Schwarzschild-Metrik. Stefan Wittmann

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1 Schwarzschild-Metrik Stefan Wittmann

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Grundlagen Spezielle Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Riemannsche Raum Christoel Symbole Krümungstensor Ricci Tensor und Krümmungskalar Energie-Impuls-Tensor Isotrope statische Metrik Einsteingleichung 7 4 Äuÿere Schwarzschild-Metrik 7 5 Anwendung Sonnensystem Zeitdillatation(Einschub) GPS Schwarzes Loch Potential

3 1 Einleitung Die Schwarzschild-Metrik ist abgesehen von der Minkowski-Metrik das leichteste Beispiel für eine Metrik. Sie beschreibt eine kugelsymmetrische Masse ohne Rotation oder Ladung. Trotz ihrer Einfachheit ist sie ein wichtiges Werkzeug. So können mit ihrer Hilfe beispielsweise Schwarze Löcher oder Wurmlöcher beschrieben werden. 2 Grundlagen 2.1 Spezielle Relativitätstheorie Wir wiederholen kurz die Notation der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) und Grundlagen[1]. Einsteins Postulate lauten: 1. Physikalische Gesetzte sind in allen Inertialsystemen(IS) gleich. 2. Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Inertialsystemen gleich. Wir erhalten als Invariantes Raumzeitelement: ds 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 (1) Wobei die gestrichenen Koordinaten ein anderes IS bezeichnen. Dieses Wegelement beschreibt den Minkowski-Raum. Der Raum kann auch mit Hilfe des metrischen Tensors beschrieben werden. Es hat die Form: (g µν ) = (η µν ) = (η µν ) = diag (1, 1, 1, 1) mit η µν = 0 wenn µ ν (2) Des Weiteren führen wir den Vierervektor A µ ein: (A µ ) = (A 0, A 1, A 2, A 3 ) kovarianter V ierervektor (3) (A µ ) = ( A 0, A 1, A 2, A 3) kontravarianter V ierervektor (4) Wobei die Vektoren mit A µ = g µν A ν zusammenhängen. Hierbei wurde die Einsteinsche Summenkonvention verwendet. Die Einsteinsche Summenkonvention besagt, dass über doppelte Indizes in einen Produkt summiert wird, nicht aber über doppelte Indizes in einer Summe. Auÿerdem zeigen griechische Indizes die Summation über vier Indizes und lateinische Indizes die Summation über drei. Das Viererskalarprodukt ist deniert als: AB = A µ B µ = A µb µ (5) Es ist also invariant unter einem Wechsel des Bezugssystems. Einen solchen Wechsel beschreibt man durch die Lorentstransformation: x µ = Λ µ νx ν x µ = Λ ν µ x ν (6) Man bezeichnet Λ als Lorentztensor. Der Lorentztensor hat die Eigenschaften: ( ΛΛ T ) ρσ = g ρσ Λρ σ = g µα Λ α βg βν (7) 3

4 2.2 Äquivalenzprinzip Der Übergang zu einem allgemein gültigen metrischen Tensor wird durch das Äquivalenzprinzip ermöglicht. Man kann es in drei Behauptungen unterteilen[2]: 1. Schwere und träge Masse sind gleich. 2. Gravitationskräfte sind äquivalent zu den Trägheitskräften. 3. Im lokalen Inertialsystem gelten die bekannten Gesetze der SRT ohne Gravitation. Hierbei ist das "lokal" von Bedeutung, da ein herkömmliches IS ein Bezugssystem ist, das nicht beschleunigt ist im Vergleich zum Fixsternhimmel. Das lokale IS hingegen schon. Als lokales IS gilt beispielsweise ein frei fallender Fahrstuhl oder ein Satellitenlabor(SL), welches in der Erdumlaufbahn kreist. Das Satellitenlabor ist ein kräftefreies Inertialsystem, da sich die Fliehkraft und die Gravitationskräfte gegenseitig aufheben. Die Lokalität hierbei ist stark eingeschränkt, nämlich auf einen einzigen Punkt. Es kann jedoch näherungsweise für das ganze SL betrachtet werden, da das Gravitationsfeld der Erde sehr viel gröÿer ist als das Labor. Abbildung 1: Das Satellitenlabor kann als Kräfte frei gesehen werden. Es gilt nach dem Äquivalenzprinzip die SRT.[2] 2.3 Riemannsche Raum Seien ξ µ die Minkoskikoordinaten und der Minkowskiraum gegeben durch[2]: ds 2 = η αβ dξ α dξ β (8) Das Äquivalenzprinzip besagt, dass wir ein SL durch die SRT beschreiben können. Den Wechsel in ein KS mit den Koordinaten x µ, erhalten wir, indem wir den Riemannschen Raum wie folgt einführen[2]: Also hat der metrische Tensor die Form: ds 2 = g µν (x) dx µ dx ν (9) g µν (x) = η αβ ξ α x µ ξ β x ν (10) 4

5 Der metrische Tensor g µν ist symmetrisch unter Vertauschung der Indizes und besitzt eine inverse Matrix g µν : 2.4 Christoel Symbole Wir führen nochmal die Christoelsymbole ein[2]: Γ κ λµ = gκν 2 g µν = g νµ, g µν g µν = δ µν (11) ( gµν x λ + g λν x µ g µλ x ν ) = xκ ξ α 2 ξ α x λ x ν (12) Die Christoelsymbole sind Symmetrisch unter Vertauschung der unteren Indizes. 2.5 Krümungstensor Γ ρ µν = Γ ρ νµ (13) Der Krümungstensor beschreibt, wie aus den Namen hervor geht, die Krümmung des Raumes. Verschwinden beispielsweise alle Elemente, so ist der Raum ungekrümmt. Er hat im Allgemeinen die folgende Form[2]: R mikp = 1 2 ( 2 g mk x i x p + 2 g ip x m x k Die Symmetrien sehen wie folgt aus: 2 g ik x m x p 2 g mp x i x k ) ( + g rs Γ r km Γ s ip Γ r pmγ s ) ik (14) R mikp = R kpmi (15) R mikp = R imkp = R mipk = R impk (16) R mikp + R mpik + mkpi = 0 (17) Die Aussage über die verschwindenden Elemente lässt sich noch weiter fassen. Genau dann, wenn alle Elemente des Tensors gleich Null sind, existiert ein globales kartesisches Koordinatensystem. Ein lokales ist immer möglich. 2.6 Ricci Tensor und Krümmungskalar Nun betrachten wir noch zwei Objekte, die aus dem Krümmungstensor durch Kontraktion hervorgehen. Den Ricci-Tensor[2]: Ausgeschrieben: R ip = R m imp = g km R kimp (18) R µν = Γρ µρ x ν Γρ µν x ρ + Γσ µργ ρ σν Γ σ µνγ ρ σρ (19) Hieraus folgt der Krümmungskalar[2]: R = R i i = g ik R ik (20) 5

6 2.7 Energie-Impuls-Tensor Wir betrachten den Energie-Impuls-Tensor für eine ideale Flüssigkeit[2]: T µν = (ρ + Pc ) 2 u µ u ν P η µν (21) 2.8 Isotrope statische Metrik Die allgemeine Form dieser Metrik lautet[2]: ds 2 = B (r) c 2 dt 2 A (r) dr 2 C (r) r 2 ( dθ 2 + sin 2 θdφ 2) (22) Um die Standardform zu erreichen, setzen wir noch C (r) = 1. Hierzu gehört der metrische Tensor: B (r) (g µν ) = 0 A (r) r 2 0 (23) r 2 sin 2 (θ) Es folgt aus g µν g µν = δ µν : (g µν ) = diag ( 1 B (r), 1 A (r), 1 r 2, 1 ) r 2 sin 2 θ Der Groÿteil der Christoelsymbole entfällt. Der Rest nimmt folgende Form an: Γ 0 01 = Γ 0 10 = B 2B, Γ1 00 = B 2A, Γ1 11 = A 2A, (24) Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1 r, Γ1 22 = r A, Γ1 33 = rsin2 θ A, (25) Γ 3 13 = Γ 3 31 = 1 r, Γ3 23 = Γ 3 32 = cot θ, Γ 2 33 = sinθ cosθ Setzen wir die Christoelsymbole in den Ricci-Tensor ein, so erhalten wir: ( ) R 00 = B 2A + B A 4A A + B B B ra ( ) R 11 = B 2B B A 4B A + B A B ra R 22 = 1 r ( ) A 2A A B + 1 B A (26) (27) (28) R 33 = R 22 sin 2 θ (29) R µν = 0 für µ ν (30) 6

7 3 Einsteingleichung Die Einsteingleichung ist eine geometrische Beschreibung der Gravitation. Sie ist eine wesentliche Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie und hat folgende Form[2]: oder R µν R 2 g µν = 8πG c 4 T µν (31) R µν = 8πG c 4 ( T µν T ) 2 g µν (32) 4 Äuÿere Schwarzschild-Metrik Die zeitunabhängige sphärische Massenverteilung hat die Form: ρ (r) = { 0, falls r r0 = 0, sonst (33) Somit ergibt sich die Metrik aus (22). Auÿerdem fordern wir, dass das Feld statisch ist, also (u µ ) = 0. Somit verschwindet auÿerhalb der Energie-Impuls-Tensor und damit gilt nach (32): R µν = 0 (r r 0 ) (34) Die Nebendiagonalelemente verschwinden auch durch (30) und in (29) sieht man, dass R 33 verschwindet, wenn R 22 verschwindet. Somit bleibt uns noch R 00, R 11 und R 33. Setzen wir (26) und (27) in die nachfolgende Formel ein: R 00 B + R 11 A = 0 = 1 ra ( B B + A A Hieraus folgt, dass die Klammer verschwinden muss. Multiplizieren wir diese mit A (r) B (r) so erhalten wir: ) (35) A B + A B = 0 A (r) B (r) = const (36) Da in unendlicher Entfernung die Wirkung des Feldes verschwindet, sollte die Metrik in die Minkowski übergehen: (g µν ) = diag ( B (r), A (r), r 2, r 2 sin 2 θ ) lim (g µν) = diag ( 1, 1, r 2, r 2 sin 2 θ ) r Setzen wir diese Randbedingung für B und A ein, erhalten wir: (37) A (r) B (r) = 1 A = 1 B A = B B 2 (38) 7

8 Setzen wir das für R 11 und R 22 erkennen wir den Zusammenhang: R 22 = 1 + rb + B = 0 (39) Wir können (39) umschreiben in: R 11 = B 2B + B rb = rb + 2B = 1 d R 22 = 0 (40) 2rb 2rB dr 1 + rb + B = 0 d (rb) dr = 1 rb = r + const. =: r r s (41) Hierbei denieren wir r s als den Schwarzschildradius. Setzen wir das noch in (38) ein, erhalten wir die Vorfaktoren: B (r) = 1 r s r, A (r) = 1 1 r s /r Somit haben wir einen expliziten Ausdruck für die Schwarzschildmetrik gefunden: ( ds 2 = 1 r s r (42) ) c 2 dt 2 dr2 1 r s /r r2 ( dθ 2 + sin 2 θdφ 2) (43) Um den Schwarzschildradius zu erhalten, können wir den nicht-relativistischen Grenzfall betrachten[3]: also beträgt der Schwarzschildradius: Wobei M die Masse des Körpers ist. 5 Anwendung 5.1 Sonnensystem g 00 = B (r) lim 1 + 2φ r c 2 = 1 2GM c 2 r = 1 r s r (44) r s = 2GM c 2 (45) Die Schwarzschildmetrik wird für die Beschreibung unseres Sonnensystems nicht benötigt. Die Masse der Sonne und ihr Radius betragen[4]: M = kg und R = 6, m. Setzen wir die Masse in (45) und teilen durch den Radius, erhalten wir: r s R = 2GM c 2 R = 4, (46) 11 m3 Wobei G = 6, kg s und c = m s. Somit gilt r s << r, da die Koordinate r nach Vorraumsetzung gröÿer sein muss als R. Somit ist die Wirkung 8

9 der Krümmung nur noch gering und wir können in der Regel die Minkowski-Metrik verwenden. Hier noch weitere Verhältnisse: Sonne weiÿer Zwerg Neutronenstern Schwarzes Loch r s /R < 1 9

10 5.2 Zeitdillatation(Einschub) Die Zeitverschiebung aufgrund der Gravitation gehorcht folgendem Gesetz[2]: dτ = Bdt = 1 r s dt dτ dt (47) r Hierbei ist: τ: Die Eigenzeit t: Die Koordinatenzeit im Unendlichen r s : Schwarzschilradius des Sterns Wie in Abb. 2 veranschaulicht, muss für unsere Wahl der Koordinaten die Eigenzeit immer kleiner sein als die Koordinatenzeit, oder in Worten: Ist der Betrachter näher am Stern, wird die Zeit mehr gedehnt. Abbildung 2: Albert hat mit seiner Cousine Elsa ausgemacht, dass sie sich am Sonnabend in einem Cafe unter seiner Wohnung am Rande der Milchstraÿe treen. Leider hat Albert vergessen Elsa zu erklären, dass sich ihr Haus näher am Galaktischen Zentrum bendet und dadurch stärker von der Zeitdillatation beeinusst wird. Deshalb wartet Albert schon, während Elsa sich noch fertig macht. 5.3 GPS Eine häug genannte Ausnahme ist die Einwirkung der Zeitdilatation beim GPS. Die Erde hat eine Masse von M E = 5, kg, einen Radius von R E = 6, und das GPS bendet sich in einer Höhe von R GP S = 2, m. Das Verhältnis der 10

11 reellen Zeit t und der einer unendlich ruhenden Uhr τ lautet[2]: dτ E = 1 2 G M E (48) dt c 2 R E Für einen bewegten Satelliten gilt[2]: dτ GP S dt = 1 3 G M E c 2 R GP S (49) Das gibt ein Verhältnis unter Berücksichtigung der gültigen Ziern: dτ GP S /dt dτ E /dt = 1.00 (50) Die verwendeten Zahlen sind also leider zu ungenau, um eine Zeitdehnung zu erkennen. 11

12 5.4 Schwarzes Loch Ist der Radius des Sterns kleiner als der Schwarzschildradius, wird der Stern zum Schwarzen Loch. Für eine ruhende Uhr gilt[2] dτ = Bdt. Somit divergiert dt/dτ, wenn r r s. Anschaulich bedeutet dies, dass ein Photon, welches vom Schwarzschildradius emittiert wird unendlich rot verschoben wird und somit keine Photonen beim Betrachter ankommen. Die Divergenz von ds 2 liegt aber lediglich an der Wahl der Koordinaten und kann durch geeignete Transformation verhindert werden. Man kann die Raumkrümmung anschaulich durch den Flamm'schen Paraboloid darstellen welcher die Einbettung in eine höhere Dimension beschreibt[5]: Z 2 = 8M (r 2M) (51) Wir betrachten den positiven Ast der Parabel und rotieren diesen um den Winkel Θ. Dadurch erhalten wir den Paraboloid: Z X Y Abbildung 3: Flamm'scher Paraboloid 12

13 5.5 Potential Das Potential der Schwarzschildmetrik(γ = 1) weicht vom Keplerpotential(γ = 0) ab[2]: GM + l2 r 2r 2 γ GMl2 c 2 r 3, falls m 0 V eff (r) = (52) l 2 2r 2 γ GMl2 c 2 r 3, falls m = 0 Wie wir in Abb. 4 und Abb. 5 erkennen können, weichen die Potentiale für kleine r stark voneinander ab. Bei Kepler haben wir den typischen Potenzialtopf, der dafür sorgt, dass man eine stabile Ellipsenbahn erhält. Auÿerdem hat man eine Singularität die verhindert, dass ein Teilchen ins Zentrum fällt. Diese Singularität ist bei Schwarzschild hingegen negativ und sorgt dafür, dass sobald eine gewisse Energieschwelle überschritten wurde, eine anziehende Wirkung eintritt l=1 l=2 l=3 l=4 l=5 Veff l=1 l=2 l=3 l=4 l=5 Veff r r Abbildung 4: Kepplerpotential: Für GM = 1 = c und m 0 Abbildung 5: Schwarzschildpotential: Für GM = 1 = c und m 0 13

14 Literatur [1] V. Braun. Lecture: Quantum Elektro Dynamics, [2] T. Fliessbach. Allgemeine Relativitatstheorie. Spektrum, [3] D. Eiber. Einsteinsche Feldgleichung [4] A. Hammer. Physikalische Formeln und Tabellen. J. Lindauer Verlag München, October [5] W. Gebhardt. Black Holes, neutron Stars and other Exotica,