Lorentz-Transformationen und Invarianz

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1 Lorentz-Transformationen und Invarianz Wolfgang Lange. April 0 Einleitung Bei der Suche nach einer allgemeinverständlichen Erläuterung von Transformationen und Tensoren fand ich die besten Erklärungen bei Schmutzer in [], obwohl der Einstieg wegen extremer Abstraktheit ohne Beispiele immer noch schwierig ist. Transformationen im Sinne der speziellen Relativitätstheorie sind lineare Umrechnungen physikalischer Erscheinungen zwischen zwei Koordinatensystemen. In der vierdimensionalen Raum-Zeit gibt es den dreidimensionalen vektoriellen Euklidischen Raum und die skalare Zeit als gemeinsames Kontinuum, das man als Hamiltonsches Quadrion in der Form {t, ix, jy, kz} schreiben lässt. Üblich ist im Zusammenhang mit Lichterscheinungen, seit Minkowski das Produkt ct zu verwenden. Die Reihenfolge kann natürlich vertauscht werden zu {ix, jy, kz, ct}. Die vier Komponenten eines vierdimensionalen Raum-Zeit-Vektors bilden ein orthogonales Vierbein mit den Einheitsvektoren i, j, k, 3 Entsprechend ist in einem zweiten Koordinatensystem i, j, k, 4 als Erweiterung des räumlichen Dreibeins. Die Einheitsvektoren heißen orthogonal, weil das Produkt von jeweils zweien Null ergibt, d.h. diese Einheitsvektoren sind linear unabhängig. Etwas komplizierter ist die Einordnung von und, weil dieser Vektor eigentlich ein Skalar ist, denn vt ist eine gerichtete Größe im Gegensatz zu ct. Dennoch wird die Zeit einmal so und ein anderes Mal so behandelt. Minkowski zog sich aus der Klemme, indem er der Zeit die imaginäre Einheit i = zuordnete. Das mag ja elegant erscheinen, aber Zeit ist physikalisch real und nicht imaginär. Vielfach werden auch nur die skalaren Beträge der Koordinaten verwendet. In der allgemeinen Theorie geht man von krummlinigen Koordinaten in zwei Systemen x α α =,,.., n x α α =,,.., n aus. In der speziellen Relativitätstheorie ist α = α = 4. x α = x x x 3 x 4 x α = x x x 3 x 4 6 Das mathematische Konstrukt in der Klammer ist ein Tensor der Stufe. Tensoren sind allgemein Datensammlungen. Als Symbole werden oft lateinische oder griechische Großbuchstaben verwendet. Dabei werden untere kovariante und obere kontravariante Indizes unterschieden. 5

2 W.Lange - Lorentz-Transformationen und Invarianz April, 0 Ein Tensor der Stufe 0 erhält keinen Index. Er verkörpert eine Konstante. Ein Tensor der Stufe hat wie in dem Beispiel nur einen Index, und wird oft auch als Vektor bezeichnet. Ein Tensor der Stufe hat zwei Indizes. Prinzipiell ist er mit Matrizen vergleichbar, weshalb man diese Tensoren auch oft mit einem unteren kovarianten und einem oberen kontravarianten Index, z.b. Tn m kennzeichnet. Betrachten wir zuerst die Koordinaten-Transformation, dann ist in differenziell kleinen Abständen bei krummlinigen Koordinaten dx = A dx dx = A dx. 7 A = dx dx A = dx 8 dx Bei geradlinigen Koordinaten können die Differenziale durch die Parameter selbst ersetzt werden. Die Koeffizienten-Matrizen sind A = A A A 3 A 4 A A A 3 A 4 A 3 A 3 A 3 3 A 4 3 A 4 A 4 A 3 4 A 4 4 A = A A A 3 A 4 A A A 3 A 4 A 3 A 3 A 3 A 4 3 A 4 A 4 A 3 4 A Auf die Koordinaten-Vektoren und diese Matrizen treffen die obigen Definitionen für Tensoren. und. Stufe zu. Somit sind die Koordinaten-Transformationen sowohl Matrix-Gleichungen als auch Tensor- Gleichungen. Ein Tensor der Stufe besteht je nach den Indexwerten und aus kovarianten Basis-Vektoren e und kontravarianten Basis-Vektoren e. In der Physik treten fast ausschließlich quadraische Matrizen und Tensoren der Stufe auf. In der Spezialliteratur findet man sich eigentlich schlecht zurecht, weil ansonsten sehr gute Fachbücher wie [] und [] den Einstieg schwierig machen. Das geht schon mit dem Satz los: Der Tensor. Stufe... transformiert sich also in der Form T = A T bzw. T = A T. 0 Ich denke, der Tensor. Stufe T wird mit Hilfe des Tensor. Stufe A in den Tensor.Stufe T transformiert, und das entspricht genau einer Matrix-Multiplikation. Warum nur so kompliziert, und warum und wie transformiert er sich selbst? Danach ist eine kovariante Transformation T T = A T T = T A A A A A A A A A bzw. als Summenformel oder Einsteinsche Summenkonvention T m = A n m T n = A n m T n. n= Entsprechend ist eine kontravariante Transformation T = A T T T T = A A A A A A A A A T T T T T T 3

3 W.Lange - Lorentz-Transformationen und Invarianz April, 0 bzw. als Summenformel oder Einsteinsche Summenkonvention T m = n= A m n T n = A m n T n. 4 Es werden also immer kontravariante Zeilen mit kovarianten Spalten multipliziert. Danach gehören immer ein unterer und ein oberer Index zusammen. Lorentz-Transformationen Lorentz-Transformationen sind Multiplikationen einer 4 4-Transformations-Matrix eines Transformations- Tensors. Stufe L, = = 4 mit einem Spalten-Vektor Tensor. Stufe T, = 4 oder mit einer 4 n-matrix Tensor. Stufe T ν, = 4, ν >. Die Tensoren der Lorentz-Transformation werden gewöhnlich mit dem Buchstaben L bezeichnet. Ihre Matrix lautet allgemein L = L L L 3 L 4 L L L 3 L 4 L 3 L 3 L 3 L 4 3 L 4 L 4 L 3 4 L 4 4 = = 4 5 Sie sind also allgemein Koordinaten-Transformationen. Die beiden zusammengehörenden Spalten- Vektoren sind Tensoren der Stufe x x x = x x 3 x = x x 3 6 x 4 x 4 Die kovarianten Basis-Vektoren des Transormations-Tensors L e = L L L 3 L 4 sind die Zeilen der Matrix bis e 4 = L 4 L 4 L 3 4 L 4 4 Die kontravarianten Basis-Vektoren sind die Spalten der Matrix e = L L L 3 L 4 bis e 4 = L 4 L 4 L 4 3 L Selbst sind diese zweimal vier Basis-Vektoren zwei Tensoren. Stufe e α und e β mit dem Produkt g αβ = g βα = e α e β. 9 Dieser Tensor. Stufe heißt metrischer Tensor oder Metrik. Sieht man diesem Ausdruck hinter die Karten, dann ist aber das Ergebnis der 6 Multiplikationen gerade wie bei der Matrizen-Multiplikation vier Zeilen der ersten Matrix multipliziert mit vier Spalten der zweiten Matrix. Wenn ich mich nicht irre, ist g αβ = g βα = L α γ Lγ β = Lα β. 0 Und warum schreibt das Schmutzer nicht? Vielmehr steht an anderer Stellle, die Multiplikation zweier Lorentz-Transformationen liefert wieder eine Lorentz-Transformation. Ist doch klar, denn für zwei Matrizen ist M m,p M p,n = M m,n, und auch für m = n = p. 3

4 W.Lange - Lorentz-Transformationen und Invarianz April, 0 Beispiel Mich überrascht Schmutzer in [], wo er verschiedene Metriken mit ausschließlich belegter Hauptdiagonale angibt, aber die Metrik der eigentlichen Lorentz-Transformation Lorentz-Einstein-Transformation fehlt. Die Matrix lautet L = Die Metrik M ist β 0 0 βv βv 0 0 β β 0 0 βv βv 0 0 β mit v = v V = v c, β = v β 0 0 βv βv 0 0 β Mit dem Algorithmus Zeile m mal Spalte n Element m, n. β + β v 0 0 β v β v + v v β v β v = β + β v v v 0 0 Welchen Grund gibt es, diese Metrik nicht anzugeben. Fehlt dazu die Erklärung? 3 v v + v v 4 Beispiel Als zweites Beispiel nehmen wir die von mir entwickelte neue Transformation 0 0 v x 0 0 v x 0 0 v y 0 0 v y 0 0 v z 0 0 v z 5 v x v y v z + v v x v y v z + v + v x v x v y v x v z v x v x + v v x v y + v y v y v z v y v y + v v x v z v y v z + v z v z v z + v v x v x + v v y v y + v v z v z + v v x v y v z + + v + v x v x v y v x v z v x v x v y + v y v y v z v y v x v z v y v z + v z v z v x v y v z Nehmen wir hingegen die vektorielle Form, folgt: L v = v + v + v v v + v v v + v v + v Beide Ergenbisse sind optisch nicht befriedigend. = + v v v + v 4 + v v v [ v + v ]

5 W.Lange - Lorentz-Transformationen und Invarianz April, 0 Beispiel 3 Das dritte Beispiel verwendet die aus der neuen Transformation entwickelte Fünfer-Transformation. 0 0 v x v y v z v x v y v z v 0 0 v x v y v z v x v y v z v 0 0 v x v x v y v y v z v z v x v x v y v y v z v z v x + v y + v z + v + v 0 0 v x v y v z v x v y v z v L v L v = L v Die Fünfer-Matrix ist offensichtlich die einzige Matrix, deren Metrik dieselbe Form wie die Transformations- Matrix hat. Darüber hinaus erfüllt die Matrix-Multiplikation dieser Transformationen mit zwei Geschwindigkeiten v und w eine echte zweifache Transformation: V W = 0 0 v x v y v z v x v y v z v 0 0 w x w y w z w x w y w z w 0 0 w x v x w y v y w z v z w x v x w y v y w z v z v x w x + v y w y + v z w z + v + w 0 0 v x + w x v y + w y v z + w z v x + w x v y + w y v z + w z v + w Die Fünfer-Matrix kann in Vektor-Form zusammengepasst geschrieben werden. Dann ist das soeben berechnete Produkt v 0 w 0 V W = 0 0 v 0 0 v w 37 w

6 W.Lange - Lorentz-Transformationen und Invarianz April, 0 V W w v 0 = 0 0 v w vw + v + w = v + w v + w v + w In der Mathematik gibt es sehr viele Beispiele für Schönheit spricht für Richtigkeit. Dabei denke ich an den Satz des Pythagoras, den Kreis des Apollonius, das Pascalsche Dreieck, Schnittlinien im euklidischen Dreieck u.v.a. Das ist ganz anders als bei vielen Individuen der Klasse Mensch. 3 Das Invarianz-Prinzip Das Invarianz-Prinzip x + y + z V t = x + y + z V t wurde aus der falschen mathematischen Ableitung der Lorentz-Einstein-Transformation aufgestellt, und gilt seit Minkowski als der Schlüssel für die Richtigkeit der Einsteinschen speziellen Relativitätstheorie. Nicht umsonst sprach Minkowski von einem Geschenk von oben. Dieses Invarianz-Prinzip ist schon allein wegen x = x + vt nicht aufrecht zu erhalten. Es muss definiert werden als x x 0 + y y 0 + z z 0 = V t = x x 0 + y y 0 + z z 0 = V t. 40 Die Mittelpunktskoordinaten dieser Lichtkugeln sind Fixpunkte im absolut ruhenden Raum und können als Bezugspunkte für Koordinatensysteme verwendet werden. Diese Orte hängen nur von dem Zeitpunkt und der Lage der bewegten Emissionsquelle in einem Inertialsystem ab. Wie soll dann das Zentrum aller Lichtkugeln ruhen? Einen solchen großen Zauberstab gibt es nicht, der das verursachen kann. In der Literatur heißt es, die spezielle Lorentz-Einstein-Transformation sei formeninvariant. Schmutzer schreibt in [] S. 9: Die Grundgesetze der Physik sind gegenüber kontinuierlich auseinander hervorgehenden Lorentz-Transformationen formeninvariant kovariant. Das mag ja so sein, aber die Transformationen selbst sind es nicht, denn bei Einstein folgt aus einer transformierten Kugel bis auf die Lichtkugel ein Rotationsellipsoid; aus einem Kreis wird eine Ellipse. Soll nun ein Massekörper sich mit konstanter Geschwindigkeit auf dem Kreis bewegen, so muss er sich im transformierten System auf einer Ellipse bewegen und darf nicht aus der Bahn geworfen werden. Das kann vielleicht durch Transformation der Kepplerschen Gleichungen verhindert werden, aber Formeninvarianz muss auch aus einer Kugel eine Kugel lassen. Die kinetische Energie eines im absolut ruhenden Raum ruhenden Massepunktes ist Null. Dieser ruhende Raum hat dann eine zum absoluten Temperatur-Nullpunkt analoge Funktion. Drei Punkte im Raum bilden ein ebenes Dreieck. Wenn sich diese Punkte relativ zueinander bewegen, ist die Lorentz-Einstein-Transformation wegen des komplizierten Additionstheorems für Geschwindigkeiten bereits für die relative gleichförmige lineare Bewegung auf einer Geraden unbrauchbar siehe im vorigen Abschnitt die nacheinander ausgeführten Transformationen mit gleicher Geschwindigkeit. Die Einsteinsche spezielle Relativitätstheorie kann nur falsch sein. Mein momentan letzter Beweis ist die nacheinander ausgeführte Fünfer-Transformation. 39 Literatur [] Schmutzer, Ernst: Grundlagen der Theoretischen Physik. Bd. I u. II. WILEY-VCH, S. [] Schmutzer, Ernst: Fünfdimensionale Physik. Wissenschaftsverlag Thüringen, 009 6

7 W.Lange - Lorentz-Transformationen und Invarianz April, 0 Copyright: Dr.-Ing. Wolfgang Lange Pfeifferhannsstr Dresden w.w.lange@freenet.de 7