Penrose-Diagramme. Seminararbeit - Gekrümmter Raum und gedehnte Zeit. Aris Stefanov aus Regensburg

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1 Penrose-Diagramme Seminararbeit - Gekrümmter Raum und gedehnte Zeit Aris Stefanov aus Regensburg unter Anleitung von Prof. em. Dr. Wolfgang Gebhardt und Prof. Dr. Gunnar Bali 18. November 2015

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Der Minkowskiraum Der Lichtkegel Nullkoordinaten Penrosediagramme Einige Begriffe Penrosediagramm der Minkowskimetrik Penrosediagramm der de-sitter Metrik Penrosediagramm der Schwarzschildmetrik

4 Kapitel 1 Einleitung Vor der Formulierung der Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie 1905 und deren Erweiterung zur allgemeinen Relativitätstheorie durch Albert Einstein einige Jahre später dachte man, dass die Konzepte der Raum und Zeit getrennt voneinander zu betrachten seien. Unter Verwendung der Postulaten des Relativitätsprinzips und der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit vereinbarte Hermann Minkowski 1907 die Konzepte von Raum und Zeit zur vierdimensionalen Raumzeit. Drei dieser Koordinaten entspringen der bekannten dreidimensionalen Euklidschen Geometrie während in der vierten Koordinate die Zeit eine Rolle spielt. Minkowski erkannte, dass die Arbeiten von Hendrik Antoon Lorentz (1904) und Albert Einstein (1905) zur Relativitätstheorie in einem nicht-euklidschen Raum verstanden werden können und sein Konzept der Raumzeit ermöglichte eine elegante Formulierung der Relativitätstheorie [1]. In dieser Arbeit wird die Minkowskiraumzeit vorgestellt mit der man im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie das uns bekannte Universum gut beschreiben kann. Punkte in dieser Raumzeit werden als Ereignisse aufgefasst, die über den Lichtkegel (siehe Abb. 2.1) einen kausalen Zusammenhang aufweisen. Zusätzlich werden Konzepte eingeleitet, die diese Raumzeit darstellen. Das Penrosediagramm ist ein Beispiel hierfür und wird in der nachfolgenden Seminararbeit vorgestellt. 2

5 Kapitel 2 Der Minkowskiraum 2.1 Der Lichtkegel Falls man in einem physikalischen Experiment die Gravitationskraft vernachlässigen kann, geht man davon aus, dass man sich im flachen Minkowskiraum der speziellen Relativitätstheorie befindet [2]. Zunächst wird die Metrik (Funktion die eine Entfernung zwischen zwei Punkten einer Menge beschreibt) des Minkowskiraums vorgestellt und es werden sogenannte Nullkoordinaten eingeführt, die dazu dienen sollen, den Minkowskiraum mittels Lichtstrahlen zu parametrisieren. Die Anschauungen über Raum und Zeit, die ich Ihnen entwickeln möchte, sind auf experimentell-physikalischem Boden erwachsen. Darin liegt ihre Stärke. Ihre Tendenz ist eine radikale. Von Stund an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren. Hermann Minkowski (1908) Durch diese Vereinbarung der Konzepte Raum und Zeit verfiel die Beobachterunabhängige Interpretation der räumlichen bzw. zeitlichen Entfernungen. Das Linienelement des Minkowskiraums kann als invariante Größe zur Messung der Raumzeit verstanden werden [2]: ds 2 = η αβ dx α dxβ = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 (2.1) mit dem metrischen Tensor η αβ η αβ =

6 Abbildung 2.1: Lichtkegel der Raumzeit in 2 Dimensionen; die Raumachse ist stellvertretend für eine zweidimensionale Fläche Ist der Differenzvektor lichtartig, also ds 2 = 0, dann liegen die Lösungen dieser Gleichung auf einem Doppelkegel, auch Lichtkegel genannt, siehe Abbildung (2.1). Bildet man den Differenzenquotienten und dann den Limes, 0 = c 2 (t t) 2 (x x) 2 (y y) 2 (z z) 2 (2.2) ( x c 2 ) x 2 ( y ) y 2 ( z ) z 2 = t + t t + t t (2.3) t c 2 = v 2 x + v 2 y + z 2 y (2.4) sieht man klar, dass sich die Lösungen genau auf dem Lichtkegel befinden. Ist ds 2 > 0, so ist c 2 < v 2 x + v 2 y + z 2 y und die Lösungen befinden sich innerhalb des Lichtkegels; man spricht vom zeitartigen Differenzvektor. Wenn aber ds 2 < 0, dann ist c 2 > v 2 x + v 2 y + z 2 y und man befindet sich außerhalb des Kegels und es ist vom raumartigen Differenzvektor die Rede. 4

7 2.2 Nullkoordinaten Zunächst werden sogenannte Nullkoordinaten eingeführt. In Kugelkoordinaten lautet die Minkowskimetrik (mit c = 1 gesetzt): [2] mit der Transformation ds 2 = dt 2 dr 2 r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) = dt 2 + dr 2 + r 2 dω 2 (2.5) x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ Es werden avancierte bzw. retardierte Nullkoordinaten eingeführt und wir erhalten: v := t + r u := t r ds 2 = dvdu 1 4 (v u)2 dω 2 (2.6) Abbildung 2.2: Minkowskiraumzeit in Nullkoordinaten 5

8 Abbildung (2.2) zeigt die Minkowskiraumzeit mit den neuen Koordinaten. Einfallende Photonen (punktförmige Teilchen mit Geschwindigkeit ṙ = c = 1) bewegen sich auf Bahnen mit v = const.. Die Oberflächen mit f(u) = const. und f(v) = const. stellen die Wellenfronten dar, die mit Lichtgeschwindigkeit propagieren. Die Bahnen der Teilchen die sich mit einer Geschwindigkeit bewegen, die geringer ist als die Lichtgeschwindigkeit (also ṙ < c = 1) müssen innerhalb des lokalen Lichtkegels (dargestellt im (r, t) - Diagramm) liegen. Alle Punkte im Zukunftslichtkegel (oberer Bereich des Doppelkegels) können von Signalen oder Teilchen mit Unterlichtgeschwindigkeit erreicht werden. All diese Teilchen bzw. Signalen haben ihren Ursprung im unteren Bereich des Doppelkegels, dem sog. Vergangenheitslichtkegel [3]. 6

9 Kapitel 3 Penrosediagramme 3.1 Einige Begriffe Interessant für uns ist aber nicht die Geometrie, sondern nur der kausale Zusammenhang der Raumzeit, also welche Punkte (Ereignisse) können Signale von welchen anderen Punkten der Raumzeit erhalten. Zwei Geometrien heißen dann konform Äquivalent, falls eine konforme Transformation existiert, die die erste Geometrie auf die zweite abbildet und dabei die Winkel erhalten lässt. Roger Penrose kam durch dieses Theorem auf die Idee das asymptotische Verhalten von Raumzeiten bei großen Abständen (die r Begrenzung im Minkowskiraum) darzustellen. [4] Zwei Raumzeiten, deren Metriken sich nur durch die Multiplikation einer positiven Skalarfunktion unterscheiden, also wie folgt verwandt sind: g µν(x) = e 2 ω(x)g µν (x) für eine reelle glatte Funktion ω(x), haben die gleichen Null Geodäten [4]. Wir wählen eine Funktion ω(x) so, dass diese gegen Unendlich divergiert und zwar so, dass das Unendliche endlich dargestellt werden kann. So kann man das Unendliche als die Grenze der Raumzeit verstehen, wir haben also die Raumzeit in eine Mannigfaltigkeit mit Rand verwandelt. Dieser Vorgang heißt konforme Kompaktifizierung [4]. 7

10 3.2 Penrosediagramm der Minkowskimetrik Als Beispiel behandeln wir die übliche flache Minkowskiraumzeit mit der Metrik: ds 2 = dt 2 + dr 2 + r 2 dω 2 2 (3.1) Uns interessiert das asymptotische Verhalten für r, t, welches wir gerne untersuchen würden. Um die Kausalstruktur zu erhalten, müssen wir den Rand in lichtartigen Richtungen mittels einer Funktion arctan(x) heranziehen. So werden definiert: T + R = arctan(t + r) T R = arctan(t r) und erhalten die Metrik ds 2 = 1 cos 2 (T + R)cos 2 (T R) [ ( sin(2r) dt 2 dr 2 2 ) 2 dω 2 2 ] (3.2) Diese neuen Koordinaten haben die Reichweiten T ± R < π/2, R 0 und so können wie die Raumzeit kompaktifizieren indem wie die Punkte am Rand T ± R = π/2 einfügen. Der Vorfaktor divergiert an diesem Rand, der unendlich weit entfernt ist. Mit dem obigen Theorem können wir eine neue Raumzeit mit der gleichen Kausalstruktur der Minkowskiraumzeit definieren, indem wir diesen Vorfaktor entfernen. Abbildung zeigt diese neue Konstruktion. Abbildung 3.1: Links: der ganze Minkowskiraum ist in dem pinken Bereich in der R- T Ebene dargestellt. Radiale Lichtstrahlen bewegen sich auf Linien mit der Steigung ±π/4. Einige Schnitte mit t = const. sind mit blau und Schnitte mit r = const. werden mit rot gekennzeichnet. Rechts ist ein Penrosediagramm dargestellt. [4] 8

11 Der Rand des Diagramms ist in fünf Teile unterteilt: zeitartiges Vergangenheits- / Zukunftsunendlich, raumartiges Unendlich, lichtartiges Vergangenheits- / Zukunftsunendlich. Die Zeichen für diese fünf Teile des Diagramms werden in unterliegenden Tabelle (Abbildung 3.2) aufgeführt. i zeiartiges Vergangenheits- Ursprung aller Teilchen i + zeitartiges Zukunfts- Ziel aller Teilchen i 0 raumartiges unerreichbar für Teilchen J lichtartiges Vergangenheits- Ursprung des Lichts J + lichtartiges Zukunfts- Ziel des Lichts Abbildung 3.2: Die unterschiedlichen Unendlichkeiten des Penrosediagramms für die Minkowskiraumzeit [4] [2] Der Abbildung (3.1) kann man entnehmen, dass der Ursprung aller Teilchen bei i liegt und das ultimative Ziel dieser bei i + sein muss. Das gleiche gilt für Lichtteilchen bezüglich J ±. Bei i 0 enden die räumlichen Geodäten. Im Diagramm sieht man auch, dass es keine Ereignishorizonte im Minkowskiraum gibt; jede zeitartige Geodäte kann Signale von jedem Punkt im Raum bekommen. Um im Detail zu verstehen wohin die anderen beiden Dimensionen gekommen sind schauen wir uns das Diagramm etwas genauer an. An jedem Punkt des Penrosediagramms befindet sich eine Oberfläche S 2 die wir vernachlässigt haben. Die S n sind wie folgt definiert: S n = {x R n+1 : x = r} (3.3) Die sphärische Symmetrie der Metrik aus (3.2) erlaubt uns diese S 2 zu vernachlässigen, ohne allzuviel Information über die Raumzeit zu verlieren und tatsächlich kann man ein ähnliches Diagramm für jede Raumzeit mit einer S 2 -Symmetrie zeichnen. Es gibt zwei Möglichkeiten in einem Penrosediagramm einen Rand zu erhalten. Eine Möglichkeit ist wenn S 2 unendlich groß ist, wie etwa bei T ± R = π/2 im Minkowskidiagramm; die andere wenn R = 0. Im Inneren des Diagramms ist die Raumzeit lokal betrachtet nur eine Produktmannigfaltigkeit bei der der Radius der S 2 sich mit wechselnder Position verändert. Man bezeichnet dies als verzerrtes Produkt [4]. 9

12 3.3 Penrosediagramm der de-sitter Metrik Der n-dimensionale de-sitter-raum (nach Willem de Sitter, notiert ds n ) ist eine lorentzsche Mannigfaltigkeit analog zu einer n-sphäre (mit ihrer kanonischen riemannschen Mannigfaltigkeit). Er kann als die Hyperfläche der folgenden Gleichung aufgefasst werden [5]: X X X 2 d = l2 (3.4) Hier ist der flache d+1 dimensionale Minkowskiraum gemeint und l ist ein Parameter mit der Einheit Länge, de-sitter Radius genannt. Diese Hyperstruktur ist ein Hyperboloid im flachen Minkowskiraum, wie Abbildung (3.3) illustriert. Abbildung 3.3: Hyperboloid, der den de-sitter-raum darstellt. Die gestrichelte Linie repräsentiert ein Extremalvolumen S d 1 [5]. Er ist maximal Symmetrisch, hat eine konstante positive Krümmung und ist einfach zusammenhängend für n 3. Im vierdimensionalen Minkowskiraum ist der de-sitter- Raum analog zu einer dreidimensionalen Kugel im euklidschen Raum. Der de-sitter-raum hat folgende Metrik: ds 2 = dτ 2 + cosh 2 rdω 2 3 (3.5) Dies ist eine Lösung für die Einsteinsche Feldgleichung mit positiver Vakuumsenergie. Der de-sitter-raum ist eine gute Näherung sowohl für die Geometrie des uns bekannten Universums bei großen Abständen als auch während der kosmologischen Inflation der Vergangenheit. Die räumliche Geometrie ist eine S 3 -Sphäre, die zunächst exponentiell bis zu einer minimalen Größe fällt und schliesslich exponentiell expandiert. 10

13 Abbildung 3.4: Penrosediagramm für ds d. Die Nord- /Südpole sind zeitartige Linien; alle Punkte im Inneren sind S d 2. Horizontale Schnitte repräsentieren S d 1. Die gestrichelten Linien sind Vergangenheits- /Zukunftshorizonte eines Beobachters am Südpol. Die konforme Zeitkoordinate T läuft von π/2 bei I gegen π/2 bei I +. [5] Das Penrosediagramm erhält sämtliche Information über den kausalen Zusammenhang von ds d, Entfernungen sind jedoch sehr stark verzerrt. Jeder Punkt des Diagramms ist ein S d 2, außer Punkte auf dem Süd-/Nordpol (siehe Abbildung 3.4). Lichtstrahlen propagieren im 45 Winkel. Zeitartige Flächen befinden sich oberhalb der gestrichelten Linien und raumartige Flächen unterhalb. Das Diagramm enthält kein raumartiges Unendlich und kein lichtartiges Unendlich, welches die Formulierung einer Quantentheorie des de-sitter Raums erschwert [4]. An den I und I + Flächen entstehen bzw. enden die Null Geodäten der Lichtteilchen. Ein Lichtstrahl der am Nordpol bei I entsteht wird den Südpol am Punkt I + erreichen. In einem de-sitter Raum kann kein einziger Beobachter die komplette Raumzeit erreichen. Beispielsweise kann ein Bobachter, der sich am Südpol befindet niemals Informationen erhalten über das Geschehen jenseits der gestrichelten Linie, die vom Nordpol bei I ausgeht und am Südpol bei I + endet. In Abbildung (3.5) ist dieser Bereich mit O markiert. Dies ist anders wie im Minkowskiraum, bei dem ein zeitartiger Beobachter das gesamte Vergangene des Universums in seinem Vergangenheitslichtkegel hat. Wie Abbildung (3.5) zeigt, kann ein Beobachter auf dem Südpol nie eine Nachricht jenseits der Region, die mit O + gekennzeichnet ist, senden. Die Schnittfläche von O und O + bezeichnet man als (südlichen) Kausalkegel [5]. Ein Beobachter am Südpol kann den Schnitt der Flächen erreichen. Er kann Signale senden und wieder empfangen. Jenseits des Kegels kann ein Beobachter am Südpol nie ein Signal Richtung I schicken und kann kein Signal jenseits des Kegels von I + erhalten. Er kann außerdem auch niemals den Kegel außerhalb der Schnittfläche erreichen. [5] 11

14 Abbildung 3.5: Die Fläche O zeigt die kausale Vergangenheit, die Fläche O + die kausale Zukunft eines Beobachters am Südpol 3.4 Penrosediagramm der Schwarzschildmetrik Als letztes Beispiel wird ein Penrosediagramm der Schwarzschildmetrik vorgestellt. Durch die Kruskal-Szekeres (vergleiche hierzu die vorige Seminararbeit von Simon Maier Die Kruskal-Szekeres Koordinaten ) Koordinaten kennen wir bereits eine Darstellungsform der Schwarzschildmetrik: ds 2 = 4r3 s r r e rs (dt 2 dx 2 ) (3.6) mit r s als Schwarzschildradius. Aus einem Kausalzusammenhang heraus sind die einzigen Unterschiede zwischen diesen (T, X) Koordinaten und den (t, r) Koordinaten im Minkowskiraum nur ihre Reichweiten. Im Minkowskiraum waren < t < und r 0; bei den Kruskal-Szekeres Koordinaten haben wir X 2 T 2 > 1 [4]. Die gleich Kompaktifizierungstranformation wie für den Minkowskiraum kann hier auch verwendet werden: T + X = arctan(t + X) T X = arctan(t X) Aber anstatt mit der Fläche R±T < π/2 anzufangen und den Bereich mit R < 0 wegzulassen, beginnen wir mit der Fläche X ±T < π/2 und lassen den Bereich T > π/4 weg. Das resultierende Penrosediagramm ist sem Kruskaldiagramm sehr ähnlich und in Abbildung gezeigt. In dem Diagramm sind außerdem Raumzeitgrenzen explizit vorhanden. 12

15 Abbildung 3.6: Links: Kruskaldiagramm der Schwarzschildgeometrie. Rechts: Penrosediagramm der Schwarzschildgeometrie. Die S 2 laufen gegen Null je näher sie den horizontalen oberen und unteren Linien kommen. Aus Abbildung (3.2) kann man die Bezeichnungen entnehmen. Im Diagramm werden auch die Bereiche gekennzeichnet, die für ein schwarzes bzw. weißes Loch stehen. Anders als im Minkowskiraum können Teilchen und Licht nicht gegen unendlich laufen, sondern fallen ins schwarze Loch und sie können nicht aus dem Unendlichen kommen, sondern aus einem weißen Loch. 13

16 Literaturverzeichnis [1] T. Fließbach, Allgemeine Relativitätstheorie, [2] F. W. H. Christian Heinicke, Schwarzschild and kerr solutions of einstein s field equation, [3] N. Penha and B. Rothenstein, Special relativity properties from minkowski diagrams. [4] D. Harlow, Jerusalem lectures on black holes and quantum information, [5] A. V. Marcus Spradlin, Andrew Strominger, Les Houches Lectures on de Sitter Space,