Holger Göbel. Gravitation und. Relativität. Eine Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie DE GRUYTER

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1 Holger Göbel Gravitation und Relativität Eine Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie DE GRUYTER

2 Vorwort V Liste der verwendeten Symbole XV 1 Newton'sche Mechanik Die Grundgleichungen der Newton'schen Mechanik Gravitationspotential und Kraft Bewegungsgleichung nach Newton Gravitationspotential in der Nähe der Erdoberfläche Die Feldgleichung nach Newton Gravitationspotential und Poisson-Gleichung Der fallende Apfel und das Prinzip der kleinsten Wirkung Variation der Bahnkurve Lagrange-Funktion und Wirkung 10 2 Spezielle Relativitätstheorie Geschichte der speziellen Relativitätstheorie Postulate der speziellen Relativitätstheorie Galilei-Transformation Raumkontraktion und Zeitdilatation Zeitdilatation Raumkontraktion Lorentz-Transformation Invarianzelement im relativistischen Fall Eigenzeit Vierervektoren Raumzeit-Diagramme Definition des Raumzeit-Diagramms Raumartig, zeitartig, lichtartig Lichtkegel 34

3 X Gleichzeitigkeit Raumkontraktion Zeitdilatation Uhrenparadoxon Eigenzeit im Raumzeit-Diagramm Das Zwillingsparadoxon Eigenzeitdiagramme Zeitkegel Eigenzeitkreis 41 3 Gravitation und die Krümmung des Raumes Geschichte der allgemeinen Relativitätstheorie Postulate der allgemeinen Relativitätstheorie Der gekrümmte Raum Gravitation und Beschleunigung Gravitation und Krümmung des Raumes Die Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie Wie lässt sich Krümmung messen? Messung der Krümmung im zweidimensionalen Raum Krümmung in höherdimensionalen Räumen Krümmung unterschiedlicher Geometrien 50 4 Vektoren und Koordinatensysteme Definitionen Vektoren, Vektorkomponenten und Basen Summationskonvention Abstand und Metrik Kovariante und kontravariante Basis Definition Bestimmung der kontravarianten Basis Rechnen mit ko- und kontravarianten Vektoren Rechnen mit indizierten Größen Austausch von Indizes Herauf- und Herunterschieben von Indizes Kontraktion indizierter Größen Projektion von Vektoren Symmetrie indizierter Gleichungen Indizierte Größen in der Physik Polarisation isotroper Materialien Polarisation anisotroper Materialien Tensoren 79

4 XI 5 Metrik und die Vermessung des Raumes Metrik und Abstand Differentielle Länge Metrik in kartesischen Koordinaten Metrik in Polarkoordinaten Metrik und Krümmung Metriken im Raum Kartesische Koordinaten im dreidimensionalen Raum Kugelkoordinaten im dreidimensionalen Raum Zylinderkoordinaten im dreidimensionalen Raum Metriken in der Raumzeit Minkowski-Metrik in kartesischen Koordinaten Minkowski-Metrik in Kugelkoordinaten Eigenschaften der Metrik Metriken von Räumen mit konstanter Krümmung Metriken von Flächen mit konstanter Krümmung Allgemeine Darstellung einer zweidimensionalen Metrik mit konstanter Krümmung 90 6 Vektoren in gekrümmten Koordinaten Partielle Ableitung Ableitung in geraden Koordinaten Ableitung in gekrümmten Koordinaten Basisvektoren und Christoffelsymbole Definition der Christoffelsymbole Bestimmung der Christoffelsymbole aus der Metrik Kovariante Ableitung Definition der kovarianten Ableitung Sonderfälle der kovarianten Ableitung Paralleltransport Messung der Krümmung Krümmung im zweidimensionalen Raum Riemann-Krümmung Krümmung in höherdimensionalen Räumen Berechnung der Riemann-Krümmung Symmetrieeigenschaften der Riemann-Krümmung Kontraktion der Riemann-Krümmung Die Bianchi-Identität 118

5 XII 8 Die Einstein'sche Feldgleichung Ansatz zur Bestimmung der Feldgleichung Die Energie-Impuls-Matrix Energie-Impuls-Matrix für bewegte Materie Energie- und Impulserhaltung Energie-Impuls-Matrix für ruhende Materie Energie-Impuls-Matrix für den materiefreien Raum Energie-Impuls-Matrix für eine Flüssigkeit Eigenschaften der Energie-Impuls-Matrix Herleitung der Einstein'schen Feldgleichung Einstein-Krümmung Masse und die Krümmung des Raumes Die kosmologische Konstante Vorgehensweise bei der Lösung der Feldgleichung Schwarzschild-Metrik oder wie Masse den Raum krümmt Definition der Schwarzschild-Metrik Berechnung der Schwarzschild-Metrik Ansatz zur Bestimmung der Schwarzschild-Metrik Gravitation und Zeitdilatation Gravitation und Raumkontraktion Der Schwarzschildradius Die Schwarzschild-Metrik Schwarze Löcher Die Bestimmung des Faktors n Bewegungsgleichung nach Einstein Bewegung von Teilchen im Raum Geodätische Gleichung Lösung der geodätischen Gleichung im Raum Bewegung von Teilchen in der Raumzeit Die geodätische Gleichung in der Raumzeit Das Prinzip der kleinsten Wirkung Der Newton'sche Grenzfall Vorgehensweise bei der Lösung der Bewegungsgleichung Warum der Apfel vom Baum fällt Lichtstrahlen und das Fermat'sche Prinzip Teilchen und die Wellenfunktion Wellenfunktion und Wirkung 160

6 XIII 11 Die Krümmung der Raumzeit Darstellung der Raumzeit-Krümmung Die Methode der Einbettung Die Einbettung zweidimensionaler Metriken in den Raum Einbettung der Schwarzschild-Metrik Die Methode der geodätisch äquivalenten Abbildung Definition der geodätisch äquivalenten Abbildung Bestimmung der Metrikkoeffizienten Grafische Darstellung der geodätisch äquivalenten Metrik Der Fall der Apfels in der gekrümmten Raumzeit Lichtablenkung in der gekrümmten Raumzeit Ausbreitung von Licht im Gravitationsfeld Aufstellen der Bewegungsgleichung Bestimmung der Christoffelsymbole Auswertung der geodätischen Gleichung Das Wegelement der Raumzeit für Licht Lösung der Bewegungsgleichung Lösung für den nichtrelativistischen Fall Lösung für den relativistischen Fall Bewegung von Körpern in der gekrümmten Raumzeit Periheldrehung im Gravitationsfeld Aufstellen der Bewegungsgleichung Die Gleichung der Bahnkurve Ableitung der Bahnkurve Lösung für den Newton'schen Fall Lösung für den relativistischen Fall Die Energiebilanzgleichung Robertson-Walker-Metrik und das gekrümmte Universum Definition der Robertson-Walker-Metrik Ansatz zur Bestimmung der Metrik Auswertung der Feldgleichung Der Skalenfaktor und die Friedmann-Gleichungen 205

7 XIV 15 Kosmologie Das expandierende Universum Der Hubble-Parameter Der Skalenfaktor der Expansion Friedmann-Gleichung für unser Universum Die allgemeine Friedmann-Gleichung Die vereinfachte Friedmann-Gleichung Berechnung der zeitlichen Entwicklung unseres Universums Lösung der Friedmann-Gleichung Grafische Darstellung der Expansion Licht und Galaxien im Raumzeit-Diagramm Das Universum mit konstantem Hubble-Parameter Das Universum mit zeitabhängigem Hubble-Parameter Emissionsentfernung und physikalische Entfernung 227 A Anhang 231 A.l Drehmatrix 231 A.2 Prinzip der kleinsten Wirkung 232 A.3 Der kanonische Impuls 233 A.4 Glossar 234 Literaturverzeichnis 239 Index 241