Elektrodynamik und klassische Feldtheorie. Jun.-Prof. Harvey B. Meyer Institut für Kernphysik Johannes Gutenberg Universität Mainz

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1 Elektrodynamik und klassishe Feldtheorie Jun.-Prof. Harvey B. Meyer Institut für Kernphysik Johannes Gutenberg Universität Mainz Wahlpflihtfah (Theorie 5) Wintersemester

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3 Kapitel 1 Einführung 1.1 Erhaltung und Invarianz der elektrishen Ladung Experimentell werden folgende Eigenshaften der elektrishen Ladung festgestellt: Die elektrishe Ladung q ist unter räumlihen Rotationen eine skalare Größe, d.h., ihr Wert hängt nih von der Beobahtungsrihtung ab. Insbesondere hängt der Betrag des von einer ruhenden Punktladung erzeugten elektrishen Feldes (des Coulomb Feldes) niht von der Rihtung ab. Die elektrishe Ladung is extensiv, was folgendes bedeutet. Nehme zwei Systeme von Ladung Q 1 und Q 2. Dann ist die Ladung der Vereinigung beider Systeme Q 1 + Q 2. Die elektrishe Ladung ist erhalten, was bedeutet, dass in einem isolierten System die Gesamtladung zeitunabhängig ist. Zum mathematishen Ausdruk dieser Eigenshaft kehren wir im Folgenden zurük. die elektrishe Ladung eines Teilhens ist unabhängig von dessen Bewegungszustand. Dies stellt man zu hoher Genauigkeit fest, unter anderem indem man die Neutralität von Atomen testet, in denen die Elektronen vershiedene Shalen besetzen. Diese Eigenshaft bedeutet auh, dass sih die Ladung von einem Bezugssystem zum anderen niht ändert (sie ist relativistish invariant). 1

4 1.2 Greenshe Funktionen 2 Gegeben sei eine Ladungsdihte ρ(t, r), die die Ladungsverteilung eines Systems beshreibt. Dann ist Q = die Gesamtladung, die zeitunabhängig ist. Ω dv ρ (1.1) Ändert sih ρ(t, r), so treten lokale Flüsse auf, doh bleibt die Gesamtladung Q unverändert. Betrahte hierzu ein Teilvolumen ω. Dann ist Q ω (t) = ω dr ρ(t, r) (1.2) die in ω enthaltene Ladung. Ändert sih Q ω (t), so ist durh die Oberflähe ω ein Strom ein- oder ausgetreten. Sei also j(t, r) die Stromdihte. Der Ladungsverlust durh den austretenden Strom is gegeben durh d dt Q ω(t) = ω dσ j(t, r). Über den Gaußshen Satz lässt sih dies auh als Volumenintegral ausdrüken, Andererseits ist ω d dt Q ω(t) = d dt dr j(t, r). (1.3) ω dr ρ(t, r). (1.4) Da das Teilvolumen ω beliebig gewählt wurde, shließt man durh Vergleih der Ausdrüke (1.3) und (1.4), dass ρ(t, r) t + j(t, r) = 0. (1.5) Diese Kontinuitätsgleihung drükt die lokale Erhaltung der Ladung aus. 1.2 Greenshe Funktionen Als Beispiel betrahten wir die Bewegungsgleihung des gedämpften harmonishen Oszillators, ẍ + 2γẋ + ω0x 2 = 0, x = x(t). (1.6)

5 1.2 Greenshe Funktionen 3 Wir nehmen an, dass 0 γ < ω 0. Die allgemeine Lösung lautet x(t) = Ae γt sin(ω 1 t δ), ω 1 ω 2 0 γ 2. (1.7) Die Konstante A und die Phase δ werden durh Anfangsbedingungen festgelegt. Als nähstes betrahten wir den angetriebenen harmonishen Oszillator ẍ + 2γẋ + ω 2 0x = F (t), (1.8) wobei F (t) eine gegebene Funktion der Zeit ist. Mathematish gesehen ist diese Gleihung eine homogene Differentialgleihung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Ihre allgemeine Lösung erhält man bekanntlih, indem man einer speziellen Lösung die allgemeine Lösung (1.7) hinzufügt. Um eine spezielle Lösung zu konstruieren, stellen wir folgendes fest. Sei G(t, t ) die Lösung der Differentialgleihung (1.8) mit F (t) = hδ(t t ), d.h. 2 G(t, t ) + 2γ G(t, t ) + ω 2 t 2 t 0G(t, t ) = hδ(t t ). (1.9) Dann ergibt sih die Lösung der Gl. (1.8) durh Faltung von G(t, t ) mit F (t ): x(t) = 1 h dt G(t, t ) F (t ), (1.10) denn ẍ + 2γẋ + ω0x 2 = 1 h = 1 h { } dt F (t ) G(t, t ) + 2γĠ(t, t ) + ω0g(t, 2 t ) dt F (t ) {hδ(t t )} = F (t). Kennt man G(t, t ), so erhält man die Lösung von Gl. (1.8) durh Berehnung des Faltungsintegrals. G(t, t ) heißt die Greenshe Funktion (des Oszillators). Der explizite Ausdruk für G(t, t ) ist G(t, t ) = h ω 1 θ(t t )e γ(t t ) sin ( ω 1 (t t ) ), (1.11)

6 1.2 Greenshe Funktionen 4 wobei θ(t) = { 1 t 0, 0 t < 0. (1.12) Beweis: Bei F (t) = δ(t t ) setze man die Fourier Entwiklung von x(t) und δ(t t ) x(t) = δ(t t ) = dω 2π eiωt x(ω) (1.13) dω 2π eiω(t t ) (1.14) in Gl. (1.8) ein. Indem man die Koeffizienten von e iωt identifiziert, findet man algebraish die Lösung x(ω) = Nun muss nur noh das Integral e iωt ω 2 ω 2 0 2iγω = e iωt. (1.15) (ω iγ) 2 ω1 2 x(t) = dω 2π e iωt (ω iγ) 2 ω 2 1 (1.16) ausgeführt werden. Dies tun wir mittels des Residuensatzes im komplexen ω Raum. Die Pole des Integrands liegen bei ω ± = ±ω 1 + iγ, (1.17) also in der oberen Hälfte der komplexen Ebene. Wenn t < t, konvergiert das Integral entlang einem großen Halbkreis in der unteren Hälfte der komplexen Ebene; da der Integrand auf diesem Gebiet analytish ist, vershwindet x(t) identish für t < t. Wenn dagegen t > t, so muss der Pfad in der oberen Hälfte der komplexen Ebene geshlossen werden, und man bekommt einen Beitrag von den zwei Polen, x(t) = 2πi ( 1 ) [ e iω + ] (t t ) + eiω (t t ) = sin ω 1(t t ) e γ(t t ). (1.18) 2π ω + ω ω ω + ω 1 Damit ist die Formel (1.11) bewiesen. Es folgen einige Kommentare. Die Tatsahe, dass die Greenshe Funktion G(t, t ) nur von der Differenz

7 1.2 Greenshe Funktionen 5 t t abhängt, folgt aus der Form-Invarianz der homogenenen Gleihung (1.6) unter Zeitvershiebungen. Die spezielle Lösung (1.10) hat die Eigenshaft, dass wenn F (t) = 0 für t < t 0, dann vershwindet auh x(t) für t < t 0. Aus diesem Grund nennt man (1.10) die retardierte Lösung, und G(t, t ) die retardierte Greenshe Funktion. Letztere Eigenshaft drükt das Kausalitätsprinzip aus, nämlih dass ein ruhender Oszillator sih niht bewegen kann, bevor man ihn anregt (die Wirkung kommt nah der Ursahe). Mathematish ist diese Eigenshaft dadurh garantiert, dass sih die Pole der Greenshen Funktion im Fourier Raum (Gl. 1.15) in der oberen Hälfte der komplexen Ebene befinden. Dies ist ein Beispiel der engen Beziehung zwishen Kausalität und Analytizität Greenshe Funktion des Laplae Operators Eine besonders wihtige Rolle in Feldtheorien spielt der Laplae Operator 2 x y z 2. (1.19) Wir wollen hier die Greenshe Funktion dieses Operators bestimmen, d.h. die Gleihung r G(r, r ) = δ(r r ) (1.20) lösen, mit der zusätzlihen Bedingung, dass G(r, r ) im Limes r r vershwindet. Wir gehen wie im Falle des harmonishen Oszillators vor und bilden die Fourier- Transformation der Gleihung (1.20). Zunähst nutzen wir die Translationsinvarianz des Problems, um r auf Null zu setzen. Man setzt die Ausdrüke G(r, 0) = δ(r) = dq (2π) G(q) e iq r, (1.21) 3 dq eiq r (1.22) (2π) 3

8 1.2 Greenshe Funktionen 6 in Gl. (1.20) ein und findet G(q) = 1 q 2. (1.23) Um die Greenshe Funktion im Ortsraum zu bestimmen, müssen wir das Integral G(r, 0) = dq (2π) 3 e iq r q 2 (1.24) ausrehnen. Wegen der Kugelsymmetrie des Problems gehen wir in Kugelkoordinaten (q, θ, φ) über, und wählen die z-ahse so, dass r = rê z. Das Integral über φ ist dann trivial (es ergibt einen Faktor 2π), während das Integral über θ sih folgendermaßen gestaltet, π 0 sin θ dθ e iqr os θ = 1 1 du e iqru = eiqr e iqr. iqr Damit erhält man G(r, 0) = 1 4π 2 = 1 4π 2 r 0 dq q 2 eiqr e iqr iqr sin qr dq q 1 q 2. Im letzten Shritt haben wir das Standardintegral sin x dx x Das Ergebnis bedeutet, dass = 1 4πr. (1.25) = π verwendet. G(r, r ) = 1 1 4π r r (1.26) die Greenshe Funktion des Laplae Operators ist. Die Lösung der Poisson Gleihung Φ(r) = 4πρ(r) (1.27) kann nun für eine beliebige Verteilung ρ(r) über das Faltungsintegral Φ(r) = dr ρ(r ) r r (1.28) bestimmt werden.

9 1.2 Greenshe Funktionen Greenshe Funktion des d Alembert Operators Eine genauso wihtige Rolle in zeitabhängigen Problemen der Feldtheorie spielt der d Alembert Operator 1 2 2, (1.29) t2 wo eine Konstante ist (sie hat die Einheiten einer Geshwindigkeit). Wir wollen hier die Greenshe Funktion dieses Operators bestimmen, d.h. die Gleihung t,r G(t, r; t, r ) = δ(t t ) δ(r r ) (1.30) lösen, mit der zusätzlihen Bedingung, dass G(t, r; t, r ) im Limes r r vershwindet, und dass G(t, r; t, r ) für t < t vershwindet. Wegen der zeitlihen und räumlihen Translationsinvarianz setzen wir t = 0 und r = 0 und benutzen die gekürzte Notation G(t, r) G(t, r; 0, 0). Wir verwenden die räumlihe Fourier Darstellung auf beiden Seiten der Gleihung, womit wir an der Gleihung G(t, r) = dk (2π) 3 G(t, k) e ik r, (1.31) t G(t, k) + k 2 G(t, k) = δ(t) (1.32) gelangen (k k ). Wir kennen von der retardierten Greenshen Funktion des harmonishen Oszillators die Lösung diese Problems (vgl. mit Gl. (1.9) und Gl. (1.11)), G(t, k) = k θ(t) sin(kt). (1.33) Diese Lösung soll nun in den Ortsraum zurükzutransformiert werden. Die Reh-

10 1.3 Zerlegungssatz für Vektorfelder 8 nung verläuft sehr ähnlih wie im Fall des Laplaeshen Operators, G(t, r) = θ(t) = θ(t) 4π 2 = θ(t) 4πr = θ(t) 4πr 0 dk (2π) 3 sin(kt) k e ik r k 2 dk sin(kt) e ikr e ikr k ikr dk 2π (os k(t r) os k(t + r)) 1 (δ(t r) δ(t + r)) = δ(t r/). (1.34) 4πr Die Greenshe Funktion, nun in vollständiger Notation, ist also und die Lösung der Gleihung G(t, r; t, r ) = δ(t t r r /) 4π r r, (1.35) Φ(t, r) = 4πρ(t, r) (1.36) ist gegeben durh Φ(t, r) = dr ρ ( t 1 r r, r ) r r. (1.37) Wir sehen nun die Interpretation der Geshwindigkeit : die Funktion Φ am Zeitpunkt t und Ortspunkt r wird vom Verhalten von ρ am Ortspunkt r zu einem früheren Zeitpunkt t t beeinflusst, wobei t = 1 r r die Zeit ist, die ein Signal mit Ausbreitungsgeshwindigkeit brauht, um von r nah r zu gelangen. 1.3 Zerlegungssatz für Vektorfelder Es geht hier um die Konstruktion eines Vektorfeldes V aus seinen Quellen V und Wirbeln V. Die Lösung dieser mathematishen Aufgabe wird auh Helmholtz sher Hauptsatz der Vektoranalysis genannt. Über ein glattes Vektorfeld V sei bekannt: V = f, V = h, (1.38)

11 1.3 Zerlegungssatz für Vektorfelder 9 mit vorgegebenen Feldern f und h. Dabei seien f und h lokalisiert, d.h. sie fallen für r hinreihend shnell ab. Die offensihtlihen Fragen lauten Kann man aus der Kenntnis von f und h das vollständige Vektorfeld V konstruieren? Ist die Konstruktion eindeutig? Wir können allgemein V in zwei Teile zerlegen, V = V 1 + V 2, (1.39) mit V 1 = f, V 1 = 0, (1.40) V 2 = 0, V 2 = h. (1.41) Wegen V = 0 ist V ein reines Gradientenfeld, d.h. V 1 = Φ und Φ genügt der Poisson Gleihung Φ = f. (1.42) Da wir die Greenshe Funktion des Laplae Operators kennen, erhalten wir die Lösung für Φ über das Faltungsintegral φ(r) = 1 4π Da V 2 = 0, shreiben wir V 2 = v. Nun ist dr f(r ) r r. (1.43) V 2 = ( v ) = ( v ) v = h. (1.44) Die Bedingung V 2 = v bestimmt v niht eindeutig. Wir können diese Freiheit benutzen, um zu verlangen, dass v = 0 1. Damit wird Gl. (1.44) zu einer Poisson Gleihung, v = h, und man findet ihre Lösung wiederum über das Faltungsintegral, v(r) = 1 4π dr v(r ) r r. (1.45) 1 In der Tat können zu v einen Gradienten n hinzufügen, ohne V 2 zu ändern. Dann verlangt man v = v n = 0, so dass diese Bedingung auf n wiederum über die Lösung der Poisson Gleihung erfüllt werden kann.

12 1.3 Zerlegungssatz für Vektorfelder 10 Damit erhält man für das Vektorfeld V V = 1 ( ) 4π r f(r ) + 1 ( r r 4π r ) dr h(r ). (1.46) r r Diese Konstruktion ist niht eindeutig. Man kann zu dem so konstruierten Feld V immer ein Gradientenfeld χ, das die Laplae Gleihung χ = 0 erfüllt, hinzufügen. In anderen Worten haben alle Vektorfelder V + χ mit χ = 0 die selben Quellen und Wirbel.

13 Kapitel 2 Die Maxwell Gleihungen 2.1 Die Lorentz Kraft Ein Teilhen mit Ladung q, das sih mit der Geshwindigkeit v durh äußere Felder E und B bewegt, erfährt die Lorentz Kraft F L = q ( E(t, r) + f F v B(t, r) ) (2.1) Diese Wirkung auf geladene Testteilhen definiert die Felder E und B: E = das elektrishe Feld B = die magnetishe Induktion Die Konstante f F bestimmt die relativen Einheiten, in denen E und B gemessen werden. Die zwei natürlihen Wahlen sind [f F ] = 1 oder [f F ] = [T ]/[L]. 2.2 Die homogenen Maxwell Gleihungen Die homogenen Maxwell Gleihungen drüken strukturelle Eigenshaften der E und B Felder aus Niht-Existenz von magnetishen Monopolen Es ist eine empirishe Tatsahe, dass der magnetishe Fluss durh eine geshlossene Oberflähe vershwindet, dσ B = 0. (2.2) Ω 11

14 2.2 Die homogenen Maxwell Gleihungen 12 Diese Behauptung entspriht der Tatsahe, dass magnetishe Ladungen (magnetishe Monopole) nie gefunden wurden. Durh den Gaußshen Satz ergibt sih 0 = dσ B = dv B, (2.3) Ω Ω und da dies für beliebige Oberflähen Ω gilt, folgt daraus B = 0. (2.4) Faradayshes Induktionsgesetz (1831) Ein eingebrahter Magnet induziert eine Spannung, die proportional zur zeitlihen Änderung des magnetishen Flusses Φ mag durh die Leitershleife ist, U ind = f F Φ mag. (2.5) Das Minus Zeihen entspriht der Lenzshen Regel: Wenn ein Strom in der Shleife erzeugt wird, führt dieser zu einer magnetishen Induktion B, die sih der Variation des Flusses entgegensetzt. Wir shreiben zunähst beide Seiten der Gleihung (2.5) explizit aus, Σ dl E = f F dσ B. (2.6) t Σ Für die linke Seite verwenden wir den Stokes she Integralsatz, Σ dσ ( E ) = f F dσ B. (2.7) t Σ Da die Beziehung für beliebige Leitershleifen gilt, erhält man die lokale Form E(t, r) + f F B(t, r) t = 0. (2.8) Man kann zeigen, dass die galileishe Invarianz der Theorie bei kleinen Geshwindigkeiten die Gleihheit der Konstanten f F und f F impliziert, f F = f F. (2.9) Die experimentelle Tatsahe (Faraday, 1831), dass Σ dl E nur vom Fluss dσ B abhängt und niht von den Geshwindigkeiten von Spulen oder von der Ur-

15 2.3 Die inhomogenen Maxwell Gleihungen 13 sahe für die Variation von Σ Konzeptes. dσ B bekräftigt die Notwendigkeit des Feld- 2.3 Die inhomogenen Maxwell Gleihungen Das Gausßshe Gesetz Die zentrale Beobahtung: zwei Ladungen q 1, q 2 aufeinander mit der Kraft im Abstand R = R wirken F C (R) = k C q 1 q 2 R R 3. (2.10) Die Konstante k C hängt vom Medium und von den verwendeten Einheiten ab. Man kann diese Kraft in drei Shritten interpretieren: 1. die Ladung q 1 erzeugt ein Feld D(r) in jedem Raumpunkt; D wird dielektrishe Vershiebung genannt. 2. im Medium, in dem sih die Ladung q 2 befindet, gibt es eine Relation zwishen D und dem elektrishen Feld E. Im Vakuum gilt die Relation D(t, r) = ɛ 0 E(t, r) (Vakuum). (2.11) 3. die Ladung q 2 erfährt die Lorentz Kraft F C (r) = q 2 E(r). Ein weitere Shlüsselbeobahtung ist das Superpositionsprinzip: wenn mehrere geladene Teilhen präsent sind, ist die Kraft auf ein Testteilhen die vektorielle Summe der Kräfte der einzelnen Teilhen. Aus diesen zwei Gesetzen (Coulomb Kraft + Superpositionsprinzip) können wir das Gaußshe Gesetz herleiten. Im Vakuum ist die dielektrishe Vershiebung einer am Ursprung lokalisierten Punktladung D(R) = ɛ 0 k q1r R 3. (2.12) Der Fluss des Feldes D durh eine Kugel, die auf dem Ursprung zentriert ist: Ω dσ D(r) = 4πR 2 ɛ 0 k q 1 R 2 = 4πɛ 0k q 1, (2.13)

16 2.3 Die inhomogenen Maxwell Gleihungen 14 unabhängig von R. Dagegen überzeugt man sih leiht, dass für eine geshlossene Oberflähe, die keine Ladungen enthält, der Fluss null ist. Daraus folgt, dass der Fluss durh eine Oberflähe, die eine Ladung enthält, niht von der Position dieser Ladung abhängt. Aus diesen Argumenten folgt, dass der Fluss durh Gl. (2.13) gegeben ist, unabhängig von der Wahl der Oberflähe, solange sie die Ladung enthält. Shließlih wenden wir das Superpositionsprinzip an. Aus diesem folgt nun, dass eine Ladung am Punkt P a genau dann zum Fluss durh eine Oberflähe Ω beiträgt, wenn P a Ω, dσ D = 4πɛ 0 k q a = 4πɛ 0 k dv ρ. (2.14) Ω P Ω a Ω Da man die linke Seite über den Gaußshen Satz in dv D umshreiben kann, Ω und die Gleihung (2.14) für beliebige Volumina Ω gilt, erhalten wir das Ergebnis D = f G ρ, (2.15) mit der Relation f G = 4πɛ 0 k. (2.16) Die Gleihung (2.15) ist das Gaußshe Gesetz. Es gilt auh in einem polarisierbaren Medium; was sih in einem Medium ändert ist die Beziehung zwishen den Feldern D und E, und dadurh auh die Beziehung (2.16) zwishen dem Koeffizienten der Coulomb Kraft k und dem Koeffizienten f G des Gaußshen Gesetzes Das Biot-Savartshe Gesetz (1822) Zwei parallele, stromdurhflossene Leiter im Abstand R (mit Stromstärken I 1 und I 2 ) üben eine Kraft 1/R aufeinander. Die Kraft ist anziehend, wenn die Ströme in die selbe Rihtung fließen, und abstoßend, wenn die Ströme in entgegengesetzten Rihtungen fließen. Das Ampèreshe Gesetz lautet, df A = 2k A I 1 I 2 R Zwei senkrehte Drähte dagegen üben keine Kraft aufeinander. dl. (2.17) Diese Kraft kann man herleiten, indem man postuliert, dass eine Stromdihte

17 2.3 Die inhomogenen Maxwell Gleihungen 15 j ein magnetishes Feld erzeugt, in der Form H = f BS j (Biot-Savartshes Gesetz). (2.18) Zweitens ist im Vakuum die magnetishe Induktion B proportional zum magnetishen Feld H, B = µ 0 H. (2.19) Und drittens ist die Wirkung der magnetishen Induktion auf einen stromdurhflossenen Leiter niht anderes als die Lorentz Kraft, die das Feld auf Ladungen in Bewegung ausübt 1. Wir bereiten nun die Herleitung der Ampèreshen Kraft vor. Den Strom, der durh einen Leiter fließt, erhält man, indem man die Stromdihte j über einen Leiterquershnitt integriert: I = Σ dσ j. (2.20) Wenn wir beide Seiten der Gleihung (2.18) über eine Oberflähe S integrieren, bekommen wir mittels des Stokes shen Satzes dl H = f BS I in. (2.21) S Das Linienintegral des magnetishen Feldes entlang einer Shleife ist also proportional zur Intensität des Stroms, der durh diese Shleife fließt. Für einen langen geraden Leiter (durhflossen von Strom I 1 ) betrahten wir einen senkrehten Kreis, der auf dem Leiter zentriert ist. Aus Symmetriegründen muss das magnetishe Feld senkreht zum Leiter sein. Und da der Fluss von B durh einen koaxialen Zylinder vershwindent muss ( B = 0), kann das magnetishe Feld keine radiale Komponente haben, und ist deshalb tangential zum o.g. Kreis. Das Linienintegral ist also einfah 2πR H, und man findet also B = µ 0 H = f BS µ 0 I 1 2πR. (2.22) Wir müssen nun die Lorentz-Kraft auf die Träger des Stroms I 2 ausrehnen. Für 1 Ampère war der erste, dies zu vermuten.

18 2.3 Die inhomogenen Maxwell Gleihungen 16 einen dünnen Stromelement von Quershnitt A ist der Strom gegeben durh I = A j = A ρ v = A de A dl v = de dl v. Das heißt, die Lorentz Kraft, die B auf ein Stromelement von Länge dl ausübt, ist df = f F de v B = f F I dl B, (2.23) wo wir den Vektor dl entlang des Stromelements eingeführt haben. Indem wir Gl. (2.22) und (2.23) kombinieren, erreihen wir den Ausdruk der Ampèreshen Kraft (2.17) für zwei parallele Stromleiter, mit der Konstante k A gegeben durh k A = f BSf F µ 0 4π. (2.24) Es sei bemerkt, dass das Biot-Savartshe Gesetz (2.18) für zeitunabhängige (stationäre) Ströme gilt. Im nähsten Abshnitt werden wir sehen, wie es sih für dynamishe Situationen verallgemeinern lässt Maxwell s Vershiebungsstromdihte Das Grundgesetz der Magnetostatik lautet (Gl. 2.18) H = f BS j. Diese Gleihung impliziert automatish, dass j = 0. Über die Kontinuitätsgleihung (1.5), bedeutet dies, dass t ρ vershwindet. So wie es steht, kann das Biot- Savartshe Gesetz (2.18) keine Situation beshreiben, in der sih die in einem beliebigen Volumen enthaltene Ladung ändert. Maxwell fragte sih um 1860, wie diese Gleihung für den dynamishen Fall verallgemeinert werden könnte, und postulierte einen zusätzlihen Term, H + V = f BS j. Zusammen mit dem Gaußshen Gesetz D = f G ρ,

19 2.3 Die inhomogenen Maxwell Gleihungen 17 findet man durh lineare Kombination dieser beiden Gleihungen t ρ + j = 1 f G t D + 1 f BS V. Damit die Erhaltungsgleihung erfüllt ist, verlangen wir von V, Die einfahste Lösung ist, wenn V = f BS f G t D. V = f BS f G t D. Es sei bemerkt, dass man zu V den Wirbel eines beliebigen Vektorfeldes hätte hinzufügen können (da er zu V niht beiträgen würde), dieses Vektorfeld müsste aber ein axiales Vektorfeld sein, um konsistent mit der Parität der anderen Terme in der Biot-Savartshen Gleihung zu sein. Der einzige vorhandene Axialvektor ist aber H, dessen Wirbel in der B-S Gleihung bereits vorhanden ist. Ein solher Term würde also lediglih den Koeffizienten von H verändern. Weiterhin könnte man V den Gradienten eines Skalarfeldes χ hinzufügen, das die Laplae Gleihung χ = 0 erfüllt. Ein solhes Skalarfeld ist in den anderen fundamentalen Gleihungen der Theorie niht vorhanden, und würde deshalb einen zusätzlihen Freiheitsgrad darstellen, für den es jedoh keinerlei experimentellen Hinweise gibt. Wir kommen also zum Shluss, dass die Biot-Savartshe Gleihung wie folgt verallgemeinert werden muss, ( H = f BS j + 1 ) t D. (2.25) f G Der zweite Term in der Klammer spielt die Rolle einer zusätzlihen Stromdihte. Maxwell nannte ihn die Vershiebungsstromdihte (English: displaement urrent). Selbstverständlih kann die Veränderung des Biot-Savartshen Gesetz letzten Endes nur durh die experimentelle Bestätigung ihrer physikalishen Konsequenzen bestätigt werden.

20 2.4 Zusammenfassung Zusammenfassung Die homogenen Maxwell Gleihungen: B = 0, E + f F t B = 0. (2.26) Die inhomogenen Maxwell Gleihungen: D = f G ρ, H f BS f G t D = f BS j. (2.27) Elektrishes Feld E(t, r) Magnetishe Induktion B(t, r) Felder, die durh die Lorentz Kraft definiert sind: F L = q(e + f F v B) Phänomenologishe Gesetze: e.m. Eigenshaften des Mediums Dielektrishe Vershiebung D(t, r) Magnetishes Feld H(t, r) Felder, die durh Ladungen und Ströme erzeugt werden Die Theorie benötigt eine phänomenologishe Beziehung zwishen den induzierten Feldern D und H und den mit den Kräften verbundenen Feldern E und B. Diese Beziehung hängt vom Medium ab. Im Vakuum, das als homogenes und isotropishes Medium betrahtet werden kann, gelten die linearen Beziehungen D = ɛ 0 E, B = µ 0 H. (2.28) Shließlih folgt die Kontinuitätsgleihung t ρ + j = 0 (2.29) automatish aus den Maxwell Gleihungen.

21 2.4 Zusammenfassung 19 Vorteile der lokalen Formulierung: Maxwell Gleihungen und ihr physikalisher Inhalt sind unabhängig von Versuhsanordnungen (Leitershleifen, Spulen, Drähte) Einfahe Herleitung weiterer physikalisher Konsequenzen (Wellengleihung) Maßsysteme, Teil 1 Wir nehmen an, dass das Einheitssystem für mehanishe Größen bereits gewählt ist, z.b. das MKS System (kg,m,s) oder das gs System (g,m,s). Wir haben vier e.m. Felder (E, B, D, H) eingeführt, ausserdem ist die elektrishe Ladung eine neue Größe. Desweiteren haben wir fünf unabhängige Konstanten eingeführt: f F, f G, f BS ; ɛ 0, µ 0. (2.30) Wir müssen also die Einheiten von = 10 Größen festlegen. Aus den Maxwell Gleihungen und dem Ausdruk der Lorentz Kraft folgen aber Beziehungen zwishen diesen Größen und deren Einheiten, z.b. [F ] = [q] [E]. Man findet 6 solhe Beziehungen zwishen den Einheiten der zehn eingeführten Größen. Es bleiben also 10 6 = 4 Größen, wovon wir die Einheiten frei wählen dürfen. Nun will man diese freie Wahl der Einheiten ausnutzen, um vier der Konstanten (2.30) dimensionslos zu mahen. Es stellt sih heraus, dass die Einheit der einzigen übrig bleibenden Konstante dann auh festgelegt ist, weil es eine Kombination der Konstanten (2.30) gibt, die eine rein mehanishe Kombination darstellt, [ ] fbs f F [µ 0 ɛ 0 ] = [v] 2, (2.31) f G also eine inverse Geshwindigkeit zum Quadrat. Somit können die Einheiten aller Felder und Konstanten auf mehanishe Einheiten zurükgeführt werden. Um die Gleihung (2.31) zu interpretieren, untersuhen wir als Nähstes die Maxwell Gleihungen ohne äußere Quellen.

22 2.4 Zusammenfassung Maxwell Gleihungen ohne äußere Quellen B = 0, E + f F t B = 0, (2.32) D = 0, H f BS f G t D = 0. (2.33) Nehme den Wirkel des Faradayshen Gesetzes: ( E) + f F t ( B) = 0, (2.34) benutze die Identität ( E) = ( E) E und setze ein. Dann bekommt man B = µ 0 H = µ 0 f BS f G t D = ɛ 0 µ 0 f BS f G t E E t E = 0, (2.35) = ɛ 0 µ 0 ff f BS f G. (2.36) In Gl. (2.35) erkennt man die Wellengleihung, wobei 0 als Ausbreitungsgeshwindigkeit der Welle zu interpretieren ist. Da 0 eine messbare mehanishe Größe ist, drükt man eine der Konstanten auf der rehten Seite von Gl. (2.36) als Funktion der vier anderen und von 0 aus. Indem man den Wirbel des Biot-Savartshen Gesetzes nimmt, bekommt man die selbe Wellengleihung für H, H t H = 0. (2.37) Als wihtiges Beispiel betrahten wir eine ebene Welle. Die allgemeine Lösung lässt sih in Fourier Komponenten analysieren, ( ) ( E(t, r) = B(t, r) E 0 B 0 ) e i(k r ωt), ω = 0 k.

23 2.4 Zusammenfassung 21 Wie man leiht zeigt, müssen dann folgende Bedingungen erfüllt sein, k E 0 = 0, k E 0 = f F ωb 0, (2.38) woraus man insbesondere die k-unabhängige Beziehung E 0 = f F 0 B 0 erfährt. Man sieht also, dass E und B genau dann die selbe Einheit und den selben Betrag in einer beliebigen ebenen Welle haben, wenn man f F = 1 0 (2.39) wählt Relative Stärke der Coulomb und Ampèresher Kraft Wir haben bereits gesehen, dass für die Koeffizienten der Coulomb und der Ampèresher Kraft, die Beziehungen F C = k q 1 q 2 r 2, k = f G Das Verhältnis dieser Koeffiziente ergibt, d F A dl = 2k A I 1 I 2 r, (2.40), k A = f F f BS µ 0. (2.41) 4πɛ 0 4π k k A = f G f F f BS ɛ 0 µ 0 = 2 0, (2.42) wo man wiederum die Ausbreitungsgeshwindigkeit 0 der e.m. Wellen erkennt. Weber und Kohlraush erkannten empirish in 1856, dass der gemessene Wert von k /k A numerish dem Quadrat der Lihtgeshwindigkeit entspriht. Sie führten für die letztere Größe die Notation ein. Ab hier werden wir deshalb diese Standardnotation verwenden, 0. (2.43) Maxwell erkannte die Wihtigkeit dieser Beobahtung und shrieb 1862: We an sarely avoid the onlusion that light onsists in the transverse undulations of the same medium whih is the ause of eletri and magneti phenomena.

24 2.4 Zusammenfassung Gaußshe Einheiten Dieses Einheitssystem folgt konsequent der Logik, die wir in Abshnitt (2.4.1) vorgestellt haben. Die Wahl der mehanishen Einheiten ist das gs System, und es werden darüber hinaus keine neuen Einheiten eingeführt. Man benutzt die vier Freiheitsgrade, die einem zur Verfügung stehen, um f G = 4π, f F = 1 (2.44) ɛ 0 = 1, µ 0 = 1 (2.45) zu wählen. Die fünfte Konstante drükt man über die Lihtgeshwindigkeit aus (siehe (2.36), f BS = 4π. (2.46) In Gaußshen Einheiten gilt also, im Vakuum E = D, B = H. (2.47) Die Koeffizienten der Coulombshen und Ampèreshen Kräfte haben nun den Wert k = Die Lorentz Kraft shreibt sih f G 4πɛ 0 = 1, k A = 1 2. (2.48) F L = q (E + 1 v B ), (2.49) und die Maxwell Gleihungen B = 0 E + 1 tb = 0 (2.50) D = 4πρ H 1 td = 4π j. (2.51) Die Einheiten der Felder sind alle gleih, [E] = [D] = [B] = [H] = [M]1/2, (2.52) [T ][L] 1/2

25 2.4 Zusammenfassung 23 und die Ladung hat die Einheit [q] = [M]1/2 [L] 3/2. (2.53) [T ] MKSA Einheiten Dieses Einheitssystem folgt zum Teil der Logik, die wir in Abshnitt (2.4.1) vorgestellt haben. Die Wahl der mehanishen Einheiten ist das MKS System, und es wird darüber hinaus eine neue Einheit für den Strom eingeführt. Die Definition des Ampère s (Symbol A) ist folgende. Betrahte zwei Stromdurhflossene Leiter im Abstand von 1 Meter. Die Stromstärke beträgt 1 A, wenn die Kraft pro Meter N beträgt. Die Einheit der Ladung ist 1C 1A s (1 Coulomb ). Man benutzt die drei übrigbleibenden Freiheitsgrade, um f G = f F = f BS = 1 (2.54) zu wählen. Nun sind alle Einheiten festgelegt. Mit dieser Wahl gilt ɛ 0 µ 0 = 1. (2.55) 2 Gemäß Konvention definiert man µ 0 = 4π 10 7 NA 2 (2.56) und drükt ɛ 0 über µ 0 und 2 aus. Die Koeffiziente der Coulomb und Ampèresher Kraft haben nun den Wert Die Lorentz Kraft shreibt sih k = 1 4πɛ 0, k A = µ 0 4π. (2.57) F L = q (E + v B), (2.58)

26 2.5 Potentiale 24 und die Maxwell Gleihungen B = 0 E + t B = 0 (2.59) D = ρ H t D = j. (2.60) Im Vakuum gilt D = 1 µ 0 2 E, B = µ 0H. (2.61) 2.5 Potentiale Ab diesem Abshnitt verwenden wir die Gaußshen Einheiten. Aus den homogenen Maxwell Gleihungen folgt, dass die Felder E und B in der Form B = A, E = 1 ta Φ (2.62) ausgedrükt werden können. Das Feld Φ wird Skalarpotential genannt, das Feld A das Vektorpotential. Für vorgegebene E, B Felder sind Φ und A niht eindeutig bestimmt, da die Potentiale A = A + Ψ, (2.63) Φ = Φ 1 tψ (2.64) die selben E, B Felder beshreiben (Ψ ist ein beliebiges, differenzierbares Feld Ψ(t, r)). Die Unabhängigkeit der E, B Felder von Ψ nennt man Eihinvarianz und ist von fundamentaler Bedeutung. Um die Potentiale eindeutig festzulegen, fordert man zusätzlihe Bedingungen an Φ und A, die man Eihbedingungen nennt. Durh die Ausdrüke (2.62) für E und B sind die homogenen Maxwell Gleihungen automatish erfüllt. Man setzt dann die e.m. Felder in der Form (2.62) in die inhomogenen Maxwell Gleihungen und bekommt Φ + 1 t( A ) = 4πρ, (2.65) A + ( A + 1 tφ ) = 4π j, (2.66)

27 2.5 Potentiale 25 wobei wir den d Alembertshen Operator t. (2.67) eingeführt haben. Da in den Maxwell Gleihungen ausshließlih die eihinvarianten Felder E, B vorkommen, ist ihre Form automatish eihinvariant (man sagt auh, dass die Maxwell Gleihungen kovariant sind). Die Lorenz Eihung vereinfaht, Man verfügt nun über Ψ derart, dass Gl. (2.66) sih A + 1 tφ = 0, (2.68) was erreiht werden kann, indem man die Gleihung Ψ = A + 1 tφ (2.69) löst. Wir werden später sehen, wie man eine solhe Wellengleihung mit Quelle lösen kann. Wir nehmen also zunähst an, dass ein Feld Ψ existiert, das zu Gl. (2.68) führt. Diese Wahl des Feldes Ψ nennt man Lorenz Eihung. Es sei bemerkt, dass die Lorenz Bedingung (2.68) die Potentiale nur bis auf weitere Eihtransformationen mit Eihfunktion χ festlegt, die die Gleihung χ = 0 erfüllen. Nehmen wir an, dass die Potentiale die Lorenz Bedingung (2.68) erfüllen, so vereinfahen sih Gl. (2.65) und (2.66) zu Φ = 4π ρ, (2.70) A = 4π j (Lorenz Eihung). (2.71)

28 Kapitel 3 Relativität und der Lagrange Formalismus 3.1 Eine Lagrange-Funktion für die e.m. Felder Wir mahen einen Ansatz für die Lagrange-Funktion der e.m. Felder, und verifizieren danah, dass deren Bewegungsgleihungen die Maxwell Gleihungen wiedergeben. Die Lagrange-Funktion der e.m. Felder ist L em = 1 8π Das entsprehende Wirkungsintegral ist S em = 1 8π dv ( E 2 B 2). (3.1) dt dv ( E 2 B 2). (3.2) Die Wehselwirkung der Ladungen mit den e.m. Feldern wird durh die Lagrange- Funktion L int = 1 dv ( ρφ j A ), (3.3) beshrieben, und S int = dt L int. Man überzeugt sih leiht, dass die Einheiten für S int,em wirklih die einer Wirkung sind, [M] [L] 2 /[T ]. Wir setzen nun die Ausdrüke (2.62) der e.m. Felder als Funktion der Potentiale Φ und A ein, S em = 1 8π dt dv ( ( Φ + 1 ta ) 2 ( A ) 2 ). (3.4) 26

29 3.1 Eine Lagrange-Funktion für die e.m. Felder 27 Die Potentiale Φ(t, r) und A(t, r) spielen nun die Rolle der Koordinaten q des System, und r spielt die Rolle eines Labels j (also {q j (t)} n j=1 Φ(t, r)). Um die Bewegungsgleihungen zu finden, müssen wir die Variation des Wirkungsintegrals unter kleinen Änderungen der Felder ausrehnen. Dabei betrahten wir ρ und j als äußere, gegebene Felder, die somit niht variiert werden, δ(s em + S int ) = 1 dt dv ( ρδφ j δa ) (3.5) + 1 [ dt dv ( Φ + 1 4π ta) ( δφ + 1 tδa) ( A ) ( δa )]. Wenn wir die räumlihen Komponenten explizit ausshreiben kommmt δ(s em + S int ) = 1 dt dv ( ) ρ δφ j k δa k (3.6) + 1 dt dv [ ( k Φ + 1 4π ta k ) ( k δφ + 1 tδa k ) ( ] j A k k A j ) j δa k = dt dv [ ρ 1 4π k( k Φ + 1 ta k ) ] δφ + dt dv [ 1 j k 1 4π t( k Φ + 1 ta k ) + 1 4π j( j A k k A j ) ] δa k + (Randterme 0). Hiervon bekommt man die zwei Bewegungsgleihungen k E k = 4πρ Gaußshes Gesetz (3.7) und ɛ ijk i B j 1 te k = 4π j k Biot-Savartshes Gesetz. (3.8) Symmetrien der Wirkung Die Wirkung S em + S int hat offensihtlihe Symmetrien, d.h. ihre Form bleibt invariant unter vershiedenen Transformationen der Felder. Der Teil S em ist offensihtlih eihinvariant. Wie transformiert S int? δs int = 1 dt dv ( ρ( 1 tψ) j Ψ ) = 1 dt dv ( t ρ + j ) Ψ = 0.

30 3.1 Eine Lagrange-Funktion für die e.m. Felder 28 Hiermit sieht man, dass die Eihinvarianz der Theorie eng mit der Erhaltung der Ladung verbunden ist. Desweiteren gibt es folgende Symmetrien: Räumlihe Translation: r = r a, F (t, r ) = F (t, r). (3.9) Zeitlihe Translation: t = t t 0, F (t, r) = F (t, r) (3.10) Rotation: r = Rr, Φ (t, r ) = Φ(t, r), A (t, r ) = RA(t, r) (3.11) und zusätzlih transformiert ρ wie Φ und j wie A; R ist eine 3 3 Rotationsmatrix (RR t = 1). Aus diesen Symmetrien ergeben sih laut Nöther Theorem dynamish erhaltene Größen: Impuls P Energie E Drehimpuls J Deren expliziten Ausdrüke werden wir später ausarbeiten 1. Zunähst stellen wir fest, dass die Wirkung S em + S int einen zusätzlihen Typ von Symmetrie hat. Die Transformation ist linear und kann daher matriziell dargestellt werden. Man definiert eine 4 4 Matrix (als Funktion eines reellen Parameters η) via Λ = osh η sinh η 0 0 sinh η osh η (3.12) 1 Die Eihinvarianz führt niht zu einer erhaltenen Größe, sondern beshränkt die Zahl der propagierenden Freiheitsgrade.

31 3.1 Eine Lagrange-Funktion für die e.m. Felder 29 und damit die Raum-Zeit Koordinatentransformation ( ) ( ) t t = Λ r r (3.13) und gleihzeitig ( ρ (t, r ) j (t, r ) ) ( = Λ ρ(t, r) j(t, r) ), ( Φ (t, r ) A (t, r ) ) = Λ ( Φ(t, r) A(t, r) ). (3.14) Diese Transformation nennt man einen Boost. Natürlih wurde die x-ahse willkürlih gewählt, es gibt entsprehende Transformationen für die y und z Ahsen. Die Überprüfung, dass diese Transformation tatsählih eine Symmetrie der Wirkung ist, wird deutlih erleihtert, indem man eine angemessene Notation einführt: ( ) ( ) ( ) x µ = t, j µ ρ =, A µ Φ = r j A. (3.15) Nahdem wir die Matrix g µν = (3.16) einführen, stellen wir fest, dass L int sih umshreiben lässt, L int = 1 dv j µ g µν A ν (die Einsteinshe Summenkonvention über wiederholten Raum-Zeit Indizes µ, ν wird systematish verwendet). Allgemeiner definiert die Funktion R 4 R 4 R (3.17) (a, b) a b a µ g µν b ν (3.18) ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum R 4. Nun stellt man fest, dass für die in (3.12) definierte Matrix Λ, Λ t gλ = g (3.19)

32 3.1 Eine Lagrange-Funktion für die e.m. Felder 30 gilt. Diese ist die einzige Eigenshaft von Λ, die wir brauhen werden, um die Invarianz der Wirkung zu beweisen. Sie bedeutet, dass die Transformation mit matrizieller Darstellung Λ das Skalarprodukt zweier beliebiger Vierervektoren invariant lässt. Eine solhe Transformation wird Lorentz-Transformation genannt. Die Gleihung (3.19) ist die definierende Eigenshaft der Lorentz Gruppe. In der Tat prüft man leiht, dass die Bedingungen für eine Gruppenstruktur erfüllt sind. Rotationen der räumlihen Koordinaten sind offensihtlih auh Teil dieser Gruppe. Vektoren a µ, die wie x µ transformieren, nennt man kontravariante Vektoren, i.e. a µ = Λ µ νa ν. Dagegen ist a µ g µν a ν (3.20) ein kovarianter Vektor. Unter einer Transformation verhält er sih wie folgt, a ρ g ρµ a µ = g ρµ Λ µ νa ν Λt gλ=g = (Λ 1 ) α ρ g αν a ν = (Λ 1 ) α ρ a α. (3.21) Umgekehrt, wenn b µ ein kovarianter Vektor ist, dann ist b µ g µν b ν ein kontravarianter Vektor, wie man leiht überprüft (g µν = g µν ). Das Skalarprodukt von Vierervektoren a, b kann also auf vershiedenen Weisen geshrieben werden, a b = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (3.22) Ferner definiert man den Vierergradienten = a 0 b 0 a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 = a ν g νµ b µ. Er transformiert als kovarianter Vierervektor, denn Der kontravariante 4-Vektor ( ) x = µ x, 0 µ. (3.23) x µ = xν x µ x µ = x = ν (Λ 1 ) ν µ x. (3.24) ν ( ) x, µ (3.25) 0

33 3.1 Eine Lagrange-Funktion für die e.m. Felder 31 wird auh oft benutzt. Es ist zu beahten, dass j = ( ) j, aber j = ( ) j. Hiermit können wir den Feldstärketensor F µν (x) = µ A ν (x) ν A µ (x) (3.26) definieren, sowie F µν = g µρ g νσ F ρσ. Wie man leiht überprüft, ist die Größe F µν F µν ein Lorentz-Skalar, was bedeutet, dass sie unter Lorentz-Transformationen invariant ist. Somit ist F µν ein Beispiel eines Rang-zwei Tensors. Nah diesen Vorbereitungen können wir die Wirkung in folgender Form shreiben, S int = 1 dt dv j µ A µ, (3.27) S em = 1 dt dv F µν F µν. (3.28) 16π Damit ist ihre Invarianz offensihtlih geworden Interpretation der Invarianz von S unter einem Boost Wir fangen mit einer Analogie zu den räumlihen Rotationen an: r = Rr, Φ (r ) = Φ(r), A (r ) = RA(r), RR t = 1. Die transformierte Wirkung S em = 1 8π dt dr ( E (t, r) 2 B (t, r) 2) (3.29) ist die Wirkung, die ein Beobahter in einem gedrehten Bezugssystem shreiben würde 2. Man findet natürlih, dass S em = 1 8π dt dr ( E(t, r) 2 B(t, r) 2) = S em. (3.30) Die Symmetrie der Wirkung drükt also die Invarianz der Beshreibung des Systems unter Rotationen des Bezugssystems aus. Ähnlih drükt die Symmetrie der Wirkung unter der Transformation (3.12, 2 Dieser Beobahter assoziiert mit dem physikalishen Punkt P (der in seinem Bezugssystem die Koordinaten r besitzt) ein Feld RE[R 1 P ], wobei R 1 P das Urbild von P unter der Rotation ist.

34 3.1 Eine Lagrange-Funktion für die e.m. Felder , 3.14) die Invarianz der Beshreibung des Systems unter einer Änderung des Bezugssystems aus. Einen Hinweis zur Interpretation bekommt man aus der Transformation der x Koordinate für η 1, x = η t + x. (3.31) Für η = V/ entspriht diese Gleihung der galileishen Transformation der Koordinaten, wobei V die relative Geshwindigkeit zweier Inertialsysteme ist. Allerdings ergibt sih in dem Fall aus (3.12, 3.13) t = t V 2 x + O(V 2 ), (3.32) anstatt des galileishen Postulats t = t. Wie man sieht, ist die Korrektur klein für V, also wiederspriht diese Transformation die Ergebnisse von Experimenten niht, wo alle beteiligten Teilhen sih langsam (verglihen mit der Lihtgeshwindigkeit) bewegen. Das Interferometrie Experiment von Mihelson und Morley (1887) zeigte, dass die Ausbreitungsgeshwindigkeit des Lihts einem Beobahter unabhängig von der ihm bezüglih gemessenen Geshwindigkeit des ausstrahlenden Körpers ersheint. Dieses Ergebnis führte nah Einstein s Arbeit Zur Elektrodynamik bewegter Körper von 1905 dazu, dass die Transformation (3.12, 3.13) als die fundamentale Koordinatentransformation zwishen Inertialsystemen angenommen wurde, da sie (anders als die Galileishen Postulate) konsistent mit dem Mihelson und Morley Ergebnis ist (siehe Abshnitt 3.2). Daraus folgt, dass auh die Wirkung mehanisher Systeme Lorentz-invariant sein sollte (siehe Abshnitt 3.2.2). Die Invarianz der Wirkung unter Lorentz Transformationen führt zur Kovarianz der Bewegungsgleihungen (d.h. in diesem Fall der Maxwell Gleihungen). Dies bedeutet, dass die Form der Gleihungen die selbe in allen Bezugssystemen ist, die sih durh Lorentz-Transformationen untersheiden Kovariante Form der Maxwell Gleihungen Wir haben bereits gesehen, dass die Kombination (ρ, j) wie ein Vierervektor transformiert. Man notiert also j µ (x) = ( ρ(x), j(x) ), (3.33)

35 3.1 Eine Lagrange-Funktion für die e.m. Felder 33 und die Kontinuitätsgleihung erhält dann die einfahe Form µ j µ (x) = 0. (3.34) Wir kommen nun zu den Maxwell Gleihungen zurük. Die Komponenten des Feldstärketensors F µν sind 0 E 1 E 2 E 3 F µν (x) µ A ν (x) ν A µ (x) = E 1 0 B 3 B 2 E 2 B 3 0 B 1. (3.35) E 3 B 2 B 1 0 Die inhomogenen Maxwell Gleihungen (2.65) und (2.66) lassen sih nun in der neuen Form ν F νµ = 4π jµ. (3.36) shreiben. Die homogenen Maxwell Rehnungen drüken sih am elegantesten mittels des dualen Feldstärketensors F µν 1 2 ɛµνρσ F ρσ (3.37) aus. Das ɛ-symbol ɛ µνρσ ist antisymmetrish unter Permutation zweier Indies und hat ɛ 0123 = +1. Durh explizite Rehnung findet man F µν (x) = und ferner 0 B 1 B 2 B 3 B 1 0 E 3 E 2 B 2 E 3 0 E 1, (3.38) B 3 E 2 E 1 0 µ F µ0 = B, (3.39) µ F µk = ( 1 tb k + ( E) k). (3.40) Nun können die homogenen Maxwell Gleihungen als µ F µν = 0 (3.41)

36 3.2 Folgen der Boost-Invarianz der Wirkung 34 ausgedrükt werden. Die Vierervektor Notation vereinfaht auh die Form der Eihtransformationen, A µ (x) (A µ ) (x ) = A µ (x) µ Ψ(x). (3.42) Die Eihinvarianz des Feldstärketensors ist sehr einfah zu beweisen, (F µν ) µ (A ν ) (x) ν (A µ ) (x) = F µν + µ ν Ψ ν µ Ψ = F µν. (3.43) Die Lorenzbedingung nimmt nun die Form 0 A 0 (x) + k A k (x) = µ A µ (x) = 0 (3.44) und in dieser Eihung nehmen die inhomogenen Maxwell Gleihungen ( ) die Form A µ (x) = 4π jµ (x) (in Lorenz Eihung). (3.45) Man kann auh prüfen, dass das Einsetzen der Lorenz Eihung in Gl. (3.36) ebenfalls zu Gl. (2.71) führt. 3.2 Folgen der Boost-Invarianz der Wirkung In der Transformation (3.13) entspriht der Parameter η der relativen Geshwindigkeit zweier Inertialsysteme, Man benutzt häufig die Abkürzung tanh η = β V. (3.46) γ = 1 1 β 2. (3.47) Damit lässt sih die Transformation (3.13) wie folgt ausdrüken, t = γ(t + βx ), x = γ(x + βt ), y = y, z = z. (3.48) Indem man diese Ausdrüke differenziert, findet man dt = γ( dt + β dx ), dx = γ( dx + β dt ), dy = dy, dz = dz. (3.49)

37 3.2 Folgen der Boost-Invarianz der Wirkung 35 Die Geshwindigkeitvektoren in den zwei Bezugssystemen, v dr dt hängen also via den Beziehungen und v dr dt, v x = v x + V 1 + v xv/ 2, v y = 1 γ v y 1 + v xv/ 2, v z = 1 γ v z 1 + v xv/ 2 (3.50) zusammen. Insbesondere, wenn v x = der Lihtgeshwindigkeit gleih ist, dann erhält man aus (3.50) auh v x =. Die Geshwindigkeit der Lihtpropagation ist unabhängig vom Bezugssystem, als Konsequenz der Boost-Invarianz der Wirkung für die e.m. Felder. Postulats t = t die Transformationsregel Ferner sieht man auh, dass man anstatt des galileishen t = γ(t + V 2 x ) = t + V 2 x + O(V 2 ) (3.51) anwenden muss. Da das Linienelement ds 2 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 = dx µ dx µ (3.52) ein Skalarprodukt ist, ist es auh invariant unter Boost-Transformationen. Man nennt ds den Abstand zwishen zwei nahe an einander liegenden Ereignissen. Während des infinitesimalen Zeitintervalls dt (im Bezugssystem K), legt ein Teilhen die Streke dx 2 + dy 2 + dz 2 zurük. Im Koordinatensystem K, welhes sih an dem Zeitpunkt mit dem Teilhen bewegt, gilt dx = dy = dz = 0. Welhes Zeitintervall dt zeigt die sih bewegende Uhr nah dem im Bezugssystem K gemessenen Zeitintervall dt? Da ds 2 Lorentz-invariant ist, ( ) ds 2 = 2 ( dt ) 2 ( dr ) 2 = 2 ( dt ) 2 = 2 dt 2 dr 2 = 2 dt 2 1 v2. (3.53) 2 Wenn wir die Zeit der sih mit dem Teilhen bewegenden Uhr τ nennen, haben wir also gezeigt, dass dτ = 1 ds = dt 1 v2 2 (3.54) Lorentz-invariant ist. Da dt = γ dτ, vom Bezugssytem K ausgesehen sheinen die Herzshläge des Teilhens immer langsamer zu werden, wenn v.

38 3.2 Folgen der Boost-Invarianz der Wirkung 36 Aus der Tatsahe, dass ds ein Lorentz-Skalar ist, shließt man, dass u µ dxµ ds (3.55) ein Vierervektor ist. Mit Hilfe von Gl. (3.54), findet man die expliziten Komponenten ( ) u µ 1 = 1 v2 /, v 2. (3.56) 1 v 2 / 2 Insbesondere sind die Komponenten von u µ niht unabhängig, u µ u µ = 1. (3.57) Die Vierergeshwindigkeit lässt sih daher geometrish als Einheitsvektor auffassen, der die Weltlinie des Teilhens tangiert Die Viererstromdihte von Punktladungen Wir betrahten ein System von Punktladungen. Die Ladungsdihte hat den Ausdruk ρ(t, r) = a e a δ ( r r a (t) ). (3.58) Wie in der Einführung bereits diskutiert wurde, sind die Ladungen e a Lorentzinvariant, d.h. vom Bezugssystem unabhängig. Die Ladungsdihte ρ ist niht invariant, dagegen ist de = ρ d 3 r invariant. Wir betrahten nun den Vierervektor de dx µ, de dx µ = ρ d 3 r dx µ = ρ ( dt d 3 r) dxµ dt. (3.59) Da dt d 3 r ein Lorentz-Skalar ist, shließen wir aus dem letzten Ausdruk, dass ρ dxµ dt = Vierervektor. (3.60) Da die Null-Komponente dieses Vierervektors gleih ρ ist, identifizieren wir ihn mit der Viererstromdihte, j µ = ρ dxµ dt, (3.61)

39 3.2 Folgen der Boost-Invarianz der Wirkung 37 woraus der Ausdruk für den Stromdihtevektor folgt. j = ρ dr dt = ρv (3.62) Die Wehselwirkung der Punktladungen mit dem e.m. Feld lässt sih wie folgt shreiben, S int = 1 2 = 1 d 4 x A µ (x)j µ (x) = 1 dt dr A µ (x)ρ(x) dxµ dt dr ρa µ (x) dx µ = 1 e a A µ (x a ) dx µ a. a (3.63) Für ein einzelnes Teilhen gilt also S int = e A µ (x) dx µ, (3.64) wobei das Potential A µ an dem Raumzeitpunkt einzusetzen ist, an dem sih das Teilhen gerade befindet Mehanisher Beitrag zum Wirkungsintegral In der klassishen Mehanik ist die Lagrange-Funktion für ein Teilhen in einem Potential V (r) die Form L n.r. (r, v) = 1 2 mv2 V (r). Nun hat aber das Wirkungsintegral S em +S int, das die Maxwell Gleihungen reproduziert, eine Boost-Symmetrie (anstatt der galileishen Invarianz von L n.r. ). Wir suhen also nah einer Lagrange- Funktion, die die Dynamik der mehanishen Freiheitsgrade beshreibt und die Lorentz-invariant ist. Da nur Differenziale in erster Potenz vorkommen sollen, ist die einzige Möglihkeit b tb S m = α dτ = α a t a dt 1 v2 2, (3.65) wobei α eine Konstante ist. Wir bestimmen sie, indem wir verlangen, dass bei kleinen Geshwindigkeiten die Kinematik niht-relativistisher Teilhen reproduziert wird, tb S m = α t a ( dt 1 1 ) v O(v4 ) (3.66)

40 3.2 Folgen der Boost-Invarianz der Wirkung 38 Der Term, der quadratish in v ist, muss den Koeffizienten m 2 haben; daraus folgt α = m 2. Wir sehen dann, dass der Geshwindigkeit-unabhängige Term m 2 als eine Art potentieller Energie zu interpretieren ist. Wir sind also zum Shluss gekommen, dass die Lagrange Funktion L = m 2 1 v2 2 (3.67) die Kinematik eines relativistishen Teilhens beshreiben muss. Aus diesem Ausdruk leitet man den Ausdruk des Impulses her, p = L v = mv = mγv. (3.68) 1 v2 2 Die Energie des Teilhens ist durh die Legendre Transformation gegeben, E = p v L = γm 2. (3.69) Bei niedrigen Energien findet man E = m mv2 +..., und m 2 ist als Ruheenergie des Teilhens zu interpretieren. Man leitet ohne weiteres die Beziehungen her, wobei H(r, p) die Hamilton Funktion ist. H = p 2 + m 2 2 = E, (3.70) p = Ev 2 (3.71) Ein sehr wihtige Beobahtung ist nun, dass die Energie (3.69) und der Impuls (3.68) zusammengesetzt proportional zur Vierergeshwindigkeit sind, ( 1 E, p) = mu µ. (3.72) Daraus ergibt sih, dass p µ = ( 1 E, p) (3.73)

41 3.3 Der Energie-Impuls Tensor 39 ein Vierervektor ist, und dessen Lorentz-invarianten Norm ist der Skalar p µ p µ = m 2 2. (3.74) Zusammenfassung: Wir haben die Gesamtwirkung für ein relativistishes System von Teilhen in Wehselwirkung mit dem e.m. Feld hergeleitet: S = a m a 2 dτ a a e a A µ dx µ a 1 16π d 4 x F µν (x)f µν (x). (3.75) Wir können nun die Bewegungsgleihungen für ein Teilhen herleiten, indem wir S bezüglih x µ a(t) variieren. Die Variation des ersten Terms ergibt δs m = m dτ δx µ a du µ dτ. (3.76) Die Variation des zweitens ist δs int = e a dτ δx µ a F µσ u σ. (3.77) Man findet also die Bewegungsgleihung (hier ohne den Index a) dp µ dτ = f µ, (3.78) f µ = ef µ σu σ. (3.79) In den nähsten Kapiteln werden wir die Dynamik dieses koppelten Systems näher untersuhen. 3.3 Der Energie-Impuls Tensor Wir haben im Abshnitt (3.1.1) angedeutet, dass die Raumzeit Symmetrien der Wirkung zu zeitlih erhaltenen Größen führt (Noether s Theorem). Hier betrahten wir zunähst eine allgemeine klassishe Feldtheorie, und zeigen, wie diese erhaltenen Größen und deren Stromdihten aus der Wirkung hergeleitet werden können.

42 3.3 Der Energie-Impuls Tensor 40 Betrahte ein System, dessen Wirkungsintegral die Form S = dt dr L(φ, µ φ) = 1 d 4 xl(φ, µ φ) (3.80) hat. Wir betrahten zuerst ein einziges Feld φ, aber die folgenden Formeln lassen sih unmittelbar für mehrere Felder verallgemeinern 3. Die Funktion L der Felder ist die Lagrange-Dihte. Wir nehmen an, dass sie niht explizit von den Koordinaten x µ abhängt. Nun leiten wir die Bewegungsgleihungen der Felder her, indem wir das Wirkungsintegral variieren lassen, 0! = δs = 1 = 1 d 4 x [ L d 4 x [ L φ δφ + µ φ δφ + L ] ( µ φ) µδφ ( ) L ( µ φ) δφ L δφ µ ( µ φ) ]. (3.81) Der zweite Term vershwindet bei Integration über R 4, und wir bekommen dann die Bewegungsgleihungen ( ) L µ ( µ φ) L φ = 0. (3.82) Die Unabhängigkeit L s von den Koordinaten x µ Ausdruk für µ L, führt zu einem interessanten µ L = L φ µφ = ν ( L ( ν φ) L ( ν φ) µ ν φ (3.83) ) µ φ + L ( ) L ( ν φ) µ ν φ = ν ( ν φ) µφ. Daraus lernt man, dass eine gewisse Kombination der Felder einer Kontinuitätsgleihung genügt, Man definiert den Tensor [ ] L ν ( ν φ) µφ δµl ν = 0. (3.84) T µ ν = L ( ν φ) µφ δ ν µl, (3.85) 3 Im Falle des e.m. Feldes sind dann φ 1,..., φ 4 mit den Potentialen (Φ, A) zu identifizieren.

43 3.3 Der Energie-Impuls Tensor 41 mit der Eigenshaft ν T ν µ = 0. Wenn mehrere Felder {φ l } n l=1 vorhanden sind, bekommt man auf ähnliher Weise ( ) T ν L µ = ( ν φ l ) µφ l δµl. ν (3.86) l Wir können den ersten Index mittelds der Metrik nah oben bringen, T µν = g µρ T ρ ν. Durh Analogie mit der Viererstromdihte, wissen wir, dass P µ 1 dv T µ0 (3.87) zeitunabhängig ist, d dt P µ = d 3 r 0 T µ0 (x) = d 3 r k T µk (x) = 0. (3.88) Die Normierung von P µ wurde so gewählt, dass T 00 = 0 φ L ( 0 φ) L = tφ L L = H, (3.89) ( t φ) wobei H für die Hamilton-Dihte steht. Wir haben also folgende Interpretation, T 00 = Energiedihte, 1 T 10, 1 T 20, 1 T 30 = Impulsdihte. (3.90) Der Tensor T µν wird als Energie-Impuls Tensor bezeihnet. Man kann T µν die Divergenz eines (teilweise antisymmetrishen) Tensors dritten Rangs hinzufügen, ohne die Erhaltungsgleihung zu verändern, ψ µνσ = ψ µσν ν ( T µν + ρ ψ µνρ) = 0. (3.91) Ein solher Term ändert auh niht die zeitlih erhaltenen Größen P µ, weil dv ρ ψ µ0ρ = dv 0 ψ µ00 = 0. (3.92) Um die Definition der Energie- und Impulsdihten und deren assoziierten Ströme eindeutig festzulegen, kann man die Bedingung stellen, dass der 4-dimensionelle

44 3.3 Der Energie-Impuls Tensor 42 Tensor M µν dv ( x µ T ν0 x ν T µ0) = M νµ (3.93) erhalten sein soll, Dies ist genau dann der Fall, wenn d dt M µν = 0. (3.94) T νµ = T µν. (3.95) Wenn T µν ein symmetrisher Tensor ist, dann ist M ij auh zeitunabhängig 4. Aus dem Ausdruk der räumlihen Komponenten M ij lernt man, dass sie dem Drehimpuls entsprehen, L z = M 12 et. (3.96) Deshalb nennt man M µν den vierdimensionellen Drehimpulstensor. Wir wollen nun die anderen Komponenten von T µν interpretieren. Über den Gaußshen Satz und ν T µν = 0 lernt man, dass die Änderung der in einem Volumen Ω enthaltenen Energie gleih dem Fluss von T 0k durh die Oberflähe diese Volumens ist, Daraus shließt man, dass d 3 r T 00 (t, r) = dσ k T 0k. (3.97) t Ω Ω (T 01, T 02, T 03 ) = Energiestromdihte. (3.98) Bemerkenswert ist, dass wenn der Energie-Impuls symmetrish ist, die Dihte des Energiestroms 2 die Impulsdihte gleiht. Auf ganz ähnliher Weise sieht man, dass T kj die Komponenten des drei-dimensionalen Tensors der Impulsstromdihte darstellen. In anderen Worten gibt {T k1 } k=1,2,3 die drei Komponenten des Impulses, die pro Zeiteinheit durh eine senkreht zur x-ahse stehende Fläheneinheit fließt. 4 Im allgemeinen ist µ L ( νφ) gµν L niht symmetrish.