1.1 Erhaltung und Invarianz der elektrischen Ladung

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1 Kapitel 1 Einführung 1.1 Erhaltung und Invarianz der elektrischen Ladung Experimentell werden verschiedene Eigenschaften der elektrischen Ladung festgestellt. Wir listen die wichtigsten auf. Die elektrische Ladung q ist unter räumlichen Rotationen eine skalare Größe, d.h., ihr Wert hängt nich von der Beobachtungsrichtung ab. Insbesondere hängt der Betrag des von einer ruhenden Punktladung erzeugten elektrischen Feldes (des Coulomb Feldes) nicht von der Richtung ab. Die elektrische Ladung is extensiv, was folgendes bedeutet. Nehme zwei Systeme von Ladung Q 1 und Q 2. Dann ist die Ladung der Vereinigung beider Systeme Q 1 + Q 2. Die elektrische Ladung ist erhalten, was bedeutet, dass in einem isolierten System die Gesamtladung zeitunabhängig ist. Zum mathematischen Ausdruck dieser Eigenschaft kehren wir im Folgenden zurück. die elektrische Ladung eines Teilchens ist unabhängig von dessen Bewegungszustand. Dies stellt man zu hoher Genauigkeit fest, unter anderem indem man die Neutralität von Atomen testet, in denen die Elektronen verschiedene Schalen besetzen. Diese Eigenschaft bedeutet auch, dass sich die Ladung von einem Bezugssystem zum anderen nicht ändert (sie ist relativistisch invariant). 1

2 1.2 Greensche Funktionen 2 Gegeben sei eine Ladungsdichte ρ(t, r), die die Ladungsverteilung eines Systems beschreibt. Dann ist Q = die Gesamtladung, die zeitunabhängig ist. Ω dv ρ (1.1) Ändert sich ρ(t, r), so treten lokale Flüsse auf, doch bleibt die Gesamtladung Q unverändert. Betrachte hierzu ein Teilvolumen ω. Dann ist Q ω (t) = ω dr ρ(t, r) (1.2) die in ω enthaltene Ladung. Ändert sich Q ω (t), so ist durch die Oberfläche ω ein Strom ein- oder ausgetreten. Sei also j(t, r) die Stromdichte. Der Ladungsverlust durch den austretenden Strom is gegeben durch d dt Q ω(t) = ω dσ j(t, r). Über den Gaußschen Satz lässt sich dies auch als Volumenintegral ausdrücken, Andererseits ist ω d dt Q ω(t) = d dt dr j(t, r). (1.3) ω dr ρ(t, r). (1.4) Da das Teilvolumen ω beliebig gewählt wurde, schließt man durch Vergleich der Ausdrücke (1.3) und (1.4), dass ρ(t, r) t + j(t, r) = 0. (1.5) Diese Kontinuitätsgleichung drückt die lokale Erhaltung der Ladung aus. 1.2 Greensche Funktionen Als Beispiel betrachten wir die Bewegungsgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators, ẍ + 2γẋ + ω0x 2 = 0, x = x(t). (1.6)

3 1.2 Greensche Funktionen 3 Wir nehmen an, dass 0 γ < ω 0. Die allgemeine Lösung lautet x(t) = Ae γt sin(ω 1 t δ), ω 1 ω 2 0 γ 2. (1.7) Die Konstante A und die Phase δ werden durch Anfangsbedingungen festgelegt. Als nächstes betrachten wir den angetriebenen harmonischen Oszillator ẍ + 2γẋ + ω 2 0x = F (t), (1.8) wobei F (t) eine gegebene Funktion der Zeit ist. Mathematisch gesehen ist diese Gleichung eine homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Ihre allgemeine Lösung erhält man bekanntlich, indem man einer speziellen Lösung die allgemeine Lösung von Gl. (1.7) hinzufügt. Um eine spezielle Lösung zu konstruieren, stellen wir folgendes fest. Sei G(t, t ) die Lösung der Differentialgleichung (1.8) mit F (t) = hδ(t t ), d.h. 2 G(t, t ) + 2γ G(t, t ) + ω 2 t 2 t 0G(t, t ) = hδ(t t ). (1.9) Dann ergibt sich die Lösung der Gl. (1.8) durch Faltung von G(t, t ) mit F (t ): x(t) = 1 h dt G(t, t ) F (t ), (1.10) denn ẍ + 2γẋ + ω0x 2 = 1 h = 1 h { } dt F (t ) G(t, t ) + 2γĠ(t, t ) + ω0g(t, 2 t ) dt F (t ) {hδ(t t )} = F (t). Kennt man G(t, t ), so erhält man die Lösung von Gl. (1.8) durch Berechnung des Faltungsintegrals. G(t, t ) heißt die Greensche Funktion (des Oszillators). Der explizite Ausdruck für G(t, t ) ist G(t, t ) = h ω 1 θ(t t )e γ(t t ) sin ( ω 1 (t t ) ), (1.11)

4 1.2 Greensche Funktionen 4 wobei θ(t) = { 1 t 0, 0 t < 0. (1.12) Beweis: Bei F (t) = δ(t t ) setze man die Fourier Entwicklung von x(t) und δ(t t ) x(t) = δ(t t ) = dω 2π eiωt x(ω) (1.13) dω 2π eiω(t t ) (1.14) in Gl. (1.8) ein. Indem man die Koeffiziente von e iωt identifiziert, findet man algebraisch die Lösung x(ω) = e iωt ω 2 ω 2 0 2iγω = Nun muss man nur noch das Integral e iωt. (1.15) (ω iγ) 2 ω1 2 x(t) = dω 2π e iωt (ω iγ) 2 ω 2 1 (1.16) ausführen. Dies tun wir mittels des Residuensatzes im komplexen ω Raum. Die Polen des Integrands liegen bei ω ± = ±ω 1 + iγ, (1.17) also in der oberen Hälfte der komplexen Ebene. Wenn t < t, konvergiert das Integral entlang einem großen Halbkreis in der unteren Hälfte der komplexen Ebene; da der Integrand auf diesem Gebiet holomorphisch ist, verschwindet x(t) identisch für t < t. Wenn dagegen t > t, so muss der Pfad in der oberen Hälfte der komplexen Ebene geschlossen werden, und man bekommt einen Beitrag von den zwei Polen, x(t) = 2πi ( 1 ) [ e iω + ] (t t ) + eiω (t t ) = sin ω 1(t t ) e γ(t t ). (1.18) 2π ω + ω ω ω + ω 1 Damit ist die Formel (1.11) bewiesen. Es folgen einige Kommentare.

5 1.2 Greensche Funktionen 5 Die Tatsache, dass die Greensche Funktion G(t, t ) nur von der Differenz t t abhängt, folgt aus der Form-Invarianz der homogenenen Gleichung (1.6) unter Zeitverschiebungen. Die spezielle Lösung (1.10) hat die Eigenschaft, dass wenn F (t) = 0 für t < t 0, dann verschwindet auch x(t) für t < t 0. Aus diesem Grund nennt man (1.10) die retardierte Lösung, und G(t, t ) die retardierte Greensche Funktion. Letzte Eigenschaft drückt das Kausalitätsprinzip aus, dass ein ruhender Oszillator sich nicht bewegen kann, bevor man ihn anregt (die Wirkung kommt nach der Ursache). Mathematisch ist diese Eigenschaft dadurch garantiert, dass sich die Polen der Greenschen Funktion im Fourier Raum (Gl. 1.15) in der oberen Hälfte der komplexen Ebene befinden. Dies ist ein Beispiel der engen Beziehung zwischen Kausalität und Analytizität Greensche Funktion des Laplace Operators Eine besonders wichtige Rolle in Feldtheorien spielt der Laplace Operator 2 x y z 2. (1.19) Wir wollen hier die Greensche Funktion dieses Operators bestimmen, d.h. die Gleichung r G(r, r ) = δ(r r ) (1.20) lösen, mit der zusätzlichen Bedingung, dass G(r, r ) im Limes r r verschwindet. Wir gehen wie im Falle des harmonischen Oszillators vor und nehmen die Fourier Transformation der Gleichung (1.20). Zunächst nutzen wir die Translationsinvarianz des Problems, um r auf Null zu setzen. Man setzt die Ausdrücke G(r, 0) = δ(r) = dq (2π) G(q) e iq r, (1.21) 3 dq eiq r (1.22) (2π) 3

6 1.2 Greensche Funktionen 6 in Gl. (1.20) ein und findet G(q) = 1 q 2. (1.23) Um die Greensche Funktion im Ortsraum zu bestimmen, müssen wir das Integral G(r, 0) = dq (2π) 3 e iq r q 2 (1.24) ausrechnen. Wegen der Kugelsymmetrie des Problems gehen wir in Kugelkoordinaten (q, θ, φ) über, und wählen die z-achse so, dass r = rê z. Das Integral über φ ist dann trivial (es ergibt einen Faktor 2π) während das Integral über θ sich folgendermaßen gestaltet, π 0 sin θ dθ e iqr cos θ = 1 1 du e iqru = eiqr e iqr. iqr Damit erhält man G(r, 0) = 1 4π 2 = 1 4π 2 r 0 dq q 2 eiqr e iqr iqr sin qr dq q 1 q 2. Im letzten Schritt haben wir das Standardintegral sin x dx x Das Ergebnis bedeutet, dass = 1 4πr. (1.25) = π verwendet. G(r, r ) = 1 1 4π r r (1.26) die Greensche Funktion des Laplace Operators ist. Gleichung Die Lösung der Poisson Φ(r) = 4πρ(r) (1.27) kann nun für eine beliebige Verteilung ρ(r) über das Faltungsintegral bestimmt werden. Φ(r) = dr ρ(r ) r r. (1.28)

7 1.2 Greensche Funktionen Greensche Funktion des d Alembert Operators Eine genauso wichtige Rolle in zeitabhängigen Problemen der Feldtheorie spielt der d Alembert Operator 1 c 2 2, (1.29) t2 wo c eine Konstante ist (sie hat die Einheiten einer Geschwindigkeit). Wir wollen hier die Greensche Funktion dieses Operators bestimmen, d.h. die Gleichung t,r G(t, r; t, r ) = δ(t t ) δ(r r ) (1.30) lösen, mit der zusätzlichen Bedingung, dass G(t, r; t, r ) im Limes r r verschwindet, und dass G(t, r; t, r ) für t < t verschwindet. Wegen der zeitlichen und räumlichen Translationsinvarianz setzen wir t = 0 und r = 0 und benutzen die gekürzte Notation G(t, r) G(t, r; 0, 0). Wir nehmen die räumliche Fourier Darstellung auf beiden Seiten der Gleichung, womit wir an der Gleichung G(t, r) = dk (2π) 3 G(t, k) e ik r, (1.31) 1 c 2 2 t G(t, k) + k 2 G(t, k) = δ(t) (1.32) gelangen (k k ). Wir kennen von der retardierten Greenschen Funktion des harmonischen Oszillators die Lösung diese Problems (vgl. mit Gl. (1.9) und Gl. (1.11)), G(t, k) = c k θ(t) sin(ckt). (1.33) Es bleibt nun, diese Lösung in den Ortsraum zurückzutransformieren. Die Rech-

8 1.3 Zerlegungssatz für Vektorfelder 8 nung verläuft sehr ähnlich wie im Fall des Laplaceschen Operators, G(t, r) = cθ(t) = cθ(t) 4π 2 = cθ(t) 4πr = cθ(t) 4πr 0 dk (2π) 3 sin(ckt) k e ik r k 2 dk sin(ckt) e ikr e ikr k ikr dk 2π (cos k(ct r) cos k(ct + r)) 1 (δ(ct r) δ(ct + r)) = δ(t r/c). (1.34) 4πr Die Greensche Funktion, nun in vollständiger Notation, ist also und die Lösung der Gleichung G(t, r; t, r ) = δ(t t r r /c) 4π r r, (1.35) Φ(t, r) = 4πρ(t, r) (1.36) ist gegeben durch Φ(t, r) = dr ρ ( t 1 c r r, r ) r r. (1.37) Wir sehen nun die Interpretation der Geschwindigkeit c: die Funktion Φ bei Zeit t und Ortspunkt r wird vom Verhalten von ρ am Ortspunkt r zu einem früheren Zeitpunkt t t beeinflusst, wobei t = 1 c r r die Zeit ist, die ein Signal mit Ausbreitungsgeschwindigkeit c braucht, um von r nach r zu gelangen. 1.3 Zerlegungssatz für Vektorfelder Es geht hier um die Konstruktion eines Vektorfeldes V aus seinen Quellen V und Wirbeln V. Die Lösung dieser mathematischen Aufgabe wird auch Helmholtz scher Hauptsatz der Vektoranalysis genannt. Über ein glattes Vektorfeld V sei bekannt: V = f, V = h, (1.38) mit vorgegebenen Feldern f und h. Dabei seien f und h lokalisiert, d.h. sie fallen

9 1.3 Zerlegungssatz für Vektorfelder 9 für r hinreichend schnell ab. Die offensichtlichen Fragen lauten Kann man aus der Kenntnis von f und h das volle Vektorfeld V konstruieren? Ist die Konstruktion eindeutig? Wir können allgemein V in zwei Teile zerlegen, V = V 1 + V 2, (1.39) mit V 1 = f, V 1 = 0, (1.40) V 2 = 0, V 2 = h. (1.41) Wegen V = 0 ist V ein reines Gradientenfeld, d.h. V 1 = Φ und Φ genügt der Poisson Gleichung Φ = f. (1.42) Da wir die Greensche Funktion des Laplace Operators kennen, erhalten wir die Lösung für Φ über das Faltungsintegral φ(r) = 1 4π Da V 2 = 0, schreiben wir V 2 = v. Nun ist dr f(r ) r r. (1.43) V 2 = ( v ) = ( v ) v = h. (1.44) Die Bedingung V 2 = v bestimmt v nicht eindeutig. Wir können diese Freiheit benutzen, um zu verlangen, dass v = 0 1. Damit wird Gl. (1.44) zu einer Poisson Gleichung, v = h, und man findet wiederum über das Faltungsintegral, v(r) = 1 4π dr v(r ) r r. (1.45) 1 In der Tat können zu v einen Gradienten n hinzufügen, ohne V 2 zu ändern. Dann verlangt man v = v n = 0, so dass dieser Bedingung auf n wiederum über die Lösung der Poisson Gleichung genügt werden kann.

10 1.3 Zerlegungssatz für Vektorfelder 10 Damit erhält man für das Vektorfeld V V = 1 ( ) 4π r f(r ) + 1 ( r r 4π r ) dr h(r ). (1.46) r r Diese Konstruktion ist nicht eindeutig. Man kann zu dem so konstruierten Feld V immer ein Gradientenfeld χ, das die Laplace Gleichung χ = 0 erfüllt, hinzufügen. In anderen Worten haben alle Vektorfelder V + χ mit χ = 0 die selben Quellen und Wirbel.

11 Kapitel 2 Die Maxwell Gleichungen 2.1 Die Lorentz Kraft Ein Teilchen mit Ladung q, das sich mit der Geschwindigkeit v durch äußere Felder E und B bewegt, erfährt die Lorentz Kraft F L = q ( E(t, r) + f F v B(t, r) ) (2.1) Diese Wirkung auf geladene Testteilchen definiert die Felder E und B: E = das elektrische Feld B = die magnetische Induktion Die Konstante f F bestimmt die relativen Einheiten, in denen E und B gemessen werden. Die zwei natürlichen Wahlen sind [f F ] = 1 oder [f F ] = [T ]/[L]. 2.2 Die homogenen Maxwell Gleichungen Die homogenen Maxwell Gleichungen drücken strukturelle Eigenschaften der E und B Felder aus Nicht-Existenz von magnetischen Monopolen Es ist eine empirische Tatsache, dass der magnetische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche verschwindet, dσ B = 0. (2.2) Ω 11

12 2.2 Die homogenen Maxwell Gleichungen 12 Diese Behauptung entspricht der Tatsache, dass magnetische Ladungen (magnetische Monopole) nie gefunden wurden. Durch den Gaußschen Satz ergibt sich 0 = dσ B = dv B, (2.3) Ω Ω und da dies für beliebige Oberflächen Ω gilt, folgt daraus B = 0. (2.4) Faradaysches Induktionsgesetz (1831) Ein eingebrachter Magnet induziert eine Spannung, die proportional zur zeitlichen Änderung dse magnetischen Flusses Φ mag durch die Leiterschleife ist, U ind = f F Φ mag. (2.5) Das Minus Zeichen entspricht der Lenzschen Regel: Wenn ein Strom in der Schleife erzeugt wird, dieser zu einer magnetischen Induktion B führt, die sich der Variation des Flusses entgegensetzt. Wir schreiben zunächst beide Seiten der Gleichung (2.5) explizit aus, Σ dl E = f F dσ B. (2.6) t Σ Für die linke Seite verwenden wir den Stokes sche Integralsatz, Σ dσ ( E ) = f F dσ B. (2.7) t Σ Da die Beziehung für beliebige Leiterschleifen gilt, erhält man die lokale Form E(t, r) + f F B(t, r) t = 0. (2.8) Man kann zeigen, dass die galileische Invarianz der Theorie bei kleinen Geschwindigkeiten die Gleichheit der Konstanten f F und f F impliziert, f F = f F. (2.9) Die experimentelle Tatsache (Faraday, 1831), dass Σ dl E nur vom Fluss dσ B abhängt und nicht von den Geschwindigkeiten von Spulen oder von der Ur-

13 2.3 Die inhomogenen Maxwell Gleichungen 13 sache für die Variation von Σ Konzeptes. dσ B bekräftigt die Notwendigkeit des Feld- 2.3 Die inhomogenen Maxwell Gleichungen Das Gausßsche Gesetz Die zentrale Beobachtung: zwei Ladungen q 1, q 2 aufeinander mit der Kraft im Abstand R = R wirken F C (R) = k C q 1 q 2 R R 3. (2.10) Die Konstante k C hängt vom Medium und von den verwendeten Einheiten ab. Man kann diese Kraft in drei Schritten interpretieren: 1. die Ladung q 1 erzeugt ein Feld D(r) in jedem Raumpunkt; D wird dielektrische Verschiebung genannt. 2. im Medium, in dem sich die Ladung q 2 befindet, gibt es eine Relation zwischen D und dem elektrischen Feld E. Im Vakuum gilt die Relation D(t, r) = ɛ 0 E(t, r) (Vakuum). (2.11) 3. die Ladung q 2 erfährt die Lorentz Kraft F C (r) = q 2 E(r). Ein weitere Schlüsselbeobachtung ist das Superpositionsprinzip: wenn mehrere geladene Teilchen präsent sind, ist die Kraft auf ein Testteilchen die vektorielle Summe der Kräfte der einzelnen Teilchen. Aus diesen zwei Gesetzen (Coulomb Kraft + Superpositionsprinzip) können wir das Gaußsche Gesetz herleiten. Im Vakuum ist die dielektrische Verschiebung einer am Ursprung lokalisierten Punktladung D(R) = ɛ 0 k c q1r R 3. (2.12) Der Fluss des Feldes D durch eine Kugel, die auf dem Ursprung zentriert ist: Ω dσ D(r) = 4πR 2 ɛ 0 k c q 1 R 2 = 4πɛ 0k c q 1, (2.13)

14 2.3 Die inhomogenen Maxwell Gleichungen 14 unabhängig von R. Dagegen überzeugt man sich leicht, dass für eine geschlossene Oberfläche, die keine Ladungen enthält, der Fluss null ist. Daraus folgt, dass der Fluss durch eine Oberfläche, die eine Ladung enthält, nicht von der Position dieser Ladung abhängt. Aus diesen Argumenten folgt, dass der Fluss durch Gl. (2.13) gegeben ist, unabhängig von der Wahl der Oberfläche, solange sie die Ladung enthält. Schließlich wenden wir das Superpositionsprinzip an. Aus diesem folgt nun, dass eine Ladung am Punkt P a genau dann zum Fluss durch eine Oberfläche Ω beiträgt, wenn P a Ω, dσ D = 4πɛ 0 k c q a = 4πɛ 0 k c dv ρ. (2.14) Ω P Ω a Ω Da man die linke Seite über den Gaußschen Satz in dv D umschreiben kann, Ω und die Gleichung (2.14) für beliebige Volumina Ω gilt, erhalten wir das Ergebnis D = ρ, (2.15) mit der Relation = 4πɛ 0 k c. (2.16) Die Gleichung (2.15) ist das Gaußsche Gesetz. Es gilt auch in einem polarisierbaren Medium; was sich in einem Medium ändert ist die Beziehung zwischen den Feldern D und E, und dadurch auch die Beziehung (2.16) zwischen dem Koeffizienten der Coulomb Kraft k c und dem Koeffizienten des Gaußschen Gesetzes Das Biot-Savartsche Gesetz (1822) Zwei parallele, stromdurchflossene Leiter im Abstand R (mit Stromstärken I 1 und I 2 ) üben eine Kraft 1/R aufeinander. Die Kraft ist anziehend, wenn die Ströme in die selbe Richtung fließen, und abstoßend, wenn die Ströme in entgegengesetzten Richtungen fließen. Das Ampèresche Gesetz lautet, df A = 2k A I 1 I 2 R Zwei senkrechte Drähte dagegen üben keine Kraft aufeinander. dl. (2.17) Diese Kraft kann man herleiten, indem man postuliert, dass eine Stromdichte

15 2.3 Die inhomogenen Maxwell Gleichungen 15 j ein magnetisches Feld erzeugt, in der Form H = f BS j (Biot-Savartsche Gesetz). (2.18) Zweitens ist im Vakuum die magnetische Induktion B proportional zum magnetischen Feld H, B = µ 0 H. (2.19) Und drittens ist die Wirkung der magnetischen Induktion auf einen stromdurchflossenen Leiter nicht anderes als die Lorentz Kraft, die das Feld auf Ladungen in Bewegung ausübt 1. Wir bereiten nun die Herleitung des Ampèreschen Kraft vor. Den Strom, der durch einen Leiter fließt, erhält man, indem man die Stromdichte j über einen Leiterquerschnitt integriert: I = Σ dσ j. (2.20) Wenn wir beide Seiten der Gleichung (2.18) über eine Oberfläche S integrieren, bekommen wir mittels des Stokes schen Satzes l H = f BS I in. (2.21) S Das Linienintegral des magnetischen Feldes entlang einer Schleife ist also proportional zur Intensität des Stroms, der durch diese Schleife fließt. Für einen langen geraden Leiter (durchflossen von Strom I 1 ) betrachten wir einen senkrechten Kreis, der auf dem Leiter zentriert ist. Aus Symmetriegründen muss das magnetische Feld senkrecht zum Leiter sein. Und da der Fluss von B durch einen koaxialen Zylinder verschwindent muss ( B = 0), kann das magnetische Feld keine radiale Komponente haben, und ist deshalb tangent zum o.g. Kreis. Das Linienintegral ist also einfach 2πR H, und man findet also B = µ 0 H = f BS µ 0 I 1 2πR. (2.22) Wir müssen nun die Lorentz-Kraft auf die Träger des Stroms I 2 ausrechnen. Für 1 Ampère war der erste, dies zu vermuten.

16 2.3 Die inhomogenen Maxwell Gleichungen 16 einen dünnen Stromelement von Querschnitt A ist der Strom gegeben durch I = A j = A ρ v = A de A dl v = de dl v. Das heißt, die Lorentz Kraft, die B auf ein Stromelement von Länge dl ausübt, ist df = f F de v B = f F I dl B, (2.23) wo wir den Vektor dl entlang des Stromelements eingeführt haben. Indem wir Gl. (2.22) und (2.23) kombinieren, erreichen wir den Ausdruck der Ampèreschen Kraft (2.17) für zwei parallele Stromleiter, mit der Konstante k A gegeben durch k A = f BSf F µ 0 4π. (2.24) Es sei bemerkt, dass das Biot-Savartsche Gesetz (2.18) für zeitunabhängige (stationäre) Ströme gilt. Im nächsten Abschnitt werden wir sehen, wie es sich für dynamische Situationen verallgemeinern lässt Maxwell s Verschiebungsstromdichte Das Grundgesetz der Magnetostatik lautet (Gl. 2.18) H = f BS j. Diese Gleichung impliziert automatisch, dass j = 0. Über die Kontinuitätsgleichung (1.5), bedeutet dies, dass t ρ verschwindet. So wie es steht, kann das Biot- Savartsche Gesetz (2.18) keine Situation beschreiben, in der sich die in einem beliebigen Volumen enthaltene Ladung ändert. Maxwell fragte sich um 1860, wie diese Gleichung für den dynamischen Fall verallgemeinert werden könnte, und postulierte einen zusätzlichen Term, H + V = f BS j. Zusammen mit dem Gaußschen Gesetz D = ρ,

17 2.3 Die inhomogenen Maxwell Gleichungen 17 findet man durch lineare Kombination dieser beiden Gleichungen t ρ + j = 1 t D + 1 f BS V. Damit die Erhaltungsgleichung erfüllt ist, verlangen wir von V, Die einfachste Lösung ist, wenn V = f BS t D. V = f BS t D. Es sei bemerkt, dass man zu V den Wirbel eines beliebigen Vektorfeldes hätte hinzufügen können (da er zu V nicht beiträgen würde), dieses Vektorfeld müsste aber ein axiales Vektorfeld sein, um konsistent mit der Parität der anderen Terme in der Biot-Savartschen Gleichung zu sein. Der einzige vorhandene Axialvektor ist aber H, dessen Wirbel in der B-S Gleichung bereits vorhanden ist. Ein solcher Term würde also lediglich den Koeffizienten von H verändern. Weiterhin könnte man V den Gradienten eines Skalarfeldes χ hinzufügen, das die Laplace Gleichung χ = 0 erfüllt. Ein solches Skalarfeld ist in den anderen fundamentalen Gleichungen der Theorie nicht vorhanden, und würde deshalb einen zusätzlichen Freiheitsgrad darstellen, für den es jedoch keinerlei experimentellen Hinweise gibt. Wir kommen also zum Schluss, dass die Biot-Savartsche Gleichung wie folgt verallgemeinert werden muss, ( H = f BS j + 1 ) t D. (2.25) Der zweite Term in der Klammer spielt die Rolle einer zusätzlichen Stromdichte. Maxwell nannte ihn die Verschiebungsstromdichte (Englisch: displacement current). Selbstverständlich kann die Veränderung des Biot-Savartschen Gesetz letzten Endes nur durch die experimentelle Bestätigung ihrer physikalischen Konsequenzen bestätigt werden.

18 2.4 Zusammenfassung Zusammenfassung Die homogenen Maxwell Gleichungen: B = 0, E + t B = 0. (2.26) Die inhomogenen Maxwell Gleichungen: D = f g ρ, H f BS t D = f BS j. (2.27) Elektrisches Feld E(t, r) Magnetische Induktion B(t, r) Felder, die durch die Lorentz Kraft definiert sind: F L = q(e + f F v B) Phänomenologische Gesetze: e.m. Eigenschaften des Mediums Dielektrische Verschiebung D(t, r) Magnetisches Feld H(t, r) Felder, die durch Ladungen und Ströme erzeugt werden Die Theorie benötigt eine phänomenologische Beziehung zwischen den induzierten Feldern D und H und den mit den Kräften verbundenen Feldern E und B. Diese Beziehung hängt vom Medium ab. Im Vakuum, das als homogenes und isotropisches Medium betrachtet werden kann, gelten die linearen Beziehungen D = ɛ 0 E, B = µ 0 H. (2.28) Schließlich folgt die Kontinuitätsgleichung t ρ + j = 0 (2.29) automatisch aus den Maxwell Gleichungen.

19 2.4 Zusammenfassung 19 Vorteile der lokalen Formulierung: Maxwell Gleichungen und ihr physikalischer Inhalt sind unabhängig von Versuchsanordnungen (Leiterschleifen, Spulen, Drähte) Einfache Herleitung weiterer physikalischer Konsequenzen (Wellengleichung) Maßsysteme, Teil 1 Wir nehmen an, dass das Einheitssystem für mechanische Größen bereits gewählt ist, z.b. das MKS System (kg,m,s) oder das cgs System (g,cm,s). Wir haben vier e.m. Felder (E, B, D, H) eingeführt, ausserdem ist die elektrische Ladung eine neue Größe. Desweiteren haben wir fünf unabhängige Konstanten eingeführt: f F,, f BS ; ɛ 0, µ 0. (2.30) Wir müssen also die Einheiten von = 10 Größen festlegen. Aus den Maxwell Gleichungen und dem Ausdruck der Lorentz Kraft folgen aber Beziehungen zwischen diesen Größen und deren Einheiten, z.b. [F ] = [q] [E]. Man findet 6 solche Beziehungen zwischen den Einheiten der zehn eingeführten Größen. Es bleiben also 10 6 = 4 Größen, wovon wir die Einheiten frei wählen dürfen. Nun will man diese freie Wahl der Einheiten ausnutzen, um vier der Konstanten (2.30) dimensionslos zu machen. Es stellt sich heraus, dass die Einheit der einzigen übrig bleibenden Konstante dann auch festgelegt ist, weil es eine Kombination der Konstanten (2.30) gibt, die eine rein mechanische Kombination darstellt, [ ] fbs f F [µ 0 ɛ 0 ] = [v] 2, (2.31) also eine inverse Geschwindigkeit zum Quadrat. Somit können die Einheiten aller Felder und Konstanten auf mechanische Einheiten zurückgeführt werden. Um die Gleichung (2.31) zu interpretieren, untersuchen wir als Nächstes die Maxwell Gleichungen ohne äußere Quellen.

20 2.4 Zusammenfassung Maxwell Gleichungen ohne äußere Quellen B = 0, E + t B = 0, (2.32) D = 0, H f BS t D = 0. (2.33) Nehme den Wirkel des Faradayschen Gesetzes: ( E) + f F t ( B) = 0, (2.34) benutze die Identität ( E) = ( E) E und setze ein. Dann bekommt man B = µ 0 H = µ 0 f BS t D = ɛ 0 µ 0 f BS t E E + 1 c t E = 0, (2.35) 1 c 2 0 = ɛ 0 µ 0 ff f BS. (2.36) In Gl. (2.35) erkennt man die Wellengleichung, wobei c 0 als Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle zu interpretieren ist. Da c 0 eine messbare mechanische Größe ist, drückt man eine der Konstanten auf der rechten Seite von Gl. (2.36) als Funktion der vier anderen und von c 0 aus. Indem man den Wirbel des Biot-Savartschen Gesetzes nimmt, bekommt man die selbe Wellengleichung für H, H + 1 c t H = 0. (2.37) Als wichtiges Beispiel betrachten wir eine ebene Welle. Die allgemeine Lösung lässt sich in Fourier Komponenten analysieren, ( ) ( E(t, r) = B(t, r) E 0 B 0 ) e ik r ωt, ω = c 0 k.

21 2.4 Zusammenfassung 21 Wie man leicht zeigt, müssen dann folgende Bedingungen erfüllt sein, k E 0 = 0, k E 0 = f F ωb 0, (2.38) woraus man insbesondere die k-unabhängige Beziehung E 0 = f f c 0 B 0 erfährt. Man sieht also, dass E und B genau dann die selbe Einheit und den selben Betrag in einer beliebigen ebenen Welle haben, wenn man f F = 1 c 0 (2.39) wählt Relative Stärke der Coulomb und Ampèrescher Kraft Wir haben bereits gesehen, dass für die Koeffizienten der Coulomb und der Ampèrescher Kraft, die Beziehungen F C = k c q 1 q 2 r 2, k c = Das Verhältnis dieser Koeffiziente ergibt, d F A dl = 2k A I 1 I 2 r, (2.40), k A = f F f BS µ. (2.41) 4πɛ 0 4π k c k A = f F f BS ɛ 0 µ 0 = c 2 0, (2.42) wo man wiederum die Ausbreitungsgeschwindigkeit c 0 der e.m. Wellen erkennt. Weber und Kohlrausch erkannten empirisch in 1856, dass der gemessene Wert von k c /k A numerisch dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit entspricht. Sie führten für die letztere Größe die Notation c ein. Ab hier werden wir deshalb diese Standardnotation verwenden, c 0 c. (2.43) Maxwell erkannte die Wichtigkeit dieser Beobachtung und schrieb 1862: We can scarcely avoid the conclusion that light consists in the transverse undulations of the same medium which is the cause of electric and magnetic phenomena.

22 2.4 Zusammenfassung Gaußsche Einheiten Dieses Einheitssystem folgt konsequente der Logik, die wir in Abschnitt () vorgestellt haben. Die Wahl der mechanischen Einheiten ist das cgs System, und es werden darüber hinaus keine neuen Einheiten eingeführt. Man benutzt die vier Freiheitsgrade, um = 4π, f F = 1 c (2.44) ɛ 0 = 1, µ 0 = 1 (2.45) zu wählen. Die fünfte Konstante drückt man über die Lichtgeschwindigkeit aus (siehe (2.36), f BS = 4π c. (2.46) In Gaußschen Einheiten gilt also, im Vakuum E = D, B = H. (2.47) Die Koeffiziente der Coulomb und Ampèrescher Kraft haben nun den Wert k c = Die Lorentz Kraft schreibt sich 4πɛ 0 = 1, k A = 1 c 2. (2.48) F L = q (E + 1c v B ), (2.49) und die Maxwell Gleichungen E + 1 c tb = 0 B = 0 (2.50) D = 4πρ H 1 c td = 4π c j. (2.51) Die Einheiten der Felder sind alle gleich, [E] = [D] = [B] = [H] = [M]1/2, (2.52) [T ][L] 1/2

23 2.4 Zusammenfassung 23 und die Ladung hat die Einheit [q] = [M]1/2 [L] 3/2. (2.53) [T ] MKSA Einheiten Dieses Einheitssystem folgt zum Teil der Logik, die wir in Abschnitt () vorgestellt haben. Die Wahl der mechanischen Einheiten ist das MKS System, und es wird darüber hinaus eine neue Einheit für den Strom eingeführt. Die Definition des Ampère s (Symbol A)ist folgende. Betrachte zwei Stromdurchflossene Leiter im Abstand von 1 Meter. Die Stromstärke beträgt 1 A, wenn die Kraft pro Meter N beträgt. Die Einheit der Ladung ist 1C 1A s (1 Coulomb ). Man benutzt die drei übrigbleibenden Freiheitsgrade, um = f F = f BS = 1 (2.54) zu wählen. Nun sind alle Einheiten festgelegt. Mit dieser Wahl gilt ɛ 0 µ 0 = 1 c. (2.55) 2 Gemäß Konvention definiert man µ 0 = 4π 10 7 NA 2 (2.56) und drückt ɛ 0 über µ 0 und c 2 aus. Die Koeffiziente der Coulomb und Ampèrescher Kraft haben nun den Wert Die Lorentz Kraft schreibt sich k c = 1 4πɛ 0, k A = µ 0 4π. (2.57) F L = q (E + v B), (2.58)

24 2.5 Potentiale 24 und die Maxwell Gleichungen E + t B = 0 B = 0 (2.59) D = ρ H t D = j. (2.60) Im Vakuum gilt D = 1 µ 0 c 2 E, B = µ 0H. (2.61) 2.5 Potentiale Ab diesem Abschnitt verwenden wir die Gaußschen Einheiten. Aus den homogenen Maxwell Gleichungen folgt, dass die Felder E und B in der Form B = B, E = 1 c ta Φ (2.62) ausgedr ckt werden können. Das Feld Φ wird Skalarpotential genannt, das Feld A das Vektorpotential. Für vorgegebene E, B Felder sind Φ und A nicht eindeutig bestimmt, da die Potentiale A = A + Ψ, (2.63) Φ = Φ 1 c tψ (2.64) die selben E, B Felder beschreiben (Ψ ist ein beliebiges, differenzierbares Feld Ψ(t, r)). Die Unabhängigkeit der E, B Felder von Ψ nennt man Eichinvarianz und ist von fundamentaler Bedeutung. Um die Potentiale eindeutig festzulegen, fordert man zusätzliche Bedingungen an Φ und A, die man Eichbedingungen nennt. Durch die Ausdrücke (2.62) für E und B sind die homogenen Maxwell Gleichungen automatisch erfüllt. Man setzt dann die e.m. Felder in der Form (2.62) in die inhomogenen Maxwell Gleichungen und bekommt Φ + 1 c t( A ) = 4πρ, (2.65) A + ( A + 1 c tφ ) = 4π j, (2.66) c

25 2.5 Potentiale 25 wobei wir den d Alembertschen Operator 1 c 2 2 t. (2.67) eingeführt haben. Da in den Maxwell Gleichungen ausschließlich die eichinvarianten Felder E, B vorkommen, ist ihre Form automatisch eichinvariant (man sagt auch, dass die Maxwell Gleichungen kovariant sind). Die Lorenz Eichung vereinfacht, Man verfügt nun über Ψ derart, dass Gl. (2.66) sich A + 1 c tφ = 0, (2.68) was erreicht werden kann, indem man die Gleichung Ψ = A + 1 c tφ (2.69) löst. Wir werden später sehen, wie man eine solche Wellengleichung mit Quelle lösen kann. Wir nehmen also zunächst an, dass ein Feld Ψ existiert, das zu Gl. (2.68) führt. Diese Wahl des Feldes Ψ nennt man Lorenz Eichung. Es sei bemerkt, dass die Lorenz Bedingung (2.68) legt die Potentiale nur bis auf weitere Eichtransformationen mit Eichfunktion χ fest, die die Gleichung χ = 0 erfüllen. Nehmen wir an, dass die Potentiale die Lorenz Bedingung (2.68) erfüllen, so vereinfachen sich Gl. (2.65) und (2.66) zu Φ = 4π ρ, (2.70) A = 4π c j (Lorenz Eichung). (2.71)