KLASSISCHE ELEKTRODYNAMIK

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1 KLASSISCHE ELEKTRODYNAMIK Frühjahrsemester 2009 Matthias R. Gaberdiel Institut für Theoretishe Physik Hönggerberg, KIT 23.1 ETH Zürih CH-8093 Zürih Contents 1 Einleitung 5 2 Elektrostatik Das Coulomb Gesetz und das elektrishe Feld Das elektrishe Potential und die Feldgleihungen Beispiele einfaher Ladungsverteilungen Elektrisher Dipol Homogen geladene Kugel Flähenhafte Ladungsverteilungen Die elektrostatishe Energie einer Ladungsverteilung Die Potentialgleihung

2 2.6 Allgemeine Lösungen der Potentialgleihung mit Randbedingungen Dirihlet Randbedingungen Neumann Randbedingungen Explizite Lösungen ausgewählter Randwertprobleme Der leitende Halbraum Aussenraum einer Kugel Eigenfunktionen Kapazitätskonstanten Multipolentwiklung Laplae Gleihung in Kugelkoordinaten Die Legendre Gleihung Zwishenspiel: Darstellungstheorie von SO(3) Sphärishe Multipolmomente Die Maxwell Gleihungen Stationäre Ströme und das Ampère she Gesetz Das Vektorpotential und die Grundgleihungen der Magnetostatik Einfahe Stromverteilungen Der magnetishe Dipol Oberflähenstrom Das Faraday she Induktionsgesetz Der Maxwell she Vershiebungsstrom Die Maxwell Gleihungen und ihre Konsequenzen Das freie elektromagnetishe Feld Spezielle Relativitätstheorie Erhaltungsgrössen Elektromagnetishe Potentiale Elektromagnetishe Wellen Das freie Feld Monohromatishe Felder Dynamik des freien Feldes Das Feld einer Ladungs- und Stromverteilung Die retardierten und avanierten Potentiale Ausstrahlung Elektrishe Dipolstrahlung Magnetishe Dipolstrahlung Elektrishe Quadrupolstrahlung Lineare Antenne Die spezielle Relativitätstheorie Galileisymmetrie und die Postulate von Einstein Lorentzgruppe und Poinarégruppe

3 5.3 Lorentztransformationen Zwishenspiel: Tensoranalysis Operationen auf Tensoren Tensorfelder Invarianz der Maxwell Gleihungen unter Lorentztransformationen Elektro-magnetishe Dualität Potential, Eihinvarianz und Kontinuitätsgleihung Lagrange Formulierung Erhaltungssätze Ladung Energie und Impuls Freie Felder Statishe Felder Drehimpuls Freie Felder Statishe Felder Das Feld einer Punktladung Das retardierte Potential Retardiertes Feld Dreidimensionale Form Ausgestrahlte Energie Linearbeshleuniger Kreisbeshleuniger Strahlungsharakteristik shneller Teilhen Elektrodynamik von Materie Das Modell und mittlere Felder Multipolentwiklung Die makroskopishen Maxwell Gleihungen Dispersion Dissipativität Wellen im Dielektrikum Erhaltungssätze Stetigkeitsbedingungen an Grenzflähen Anwendungen Reflexion und Brehung Transversales elektrishes Feld (TE) Transversales magnetishes Feld (TM) Diskussion Senkrehte Inzidenz Brewster Winkel

4 9.2.3 Totalreflexion Das Feld in einem Leiter Das Feld in einem Supraleiter Streuung von Liht an Materie A Identitäten der Vektoranalysis 133 4

5 1 Einleitung Elektrishe und magnetishe Ersheinungen waren shon seit der Antike bekannt [z.b. Aufladbarkeit von Bernstein, magnetishe Wehselwirkungen des Magneteisensteins]. Als quantitative Wissenshaft entwikelte sih die Elektrodynamik jedoh erst zwishen etwa 1770 und Den Beginn dieser Untersuhungen bilden die Experimente von Cavendish von , sowie die Arbeiten von Coulomb (ab 1785). Coulomb hat das nah ihm benannte Kraftgesetz zwishen elektrishen Ladungen formuliert. Aufgrund der Oerstedshen Versuhe von 1819 (Ablenkung einer Magnetnadel in der Nähe eines von elektrishem Strom durhflossenen Leiters) hat Ampère ( ) die Gesetze entdekt, welhe die magnetishe Wirkung von Strömen (und dadurh ihre Wehselwirkungen) beshreiben. In der Version des Biot-Savart shen Gesetzes handelt es sih dabei um eine der inhomogenen Maxwell-Gleihungen (in welher allerdings der Maxwell she Vershiebungsstrom noh fehlt). [Die zweite inhomogene Maxwell Gleihung ist die allgemeine Fassung des Coulombshen Gesetzes.] Zunähst wurden in der Elektrodynamik Fernwirkungsgesetze nah dem Newton shen Vorbild formuliert. Der konzeptuelle Durhbruh gelang Faraday ( ), der die Idee elektrisher und magnetisher Kraft- oder Feldlinien einführte und damit die Elektrodynamik als Feldtheorie formulierte. Diese Entdekungen wurden durh Maxwell in mathematishe Sprahe übersetzt. Insbesondere hat Maxwell die endgültige Formulierung der (nah ihm benannten) elektromagnetishen Grundgleihungen als Feldgleihungen gefunden (1873). Um diese mathematish konsistent zu mahen führte er den nah ihm benannten Vershiebungsstrom ein. Natürlih müssen wir im Zusammenhang mit der endgültigen Ausgestaltung der klassishen Elektrodynamik auh Einstein und Minkowski erwähnen, deren revolutionäre Beiträge zur speziellen Relativitätstheorie und deren Anwendung auf die Elektrodynamik bewegter Körper (1905, bzw. 1909) unsere heutige Denkensweise massgeblih beeinflussen. Seit 1905 war das Hauptproblem der theoretishen Physik, die klassishe Elektrodynamik mit der Quantentheorie (Plank she Strahlungsformel; photoelektrisher Effekt) zu vereinen, woraus shliesslih die Quantenelektrodynamik wurde. Sie ist wohl die präziseste physikalishe Theorie, die wir besitzen; ihre mathematishe Struktur ist aber immer noh niht befriedigend verstanden. Die klassishe Elektrodynamik wird heute als Grenzfall der Quantenelektrodynamik aufgefasst. Darauf werden wir allerdings niht eingehen können. 5

6 2 Elektrostatik 2.1 Das Coulomb Gesetz und das elektrishe Feld In diesem Kapitel wollen wir uns mit statishen (d.h. zeit-unabhängigen) Phänomenen elektrisher Ladungen beshäftigen. Das zentrale Gesetz ist dabei das Coulomb Gesetz, das die Kraft zweier Punktladungen aufeinander beshreibt: F = k q 1 q 2 x 2 x 1 x 2 x 1 3 (2.1.1) ist die Kraft auf die Punktladung q 2 am Punkt x 2, die von der Punktladung q 1 am Punkt x 1 hervorgerufen wird. Die Konstante k > 0 hängt vom Masssystem ab: im sogenannten Gauss shen System wählt man k = 1, wohingegen im SI-System k = 1 4πǫ 0, ǫ 0 = 8, A2 s 2 Nm 2. (2.1.2) Wir werden in dieser Vorlesung meistens einfah k shreiben und uns niht auf ein Masssystem festlegen. Die zwei Punkte können im Allgemeinen weit voneinander entfernt sein. Wenn wir die Position einer der beiden Punktladungen ändern, hat das einen (sofortigen) Einfluss auf die Kraft, die von der anderen Punktladung gespürt wird. Wie wir später sehen werden (und wie Ihr vielleiht shon gehört habt), gibt es jedoh eine endlihe Ausbreitungsgeshwindigkeit (die Lihtgeshwindigkeit das ist eine der zentralen Einsihten der Speziellen Relativitätstheorie); diese Fernwirkung ist daher physikalish problematish. [Das eben geshilderte Problem tritt erst bei dynamishen Prozessen (d.h. bei zeitabhängigen Prozessen) auf; für die Beshreibung der Elektrostatik ist die folgende Umformulierung daher niht direkt notwendig, aber da wir sie für die korrekte Beshreibung der Elektrodynamik benötigen werden, maht es Sinn, sie bereits jetzt einzuführen.] Um dieses Problem der Fernwirkung zu umgehen, führen wir das Konzept des elektrishen Feldes E(x) ein: dazu betrahten wir eine kleine Probeladung e am Punkt x, und definieren E(x) = 1 F(x), (2.1.3) e wobei F(x) die Kraft ist, die die Probeladung e am Punkt x erfährt. [Streng genommen definiert man das elektrishe Feld vermittels der obigen Formel im Limes e 0; damit kann man den Effekt, den die Probeladung auf die Ladungskonfiguration, die die Kraft (und daher das elektrishe Feld) erzeugt, ausshliessen.] In der Gegenwart eines elektrishen Feldes ist die Kraft auf ein Probeteilhen mit Ladung q am Punkt x dann gerade F = q E(x). Das Coulomb Gesetz besagt dann einfah, dass eine Punktladung q am Punkt x 0 das elektrishe Feld E(x) = k q x x 0 x x 0 3 (2.1.4) 6

7 erzeugt. Es ist eine experimentelle Tatsahe, dass sih die elektrishen Felder mehrerer Punktladungen vektoriell addieren: E(x) = k n x x i q i (2.1.5) i=1 x x i 3 ist dann das elektrishe Feld, das von Punktladungen q i bei x i erzeugt wird. Für ein System vieler kleiner Punktladungen wird die Ladungsverteilung besser durh eine Ladungsdihte ρ(x) beshrieben; das daraus resultierende elektrishe Feld ist dann E(x) = k d 3 y ρ(y) x y x y 3. (2.1.6) In dieser Sprahe wird eine Punktladung q bei x 0 durh die sogenannte Dira Delta- Funktion (die eigentlih eine Distribution und keine Funktion ist) beshrieben, Die Dira Delta-Funktion ist dadurh harakterisiert, dass ρ(x) = q δ (3) (x x 0 ). (2.1.7) V d 3 y f(y) δ (3) (y x 0 ) = { f(x0 ) falls x 0 V 0 falls x 0 V, (2.1.8) wobei f(y) eine beliebige (hinreihend glatte) Funktion ist. Die Ableitung der Delta- Funktion kann vermittels partieller Integration definiert werden: d 3 y f(y) (y x y iδ(3) 0 ) = d 3 y ( ) y if(y) δ (3) (y x 0 ). (2.1.9) 2.2 Das elektrishe Potential und die Feldgleihungen Wie wir oben erklärt haben, ist das elektrishe Feld einer Punktladung gerade durh E(x) = q k x x 0 x x 0 3 (2.2.1) beshrieben. Für das weitere ist es nützlih, dies als E(x) = q k x x [ ] 0 x x 0 = 1 q k 3 x x 0 zu shreiben. Hier haben wir ausgenutzt, dass 1 x i x = (x j x j ) 1/2 = 1 ( ) x x i 2 (x jx j ) 3/2 2x i = x 3 i (2.2.2) (2.2.3) 7

8 gilt. Die Funktion, deren Gradient das elektrishe Feld beshreibt, nennen wir das elektrishe Potential Φ(x), E(x) = Φ(x) = grad Φ(x). (2.2.4) Für ein gegebenes elektrishes Feld ist das elektrishe Potential natürlih durh (2.2.4) niht eindeutig bestimmt; insbesondere können wir zu einer Lösung von Φ(x) immer eine Konstante dazu addieren, ohne das zugehörige elektrishe Feld zu verändern. (Inwieweit das elektrishe Potential durh Randbedingungen eindeutig festgelegt werden kann, wird weiter unten diskutiert werden.) Für eine beliebige Ladungsverteilung ρ(x) im freien Raum IR 3 können wir das zugehörige elektrishe Potential durh Φ(x) = k d 3 1 y ρ(y) x y (2.2.5) definieren. Da das elektrishe Feld der Gradient einer (skalaren) Funktion (nämlih des elektrishen Potentials) ist, gilt sofort rote(x) = rot gradφ(x) = 0. (2.2.6) [Dies kann am einfahsten in Komponenten gezeigt werden: die ite Komponente des Vektorproduktes auf der rehten Seite ist einfah ( E) i = ǫ ijk j E k = ǫ ijk j k Φ = 0, (2.2.7) wobei ǫ ijk der total anti-symmetrishe Tensor in drei Dimensionen (mit ǫ 123 = +1) ist, und das Vershwinden der letzten Gleihung direkt aus der Antisymmetrie folgt. Im folgenden werden wir solhe Identitäten niht mehr ableiten; die wihtigsten sind im Appendix zusammengestellt.] Dies ist eine der Feldgleihungen der Elektrostatik. Sie besagt, dass das durh das elektrishe Feld definierte Kraftfeld konservativ ist, d.h. dass dl E(x) = 0. (2.2.8) Dies ist eine direkte Konsequenz des Stokes shen Theorems, das besagt, dass S dl E(x) = S da rote, (2.2.9) wobei S eine zwei-dimensionale Flähe mit (ein-dimensionalem) Rand S ist, und da das gerihtete Flähenelement auf S ist. [da ist ein Vektor, der normal zu S steht, und dessen Länge proportional zu dem Flähenelement auf S ist.] Die andere Feldgleihung ist eine Folge des Gauss shen Gesetzes, das besagt, dass der Fluss des elektrishen Feldes durh eine geshlossene Oberflähe proportional zu der im Innern dieser Oberflähe enthaltenen Ladung ist: sei V ein drei-dimensionales 8

9 Volumen und sei E(x) ein gegebenes elektrishes Feld, das auf dem Rand von V, V, wohl definiert ist. Dann gilt V ds(y) E(y) = 4π k V d 3 x ρ(x), (2.2.10) wobei ρ(x) die Ladungsdihte ist, die E(x) vermittels (2.1.6) generiert, und ds(y) das gerihtete Flähenelement auf V ist. [ds(y) ist ein Vektor, der normal zu der Tangentialebene bei y ist, und dessen Länge proportional zum Flähenelement ds ist.] Das Gauss she Gesetz ist eine Konsequenz des Coulomb Gesetzes. Wegen des Superpositionsprinzip genügt es, das Gauss she Gesetz für eine Punktladung abzuleiten. Ferner können wir ohne Beshränkung der Allgemeinheit annehmen, dass diese Punktladung bei x 0 = 0 sitzt. Wir müssen daher zeigen, dass V ds(y) E(y) = { 4π k q falls 0 V, 0 falls 0 V, (2.2.11) wobei E(x) durh (2.2.1) gegeben ist (mit x 0 = 0). Zunähst betrahten wir den Fall, bei dem 0 niht in V enthalten ist. Dann ist E(x) tatsählih überall im Inneren von V definiert, und wir können das Divergenz Theorem anwenden. [Das Divergenz-Theorem besagt, dass Wir berehnen dann V d 3 x dive(x) = V ds(y) E(y).] (2.2.12) dive(x) = q k i = q k i i ( xi (x j x j ) 3/2) (2.2.13) (δ ii (x j x j ) 3/2 3 ) 2 x i(x j x j ) 5/2 2x i = 0, (2.2.14) wobei wir benutzt haben, dass δ ii = 3. Wegen des Divergenz Theorems vershwindet dann das Oberflähenintegral, und wir haben die zweite Möglihkeit in (2.2.11) bewiesen. Im anderen Fall, d.h. falls 0 V, können wir daher ohne Beshränkung der Allgemeinheit V durh eine kleine Kugel mit Zentrum 0 und Radius r ersetzen. Dann gilt π 2π ds E(x) = q k sin θ dθ dφ r 2 1 V 0 0 r, (2.2.15) 2 wobei wir Kugelkoordinaten gewählt haben, d.h. x 1 = r sin θ osφ, x 2 = r sin θ sin φ, x 3 = r osθ. (2.2.16) [Das Flähenelement auf der Oberflähe der Kugel ist dann r 2 sin θ dθ dφ, und die Integrationsgrenzen sind wie oben angegeben. Ferner haben wir benutzt, dass das elektrishe 9

10 Feld gerade proportional zu der Normalen ist und dass daher das Skalarprodukt einfah 1/r 2 ist.] Das Integral in (2.2.15) kann nun einfah ausgeführt werden, und wir erhalten ds E(x) = 4π q k falls 0 V. (2.2.17) V Dies beweist (2.2.11). Das Oberflähenintegral über das elektrishe Feld ist daher also gerade zur eingeshlossenen Ladung proportional (wobei die Proportionalitätskonstante durh 4πk gegeben ist). Um die infinitesimale Version dieser Gleihung zu erhalten, benutzen wir nohmals das Divergenz-Theorem und erhalten daher d 3 x dive(x) = 4π k d 3 x ρ(x). (2.2.18) Da dies für beliebige V gilt, folgt daraus, dass V V dive(x) = 4π k ρ(x). (2.2.19) Zusammen mit (2.2.6) sind das die Feldgleihungen der Elektrostatik. Wie wir gesehen haben, können wir das elektrishe Feld als Gradienten des elektrishen Potentials Φ shreiben E(x) = Φ(x). (2.2.20) Dann ist (2.2.6) offensihtlih, und (2.2.19) ist gerade die Poisson-Gleihung Φ = 4π k ρ. (2.2.21) Hier ist = der Laplae Operator. Anstelle der beiden Feldgleihungen (2.2.6) und (2.2.19) können wir daher ebensogut (2.2.21) lösen; das elektrishe Feld kann dann durh (2.2.20) aus dem elektrishen Potential bestimmt werden. 2.3 Beispiele einfaher Ladungsverteilungen Bevor wir eine allgemeine Lösungsmethode für die Berehnung des elektrishen Potentials (und des dadurh beshriebenen elektrishen Feldes) besprehen wollen, ist es vielleiht instruktiv, ein paar einfahe Beispiele zu analysieren Elektrisher Dipol Betrahte zwei Punktladungen, eine mit Ladung e bei a und eine zweite mit Ladung e bei 0. Die Gesamtladung dieser Konfiguration vershwindet, aber sie erzeugt dennoh ein niht-triviales elektrishes Feld. Wegen des Superpositionsprinzip ist das elektrishe Potential dieser Konfiguration nämlih einfah ( 1 Φ(x) = k e x a 1 ). (2.3.1) x 10

11 Um einen Dipol zu beshreiben, betrahten wir nun den Limes, in dem a 0, wobei gleihzeitig e in solher Weise, dass p = ea konstant bleibt. Um das Potential zu berehnen, shreiben wir e = 1/λ, a = λp und nehmen den Limes λ 0. Dann finden wir 1 Φ d (x) = k lim λ 0 λ ( ) 1 = k x Die Ladungsdihte eines Dipol ist andererseits Homogen geladene Kugel ( 1 x λp 1 ) x (2.3.2) ( p) (2.3.3) = k p x x 3. (2.3.4) 1 ρ d (x) = lim (δ(x λp) δ(x)) λ 0 λ (2.3.5) = p δ (3) (x). (2.3.6) Als nähstes Beispiel diskutieren wir das elektrishe Feld, das von einer homogen geladenen Kugel bei x 0 = 0 mit Radius R und konstanter Ladungsdihte ρ erzeugt wird. Da das System rotationsinvariant ist, muss auh das elektrishe Potential rotationsinvariant sein, d.h. Φ ist (in Kugelkoordinaten) nur eine Funktion von r. Das elektrishe Feld E(x) ist daher überall proportional zu x. Die Stärke des elektrishen Feldes kann dann direkt aus dem Gauss shen Gesetz abgeleitet werden: 4π r 2 E( x = r) = E(x) ds = 4π k Q r, (2.3.7) S r wobei S r die Kugel mit Radius r ist und Q r die darin eingeshlossene Ladung beshreibt. Da die Ladungsverteilung homogen ist, gilt einfah Q r = { r 3 R 3 Q r R Q r R, (2.3.8) wobei Q = 4πR3 ρ die Gesamtladung der Kugel ist. Das elektrishe Feld ist daher also 3 k Q x x R R E(x) = 3 k Q x (2.3.9) x R. x 3 Das zugehörige Potential ist Φ(x) = 3 k Q x 2 2 R 2 R 3 x R k Q x x R. (2.3.10) 11

12 2.3.3 Flähenhafte Ladungsverteilungen Ein häufiges Problem in der Elektrostatik ist die Bestimmung des elektrishen Feldes, das durh eine flähenhafte Ladungsverteilung generiert wird. Das Gauss she Gesetz erlaubt es uns, dieses Problem zumindest partiell zu lösen. Betrahte ein glattes Flähenstük S (mit Normalenvektor n), auf dem eine stetige (flähenhafte) Ladungsverteilung σ konzentriert ist. Seien E 1 und E 2 die elektrishen Felder direkt oberhalb und unterhalb dieser Flähe. Das Gauss she Gesetz impliziert dann direkt, dass (E 1 E 2 ) n = 4π kσ. (2.3.11) [Hier haben wir V so gewählt, dass es von zwei Flähen parallel zu S, eine oberhalb und eine unterhalb von S begrenzt wird. Im Limes, in dem der Abstand zwishen diesen beiden Flähen vershwindet, tragen nur diese beiden Flähen zum Oberflähenintegral bei, und die obige Gleihung folgt.] Diese Gleihung bestimmt noh niht E 1 und E 2 vollständig; sie impliziert lediglih, dass die Normalkomponente von E um den Betrag 4π kσ an der Flähe springt. Andererseits sind die Tangentialkomponenten von E stetig an S: dies kann mit Hilfe von (2.2.6) gezeigt werden. Dazu betrahte eine kleine Shlaufe L, die (abgesehen von zwei beliebig kurzen Endstüken) aus zwei Liniensegmenten besteht, von denen eines gerade oberhalb von S, während das andere gerade unterhalb von S verläuft. (Die beiden Liniensegmente haben dann untershiedlihe Orientierung.) Wegen Stokes Theorem (und (2.2.6)) vershwindet dann das Linienintegral entlang L; dies impliziert, dass (E 1 E 2 ) t = 0, (2.3.12) wobei t ein beliebiger Tangentialvektor auf S ist. Die Tangentialkomponente von E ist daher bei S stetig. Ein einfaher Fall ist zum Beispiel eine homogen geladene Ebene. Sei S die Ebene x 3 = 0 mit homogener Flähenladungsdihte σ. Da das System unter Translationen in der x 1 und x 2 Rihtung invariant ist, muss auh das elektrishe Potential von x 1 und x 2 unabhängig sein. Das elektrishe Feld hat daher nur eine niht-triviale Komponente in der 3-Rihtung. Weiterhin folgt aus (2.3.11), dass sih die 3-Komponente des elektrishen Feldes für x 3 > 0 um 4π k σ von derjenigen für x 3 < 0 untersheidet. Eine Lösung für das elektrishe Feld, die die beiden Feldgleihungen (2.2.6) und (2.2.19) erfüllen, ist dann E(x) = { 4π α kσe 3 x 3 > 0 4π (α 1) kσe 3 x 3 < 0, wobei α eine Konstante ist. Das zugehörige elektrishe Potential ist dann { 4π α kσx Φ(x) = 3 x 3 > 0 4π (α 1) kσx 3 x 3 < 0 (2.3.13) (2.3.14) und ist daher für jede Wahl von α stetig. Um die Lösung eindeutig zu bestimmen (d.h. um α festzulegen) muss man jedoh noh die Randbedingungen bei x 3 = ± 12

13 spezifizieren. [Die natürlihe Wahl der Randbedingungen, nämlih, dass das elektrishe Feld im Unendlihen vershwindet, ist in diesem Fall niht mit den Feldgleihungen kompatibel.] Eine ein wenig natürlihere Konfiguration ist die des Plattenkondensators. In einer idealisierten Beshreibung besteht dieser aus zwei parallelen unendlihen (geladenen) Ebenen, einer bei x 3 = 0 mit Ladungsdihte σ, und einer bei x 3 = a mit Ladungsdihte σ. Wegen des Superpositionsprinzip ist das elektrishe Feld dieser Konfiguration gerade die Summe (bzw. Differenz) der obigen Lösungen. Insbesondere kann man nun eine (eindeutige) Lösung finden, für die das elektrishe Feld im Unendlihen vershwindet: 0 x 3 < 0 E(x) = 4π kσ e 3 0 < x 3 < a 0 x 3 > a. (2.3.15) Das zugehörige elektrishe Potential ist C x 3 < 0 Φ(x) = 4π kσx 3 + C 0 < x 3 < a 4π kσa + C x 3 > a, (2.3.16) wobei C eine Konstante ist. Die Differenz des elektrishen Potentials bei x 3 > a und x 3 < 0 ist also gerade 4π kσa. Dies ist die Arbeit W = ae 3, die eine Einheitsladung beim Durhgang durh den Kondensator leisten muss. 2.4 Die elektrostatishe Energie einer Ladungsverteilung Die Kraft, die eine Probeladung q in dem elektrishen Feld E(x) erfährt, ist einfah F(x) = qe(x). Das elektrishe Feld ist seinerseits der negative Gradient des elektrishen Potentials Φ(x). Daher ist die elektrishe Kraft, die eine Probeladung q erfährt, gerade der negative Gradient von qφ(x). Diese Grösse beshreibt daher die potentielle (elektrishe) Energie, die die Probeladung im elektrishen Kraftfeld besitzt. Insbesondere ist die Arbeit B B W = F(x) dl = q Φ(x) dl = qφ(x B ) qφ(x A ) (2.4.1) A A gerade die Differenz der potentiellen Energie an den Endpunkten. Wie wir shon oben gesehen haben ist das elektrishe Potential einer Punktladung q 0 bei x 0 Φ(x) = k q 0 x x 0. (2.4.2) Das Potential ist hier so normiert worden, dass Φ im Unendlihen vershwindet. Betrahte nun die Konfiguration von N Punktladungen q i bei x i. Die elektrostatishe Energie dieser Konfiguration kann dadurh berehnet werden, dass man die Ladungen 13

14 sukzessive aus dem Unendlihen im Potential der shon vorhandenen Punktladungen einführt. Wegen des Superpositionsprinzips ergibt das W N N 1 = W N 1 + k = k i<j = k 2 i j i=1 q i q j x i x j q i q N x i x N q i q j x i x j. (2.4.3) Für eine kontinuierlihe Ladungsverteilung ρ(x) ist dann entsprehend W = k d 3 x d 3 ρ(x) ρ(y) y = 1 d 3 x ρ(x) Φ(x) 2 x y 2 = 1 d 3 x Φ(x) Φ(x) = 1 d 3 x Φ(x) Φ(x) 8π k 8π k 1 = d 3 x E(x) 2 0, (2.4.4) 8π k wobei wir (2.2.5) sowie (2.2.21) benutzt haben. Die elektrostatishe Energie dieser Konfiguration kann also dem elektrishen Feld zugeshrieben werden, und zwar vermittels der Energiedihte U(x) = 1 8πk E(x) 2. (2.4.5) Bemerkenswerterweise ist diese Energiedihte immer positiv. Dies ist ein wenig überrashend, da die elektrostatishe Energie W N (2.4.3) niht immer positiv ist. Der Grund dafür besteht darin, dass sih diese beiden Energien um die renormalisierte Selbstenergie untersheiden. Falls wir nämlih (2.4.4) für das Feld einer oder mehrerer Punktladungen ausrehnen, divergiert der Ausdruk und stimmt daher insbesondere niht mit (2.4.3) überein. Zum Beispiel betrahte die Konfiguration zweier Punktladungen Dann ist W gerade wobei W ww (d) die Wehselwirkungsenergie ist und ρ(x) = q 1 δ(x x 1 ) + q 2 δ(x x 2 ). (2.4.6) W = W ww ( x 1 x 2 ) + (q q 2 2)Σ, (2.4.7) W ww (d) = k q 1q 2 d Σ = k d 3 x d 3 y δ(3) (x x 1 ) δ (3) (y x 1 ) 2 x y 1 = d 3 x 8π k k x x 2 1 x x 1 3 = k 2 0 (2.4.8) dr r 2 1 r 4 (2.4.9) 14

15 die quadratish divergente Selbstenergie einer Punktladung beshreibt. Das Problem divergenter Selbstenergien, obwohl quantenmehanish die Divergenz zahmer ist, ist bis heute noh niht befriedigend verstanden. 2.5 Die Potentialgleihung Da das elektrishe Potential einer Punktladung gerade durh (2.2.1) gegeben ist, folgt aus (2.2.21) [oder durh direktes Nahrehnen] wobei G(x,x 0 ) durh G(x,x 0 ) = 4π δ (3) (x x 0 ), (2.5.1) G(x,x 0 ) = 1 x x 0 (2.5.2) definiert ist. Eine Funktion G(x,x 0 ), die (2.5.1) erfüllt, wird übliherweise Green she Funktion genannt. Sie ist jedoh durh diese Gleihung noh niht eindeutig bestimmt; das soll nun diskutiert werden. Seien Φ 1 und Φ 2 zwei Lösungen der Poissongleihung (2.2.21) zur selben Ladungsdihte ρ (wobei wir nun niht notwendigerweise annehmen, dass ρ eine Punktladung beshreibt). Dann ist ihre Differenz, Φ 0 = Φ 1 Φ 2 eine Lösung der Laplae Gleihung Φ 0 = Φ 1 Φ 2 = 4π k (ρ ρ) = 0. (2.5.3) Lösungen der Laplae Gleihung nennt man harmonishe Funktionen. In zwei Dimensionen ist jede harmonishe Funktion lokal der Realteil einer holomorphen (oder analytishen) Funktion. [Realteil u und Imaginärteil v einer holomorphen Funktion erfüllen die Cauhy-Riemann Gleihungen x u = y v, und y u = x v. Dies impliziert dann, dass u (wie auh v) die Laplae Gleihung u = 0 erfüllt. Umgekehrt sei u eine harmonishe Funktion. Dann definiert man durh Integration (lokal) eine Funktion v, so dass die Cauhy-Riemann shen Gleihungen gelten. f = u + iv ist dann eine analytishe Funktion.] Auh in drei Dimensionen haben harmonishe Funktionen spezielle Eigenshaften: zum Beispiel erfüllt jede harmonishe Funktion f(x) den Mittelwertsatz f(x 0 ) = 1 f(y)ds, (2.5.4) 4πR 2 K R wobei K R die Kugeloberflähe der Kugel mit Zentrum x 0 und Radius R ist. Diese Eigenshaft kann aus dem Divergenz Theorem wie folgt bewiesen werden. Zunähst folgt aus dem Divergenz Theorem die sogenannte zweite Green she Formel d 3 x ( φ 2 ψ ψ 2 φ ) = [φ ψ ψ φ] ds. (2.5.5) V [Betrahte das Divergenz Theorem für die Funktion A = φ ψ ψ φ.] Wir wenden diese Gleihung auf die Funktion ψ = f, φ = G an, wobei G die oben definierte Green she Funktion ist. Da 2 ψ = 0 und 2 G = 4πδ(x x 0 ) ist die linke Seite von (2.5.5) 15 V

16 einfah 4πf(x 0 ). Wir betrahten weiterhin den Fall, bei dem V gerade K R ist. Die rehte Seite von (2.5.5) ist dann 4πf(x 0 ) = 1 R 2 K R f(y)ds + 1 R K R f ds. (2.5.6) Im letzten Term wenden wir wiederum die zweite Green she Formel, aber jetzt mit ψ = f und φ = 1 an; dies zeigt, dass dieser Term vershwindet, und das Resultat folgt. Der Mittelwertsatz impliziert insbesondere, dass eine harmonishe Funktion ihr Maximum und Minimum immer nur am Rand einnehmen kann. Weiterhin impliziert diese Formel, dass die einzige harmonishe Funktion f, für die f 0 für x, die triviale Funktion f 0 ist. Insbesondere ist daher die obige Green she Funktion (2.5.2) die eindeutige Lösung der Gleihung (2.5.1) die für x gegen null strebt. Manhmal ist man jedoh an anderen Randbedingungen interessiert. Insbesondere gibt es Situationen, in denen wir Φ in einem endlihen Volumen V bestimmen wollen und in denen uns physikalishe Randbedingungen für Φ (oder seine Ableitung, d.h. das elektrishe Feld) auf V gegeben sind. Bevor wir dazu Beispiele diskutieren, wollen wir zunähst abstrakt verstehen, welhe Randbedingungen das elektrishe Potential eindeutig festlegen. Um diese Frage zu analysieren, betrahte das Divergenz Theorem für die Funktion φ ψ: V d 3 x ( φ 2 ψ + φ ψ ) = V φ n ψ ds, (2.5.7) wobei n ψ die Normalableitung von ψ ist, d.h. n ψ ds = ψ ds. [Diese Formel ist die sogenannte erste Green she Formel.] Seien wiederum Φ 1 und Φ 2 zwei Lösungen der Potentialgleihung. Dann erfüllt Φ 0 = Φ 1 Φ 2 die Laplae Gleihung. Wähle φ = ψ = Φ 0. Dann erhalten wir V d 3 x Φ 0 Φ 0 = V Φ 0 n Φ 0 ds. (2.5.8) Es gibt zwei einfahe Typen von Randbedingungen, die zu (fast) eindeutigen Lösungen für das Potential führen. 1. Dirihlet Randbedingung. Bei der Dirihlet Randbedingung wird das Potential Φ auf dem Rand V vorgegeben. Falls Φ 1 und Φ 2 beide auf V mit dieser vorgegebenen Funktion übereinstimmen, dann gilt Φ 0 = 0 auf V. Dann vershwindet (2.5.8), und da der Integrand auf der linken Seite niht-negativ ist, folgt, dass Φ 0 = 0 auf V. Φ 0 ist daher eine konstante Funktion auf V, und da sie auf dem Rand V vershwindet, gilt Φ 0 0 auf V. Das Potential Φ ist also eindeutig durh (2.2.21) sowie durh die Vorgabe des Potentials auf dem Rand V bestimmt. Diese Randbedingung ist insbesondere für die Beshreibung des elektrishen Feldes in der Gegenwart von elektrishen Leitern relevant. Das Ohm she Gesetz in einem metallishen Leiter lautet j(x) = σ(x) E(x), wobei j(x) die elektrishe Stromdihte ist, und σ(x) die elektrishe Leitfähigkeit beshreibt. In einem idealen Leiter ist σ(x) = 16

17 und daher vershwindet die Tangentialkomponente von E entlang des Leiters. Daher ist das elektrishe Potential auf einem Leiter konstant. Wenn das Potential auf dem Leiter vershwindet spriht man von einem geerdeten Leiter. 2. Neumann Randbedingung. Die andere natürlihe Randbedingung besteht darin, dass man die Normalableitung von Φ, d.h. die Normalkomponente des elektrishen Feldes E auf dem Rand V, vorgibt. Mit denselben Argumenten wie im vorigen Fall folgt dann, dass Φ 0 auf V konstant sein muss. Im Gegensatz zur vorigen Situation kann man jedoh jetzt niht zeigen, dass Φ 0 0. Die Neumann Randbedingung legt deshalb das Potential nur bis auf eine Konstante fest. 2.6 Allgemeine Lösungen der Potentialgleihung mit Randbedingungen Im freien Raum IR 3 ist die allgemeine Lösung der Poisson Gleihung einfah Φ(x) = k d 3 y ρ(y) G(x,y) + Φ 0 (x), (2.6.1) wobei Φ 0 (x) eine harmonishe Funktion ist. Dies folgt daraus, dass die Funktion G(x,y) G(x,y) = 1 x y (2.6.2) gerade die Gleihung erfüllt. Dann gilt nämlih x G(x,y) = 4π δ (3) (x y) (2.6.3) x Φ(x) = k d 3 y ρ(y) x G(x,y) + x Φ 0 (x) (2.6.4) = 4π k d 3 y ρ(y) δ (3) (x y) (2.6.5) = 4π k ρ(x). (2.6.6) Falls das Potential für x gegen null streben soll (was im Fall von IR 3 die natürlihe Randbedingung ist), dann ist die eindeutige Lösung durh Φ 0 0 gegeben. [Hier haben wir angenommen, dass die Ladungsdihte ρ kompakten Träger besitzt. Der erste Term in (2.6.1) hat dann offensihtlih die rihtige Randbedingung, und daher ist Φ 0 = 0 eine Lösung. Wie wir zuvor gesehen haben ist die Lösung eindeutig.] Dirihlet Randbedingungen Wir wollen nun die allgemeine Lösung beshreiben, wenn eine Dirihlet Randbedingung auf dem Rand eines Gebietes V vorgegeben ist. Dazu betrahten wir zunähst das Analogon von (2.6.2), nämlih das Potential Φ(x) = G D (x,y) einer Einheitsladung [d.h. einer Ladung q, so dass qk = 1] bei y, wenn der Rand von V ein geerdeter Leiter 17

18 ist. Dieses Potential nennen wir die Green she Funktion mit Dirihlet Randbedingungen; sie ist dadurh harakterisiert, dass x G D (x,y) = 4π δ (3) (x y) falls x,y V G D (x,y) = 0 falls x V (2.6.7) G D (x,y) = G D (y,x) für alle x,y V. [Falls V niht beshränkt ist, muss man noh zusätzlihe Randbedingungen im Unendlihen einführen.] Die Symmetrie von G D (d.h. die dritte Eigenshaft in (2.6.7)) ist eine Konsequenz der ersten beiden. Dazu setzen wir φ(x) = G D (x,y) und ψ(x) = G D (x,y ) in der zweiten Green shen Formel (2.5.5) ein: 4π V d 3 x ( GD (x,y)δ (3) (x y ) G D (x,y )δ (3) (x y) ) (2.6.8) = [G D (x,y) x G D (x,y ) G D (x,y ) x G D (x,y)] ds(x). V Wegen der zweiten Bedingung in (2.6.7) vershwindet die rehte Seite; es folgt daher, dass G D (y,y) G D (y,y ) = 0, (2.6.9) d.h. gerade die letzte Bedingung von (2.6.7). Sei nun eine Ladungsverteilung ρ(x) in V gegeben, und sei das Potential Φ(x) auf V vorgegeben. Wir bezeihnen die eindeutige Lösung der Poisson Gleihung mit der vorgegebenen Randbedingung als Φ(x). Dann gilt Φ(x) = d 3 y Φ(y) δ (3) (y x) (2.6.10) V = 1 d 3 y Φ(y) y G D (x,y) (2.6.11) 4π V = k d 3 y ρ(y) G D (x,y) V 1 4π V [Φ(y) y G D (x,y) G D (x,y) y Φ(y)] ds(y), (2.6.12) wobei wir die zweite Green she Formel angewendet haben (2.5.5), sowie die Poisson Gleihung für Φ, y Φ(y) = 4π k ρ(y). (2.6.13) Wegen der zweiten Bedingung von (2.6.7) vershwindet der letzte Term, und die Lösung der Poisson Gleihung mit der rihtigen Randbedingung auf V ist gerade Φ(x) = k d 3 y ρ(y) G D (x,y) 1 Φ(y) y G D (x,y) ds(y). (2.6.14) V 4π V Das Problem, das elektrishe Potential (und damit auh das elektrishe Feld) einer Ladungskonfiguration zu bestimmen, wobei Dirihlet Randbedingungen gegeben sind, ist damit darauf zurükgeführt, die zu V gehörende Green she Funktion zu finden. 18

19 2.6.2 Neumann Randbedingungen Die Konstruktion im Fall von Neumann Randbedingungen ist ein wenig komplizierter. Zuähst könnte man denken, dass die relevante Green she Funktion dadurh harakterisiert ist, dass die zweite Bedingung von (2.6.7) durh n(y) G N (x,y) = 0 falls y V (2.6.15) ersetzt wird. [Hier ist n(y) die Normalableitung von G N bei y V, d.h. n(y) G N = n(y) y G N, wobei n(y) der Nomaleneinheitsvektor auf V ist.] Wegen des Divergenz Theorems gilt aber V y G N (x,y) ds(y) = V d 3 y y G N (x,y) = 4π, (2.6.16) und daher ist der naive Ansatz niht konsistent. Der einfahste Ansatz ist daher n(y) G N (x,y) = 4π S falls y V, (2.6.17) wobei S die Gesamtflähe von V ist. Mit derselben Rehnung wie oben kann man dann zeigen, dass die Lösung des Neumann Randwertproblems durh Φ(x) = Φ V + k V d 3 y ρ(y) G N (x,y) + 1 4π V G N (x,y) y Φ(y) ds(y), (2.6.18) gegeben ist, wobei Φ V das Mittel des Potentials über V ist. (Diese ist eine Konstante, und hat daher auf das elektrishe Feld keinen Einfluss; wie wir zuvor shon gesehen haben, legt die Neumann Randbedingung das Potential nur bis auf eine Konstante fest.) Die typishe Anwendung der Neumann Randbedingung ist das sogenannte äussere Problem, bei dem V durh zwei Flähen eingeshränkt ist, einer kompakte Flähe von endliher Oberflähe, sowie einer Flähe im Unendlihen. In diesem Fall ist S =, und die rihtige Randbedingung für die Green she Funktion (2.6.17) wird homogen. Im Gegensatz zu der Dirihlet Green shen Funktion ist G N niht automatish symmetrish in den beiden Argumenten; man kann jedoh G N immer symmetrish wählen. 2.7 Explizite Lösungen ausgewählter Randwertprobleme Wie wir im letzten Abshnitt gesehen haben, können wir die allgemeine Lösung der Poisson Gleihung mit Dirihlet oder Neumann Randbedingungen explizit angeben, sobald wir die entsprehende Green she Funktion gefunden haben. Hier wollen wir nun erklären, wie man (zumindest für einfahe Geometrien V ) die Dirihlet Green she Funktion G D finden kann. Dabei werden wir vershiedene Tehniken kennenlernen. 19

20 2.7.1 Der leitende Halbraum Sei V der Halbraum V = { x IR 3 : x 1 > 0 }. (2.7.1) Die Green she Funktion G D (x,y) ist die Potentialfunktion Φ(x) einer Einheitsladung bei y V, für die G D (x,y) = 0 falls x V, d.h. falls x 1 = 0. Für die obige Geometrie kann man die Lösung einfah mit der Methode der sogenannten Spiegelladung konstruieren. Die entsheidende Beobahtung dabei ist, dass G D die Gleihung x G D (x,y) = 4πδ (3) (x y) (2.7.2) nur für x V erfüllen muss. Eine Lösung dieser Gleihung ist natürlih G 0 D(x,y) = 1 x y. (2.7.3) Die Idee der Konstruktion besteht nun darin, zu G 0 D die Potentialfunktion einer geeigneten Spiegelladung (die niht in V ist) dazuzuaddieren; da die Spiegelladung niht in V sitzt, erfüllt die resultierende Funktion immer noh (2.7.2). Durh geeignete Wahl der Spiegelladung kann man jedoh die rihtige Randbedingung von Φ bei x 1 = 0 erzeugen. In dem vorliegenden Fall ist die Spiegelladung gerade die negative Einheitsladung an dem gespiegelten Punkt y = ( y 1, y 2, y 3 ). Unser Ansatz für G D ist also einfah G D (x,y) = 1 x y 1 x y. (2.7.4) Es ist offensihtlih, dass G D (x,y) = 0 falls x 1 = 0. Ausserdem ist nah Konstruktion klar, dass G D die Poisson Gleihung (2.7.2) erfüllt. Wie wir zuvor gezeigt haben, ist G D durh diese Bedingungen eindeutig bestimmt Aussenraum einer Kugel Die Methode der Spiegelladung kann auh für den Fall der Kugelgeometrie verwendet werden. Sei V also der Aussenraum der offenen Kugel K R mit Zentrum im Ursprung und Radius R, K R = { x IR 3 : x < R }. (2.7.5) Für y V definieren wir die Spiegelposition durh y = R 2 y y 2. (2.7.6) Falls y V ist y V. Der Punkt y ist dadurh ausgezeihnet, dass für x = R, x y 2 = x 2 + (y ) 2 2x y = x 2 + R4 y 2 2R2 y 2 x y 20

21 = R2 y 2 ( y 2 + R 2 2x y ) = R2 y 2 (x y)2, (2.7.7) wobei wir in der dritten (und letzten) Zeile benutzt haben, dass x 2 = R 2. Wir mahen daher den Ansatz 1 G D (x,y) = x y R 1 y x y. (2.7.8) Die obige Rehnung impliziert dann, dass G D (x,y) = 0 falls x = R. Ausserdem ist die Spiegelladung wiederum ausserhalb V platziert, und modifiziert daher niht die Poisson Gleihung in V. Wie wir oben erwähnt haben, beshreibt die Green she Funktion gerade das Potential einer Einheitsladung (d.h. q = 1/k) bei y für den Fall, dass der Rand von V (in diesem Fall also die Kugelshale bei x = R) ein geerdeter Leiter ist. Da nah Konstruktion G D (x,y) = 0 falls x = R, ist das elektrishe Potential der Punktladung bei y mit y > R dann gerade Φ(x) = { 0 falls x R G D (x,y) falls x > R. (2.7.9) [Im Innern der Kugel gibt es ja tatsählih keine Ladungen; daher muss dort Φ die triviale Funktion sein.] Insbesondere folgt dann, dass das elektrishe Feld im Innern der Kugel vershwindet (Faraday sher Käfig). Diese Shlussfolgerung ist auh korrekt, falls die Kugeloberflähe einen niht-geerdeten Leiter beshreibt. Für jeden Leiter ist ja Φ auf der gesamten Leiteroberflähe konstant. Das Potential für einen beliebigen Leiter untersheidet sih daher im Innern nur um eine Konstante von (2.7.9); für die Bestimmung des elektrishen Feldes im Innern hat das natürlih keine Auswirkung. Mit Hilfe der in Kapitel beshriebenen Tehnik können wir das Potential im Fall eines niht geerdeten Leiters auh ausserhalb der Kugel explizit berehnen. Falls die Kugeloberflähe auf dem Potential Φ 0 liegt, ist wegen (2.6.14) das Potential (für x > R) einfah Φ(x) = q k G D (x,y) + Φ 0 y G D (x,y) ds(y) 4π K R = q k G D (x,y) + Φ 0 d 3 y y G D (x,y) 4π K R R = q k G D (x,y) + Φ 0 x, (2.7.10) wobei wir ausgenutzt haben, dass G D (x,y) = G D (y,x) und dass die Orientierung von K R umgekehrt zu der von V ist. [Die Ladung bei y ist nun q.] Wie wir in Kapitel gesehen haben, geht die Diskontinuität in der Normalkomponente des elektrishen Feldes immer mit einer flähenhaften Ladung einher. Da das 21

22 elektrishe Feld der (negative) Gradient des Potentials ist, ist die an der Kugeloberflähe induzierte Flähenladung gerade σ(x) = 1 4π k xφ(x) n(x), (2.7.11) wobei n(x) die Aussennormale von V ist (d.h. die Normale, die zum Kugelinneren zeigt). Die gesamte induzierte Ladung ist daher einfah Q(y) = q x G D (x,y) ds(x) + Φ 0 R (2.7.12) 4π K R k = q d 3 x G D (x,y) + Φ 0 R (2.7.13) 4π K R k = q R y + Φ 0 R. (2.7.14) k Falls Φ 0 = 0 ist diese Ladung gerade gleih der Ladung der Spiegelladung Eigenfunktionen Manhmal kann man die Dirihlet Green s Funktion für V auh geshikt mittels Eigenfunktionen konstruieren. Dazu betrahten wir die Differentialgleihung ψ(x) λψ(x) = 0, (2.7.15) wobei wir uns für Lösungen interessieren, für die ψ am Rand V von V vershwindet. Typisherweise wir werden in Kürze ein explizites Beispiel dafür sehen hat (2.7.15) nur Lösungen für diskrete Werte von λ, die sogenannten Eigenwerte λ n : Aus dem 2. Green shen Satz folgt, dass (λ m λ n) d 3 x ψm (x)ψ n(x) = V ψ n (x) λ n ψ n (x) = 0. (2.7.16) = V V d 3 x (( ψ m (x))ψ n(x) ψ m (x)( ψ n(x))) d 2 A(x) ( ψ m (x)ψ n(x) ψ m (x) ψ n(x)) = 0, wobei wir benützt haben, dass ψ n (x) und ψm (x) auf dem Rand V vershwinden. Für m = n folgt daraus, dass die Eigenwerte λ n notwendigerweise reell sind; dann impliziert die Gleihung, dass die Eigenfunktionen zu untershiedlihen Eigenwerten orthogonal zueinander sind. Falls es zu einem Eigenwert mehr als eine Eigenfunktion geben sollte, kann man diese auh orthonormal wählen; wir können also annehmen, dass V d 3 x ψ m (x)ψ n(x) = δ m,n. (2.7.17) 22

23 Wir wollen annehmen auh das ist in vielen Fällen erfüllt dass das Funktionensystem ψ n (x) vollständig ist: dies bedeutet, dass wir jede Funktion, die auf V vershwindet, als Linearkombination der ψ n (x) shreiben können, also f(x) = n a n ψ n (x). (2.7.18) Wegen der Orthonormalitätsrelation gilt dann a n = d 3 y ψn(y)f(y), (2.7.19) und daher woraus wir shliessen, dass f(x) = V V d 3 y n ψ n (y) ψ n(x) f(y), (2.7.20) ψn (y) ψ n(x) = δ (3) (x y). (2.7.21) n Mit Hilfe dieser Eigenfunktionen können wir nun die Green she Funktion finden. Dazu mahen wir den Ansatz G D (x,y) = n a n (y)ψ n (x), (2.7.22) die dann automatish die rihtige Randbedingung erfüllt. Nun berehnen wir x G D (x,y) = n a n (y)λ n ψ n (x). (2.7.23) Die rehte Seite soll gleih 4πδ (3) (x y) sein, also gemäss der Vollständigkeitsrelation gleih a n (y)λ n ψ n (x) = 4π ψn (y) ψ n(x). (2.7.24) n n Also gilt a n (y) = 4π ψ λ n(y), (2.7.25) n und die Lösung der Green shen Funktion ist G D (x,y) = n 4π λ n ψ n (y) ψ n(x). (2.7.26) Als konkretes Beispiel betrahten wir zum Beispiel den Fall, wo V ein Würfel der Seitenlängen 0 x a, 0 y b und 0 z ist. Der vollständige Satz der orthonormierten Eigenfunktionen ist dann ( ) ( ) ( ) 8 lπx mπy nπz ψ lmn = ab sin sin sin (2.7.27) a b 23

24 wobei l, m, n IN and ( ) l λ lmn = π 2 2 a + m2 2 b + n2 2 2 ist. Die zugehörige Green she Funktion ist dann G D (x,x ) = 32 sin ( ) ( ) ( ) ( lπx a sin lπx a sin mπy b sin mπy b πab l,m,n= Kapazitätskonstanten ) sin ( nπz (2.7.28) ) ( ) sin nπz ( l 2 a 2 + m2 b 2 + n2 2 ). (2.7.29) Shliesslih betrahte die (etwas allgemeinere) Situation, bei der V das Komplement von N Leitern L i, i = 1,..., N ist, wobei die L i disjunkte kompakte zusammenhängende Gebiete sind. Wir betrahten die Situation, bei der es in V keine Ladungen gibt. Das Potentialproblem ist dann Φ = 0 in V Φ(x) = V i falls x L i Φ(x) 0 für x, wobei V i das Potential auf dem iten Leiter ist. Wegen des Superpositionsprinzips ist dann N Φ(x) = V j Φ j (x), (2.7.30) j=1 wobei Φ j (x) die Lösung des obigen Potentialproblems für V i = δ ij ist. Die zugehörige Feldenergie ist dann wobei die Konstanten C ij durh W = 1 d 3 x ( Φ) 2 = 1 8πk V 2 C ij = 1 4πk V N i,j=1 V i V j C ij, (2.7.31) d 3 x Φ i Φ j (2.7.32) definiert sind. Diese Konstanten werden Kapazitätskonstanten genannt. Die dadurh definierte Matrix ist symmetrish und positiv definit (da W 0 für alle V i, und W = 0 impliziert, dass Φ = 0, und daher also V 1 = = V N = Φ( ) = 0). Um die Bedeutung der C ij zu verstehen shreiben wir C ij = 1 4πk = 1 4πk V = 1 4πk V 24 d 3 x (Φ i Φ j ) Φ i Φ j ds L i Φ j ds, (2.7.33)

25 wobei wir in der ersten Zeile ausgenutzt haben, dass Φ j = 0 auf V und in der zweiten das Divergenz Theorem. (Das Vorzeihen in der dritten Zeile ist eine Folge davon, dass die Orientierung von V und L i umgekehrt ist.) Da das elektrishe Feld im Innern von L i vershwindet, ist die letzte Zeile wiederum proportional (mit Proportionalitätsfaktor 1/(4π k)) zu der Ladung auf L i, die durh das Potential δ jk auf L k induziert wurde. Für die allgemeine Lösung ist daher die Ladung Q i auf L i gerade 2.8 Multipolentwiklung N Q i = C ij V j. (2.7.34) j=1 In vorigen Kapiteln haben wir das Potential einer Punktladung q bei x 0 kennengelernt Φ(x) = k q x x 0, (2.8.1) sowie das Potential eines Dipols der Stärke p, p x Φ(x) = k x x 0. (2.8.2) 3 Im Prinzip könnten wir ebenso das Potential eines Quadrupol, Otopol, usw. berehnen. Wir wollen das nun ein wenig systematisher mahen. Sei uns also eine Ladungsverteilung ρ gegeben (von der wir annehmen wollen, dass sie (kompakten) Träger hat, der in K R enthalten ist). Wir wollen das Potential Φ(x) = k d 3 y ρ(y) x y (2.8.3) für x mit r = x > R ausrehnen. Für solhe x können wir den Integranden in einer Taylor Reihe um y = 0 entwikeln. Dazu beobahten wir, dass 1 ( ) x λy = l 1 d 1 λ l. (2.8.4) l! dλ x λy λ=0 Für λ = 1 gilt daher also ( ) 1 l 1 d 1 ( 1) = l = x y l=0 l! dλ x λy λ=0 l=0 l! wobei wir ausgenutzt haben, dass d dann, dass l=0 (y ) l 1 x = 1 r + x y r 3 + 3(x y)2 x 2 y 2 2r r O((R/r)3 ), (2.8.5) Φ(x) = k dλ = y, und r = x. Einsetzen in (2.8.3) ergibt q r + p x r i,j=1 x i x j Q ij +, (2.8.6) r 5

26 wobei die Gesamtladung ist, q = p = d 3 yρ(y) (2.8.7) d 3 y yρ(y) (2.8.8) das Dipolmoment, und Q ij = d 3 y ( 3y i y j y 2 δ ij ) ρ(y) = Qji (2.8.9) der Quadrupoltensor ist. Der Quadrupoltensor hat vershwindende Spur, da i δ ii = 3. Abgesehen von r = 0 gilt daher ( Qij x i x j ) = 0. (2.8.10) r 5 Um die höheren Multipolfelder systematish zu erfassen müssen wir Kugelfunktionen einführen Laplae Gleihung in Kugelkoordinaten Weit entfernt von der Ladungsverteilung ist das Problem fast rotationssymmetrish und es bietet sih daher an, das Potential in den Kugelkoordinaten x = r (sin θ osφ, sin θ sin φ, osθ) (2.8.11) zu beshreiben. Weiterhin erfüllt ausserhalb von K R das Potential die Laplae Gleihung; die asymptotishe Entwiklung des Potentials wird sih also durh Lösungen der Laplae Gleihung beshreiben lassen. In Kugelkoordinaten hat der Laplae Operator die Form = 1 2 r 2 r r 1, (2.8.12) r 2L2 wobei der Operator L 2 durh L 2 = 1 sin θ θ sin θ θ 1 sin 2 θ 2 2 φ (2.8.13) definiert ist. Wir mahen den Ansatz, dass die Lösung der Laplae Gleihung u sih separieren lässt, u(r, θ, φ) = U(r) P(θ) Q(φ). (2.8.14) r Die Laplae Gleihung ist dann P(θ) Q(φ) d2 U(r) dr 2 + U(r) Q(φ) r 2 sin θ ( d sin θ dp(θ) ) U(r) P(θ) d 2 Q(φ) + dθ dθ r 2 sin 2 θ d 2 φ = 0. (2.8.15) 26

27 Durhmultiplizieren mit r 2 sin 2 θ/upq ergibt dann r 2 sin 2 θ [ 1 d 2 U(r) + U(r) dr 2 1 r 2 sin θ P(θ) ( d sin θ dp(θ) )] + 1 d 2 Q(φ) dθ dθ Q(φ) d 2 φ = 0. (2.8.16) Der erste Term ist von φ unabhängig, und der zweite Term kann daher auh niht von φ abhängen. Daher muss gelten 1 d 2 Q(φ) Q(φ) d 2 φ = m2, (2.8.17) wobei m eine Konstante ist. Diese Gleihung hat die Lösungen Q(φ) = e ±imφ. (2.8.18) Da φ eine periodishe Variable ist, ist Q(φ) nur dann wohl definiert, falls m eine ganze Zahl ist. Einsetzen in (2.8.16) und dividieren durh sin 2 θ führt dann zu r 2 d 2 U(r) + U(r) dr 2 1 sin θ P(θ) ( d sin θ dp(θ) ) dθ dθ m2 sin 2 θ = 0. (2.8.19) Nun ist der erste Term von θ unabhängig, und daher muss auh der restlihe Ausdruk von θ unabhängig sein. Da er wiederum nur eine Funktion von θ ist, muss er eine Konstante sein, die wir als l(l + 1) shreiben; durhmultiplizieren mit P(θ) führt dann zu der Differentialgleihung für P(θ) 1 sin θ ( d sin θ dp(θ) ) [ + l (l + 1) dθ dθ sowie der Differentialgleihung für U(r), Letztere Gleihung hat die Lösung Zu diesem Zeitpunkt ist aber l noh niht bestimmt Die Legendre Gleihung ] m2 sin 2 P(θ) = 0, (2.8.20) θ d 2 U(r) l (l + 1) U(r) = 0. (2.8.21) dr 2 r 2 U(r) = A r l+1 + B r l. (2.8.22) Die Differentialgleihung für P(θ) bekommt eine einfahe Form, wenn wir die Substitution z = os θ vornehmen. Da d dz = 1 d sin θ dθ, und sin2 θ = 1 z 2, (2.8.23) 27

28 wird dann (2.8.20) zu [ d (1 z 2 ) dp(z) ] [ ] + l (l + 1) m2 P(z) = 0. (2.8.24) dz dz 1 z 2 Das ist die sogenannte verallgemeinerte Legendre Gleihung, und ihre Lösungen werden die assoziierten Legendre Funktionen genannt. Bevor wir sie behandeln wollen, ist es instruktiv den Spezialfall m = 0 zu analysieren, die sogenannte gewöhnlihe Legendre Gleihung, [ d (1 z 2 ) dp(z) ] + l (l + 1) P(z) = 0, (2.8.25) dz dz deren Lösungen die sogenannten Legendre Polynome sind. [Lösungen, die auf dem gesamten Intervall z [ 1, 1] regulär sind existieren nur für l = 0, 1, ; diese Lösungen sind dann Polynome vom Grad l.] Um diese zu konstruieren, beobahten wir, dass der Operator d dz (1 z2 ) d (2.8.26) dz den Grad eines Polynoms niht erhöht. Dann betrahten wir das Polynom l-ten Grades P l (z), das (bis auf Normierung eindeutig) durh die Bedingung harakterisiert ist, dass 1 dz z k P l (z) = 0 für k = 0, 1,..., l 1. (2.8.27) 1 [Ein Polynom l-ten Grades hat l+1 Konstanten; die obigen l Gleihungen legen daher die Koeffizienten des Polynoms bis auf eine gemeinsame Skalierung fest.] Nun beobahten wir, dass falls k = 0, 1,..., l 1, 1 dz z k d dz (1 z2 ) d dz P l(z) 1 = z k (1 z 2 ) d dz P l(z) = dzk dz (1 z2 )P l (z) dz dzk dz (1 z2 ) d dz P l(z) dz ( d dz (1 z2 ) d ) dz zk P l (z) = 0, (2.8.28) wobei wir benutzt haben, dass die Randterme wegen des Faktors (1 z 2 ) niht beitragen. Die letzte Zeile folgt daher, dass (wie oben erklärt) das Polynom, das im Integral mit P l (z) auftritt, höhstens von Grad k ist. Das Polynom l-ten Grades d dz (1 z2 ) d dz P l(z) hat also die gleihe Eigenshaft (2.8.27) wie P l (z) selbst. Nun wollen wir zeigen, dass die beiden Polynome tatsählih zueinander proportional sind. Dazu beobahten wir, dass d dz (1 z2 ) d dz zl = l d dz (1 z2 ) z l 1 = l d dz (zl 1 z l+1 ) = l ( (l 1)z l 2 (l + 1)z l) = l(l + 1)z l +, 28

29 wobei die anderen Terme von niedriger Ordnung sind. Dann definiere das Polynom R l (z) = d dz (1 z2 ) d dz P l(z) + l(l + 1) P l (z), (2.8.29) das nah Konstruktion ein Polynom von Grad k < l ist. Wir beobahten, dass 1 1 R l (z) 2 = 1 1 R l (z) ( d dz (1 z2 ) d ) dz P l(z) + l(l + 1) P l (z) = 0, (2.8.30) wobei wir (2.8.27) und (2.8.28) benutzt haben. Dies impliziert daher, dass R l (z) = 0, und daher, dass d dz (1 z2 ) d dz P l(z) = l(l + 1) P l (z). (2.8.31) Das Polynom P l (z) ist also die gewünshte Eigenfunktion der Legendre Gleihung; es wird als das l-te Legendre Polynom bezeihnet. Eine explizite Formel für P l (z) ist die sogenannte Rodrigues Formel P l (z) = 1 d l 2 l l! dz l (z2 1) l. (2.8.32) Nah Konstruktion ist klar, dass P l (z) ein Polynom von Grad l ist; weiterhin erfüllt dieses Polynom die Bedingung (2.8.27), da 1 1 dz z k 1 2 l l! = 1 2 l l! d l dz l (z2 1) l dz l 1 (z2 1) l zk dl l l! k 1 1 k 1 dl 1 dz z dz l 1 (z2 1) l. Der Randterm fällt weg, da nah l 1-faher Ableitung mindestens eine Potenz von (z 2 1) übrigbleibt. Wiederholtes Anwenden dieses Argumentes zeigt dann, dass das Integral vershwindet (da k < l, und nah k + 1 l Shritten die sukzessive Ableitung von z k vershwindet). Die Normalisierung ist so gewählt, dass P l (1) = 1. Shliesslih ist 1 dz P l (z) 2 = 1 Um dies zu sehen, beobahten wir, dass 2 (2l + 1). (2.8.33) P l (z) = (2l)! 2 l l!l! zl +. (2.8.34) Wegen (2.8.27) müssen wir nur das Integral von P l (z) mit der führenden Potenz von P l (z) ausrehnen, und daher ist 1 1 dz P l (z) 2 = (2l)! 1 dz z l dl 2 2l (l!) 3 1 dz l (z2 1) l. (2.8.35) 29