Die Schwarzschildmetrik

Transkript

1 Die Schwarzschildmetrik und andere Lösungen der Einstein'schen Feldgleichungen Kay-Michael Voit

2 Inhalte Gekrümmte Räume Krümmung Einbettung in Raum höherer Dimension Riemann'sche Geometrie Die Schwarzschildmetrik Herleitung aus den Einstein'schen Feldgleichungen Diskussion einiger Besonderheiten Geometrische Betrachtungen Kruscal-Szekeres-Koordinaten Rotierende kugelsymmetrische Massen Die Kerr-Metrik Der Penrose-Prozess

3 Krümmung Eine vorläufige Erklärung lässt sich anhand einer zweidimensionalen Fläche geben: Definition über Winkelsumme eines Dreiecks: Kleiner als 180 bei negativer, größer bei positiver Krümmung Definition über Verhältnis von Umfang und Radius eines Kreises: U/r kleiner als 2π bei positiver, größer bei negativer Krümmung Ohne Krümmung: Euklidischer Raum mit bekannter Geometrie Andere Möglichkeit der Darstellung: Einbettung in höherdimensionalen Raum

4 Einbettung in höherdimensionalen Raum Man kann einen gekrümmten Raum vollständig als n- dimensionale Hyperfläche, also eine n-dimensionale, zweiseitige Mannigfaltigkeit im n+1-dimensionalen Raum beschreiben: Man kann direkt die Krümmung als räumliche Abweichung von der Ebene sehen:

5 Riemann'sche Geometrie Krümmung ohne einen einbettenden Raum beschreiben. Misst die Abweichung der Geometrie auf der Mannigfaltigkeit von der euklidischen Geometrie. Formulierung des zu betrachtenden Raumes als n-dimensionale diffbare Mannigfaltigkeit X n. n-dimensional hausdorff'sch versehen mit diffeomorpher Struktur

6 Der metrische Tensor Stattet man X n mit einem metrischen Tensor g ik (also einem Tensor vom Typ (0,2)) aus, erhält man einen Riemann'schen Raum. Für g ik wird gefordert, dass gilt g ik = g ki und det g ik =: g 0 Der metrische Tensor ordnet ko- und kontravariante Vektoren einander zu: A j =g ji A i, A j =g ji A i und bestimmt die Länge A eines Vektors A i : A= A i A i Letzteres induziert direkt ein Maß für Abstände. Das Linienelement ist gegeben durch: ds 2 = g ij dx i dx j

7 Die kovariante Ableitung Problem: Die partielle (kontravariante) Ableitung A i, k des Vektorfeldes Ai ist kein Tensor mehr. Wir definieren deshalb den (1,1)-Tensor A i ;k - die kovariante Ableitung. i i i A ; k = A, k k A Dabei sind m kl =g mi ikl die Christoffelsymbole 2. Art, ikl = 1 2 g ik x l g li x k g kl x i Die Christoffelsymbole 1. Art.

8 Der Riemann'sche Krümmungstensor Der Riemann'sche Krümmungstensor definiert die Krümmung des Raumes durch die Vertauschbarkeit der kovarianten Ableitungen: A i ; j ; k = A i ; k ; k A m;k m m ji A i ;m jk A i ; j ; k = A i, j, k A m, j m ik A m m ik, j A r r mi m kj A m, k m ji A r m r ji mk m A i, m kj r A i ; k ; j A i ; j ; k = A r R ikj mit R r r ikj := ij ;k r r ik ; j mk m r r ji mj ki Der Krümmungstesor ist also der Kommutator der 2-fachen kontravarianten Ableitung.

9 Direkt abgeleitete Größen Aus dem Riemann'schen Krümmungstensor lassen sich einige Größen ableiten, die wir im Folgenden benötigen. Mit dem metrischen Tensor kann der erste Index heruntergezogen werden, man erhält den vollständig kovarianten Riemann'schen Krümmungstensor: r R hijk =R ijk g hr Durch Kontraktion erhält man den Ricci-Tensor R ik :=R h ihk und den Krümmungsskalar R :=R ik g ik =R ki Bisher ergeben sich also alle Größen aus dem metrischen Tensor.

10 Die Einstein'schen Feldgleichungen Die Einstein'schen Feldgleichungen stellen ein System aus 10 partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung dar: R ik 1 2 g ik R= T ik =8 G /c 2 =1, cm/ g Ihre Lösung ist der metrische Tensor für den Raum, der durch die Masse, zu der der Energie-Impuls-Tensor T ik gehört, gekrümmt wird.

11 Lineare Näherung Für geeigneten Limes sollte die Lösung der Gleichung in den bekannten Fall übergehen. Lineare Näherung für annähernd flachen Raum (Vernachlässigung ab der zweiten Ordnung) führt zum Linienelement 2 ds 2 =c 2 2U dt 1 c 2 2U 1 dx2 c 2 Mit dieser Lösung ist bereits die Berechnung der Lichtablenkung und der Rotverschiebung eine Lichtquants im Gravitationsfeld möglich. Die Periheldrehung kann jedoch noch nicht erklärt werden. Dies leistet die erste exakte Lösung des Problems die Schwarzschildmetrik.

12 Die Schwarzschildmetrik I Die Schwarzschildmetrik dient zur Beschreibung des Außenraums einer kugelsymmetrischen, ungeladenen, nichtrotierenden Masse. Wir benötigen also die kugelsymmetrische Lösung der Vakuumgleichung: R ik =0

13 Die Schwarzschildmetrik II Zunächst ist ein geeignetes Koordinatensystem zu wählen. Das allgemeine Linienelement lautet ds 2 =g 00 dx g 0 dx 0 dx g dx dx Nun ist die Rotationsinvarianz der x α zu berücksichtigen. Die allgemeinsten Funktionen des metrischen Tensors, die der Forderung gerecht werden, haben die Form g 00 = f r, x 0 g 0 = g r, x 0 x /r g = h r, x 0 j r, x 0 x x /r 2 r 2 = x x =: x x, dr= x dx Dabei gilt r Einsetzen und Einführung von Kugelkoordinaten ergibt ds 2 = f r,t dt 2 2g r,t dr dt [h r,t j r,t ]dr 2 r 2 h r,t d 2 mit d :=d 2 sin d 2, =1,2,3

14 Die Schwarzschildmetrik III ds 2 = f r,t dt 2 2g r,t dr dt [h r,t j r, t ]dr 2 r 2 h r,t d 2 Die Form des Linienelements ist invariant gegenüber Transformationen der Form r=u r ', t ' t=v r',t ' Transformtion der Radialkomponente r 2 h r,t =r' 2 liefert eine Vereinfachte Form des Linienelementes (Striche an r,f,g,h,j) der Einfachheit halber ab hier wieder weggelassen): ds 2 = f r,t dt 2 2g r,t dr dt [h r,t j r, t ]dr 2 r 2 d 2

15 Die Schwarzschildmetrik IV ds 2 = f r,t dt 2 2g r,t dr dt [h r,t j r,t ]dr 2 r 2 d 2 Differentiation der Transformationsgleichung für die Zeitkomponente liefert dt= v v dt ' t ' r dr Durch Einsetzen erhält man ds 2 = f v 2 t ' dt ' 2 v t ' f v r g dr dt '... Man wählt nun v(r,t') so, dass gilt f v r =g Dadurch fällt der gemischte Term weg, und man kann dass Linienelement in allgemeiner Form beschreiben mit ds 2 =e r,t dt 2 e r, t dr 2 r 2 d

16 Die Schwarzschildmetrik V Aus dieser Form lassen sich nun die Christoffelsymbole bestimmen. Da die Weglänge einer Geodäte zwischen zwei Punkten A und B extremal ist, muss gelten g ik ẋi xk K K lautet in diesem Fall d =0 und K x i d ds K ẋi =0 K =e t 2 e r2 r 2 2 r 2 sin 2 2 Durch Ausrechnen und Koeffizientenvergleich mit der (ebenfalls aus dem Variationsprinzip herleitbaren) allgemeinen Geodätengleichung x m m kl xk ẋl =0 lassen sich die Christoffelsymbole direkt ablesen (alle übrigen verschwinden): 0 00 = = r e, 1 10 = 1 2 t, 0 01= 1 2 r, 0 11= 1 2 t, 1 11= 1 2 r, 22 2 =1 /r, 2 33 = sin cos 3 31 =1/r, 3 23 =ctg 21 t e 1 = r e, 1 33 = r sin 2 e

17 Die Schwarzschildmetrik VI Aus den Christoffelsymbolen lässt sich nun der Riemann'sche Krümmungstensor, sowie der Einsteintensor G i k :=R i k 1 2 i k R berechnen. Dieser ist proportional zu Energie-Impuls-Tensor T ik, verschwindet also im hier betrachteten Außenraum. Explizite Berechnung liefert die die nichtverschwindenden Komponenten des Einstein-Tensors.

18 Die Schwarzschildmetrik VII G 0 0 = r e r 1 r 2, G 1 0 = e r G 2 2 =G 3 3 = 1 e 2 2 r r 2 1 r r r 1 2 t, G 1 1=e 1 r r Aus G 0 =0 folgt sofort 1 t =0, also λ zeitunabhängig. G 1 1 -G0 =0 liefert λ + μ=q(t). Transformation fürt 0 schließlich auf λ + μ=0 r 1 e q t / 2 t ' = dt e r 1 r 2 1 r 2 t 2 t Aus G 0 0 =0 kann nun λ bestimmt werden. Multiplikation mit r2 e λ ergibt r r =1 e Diese Differntialgleichung ist leicht zu lösen. Man setzt die Integrationskonstante auf ln(2m) und erhält schließlich = e 1 2M 1 r e μ ist nun leicht zu berechnen. 2 t t

19 Die Schwarzschildmetrik VIII Damit ergibt sich endgültig für das Schwarzschild-Linienelement = ds 2 1 2M r dt 2 1 2M r 1 dr 2 r 2 d 2 Der Vergleich mit der Newtonschen Näherung zeigt, dass es sich bei der M genannten Integrationskonstante tatsächlich um die Masse handelt. Damit ist festzustellen, dass das Feld im Außenraum tatsächlich unabhängig von der Zusammensetzung und sogar von radialer Oszillation des Körpers ist. Das äußere Feld bleibt in jedem Fall statisch. Das Linienelement weißt Singularitäten bei r=0 und r=2m auf. Letzteres ist der Schwarzschildradius, die von ihm erzeugte Fläche der Ereignishorizon. Dieser Singularität fließt damit zwar physikkalische Bedeutung zu, mathematisch ist sie aber nur eine hebbare Eigenschaft des Koordinatensystems, wie beispielsweise die Transformation r= 1 M 2 zeigt, die zur isotropen Form des Schwarzschildr' 2r ' Linienelementes führt = ds 2 1 M /2r ' 2 dt 2 1 M /2r ' 4 dx' 2 1 M / r'

20 Die Geometrie der SSM Zur Veranschaulichung der Geometrie betrachten wir einen Schnitt bei t=0. Diesen können wir in den vierdimensionalen Euklidischen Raum einbetten. Die Metrik der Hyperfläche ist offensichtlich: d 2 = dr2 1 2M r r 2 d 2 sin 2 d 2 Wegen der sphärischen Symmetrie wählen wir 4-dimensionale Zylinderkoordinaten ds 2 =dz 2 dr 2 r 2 d 2 sin 2 d 2 und können annehmen, dass eine (lokale) Parametrisierung dz=dz/dr dr existiert. d 2 = 1 dz dr Vergleich mit der obigen Metrik liefert 2 dr 2 r 2 d 2 sin 2 d 2 Integration und Umstellen schließlich r= 1 8M z2 2M dz dr =± g rr 1

21 Einstein-Rosen-Brücke Dieser Zusammenhang beschreibt eine interessante Geometrie: Zu sehen sind zwei identische Raumhyperflächen, die am Ereignishorizont zusammengeklebt sind. Insbesondere sind hier keinerlei Singularitäten zu sehen. Innerhalb des Schwarzschildradius existiert jedoch kein Raum an sich.

22 Eddington-Finkelstein-Koordinaten Die bisherigen Linienelemente machen keine weiteren Aussagen über den Raum innerhalb des Ereignishorizonts. Die Schwarzschildmetrik kann aber ohne Koordinaten-Singularitäten analytisch erweitert werden. Die physikalische Singularität bei r=0 bleibt selbstverständlich erhalten. Ausgehend von der Geodätengleichung für ein sich radial bewegendes Photon dr dt =± 1 2M r integieren wir und erhalten ±t r 2Mln r 2M 1 =C ±. C + gibt an, wann das Photon in Richtung des Horizonts gesendet wurde. Wir definieren es als neue Zeitkoordinate v: dt=dv dr 1 2M r Wir erhalten ds 2 = 1 2M r dv2 2 dv dr r 2 d sin 2 d 2 und für ein nach außen laufendes Photon ds 2 = 1 2M r du2 2 du dr r 2 d sin 2 d 2

23 Kruskal-Szekeres-Koordinaten Keine der beiden Koordinaten haben eine non-singuläre Beschreibung sowohl für ausgehende wie eingehende für Teilchen. Kombiniert man jedoch beide, erhält man die maximal expandierte Schwarzschildlösung mit Kruskal-Szekeres-Koordinaten: t= 1 2 v u, r' = 1 2 v u Man erhält ds 2 = 1 2M r dudv r2 d 2 sin 2 d 2 Das endgültige Linienelement erhält man durch Einführung von u U = e 4M, V =e v 4M ds 2 = 32M3 r r e 2M dudv r 2 d 2 sin 2 d 2

24 Die Kerr-Metrik Zum Abschluss soll noch vor allem in Hinblick auf den folgenden Vortrag eine asymmetrische Metrik qualitativ vorgestellt werden. Die Kerr-Metrik stellt eine Vakuumlösung der Einsteingleichungen dar und beschreibt die Metrik rotierender, ungeladener Schwarzer Löcher. Kerr-Löcher sind nicht mehr nur durch die Masse, sondern zusätzlich durch den Drehimpuls bestimmt genauer gesagt durch den Kerr-Parameter a=j/m. Für drehungsfreie Singularitäten ist a=0, und die Lösung geht in die Schwarzschildlösung über. Für große r nimmt sie, unabhängig von a, wie die SSM, die Form der Minkowski-Metrik an. Diese Drehung reißt die umgebende Raumzeit mit sich. Tensoriell bedeutet dieses einen nichtdiagonalen metrischen Tensor. Dies führt zu zwei Horizonten.

25 Horizonte der Kerr-Metrik Ein Kerr-Loch besitzt 2 Horizonte r H + und r H-, die lediglich von Masse und Drehimpulse abhängen: r H ±. = M ± M 2 a 2 Dabei ist der r H+, der eigentliche Ereignishorizont. r H - Kennzeichnet die Grenze der unendlichen Blauverschiebung. Ein Betrachter, der diese Grenze überschreitet, die gesamte Geschichte der Außenwelt im Zeitraffer ablaufen. Außerhalb dieser Horizonte liegt die Ergoregion, in der der Frame-Dragging- Effekt auf besonder Weise zum Tragen kommt.

26 Ergoregion und Lense-Thirring-Effekt Frame-Dragging tritt anschaulich durch die mitgerissene Raumzeit bei allen rotierenden Massen auf. Massen in der nähe werden mitgerissen. Meist ist der Effekt jedoch so gering, dass er nicht nachgewiesen werden kann bei der Erde wurde ein wages Ergebnis erst 2004 mit dem Satelliten Gravity Probe-B erziehlt. Um Kerr Löcher ist der Effekt jedoch so stark, dass sie von einer Ergoregion umgeben sind, in der ein Betrachter nicht mehr statisch bleiben kann. Die sie umgebende, Ergospähre genannte Grenzfläche wird deswegen auch als statische Grenze r stat bezeichnet: r stat =M ± M 2 a 2 cos 2 Am Horizont entspricht die Winkelgeschwindigkeit jedes Körpers exakt der des Kerr-Loches.

27 Der Penrose-Prozess Zum Abschluss soll noch ein interessanter Effekt oberflächlich betrachtet werden, der zumindest theoretisch in der Ergoregion auftreten kann. Dabei überschreitet ein Teilchen die Ergosphäre und kehrt von einem Beobachter im Unendlichen gesehen mit höherer Energie als vorher zurück. Dem Schwarzen Loch wird dabei Rotationsenergie entzogen. Dies korreliert mit der Tatsache, dass Schwarzschild-Löcher keine Rotationsenergie haben, jedoch auch keine Ergoregion, in der der Effekt auftreten kann. Erreicht wird dieses Phänomen dadurch, dass ein Teilchen innerhalb der Ergosphäre entgegen der Drehrichtung beschleunigt und dadurch für den äußeren Betrachter in einen Zustand negativer Energie versetzt wird. Die Differenz wird vom Probeteilchen aufgenommen, bevor es die Region wieder verlässt. Das andere Teilchen wird vom Schwarzen Loch geschluckt, dem dadurch Rotationsenergie verloren geht. Auf diese Weise ist theorietisch Energiegewinnung aus einem Schwarzen Loch möglich.