1.3 Transformation der Geschwindigkeit

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1 [Griffiths 1.1.3, 1..1] 1.3 Transformation der Geschwindigkeit Seien S und S Inertialsysteme. S bewege sich gegenüber S mit der Geschwindigkeit V = V e 1. Es sei wieder β = V/c, γ = 1/ 1 β. Für ein Ereignis lautet der Zusammenhang zwischen den Koordinaten ct x 1 x x 3 = γ(ct + βx 1 ) γ(x 1 + βct ) x x 3 Betrachte ein Punktteilchen mit Bahnkurve x(t). Gesucht ist der Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten v und v eines Teilchens bzgl. S und S. Betrachte dazu die beiden infinitesimal benachbarten Ereignisse a und b: ( ) Es gilt dx i = v i dt und entsprechend für die gestrichenen Koordinaten. Mit ( ) erhält man cdt = γ(c + βv 1 )dt dx 1 = γ(v 1 + βc)dt dx i = dx i (i =, 3) Daraus ergibt sich das Transformationsgesetzt für die Geschwindigkeiten v 1 = v i = v 1 + V 1 + V v 1 /c v i 1 V (i =, 3) 1 + V v 1 /c c 1

2 Dies ist offensichtlich kein sehr schönes Transformationsverhalten. Spezialfälle 1. Nichtrelativistischer Grenzfall Für den Fall dass sowohl v als auch V sehr viel kleiner als c erhhält man v = v + V ( v, V c) d.h. die Geschwindigkeiten werden einfach addiert.. v = v e 1. Dann ist v = v + V 1 + V v /c Wenn sich das Teilchen mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, v = c wird daraus wie es sein muss. v = c + V 1 + V/c = c 1.4 Vierer-Skalare, Vierer-Vektoren Größen, die invariant unter Lorentz-Transformationen sind, bezeichnet man als Vierer- Skalare (4-Skalare). Ein wichtiges Beispiel hatten wir schon gesehen: das Abstandsquadrat s ab zweier Ereignisse. Ein wichter Spezialfall dieses Beispiels ist die Eigenzeit eines Teilchens mit Bahnkurve x(t). Zu einem gegebenen Zeitpunkt t gibt es ein Inertialsystem, in dem das Teilchen zu diesem Zeitpunkt ruht. Die Eigenzeit dτ ist defniert als das Zeitintervall zwischen den Ereignissen a und b bzgl. dieses Systems.

3 Für Das Abstandsquadrat gilt ds = (cdτ) ds ist Lorentz-invariant dτ = 1 c (c dt d x ) = ( ) dt d.h. dτ = c dt Interpretation der Eigenzeit: dτ ist das Zeitintervall zwischen den Ereignissen a und b, das das Teilchen auf seiner Armbanduhr abliest (von einem Teilchen sollte man hier vielleicht besser von einem Beobachter sprechen, der in hinreichend guter Näherung als punktförmig angenommen werden kann ;-). Liegt eine endliche (nicht infinitesimale) Zeit zwischen a und b, zeigt die Uhr das Zeitinvervall an. τ ab = t b t a c dt Allgemein kann man den Begriff des 4-Skalars als Verallgemeinerung des 3-Skalars auffassen, also einer Größe, die sich bei Drehungen nicht ändert. Entsprechend kann man auch den Begriff des 3-Vektors, der durch sein Transformation unter Drehungen definiert ist auf Lorentz-Transformationen verallgemeinern. Für ein Ereignis zum Zeitpunkt t definiere x 0 := ct Dann lassen sich die Raum-Zeit-Koordinaten schreiben als x 0 x := x 1 x x 3 Die Komponenten dieses Objekts schreibt man auch mit griechischem Index, x µ wobei µ {0, 1,, 3} (lateinische Indizes laufen weiterhin von 1 bis 3). Eine Lorentz-Transformation kann man jetzt schreiben als x = Λx bzw. in Komponenten x µ = Λ µ νx ν Dabei sind Λ µ ν die Elemente der Matrix Λ, und es gilt die Einsteinsche Summenkonvention, d.h. über doppelt auftretende Indizes wird summiert. 3 c

4 Vierkomponentige Größen A := A 0 A 1 A A 3 die sich bei einer Lorentz-Transformation verhalten wie x, d.h. A µ = Λ µ νa ν bezeichnet man als Vierervektor (4-Vektor). Man schreibt A auch in der Form ( ) A 0 A := A Unter räumlichen Drehungen ist A 0 invariant, und A transformiert wie ein 3-Vektor. Bsp: 4-Geschwindigkeit u µ := dxµ dτ eines Teilchens mit Bahnkurve x(t). dx µ ist ein 4-Vektor, und die Eigenzeit dτ ist ein Skalar. Also ist u ein 4-Vektor. Es gilt u 0 = c /c u = v /c Das Transformationsverhalten ist sehr viel schöner als das von v: Das Quadrat eines 4-Vektors ist ein 4-Skalar. u µ = Λ µ νu ν A := (A 0 ) A Bsp: Für das Quadrat der 4-Geschwindigkeit gilt u = c. Um so ein Quadrat schöner schreiben zu können, definiert man Objekte mit unteren Indizes als A 0 := A 0, A m := A m (m = 1,, 3) Damit ist nämlich A = A µ A µ 4

5 Eine Verallgemeinerung ist das Skalarprodukt zweier 4-Vektoren A und B, A B := A µ B µ = A µ B µ Bsp: Der 4-Impuls p eines Teilchens mit Masse m wird definiert als p := mu Es ist dann p = m c ( ) Für kleine Geschwindigkeiten v c ist /c 1. Die räumlichen Komponenten sind dann p m v ( v c) also gleich dem nichtrelativistischen Impuls. Für die 0-Komponente entwickeln wir die Wurzel bis zur Ordnung v /c, Damit ist 1 /c v ( v c) c cp 0 mc + m v ( v c) Der zweite Term ist die nichtrelativistische kinetische Energie. Der erste Term verschwindet nicht für v 0 und ist die berühmte Ruheenergie mc. Wir können also cp 0 mit der Energie E des Teilchens identifizieren. Der 4-Impuls ist lässt sich dann auch schreiben als p = ( E/c p Mittels ( ) kann man auch die Energie durch p ausdrücken, ) E = m c 4 + p c 11. April 014 5