φ i = Φ(r i ) q 1 = q 2 = ɛr 1 r 2 (Φ 1 Φ 2 ) r 2 r 1 (7.20) ɛr 1 r 2 (Φ 2 Φ 1 ) + r 2 Φ 2, r 2 r 1 (7.21) aus denen man die Kapazitätskoeffizienten unmittelbar ablesen kann. Falls das System neutral ist q = q 1 = q 2, kann man q durh die Potentialdifferenz ausdrüken q = C(Φ 1 Φ 2 ) (7.22) und bezeihnet C als die Kapazität. Für den Kugelkondensator finden wir Φ 2 = 0 und Φ 1 = q 1 ɛ ( 1 r 1 1 r 2 ), woraus die Kapazität C = ɛr 1r 2 r 2 r 1 (7.23) folgt. Für eine einzelne Kugel können wir r 2 gegen gehen lassen und finden C = ɛr 1. Den Plattenkondensator mit Plattenabstand d erhalten wir, indem wir r 2 = r 1 + d setzen und dann großes r 1 betrahten. Wir finden C = (r2 1 + r 1d)ɛ d = 4πr2 1 ɛ ( 1 d 4π + d 4πr 1 ), (7.24) was für große r 1 gegen ɛf 4πd mit der Flähe F geht. Daher erhält man für den Plattenkondensator C = ɛf 4πd. (7.25) Eine andere Überlegung ist die Folgende: Die Ladung q erzeugt einen Fluss DF = 4πq. Daher ist die Potentialdifferenz zwishen den beiden Platten Φ = D ɛ d = 4πd ɛf q, woraus C = q/φ = ɛf 4πd folgt. Man beahte, dass wir hier mit q die freibeweglihe Ladung bezeihnet haben. d 7. Influenzladungen Halten wir die Potentiale der Leiter auf 0, Φ i = 0 und haben wir eine freibeweglihe Ladung q am Ort r, so beshreiben wir das Potential Φ(r) = G(r, r )q (7.26) mit der GREENshen Funktion G. Offensihtlih genügt diese der Gleihung (ɛ(r) G(r, r )) = 4πδ 3 (r r ) (7.27) für r außerhalb der Leiter. Für r auf den Leiteroberflähen ist G(r, r ) = 0. Für eine Ladungsverteilung ρ f (r ) außerhalb der Leiter gilt dann nah dem Superpositionsprinzip Φ(r) = d 3 r G(r, r )ρ f (r ) + Φ i Ψ i (r), (7.28) wobei wir jetzt angenommen haben, dass die Leiter auf den Potentialen Φ i liegen. Wir zeigen nun, dass die GREENshe Funktion symmetrish ist, G(r, r ) = G(r, r). Zum Beweis gehen wir aus vom Integral über die Leiteroberflähen df {G(r, r)ɛ(r ) G(r, r ) ɛ(r )[ G(r, r)]g(r, r )} = 0, (7.29) da G auf den Leiteroberflähen vershwindet. Das Flähenelement df weise in die Leiter. Wir erstreken das Integral auh über eine Kugel vom Radius R, die alle Leiter einshließt. Wegen G 1/R und G 1/R 2 i

30 30 B Elektrostatik vershwindet das Oberflähenintegral für R. Die Anwendung des GAUßshen Satzes liefert d 3 r {G(r, r) [ɛ(r ) G(r, r )] [ɛ(r ) G(r, r)]g(r, r )} (7.30) = 4π d 3 r {G(r, r)δ 3 (r r ) δ 3 (r r)g(r, r )} (7.31) = 4π(G(r, r) G(r, r )) = 0. (7.32) Wir betrahten nun einige Beispiele: 7..α Leiterfreier Raum Im leiterfreien Raum mit konstanter Dielektrizitätskonstante ɛ gilt G(r, r ) = 1 ɛ r r. (7.33) 7..β Leitende Ebene Für eine leitende Ebene z = 0 (ɛ = 1) löst man das Problem durh eine Spiegelladung. Befindet sih die gegebene Ladung q am Ort r = (x, y, z ), so denke man sih eine zweite Ladung q am Ort r = (x, y, z ). Diese kompensiert gerade das Potential an der Leiteroberflähe. Es folgt q G(r, r ) = { 1 r r 1 r r für sign z = sign z 0 für sign z = sign z. (7.34) -q Als nähstes betrahten wir die Kraft, die auf die Ladung q wirkt. Das Potential ist Φ(r) = G(r, r )q. Dabei ist der Anteil q / r r das Potential von q selbst, das auf q keine Kraft ausübt. Der zweite Beitrag q / r r rührt dagegen von den Influenz-Ladungen auf der Metallebene her und bewirkt die Kraft K = q grad q r r = q 2 e z 4z 2 sign z. (7.35) Weiter bestimmen wir die Influenz-Ladung auf der Platte. Bei z = 0 haben wir 4π sign z e z σ(r) = E(r) = q r r q r r. Daraus ergibt sih die Oberflähenladungsdihte r r 3 r r 3 σ(r) = q z (7.36) 2π (x x ) 2 + (y y ) 2 + z 23 Mit d f = πd(x 2 + y 2 ) folgt dann d f σ(r) = q z 2 d(x 2 + y 2 + z 2 ) z 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) = 3/2 q. (7.37) Die Kraft auf die Platte errehnet sih zu K = 1 2 d f E(r)σ(r) = q 2 z z d(x 2 + y 2 + z 2 ) e z 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 = q 2 e z 4z 2 sign z. (7.38)