Physikalische Aspekte und Visualisierung von stationären Wurmlöchern

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1 Physikalische Aspekte und Visualisierung von stationären Wurmlöchern Diplomarbeit von Oliver Fechtig Hauptberichter : Prof. Dr. G. Wunner Institut für Theoretische Physik I Universität Stuttgart Mitberichter : Prof. Dr. H. Ruder Institut für Astronomie und Astrophysik Institut für Theoretische Astrophysik Eberhard-Karls-Universität Tübingen

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3 Ehrenwörtliche Erklärung Ich erkläre, dass ich diese Arbeit selbständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. Stuttgart, Oliver Fechtig

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5 Inhaltsverzeichnis I. Theoretische Grundlagen 1 1. Notation 3 2. Mathematische Grundlagen Mannigfaltigkeiten Vektor- und dualer Vektorraum Vektorraum Dualer Vektorraum Lokale Tetraden Killing-Vektoren Physikalische Grundlagen Raumzeit und Metrik Rotierende Raumzeiten Einbettungsdiagramme Lokale Tetrade - stationärer und statischer Beobachter Ergoregion Gravitationsrotverschiebung Einsteinsche Feldgleichungen Geodätengleichung Krümmungstensor, Ricci-Tensor und Krümmungsskalar Energie-Impuls-Tensor Einsteinsche Feldgleichungen Hamilton-Jacobi-Formalismus Super-Hamilton-Funktion Hamilton-Jacobi-Formalismus und Carter-Konstante Energie-Bedingungen Wurmlöcher Einführung Einbettungsdiagramm und Flare-Out-Bedingung i

6 Inhaltsverzeichnis 5. Kugelsymmetrisches, statisches Wurmloch: die Morris-Thorne-Metrik Metrik Lokale Tetrade Einschränkung der Potenziale Asymptotisches Verhalten der Metrik für r Keine Ereignishorizonte Einbettungsdiagramm und FOB Wahl der Potenziale Gravitationsrotverschiebung Verletzung der Energie-Bedingungen Axialsymmetrisches, rotierendes, stationäres Wurmloch: die Teo-Metrik Metrik Lokale Tetrade Stationärer Beobachter Statischer Beobachter Ergoregion Einschränkung der Potenziale Asymptotisches Verhalten der Metrik für r Keine Ereignishorizonte Einbettungsdiagramm und FOB Separabilität der Bewegungsgleichungen Wahl der Potenziale Gravitations-Rotverschiebung Verletzung der Energie-Bedingungen II. Raytracing Das Raytracing-Programm RayViS Raytracing Dreidimensionales Raytracing Vierdimensionales Raytracing Aufbau von RayViS Zur Implementierung der Wurmloch-Metriken III. Interpretation Visualisierung der Morris-Thorne- und der Teo-Metrik Szenenaufbau 73 ii

7 Inhaltsverzeichnis 10.Geöffneter Schlund Morris-Thorne-Metrik Teo-Metrik IV. Anhang 93 A. Filmverzeichnis und -beschreibung 95 A.1. Morris-Thorne-Filme A.2. Teo-Filme B. Tensorkomponenten in der Morris-Thorne-Metrik 97 B.1. Tensorkomponenten in Koordinaten B.1.1. Christoffelsymbole B.1.2. Riemannscher Krümmungstensor, Ricci-Tensor, Krümmungsskalar 97 B.1.3. Einstein-Tensor B.1.4. Energie-Impuls-Tensor B.2. Tensorkomponenten in der Tetrade des statischen Beobachters B.2.1. Christoffelsymbole B.2.2. Riemannscher Krümmungstensor, Ricci-Tensor, Krümmungsskalar 99 B.2.3. Einstein-Tensor B.2.4. Energie-Impuls-Tensor C. Tensorkomponenten in der Teo-Metrik 101 C.1. Tensorkomponenten in Koordinaten C.1.1. Christoffelsymbole C.1.2. Riemannscher Krümmungstensor, Ricci-Tensor, Krümmungsskalar 101 C.1.3. Einstein-Tensor C.1.4. Energie-Impuls-Tensor C.2. Tensorkomponenten in der Tetrade des statischen Beobachters C.2.1. Christoffelsymbole C.2.2. Riemannscher Krümmungstensor, Ricci-Tensor, Krümmungsskalar 104 C.2.3. Einstein-Tensor C.2.4. Energie-Impuls-Tensor C.3. Tensorkomponenten in der Tetrade des stationärenbeobachters C.3.1. Christoffelsymbole C.3.2. Riemannscher Krümmungstensor, Ricci-Tensor, Krümmungsskalar 107 C.3.3. Einstein-Tensor C.3.4. Energie-Impuls-Tensor iii

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9 Vorwort Der Traum der Menschheit, eines Tages zu weit entfernten Sternen zu gelangen, ist beinahe so alt wie die Menschheit selbst. Immer wieder finden sich auch in modernen Erzählungen Geschichten von Reisen zu anderen Sternensystemen oder Planeten. So hat bereits Jules Vernes in seinen Werken Von der Erde zum Mond und Reise um den Mond im ausgehenden neunzehnten Jahrhundert die Idee gehabt, mit der damals möglichen Technologie zum Mond zu reisen. Aber auch in der jüngeren Science-Fiction- Literatur wird die Sehnsucht der Menschen nach den Sternen durch z.t. atemberaubende Geschichten erweckt. Eine dieser Science-Fiction-Geschichten gab in den achtziger Jahren des letzten Jahrhunderts auch Forschern der modernen Physik Anlass, sich mit den Ideen des Autors auseinander zu setzen. Der Autor Carl Sagan, seines Zeichens selbst Physiker, wollte in seinem Roman Contact die Protagonistin auf eine interstellare Reise schicken, unter der Bedingung, dass diese Reise so physikalisch korrekt wie möglich von statten geht. Zu diesem Zweck kontaktierte er einen befreundeten theoretischen Physiker Kip Thorne und bat diesen um Hilfe. Thorne entwickelte daraufhin eine Theorie über Objekte im Universum, die dem einen oder anderen Leser als Wurmlöcher bekannt sind. Mit Hilfe von Wurmlöchern soll es Menschen einer beliebig weit entwickelten Zivilisation möglich sein, weit voneinander entfernte Bereiche in unserem Universum in kürzester Zeit unbeschadet zu bereisen, indem sie einfach ein Wurmloch erzeugen und durch dieses in die entfernte Region gelangen. Seit der Entwicklung der Theorie der Wurmlöcher sind nun rund 20 Jahre ins Land gegangen und viele Physiker haben sich seitdem mit dem Thema der Wurmlöcher beschäftigt und die Theorie weiter entwickelt. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Erweiterung der ursprünglichen Theorie von statischen Wurmlöchern auf axialsymmetrische, rotierende, stationäre Wurmlöcher. In den folgenden Kapiteln sollen zunächst die mathematischen wie auch die physikalischen Grundlagen von axialsymmetrischen, rotierenden, stationären Raumzeiten vorgestellt und diskutiert werden. Im Anschluss daran wird auf zwei Spezialfälle von Wurmlöchern eingegangen, auf welche die Ergebnisse aus der allgemeinen Diskussion angewandt werden sollen. Als ein weiterer Abschnitt dieser Arbeit wird auch die Visualisierung dieser beiden Wurmlöcher durch das Raytracingprogramm RayViS behandelt werden. Zum Abschluss werden wir dann eine Diskussion und einen Vergleich zwischen den beiden Wurmlöchern an Hand von Bildern und Filmen, welche auf der beigefügten CD enthalten sind, führen. v

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11 Teil I. Theoretische Grundlagen 1

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13 1. Notation Im Folgenden wollen wir stets die Einsteinsche Summenkonvention verwenden. Es wird über jeden griechischen Index, der in einem Summanden einmal unten und einmal oben auftritt, jeweils von 0 bis 3 summiert. Werden als Indices lateinische Buchstaben verwendet, so wird von 1 bis 3 summiert, a µ x µ = a i x i = 3 a µ x µ, µ=0 3 a i x i. (1.1) i=1 Manchmal kann es der Übersichtlichkeit wegen nötig sein, Indices umzubenennen: ( 3 µ)( 3 ) a µ x a µ x µ a µ x µ a ν x ν. (1.2) µ=0 µ=0 In der Literatur wird häufig der Ausdruck ds 2 = g µν dx µ dx ν, (1.3) also ein differentielles Abstandsquadrat, als Metrik bezeichnet. Im mathematisch strengen Sinne ist eine Metrik jedoch ein Tensor g = g µν dx µ dx ν. (1.4) Wir wollen im Folgenden aber unter dem Begriff Metrik den Ausdruck im Sinne von Gl.(1.3) verstehen. 3

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15 2. Mathematische Grundlagen Im Rahmen der Relativitätstheorie ist der Begriff der Raumzeit von zentraler Bedeutung. Die physikalische Raumzeit wird dabei in recht eleganter Weise von Mannigfaltigkeiten beschrieben. Um die Beschreibung der Physik durch Mannigfaltigkeiten zu verstehen, wollen wir an dieser Stelle ein paar grundlegende Definitionen aus der Differentialgeometrie einführen. Die Darstellung der sich anschliessenden Abschnitte folgt im wesentlichen dem Weg, der in [Nak90] beschritten wird Mannigfaltigkeiten Als erstes wollen wir ein einfaches Beispiel für eine Mannigfaltigkeit bringen und an ihm die zentralen Begriffe der Theorie der Mannigfaltigkeiten einführen. Im Anschluss daran folgt die mathematische Definition. Stellen wir uns eine Kugeloberfläche,z.B.die Erdoberfläche vor. Die Erdoberfläche ist eine zweidimensionale, riemannsche Mannigfaltigkeit. Wir können jeden Punkt auf der Erdoberfläche durch die Angabe von Längen- und Breitengraden angeben. Diese Längen- und Breitengrade sind sogenannte Koordinaten. Wie wir die Koordinaten wählen ist uns völlig freigestellt. Einen Punkt den wir durch entsprechende Koordinaten beschreiben wollen beibt stets an der selben Stelle auf der Erdoberfläche, unabhängig von den gewählten Koordinaten. Schneiden wir nun die Erdoberfläche ähnlich einer Apfelsine so auf, dass auf einem der Schnitze z.b. Europa und Afrika zu sehen sind, auf einem anderen Schnitz Nord- und Südamerika usw. Was wir auf den entstehenden Schnitzen sehen, kennen wir aus der Geographie unter dem Begriff Karte. Binden wir die Schnitze zu einem Buch zusammen, in dem alle Karten gesammelt vorliegen, so erhalten wir einen ebenfalls aus der Geographie bekannten Atlas. Dieses einfache Beispiel soll uns nun zur mathematischen Definition des Begriffes der Mannigfaltigkeit zu Grunde liegen. Eine Mannigfaltigkeit M ist ein topologischer Raum, der lokal homeomorph zu R m ist dies muss nicht global gelten. Die Eigenschaft, lokal homeomorph zu R m zu sein, erlaubt es uns, jedem Punkt p M eine Menge von m Zahlen zuzuordnen. Diese m Zahlen wollen wir als lokale Koordinaten bezeichnen. Die Menge der m Zahlen wollen wir Koordinatensystem nennen. Ist eine Mannigfaltigkeit nicht global homeomorph zu R m,somüssen wir mehrere Koordinatensysteme einführen. Es ist dann möglich, dass ein einzelner Punkt zwei oder mehrere Koordinaten bestitzt. Wir wollen darüberhinaus verlangen, dass der Übergang von den einen Koordinaten zu den anderen glatt verläuft, also hinreichend oft differenzierbar ist. 5

16 2.2. Vektor- und dualer Vektorraum Definition (Mannigfaltigkeit) M ist eine m-dimensionale, differenzierbare Mannigfaltigkeit, falls gilt: (i) M ist ein topologischer Raum (ii) M ist mit einer Familie von Paaren {(U i,ϕ i )} versehen,wobei {U i } eine Familie von offenen Mengen ist, welche M abdecken, d.h. i U i = M, ϕ i ist ein Homeomorphismus von U i auf eine offene Teilmenge U i R m. (iii) Seien U i, U j gegeben, mit U i U j. DieKarteψ ij = ϕ i ϕ 1 j von ϕ j (U i U j ) nach ϕ i (U i U j ) ist unendlich oft differenzierbar. M U i U j ϕ i ϕ j U i ψ ij U j Abbildung 2.1.: Ein Homeomorphismus ϕ i bildet U i auf eine offene Teilmenge U i Rm ab, indem er einem Punkt p U i Koordinaten zuordnet. Das Paar (U i,ϕ i ) wollen wir als Karte, die Familie {(U i,ϕ i )} von Karten als einen Atlas bezeichnen. Die Teilmenge U i heisst Koordinaten-Nachbarschaft und ϕ i die Koordinaten-Funktion oder einfach die Koordinate. ϕ i wird von m Funktionen {x 1 (p),..., x m (p)} repräsentiert. Diese Menge {x µ (p)} wird ebenfalls Koordinate genannt. Ein Punkt p M existiert unabhängig von seinen Koordinaten Vektor- und dualer Vektorraum Vektorraum Wir wollen nach der Definition des Begriffes der Karte zur Definition von anderen geometrischen Objekten übergehen. Was wollen wir z.b. unter einem Vektor auf einer Mannigfaltigkeit verstehen? Die Anschauung eines Vektors als Pfeil, der einen 6

17 Kapitel 2. Mathematische Grundlagen Ursprung mit einem Punkt verbindet, funktioniert in dieser Weise nicht auf einer Mannigfaltigkeit. Daher müssen wir uns einen neuen Zugang zu diesem Begriff schaffen. Ein Vektor wird in der Theorie der Mannigfaltigkeiten nicht auf der Mannigfaltigkeit selbst definiert, sondern vielmehr auf dem Tangentialraum in einem Punkt p M. Seien c : ]a, b[ R M : t c(t) eine Kurve und f : M R : c(t) f(c(t)) eine Funktion auf der Mannigfaltigkeit M. In dem offenen Intervall ]a, b[ solldabeidienull enthalten sein. Mit t ]a, b[ ist die Richtungsableitung der Funktion f(c(t)) entlang der Kurve c(t) an der Stelle t =0: Sei X durch df(c(t)) dt t=0 in lokalen ( )( Koordinaten f dx µ (c(t)) = x µ dt ). (2.1) t=0 ( ) X = X µ, (2.2) x µ X µ = dxµ (c(t)) dt (2.3) t=0 gegeben. Dann definieren wir den Tangentenvektor X[f] anm im Punkt p = c(0) entlang einer durch c(t) gegebenen Richtung durch ( ) df(c(t)) f dt = X µ := X[f]. (2.4) t=0 x µ Die Menge aller Tangentialvektoren an M in p bilden den Tangentialraum T p M b c X c(0) c(t) M f R a ϕ c ϕ f ϕ 1 R m 01 x Abbildung 2.2.: Eine Kurve c und eine Funktion f definieren einen Tangentenvektor entlang einer Kurve, ausgedrückt durch die Richtungsableitung. an M in p. Als Basis dieses Tangentialraumes identifizieren wir dabei die Menge 7

18 2.2. Vektor- und dualer Vektorraum {e µ = x µ },wobei1 µ m ist. Diese Basis wollen wir von nun ab als Koordinatenbasis bezeichnen, da die Basis {e µ } von den partiellen Ableitungen entlang einzelner Koordinaten aufgespannt wird, während die anderen Koordinaten konstant gehalten werden. Wird ein Vektor v T p M als v = v µ e µ geschrieben, so heissen die Zahlen v µ die Komponenten von v bezüglich der Basis e µ. Ein Vektor existiert unabhängig von einer speziellen Koordinatenwahl. Diese Koordinatenunabhängigkeit eines Vektors ermöglicht es uns, das Transformationsverhalten zwischen den Komponenten eines Vektors zu bestimmen. Sei p U i U j, und x = ϕ i (p) und y = ϕ j (p). Dann haben wir zwei Ausdrücke für den Vektor X, nämlich X = X ( ) ( ) µ x = Xµ, µ y µ X µ = X ( ) (2.5) ν y µ x. ν Die Basis von T p M muss natürlich nicht unbedingt {e µ } sein, sondern kann z.b auch eine Linearkombination eˆα = bˆα µ e µ daraus sein aber nur unter der Voraussetzung, dass die bˆα µ keine Abbildungen sind, die aus linear unabhängigen Vektoren linear abhängige Vektoren macht. Die Basis {eˆα } heisst nicht-koordinaten Basis Dualer Vektorraum Da T p M ein Vektorraum ist, existiert auch ein dazu dualer Vektorraum, dessen Elemente lineare Funktionen von T p M nach R sind. Diesen dualen Raum nennen wir Kotangentialraum Tp M an M in p. Ein Element ω : T pm R von Tp M bezeichnen wir als dualen Vektor, Kotangentialvektor oder Eins-Form. Die einfachste Eins-Form erhalten wir, indem wir das Differential df einer Funktion f F(M ) bilden. Wenden wir den Vektor v auf die Funktion f an, so ist v[f] = v µ ( f/ x µ ) R. Dann definieren wir die Wirkung von df Tp M auf v T p M durch ( ) f df,v := v[f] =v µ R. (2.6) x µ In einer koordinatenabhängigen Darstellung mit den Koordinaten x = ϕ(p) können wir das Differential df der Funktion f durch df = f x µ dxµ (2.7) ausdrücken. Es ist daher naheliegend, {dx µ } als Basis von Tp M aufzufassen. Darüberhinaus ist diese Basis eine duale Basis zu { / x µ }, da offensichtlich dx ν, = xν x µ x = µ δν µ (2.8) 8

19 Kapitel 2. Mathematische Grundlagen gilt. Eine beliebige Eins-Form kann als ω = ω µ dx µ (2.9) geschrieben werden, wobei ω µ die Komponenten von ω bezüglich der Basis {dx µ } genannt werden. Definition (Inneres Produkt) Sei v = v µ ( / x µ ) Vektor und ω = ω µ dx µ Eins-Form. Dann ist das innere Produkt, : Tp M T pm R durch ω, v = ω µ v dx ν µ, = ω x ν µ v ν δ µ ν = ω µ v µ (2.10) definiert. Das innere Produkt ist zwischen einem Vektor und einer Dualform definiert und nicht zwischen zwei Vektoren oder zwei Dualformen! Für das Transformationsverhalten von ω gilt, analog zum Transformationsverhalten von Vektoren, mit p U i U j, x = ϕ i (p) und y = ϕ j (p) 2.3. Lokale Tetraden ω = ω µ dx µ = ω ν dy ν, ω ν = ω µ ( x µ x ν ). (2.11) In der Koordinatenbasis wird T p M von {e µ } = { / x µ } und T p M von {dxµ } aufgespannt. Ist die Mannigfaltigkeit M mit einer Metrik g ausgestattet, so können wir auch eine andere Wahl treffen. Sei eˆα = bˆα µ e µ {bˆα µ } GL(m, R) (2.12) mit det bˆα µ > 0. Mit anderen Worten: {eˆα } ist das Bezugssystem von Basisvektoren, welches wir durch eine GL(m, R)-Rotation der Basis{e µ }, unter Erhaltung der Orientierung, erhalten. Fordern wir, dass {eˆα } orthonormal ist, so bedeutet das für eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit wobei g(eˆα,eˆβ) = b µ ˆα b ˆβ ν µν = ηˆα ˆβ, (2.13) g µν = bˆα µ b ˆβ ν ηˆα ˆβ, (2.14) bˆα µ =(bˆα µ ) 1 (2.15) ist (für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ersetze der Leser η µν durch δ µν ). Da ein Vektor unabhängig von der gewählten Basis existiert, haben wir v = v µ e µ = v ˆα eˆα = v ˆα bˆα µ e µ, (2.16) 9

20 2.4. Killing-Vektoren woraus v µ = v ˆα bˆα µ folgt. Führen wir nun eine duale Basis {θ ˆα } ein, welche durch wird, so ist θ ˆα durch und v ˆα = bˆα µv µ (2.17) θ ˆα,eˆβ = η ˆα ˆβ definiert θ ˆα = bˆα µdx µ (2.18) gegeben. Drücken wir die Metrik nun in der Basis {θ ˆα } aus, so lautet diese g µν dx µ dx ν = ηˆα ˆβθ ˆα θ ˆβ. (2.19) Die Basen {eˆα } und {θ ˆα } nennen wir die nicht-koordinaten Basen. Benutzen wir die Indices κ, λ, µ, ν,...(ˆα, ˆβ, γ, δ,...), so wollen wir die Konvention treffen, dass wir die Koordinaten- bzw. die nicht-koordinaten Basis beschreiben. Die Koeffizienten bˆα µ heissen Vierbein oder lokale Tetrade Killing-Vektoren Aus der klassischen Mechanik ist bekannt, dass Symmetrien in der Lagrange- oder der Hamilton-Funktion Erhaltungsätze für bestimmte Grössen liefern (Noether-Theorem). Diese Erhaltungssätze liefern Konstanten der Bewegung. Es gibt jedoch noch einen anderen, äquivalenten Weg, diese Konstanten der Bewegung zu erhalten. Er führt über die sogenannten Killing-Vektoren. Diese Killing-Vektoren sollen hier analog zu [MTW73] eingeführt werden. Erfüllt ein Vektorfeld ξ µ die Bedingung ξ µ ;ν + ξ ν ;µ =0, (2.20) so nennen wir diese Vektoren Killing-Vektoren, Gl.(2.20) heisst Killing-Gleichung. Sie ist kovariant formuliert und somit für jede Wahl von Koordinaten gültig. Daher genügt es, sie in einem speziellen Koordinatensystem zu formulieren. In diesem speziellen Koordinatensystem habe ξ µ die Komponenten ξ µ = δ µ K. (2.21) Aus der Killing-Gleichung (2.20) und der Geodätengleichung für einen Tangentenvektor p = d/dλ an eine beliebige Geodäte folgt ein wichtiger Satz, welcher später bei der Berechnung der Gravitationsrotverschiebung noch eine Rolle spielen wird. Wir zitieren hier aus [MTW73]: 10

21 Kapitel 2. Mathematische Grundlagen Satz In jeder Geometrie, die eine durch ein Killing-Vektor-Feld ξ µ beschriebene Symmetrie besitzt, bleibt das Skalarprodukt zwischen der Tangente an eine beliebige Geodäte mit dem Killing-Vektor konstant p µ ξ µ =k. (2.22) In dem von uns gewählten, speziellen Koordinatensystem, in dem die Komponenten der Killing-Vektoren durch ξ µ = δ µ K gegeben ist, bedeutet dies, dass k := p µξ µ = p µ δ µ K = p K ist. Also garantiert die Symmetrie der Geometrie die Erhaltung der K-ten Komponente des Impulses! 11

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23 3. Physikalische Grundlagen 3.1. Raumzeit und Metrik In der Relativitätstheorie existieren Raum und Zeit nicht mehr getrennt voneinander, sondern werden zu einer vierdimensionalen, in der allgemeinen Relativitätstheorie (ART) unter Umständen gekrümmten, vierdimensionalen Raumzeit zusammengefasst. Einen Punkt dieser Raumzeit nennen wir Ereignis und kann durch Koordinaten x µ beschrieben werden. Eine Raumzeit können wir als eine differenzierbare Mannigfaltigkeit auffassen, welche mit einer Lorentzschen (pseudo-riemannschen) Metrik ausgestattet ist. Diese Metrik bestimmt, wie in einer Raumzeit Abstände zwischen zwei Ereignissen gemessen werden sollen. Im allgemeinsten Fall hat eine Metrik die Form ds 2 = g µν dx µ dx ν, (3.1) wobei g µν die Komponenten des metrischen Tensors g und ds 2 den differentiellen Abstand zweier Ereignisse darstellen. Der metrische Tensor ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe. Befindet sich die Metrik in Diagonalform, so besitzt sie Lorentzsche (pseudo- Riemannsche) Signatur, wir wählen hier (, +, +, +) (in manchen Büchern der Literatur wird auch die Signatur (+,,, ) benutzt). Mehr über die Signatur ist in [Wal86] zu finden. Wir definieren jedes Quadrupel von Zahlen, das sich wie die Differentiale der Koordinaten gemäß dx µ = x µ x dx ν (3.2) ν transformiert als kontravarianten Vektor. Sindv µ die Komponenten eines kontravarianten Vektors in einem Koordinantensystem S, sosindseinekomponentenindem Koordinatensystem S durch v µ = x µ x v ν (3.3) ν gegeben. Ein Vektor x µ der Raumzeit heisst Vierervektor. Ein Vierervektor x µ heisst bei Verwendung der Signatur (, +, +, +) zeitartig g µν x µ x µ < 0, lichtartig g µν x µ x µ = 0, raumartig g µν x µ x µ > 0. (3.4) 13

24 3.1. Raumzeit und Metrik Tensoren Die Grösse T µ 1...µ m ν 1...ν n (x) heisst m-fach kontra- und n-fach kovarianter Tensor, wenn dieser sich wie folgt transformiert T µ 1...µ m ν 1...ν n = x µ 1 x α 1 x µm x αm x ν1 xνn x β 1 x βn T α 1...α m β 1...β n. (3.5) Verschwindet ein Tensor in einem Koordinatensystem, so tut er dies in allen anderen Koordinatensystemen ebenso. Äquivalenzprinzip Stellen wir uns einmal vor, ein Beobachter steht mit beiden Beinen fest auf der Erde, also in einem homogenen Schwerefeld. Dann spürt dieser Beobachter die Erdbeschleunigung g, also die Gewichtskraft F 1 = m S g auf seinen Körper wirken. Ein zweiter Beobachter steht in einem Raumschiff, welches mit der der Beschleunigung a = g durch das Weltall fliegt. Auch er verspürt eine Kraft, die auf seinen Körper wirkt, nämlich F 2 = m Tr a. Führen die beiden Beobachter nun einen Vergleich der beiden Kräfte durch, so stellen sie fest, dass die Kräfte F 1 und F 2 gleichgross sind, d.h. F 1 = F 2. Sie schliessen aus wiederholten Messungen, dass der Quotient von träger und schwerer Masse konstant bleibt m Tr m S = k. Bei geeigneter Wahl der Einheiten für die Massen folgt somit, dass m S = m Tr sein muss. Dies ist die sogenannte Äquivalenz von träger und schwerer Masse. Im Rahmen der heutigen Messgenauigkeit ist die Äquivalenz von träger und schwerer Masse bis auf 13 Stellen hinter dem Komma genau gemessen worden! Unsere Betrachtung war in dem obigen Beispiel auf homogene, statische Schwerefelder beschränkt. Eine Verallgemeinerung auf zeitabhängige, inhomogene Schwerefelder lässt sich dann machen, wenn wir unsere Betrachtung auf hinreichend kleine Raumgebiete r und hinreichend kleine Zeitintervalle t um einen Punkt r 0 und einen Zeitpunkt t 0 einschränken. Wir bezeichnen die unmittelbare Umgebung eines Raumzeitpunktes (t 0, r 0 )alslokales Inertialsystem, wenn die unmittelbare Umgebung bezüglich dieses Punktes nicht beschleunigt ist (also vor allem nicht rotiert). Einstein postulierte aus dieser Annahme der Äquivalenz von träger und schwerer Masse, dass jedes lokal frei fallende System sämtliche Eigenschaften eines Inertialsystems ohne Schwerkraft besitzt. Insgesamt bedeutet das, dass in jedem Punkt der Raumzeit ein lokales Koordinatensystem existiert, in welchem die Gesetze der Speziellen Relativitätstheorie gelten. Die Raumzeit der Speziellen Relativitätstheorie ist jedoch flach, also minkowskisch. Daher werden wir von nun ab ein solches Koordinatensystem lokales Minkowski-System nennen. 14

25 Rotierende Raumzeiten Kapitel 3. Physikalische Grundlagen Die Klasse von Metriken, welche wir hier in Kugelkoordinaten betrachten wollen, ist von der Form ds 2 = g tt dt 2 +2g tϕ dtdϕ + g rr dr 2 + g ϑϑ dϑ 2 + g ϕϕ dϕ 2. (3.6) Die Metrik-Komponenten hängen im Allgemeinen noch von den Koordinaten t, r, ϑ, ϕ ab. Ist die Metrik von t und ϕ unabhängig, so sprichen wir von einer axialsymmetrischen, rotierenden, stationären Metrik [Teo98]. Im folgenden sollen solche Metriken durch ARS-Metrik abgekürzt werden Einbettungsdiagramme Ein erster Weg, uns die Metrik Gl.(3.6) besser vorzustellen, ist eine Visualisierung durch ein sogenanntes Einbettungsdiagramm. Unter Umständen ist es möglich, einen n- dimensionalen Raum in einen n + m-dimensionalen, euklidischen Raum mit der selben inneren Geometrie einzubetten. Die selbe innere Geometrie bedeutet hierbei, die beiden Räume müssen isometrisch also längenerhaltend zueinander sein. Da für unsere Mannigfaltigkeit n = 4 ist,müsste der Einbettungsraum folglich mindestens die Dimension = 5 haben. In [MTW73] wird jedoch darauf hingewiesen, dass ein nichtflacher, vierdimensionaler Raum niemals in einen flachen, fünfdimensionalen Raum eingebettet werden kann. Daher muss der Einbettungsraum für unsere vierdimensionale Raumzeit mindestens die Dimension sechs haben. Dies ist aber für einen Menschen noch unanschaulicher, als sich direkt die vierdimensionale Mannigfaltigkeit vorzustellen. Doch können wir uns hier mit einem Trick behelfen. Wir betten nicht die gesamte vierdimensionale Mannigfaltigkeit, sondern nur einen Unterraum ein. Dieser Unterraum darf höchstens zweidimensional sein, damit der Einbettungsraum maximal die Dimension = 3 besitzt und somit für Menschen noch vorstellbar ist. Die Einschränkung auf den Unterraum erreichen wir dadurch, dass wir Schnitte entlang konstanter Koordinatenachsen durchführen. In unserem Beispiel einer ARS-Metrik bietet sich ein Schnitt entlang der t-achse (wegen der Stationarität) und ein Schnitt entlang der ϑ-achse (wegen der Axialsymmetrie) an. Führen wir diese Schnitte für die Metrik in Gl.(3.6) durch, so reduziert sie sich auf ds 2 = g rr dr 2 + g ϕϕ dϕ 2. (3.7) Wir wählen für die Darstellung des Einbettungsraumes Zylinderkoordinaten, da diese sich zur Beschreibung von axialsymmetrischen Problemen am besten eignen. In dieser Darstellung besitzt der Einbettungsraum dann die Form d s 2 =dz 2 +d r 2 + r 2 d ϕ 2. (3.8) Nach etwas Umformung lässt sich dies auch auf die Darstellung [ ( ) ] 2 dz d s 2 = 1+ d r 2 + r 2 d ϕ 2 (3.9) d r 15

26 3.1. Raumzeit und Metrik bringen. Die Eingangs erwähnte Forderung nach Isometrie der beiden Räume bedeutet formal ausgedrückt ds 2 = d s 2, [ g rr dr 2 + g ϕϕ dϕ 2 = 1+ ( ) ] 2 dz d r 2 + r 2 d ϕ 2. (3.10) d r Führen wir eine neue Koordinate ρ(r, ϑ) ϑ=konst = ρ(r) = g ϕϕ (r) (3.11) ein, so liest sich die linke Seite mit einigen Umformungen jetzt ( ) 2 r ds 2 = g rr ρ dρ + ρ 2 dϕ 2. (3.12) Identifizieren wir an dieser Stelle ρ = r und ϕ = ϕ miteinander, so finden wir die folgende Beziehung ( ) [ 2 ( ) ] 2 dr dz g rr dρ 2 + ρ 2 dϕ 2 = 1+ dρ 2 + ρ 2 dϕ 2, dρ dρ [ 1 dz dρ = dz ( ) 2 2 dr dr dr dρ = ± g rr 1], (3.13) dρ bzw. [ r1 z(r) =± g rr r 0 ( ) ] dρ dr dr. (3.14) Die Funktion z(r) bezeichnen wir als Lift-Funktion oder auch Einbettungs- Funktion. Ist der Term in den Klammern positiv, so enthält z(r) alle Information, welche wir benötigen, um uns in den drei Dimensionen des euklidischen Raumes ein Bild von der eingangs betrachteten Metrik zu machen Lokale Tetrade - stationärer und statischer Beobachter Für einige Rechnungen kann es von Vorteil sein, in das spezifische Bezugssystem eines Beobachters zu wechseln, dessen Bezugsystem nicht mit den Koordinaten zusammen fällt. Zum Beispiel vereinfacht sich unter solch einem Wechsel des Bezugssystems der Riemannsche Krümmungstensor unter Umständen erheblich, wie wir dem Anhang dieser Arbeit entnehmen können. 16

27 Kapitel 3. Physikalische Grundlagen Dieses Bezugssystem des Beobachters ist die bereits in Kapitel 2.3 eingeführte lokale Tetrade. Sie beschreibt im physikalischen Sinne nichts anderes als ein lokales Minkowski-System. Wir wollen nun an dieser Stelle herausfinden, wie diese Tetrade für einen stationären (also mitrotierenden) Beobachter in der Metrik (3.6) aussieht. Um eine bessere Unterscheidung der betrachteten Systeme zu gewährleisten, wollen wir im folgenden von der Koordinatenbasis sprechen, wenn als Indices t, r, ϑ, ϕ benutzt werden. Für den stationären Beobachter benutzen wir die Indizierung ˆt, ˆr, ˆϑ, ˆϕ. Als Ansatz für die lokale Tetrade des stationären Beobachters wählen wir die vier Basisvektoren zu und für die θ ˆϕ -Einsform eˆt = Ae t + Be r + Ce ϑ + De ϕ, (3.15a) eˆr = Ee r, (3.15b) e ˆϑ = Fe ϑ, (3.15c) e ˆϕ = Ge t + He r + Ie ϑ + Je ϕ (3.15d) θ ˆϕ = R sin(ϑ) [dϕ Ωc ] dt. (3.16) Dieser Ansatz stellt nicht die einzige Möglichkeit dar, eine lokale Tetrade zu wählen. In der Regel wählt man den Richtungsvektor e t in Bewegungsrichtung. Die restlichen Basisvektoren können dabei noch beliebig frei um die e t -Achse gedreht werden. Der Ansatz Gl.(3.15a) für die lokale Tetrade des stationären Beobachters erscheint jedoch zweckmässig, ist er doch auf die speziellen Symmetrien der ARS-Raumzeiten angepasst. Die Grösse Ω = Ω(r, ϑ) = dϕ/dt ist die Winkelgeschwindigkeit des stationären Beobachters gegenüber dem Fixsternhimmel. Auf Grund von Gl.(2.8), welche das innere Produkt von Basisvektoren und dualen Basisvektoren beschreibt, und Gl.(2.13) der Orthonormierungsbedingung für die Basisvektoren der lokalen Tetrade ergeben sich dann die folgenden Forderungen welche durch Einsetzen auf die Form g(eˆα,eˆβ)! = ηˆα ˆβ, θ ˆϕ,eˆα = δ ˆϕ ˆα 1 = A 2 g tt +2ADg tϕ + D 2 g ϕϕ, (3.17a) 1 = G 2 g tt +2GJg tϕ + J 2 g ϕϕ, (3.17b) 0 = AGg tt + AJg tϕ + DGg tϕ + DJg ϕϕ, (3.17c) D = Ω A, c (3.17d) E = ±grr 1/2, (3.17e) F = ±g 1/2 ϑϑ, (3.17f) 0 = B = C = H = I (3.17g) 17

28 3.1. Raumzeit und Metrik gebracht werden können. Mit Gl.(3.17a) und Gl.(3.17d) sehen wir leicht, dass A und D dann die Form 1 A = ± ( g tt + Ω g ), (3.18) c tϕ + Ω2 g c 2 ϕϕ 1 Ω D = ± ( g tt + Ω g ) c tϕ + Ω2 g c c 2 ϕϕ (3.19) haben. Ebenso haben wir mit Gl.(3.17c) und Gl.(3.17d) ( gtϕ + Ω c G = J g ϕϕ) ( gtt + Ω g (3.20) c tϕ) und daher mit Gl.(3.17b) und Gl.(3.20) ( gtϕ + Ω c G = ± g ϕϕ) (gttg )( ϕϕ gtϕ 2 gtt +2 Ωg ), (3.21) c tϕ + Ω2 g c 2 ϕϕ ( gtt + Ω g c tϕ) F = Zusammenfassend beschreibt also die Tetrade (gttg )( ϕϕ gtϕ 2 gtt +2 Ωg ). (3.22) c tϕ + Ω2 g c 2 ϕϕ eˆt = [ e t + Ω e ] [ c ϕ ( g tt + Ωg ) ] 1/2 c tϕ + Ω2 g c 2 ϕϕ 1 eˆr = e r grr 1 e ˆϑ = e ϑ gϑϑ ( gtϕ + Ω c e ˆϕ = g ) ϕϕ et ( g tt + Ωg ) c tϕ eϕ (gttg )( ϕϕ gtϕ 2 gtt +2 Ω g ) c tϕ + Ω2 g c 2 ϕϕ (3.23) das lokale Minkowski-System des stationären Beobachters, welcher sich mit der Winkelgeschwindigkeit Ω relativ zum Fixsternhimmel bewegt. Ein stationärer Beobachter ist genau dann statisch, wennω=0ist Ergoregion Der stationäre Beobachter kann nicht jede beliebige Winkelgeschwindigkeit haben. Die Vierergeschwidingkeit des Beobachters muss stets zeitartig bleiben, sowohl in seinem lokalen Minkowski-System als auch in jedem anderen System. Die Vierergeschwindigkeit des Beobachters ist in seiner lokalen Tetrade sowie in Koordinaten gegeben durch u µ = eˆt = A(e t + Ω c e ϕ), (3.24) 18

29 Kapitel 3. Physikalische Grundlagen 1 A = (g tt +2 Ωg c tϕ + Ω2 g c 2 ϕϕ ) Aufgrund der Symmetrie-Eigenschaften der Metrik (Unabhängigkeit von t, ϕ) gibtes zwei Killing-Vektorfelder, das zeitartige ξ t = / t und das raumartige ξ ϕ = / ϕ. Somit lautet also die Vierergeschwindigkeit in Ausdrücken der Killing-Vektoren u µ = ξ t + Ω c ξϕ. (3.25) (g tt +2 Ωg c tϕ + Ω2 g c 2 ϕϕ ) Wie bereits gesagt, muss die Vierergeschwindigkeit u µ zeitartig bleiben, also innerhalb des Lichtkegels liegen, u µ u µ = (ξ t + Ωc ) 2 ξϕ = g tt +2 Ωc g tϕ + Ω2 c g 2 ϕϕ < 0. (3.26) Dies bedeutet aber, dass die Winkelgeschwindigkeit Ω beschränkt ist auf den Bereich Ω min < Ω < Ω max, (3.27) Ω min /c := 2 g tt /g ϕϕ, (3.28) Ω max /c := + 2 g tt /g ϕϕ, (3.29) := g tϕ. g ϕϕ Solange g tt < 0 ist, ist es also möglich, sich gegen die Rotation des rotierenden Objektes zu bewegen, denn Ω min ist dann < 0. Für den Fall, dass g tt = 0 ist, verschwindet Ω min,d.h.esisthöchstens noch mit Lichtgeschindigkeit möglich, gegen die Rotation des Objektes anzukommen und der Beobachter verharrt gegenüber dem Fixsternhimmel bei einem festen ϕ. Wir nennen diese Grenze das statische Limit. Die Region, die innerhalb des statischen Limits liegt, wird als Ergoregion bezeichnet. In der Ergoregion ist es einem Beobachter nicht mehr möglich, gegen die Rotation des Objektes anzukommen, denn die minimale Winkelgeschwindigkeit Ω min wird mit g tt > 0 ebenfalls grösser Null. Egal wie stark die Raketen seines Raumschiffes auch sein mögen, der Beobachter muss mit dem Objekt mit positiver Winkelgeschwindigkeit mitrotieren Gravitationsrotverschiebung Stellen wir uns nun zwei Beobachter vor. Beobachter 1 sitzt in seinem Raumschiff am Ort P 1 = P (t 1,r 1,ϑ 1,ϕ 1 ), Beobachter 2 in dem seinen am Ort P 2 = P (t 2,r 2,ϑ 2,ϕ 2 ). Beobachter 1 übernimmt nun die Rolle eines Senders, indem er ein Lichtsignal mit der Frequenz ν 1 in Richtung Beobachter 2 abfeuert, welcher das Signal mit der Frequenz ν 2 empfängt. Die Gravitationsrotverschiebung z ist dann definiert als z := ν 1 ν 2 1. (3.30) 19

30 3.1. Raumzeit und Metrik Sowohl Beobachter 1 als auch Beobachter 2 sollen mit den Winkelgeschwindigkeiten Ω 1 (r, ϑ) =Ω 1 und Ω 2 (r, ϑ) =Ω 2 um das rotierende Objekt mit der Metrik (3.6) fliegen. Das von Beobachter 1 abgefeuerte Lichtsignal läuft auf einer Null-Geodäten, deren Tangentenvektor mit k µ bezeichnet werden soll. Dann sind die Frequenzen ν 1,ν 2 durch das Skalarprodukt von Tangentenvektor der Geodäten und der Vierergeschwindigkeiten von Beobachter 1, bzw. Beobachter 2 mit ν 1 = (k µ u µ 1) bzw. ν 2 = (k µ u µ 2) (3.31) P1 P2 gegeben (vgl. [Wal86]). Die Vierergeschwindigkeiten der beiden Beobachter lauten in ihrer lokalen Tetrade, in Koordinaten und in der Darstellung durch Killing-Vektoren u µ 1 = eˆt = e t + Ω1 c e ϕ P1 e t + Ω 1 c e ϕ = ξt + Ω1 c ξ ϕ P1 ξ t + Ω 1 c ξ ϕ, (3.32) P1 u µ 2 = eˆt = e t + Ω2 c e ϕ P2 e t + Ω 2 c e ϕ = ξt + Ω2 c ξ ϕ P2 ξ t + Ω c ξϕ. (3.33) P2 Rufen wir uns nun den Satz aus Kapitel 2.4 in Erinnerung und wenden diesen auf Gl.(3.31) an. Es ist mit i =1, 2 k µ u µ i = k µ(ξ t + Ω i c ξϕ ) = k µξ t + Ω i c µξ ϕ, ξ t + Ω i c ξϕ ξ t + Ω i c ξϕ (3.34) k µ ξ t = E, k µ ξ ϕ = L z. (3.35) Somitergibtsichfür ν 1 /ν 2 der folgende Ausdruck für das Frequenzverhältnis ν 1 = k µu µ 1 P 1 ν 2 k µ u µ 1 = (ξt ξ t +2 Ω 2 c ξ t ξ ϕ + Ω2 2 ξ c ϕ ξ 2 ϕ ) P2 P 2 = (g tt +2 Ω 2 c g tϕ + Ω2 2 g c 2 ϕϕ ) P2 (g tt +2 Ω 1 c g tϕ + Ω2 1 g c 2 ϕϕ ) P1 (ξ t ξ t +2 Ω 1 c ξ t ξ ϕ + Ω2 1 c 2 ξ ϕ ξ ϕ ) P1 ( E + Ω 1 c L z ) P1 ( E + Ω 2 c L z ) P2 ( E + Ω 1 c L z ) P1 ( E + Ω 2 c L z ) P2. (3.36) Letztendlich haben wir damit eine gravitative Rotverschiebung von z = (c 2 g tt+2cω 2 g tϕ+ω 2 2 gϕϕ) P 2 (c 2 g tt+2cω 1 g tϕ+ω 2 1 gϕϕ) P 1 ( ce+ω 1 L z) P1 ( ce+ω 2 L z) P2 1. (3.37) In Gl.(3.37) sind nun alle Spezialfälle enthalten: zwei stationäre Beobachter (Ω 1 Ω 2 ), zwei statische Beobachter (Ω 1 =Ω 2 = 0) sowie jeweils ein stationärer und ein statischer Beobachter. 20

31 Kapitel 3. Physikalische Grundlagen Für den Fall zweier statischer Beobachter ergibt sich die Rotverschiebung zu g tt P2 z = 1. (3.38) g tt P1 Dieses Ergebnis ist exakt das Ergebnis der Gravitationsrotverschiebung in der Schwarzschildlösung der Einsteinschen Feldgleichungen (vgl. [MTW73]). Für zwei solche Beobachter ist es also völlig unerheblich, ob die Metrik eine axialsymmetrische, rotierende, stationäre Raumzeit oder eine statische Raumzeit beschreibt. Die Rotverschiebung hängt in diesem Fall allein von der g tt -Komponente der Metrik ab Einsteinsche Feldgleichungen Wie wir heute wissen, ist die Newtonsche Physik nur auf physikalische Systeme mit Geschwindigkeiten v c und schwache Gravitationsfelder anwendbar. Die physikalisch richtige Beschreibung der Gravitation im klassischen Sinne - also nicht quantenmechanisch - wird durch die Einsteinschen Feldgleichungen geliefert. Sie enthalten jedoch die Newtonsche Gravitation als Grenzfall schwacher Gravitationsfelder. Wir wollen in den folgenden Abschnitten eben diese Einsteinschen Feldgleichungen in Kürze vorstellen. Wir verfolgen dabei im wesentlichen dem Weg aus [Reb99] Geodätengleichung Kovariante Ableitung Wir hatten in Gl.(3.3) den Begriff eines kontravarianten Vektors definiert. Im allgemeinen liefert die Ableitung eines Vektors oder eines Tensors keinen Tensor mehr v µ,λ = ( ) x µ x λ x ν vν = 2 x µ x λ x ν vν + x µ x ν vν,λ. (3.39) Durch den Term mit der zweiten Ableitung von x α wird der Tensorcharakter von v µ,ν zerstört. Da Naturgesetze wie die Maxwell-Gleichungen jedoch Ableitungen von Vektoren und Tensoren enthalten, benötigen wir einen Differentialoperator, der diesen Tensorcharakter erhält. Der Differentialoperator, der diese Eigenschaft erfüllt, ist die sogenannte kovariante Ableitung ( T α 1...α m β 1...β n );λ := ( T α 1...α m β 1...β n ),λ Γ α 1 λρ T ρ...αm β 1...β n... Γ αm λρ T α 1...ρ β 1...β n + Γ ρ λβ 1 T α 1...α m ρ...β n Γ ρ λβ n T α 1...α m β 1...ρ. (3.40) Hierbei bezeichnet die Grösse Γ µ βγ die Christoffelsymbole, welche durch Γ αβγ := 1 2 (g αβ, γ + g αγ, β g βγ,α ), (3.41) 21

32 3.2. Einsteinsche Feldgleichungen Γ µ βγ = gµα Γ αβγ (3.42) definiert werden. Wie wir an Hand von Gl.(3.41) erkennen können, sind sie symmetrisch in den letzten beiden Indices. Die Christoffelsymbole selbst sind keine Tensoren. Für den Beweis sei der Leser auf die Literatur verwiesen ([Reb99], [MTW73]). Paralleltransport Die Grösse Dv µ Ds dvµ dxλ := ds +Γµ λρvρ ds, (3.43) heisst kovariante Ableitung von Vektoren nach gegebener Richtung. Dabeibe- zeichnet x λ (s) eine durch die skalare Bogenlänge s = s gµν s 0 dx µ dx ν parametrisierte Kurve in der Raumzeit. Der Begriff der Parallelität ist uns für den euklidischen Raum bereits aus der Schulmathematik bekannt. Er bedeutet, dass die Komponenten eines Vektors bei einer Verschiebung konstant sind. Dies gilt ebenso für einen globalen Minkowski-Raum. Formal heisst das v µ,ν 0. (3.44) Für einen (pseudo-) Riemannschen Raum können wir dies als Definition der Parallelität von Vektoren im Kleinen ansehen. Da aber v µ,ν die Komponenten des Tensors v µ ;ν in eben einem solch lokal Minkowskischen System sind und in diesem verschwinden, wissen wir, dass sie dies in jedem Bezugssystem tun. Damit lautet die Verallgemeinerung von Gl.(3.44) v µ ;ν =0. (3.45) Sind die Vektorfelder v µ (s),v µ (s) nuraufeinerkurvex ν (s) definiert, so heissen die Vektorfelder auf der Kurve im Kleinen parallel, wenn gilt Dv µ Ds = dvµ dxλ ds +Γµ λρvρ =0, (3.46) ds Diejenigen Vektoren v µ (s), welche Gl.(3.46) lösen, gehen aus ihren Anfangswerten v µ (s 0 ) durch Paralleltransport hervor. Geodätengleichung Geodätische Linien sind die Linien, welche die extremale Verbindung zwischen zwei Punkten auf einer Mannigfaltigkeit darstellen. Handelt es sich bei der Mannigfaltigkeit um einen global euklidischen Raum, so sind die Geodäten die uns aus der euklidischen Geometrie bekannten Geraden. Im Allgemeinen sind Geodäten jedoch keine Geraden mehr. Wir wollen im Folgenden die Herleitung der sogenannten Geodätengleichung 22

33 Kapitel 3. Physikalische Grundlagen über ein Variationsprinzip kurz skizzieren. Für eine ausführliche Herleitung sei der Leser auch an dieser Stelle wieder auf die Literatur verwiesen. Sei x µ (λ) eine in der Raumzeit beliebig verlaufende Kurve, welche durch den skalaren Bahnparameter λ parametrisiert sein soll und die Endpunkte P 1,P 2 hat. Es gibt beliebig viele solcher Kurven mit den gleichen Endpunkten. Gesucht sind aber diejenigen Kurven, deren Länge zwischen diesen beiden Endpunkten extremal wird. Dies ist ein Variationsproblem über die Länge der Kurve. Formal ausgedrückt lautet das Variationsproblem λ2 λ2 δ ds = ±δ g µν ẋ µ (λ)ẋ ν (λ)dλ =0, δx µ (λ 1 )=δx µ (λ 2 )=0. (3.47) λ 1 λ 1 Da Gl.(3.47) ein Hamiltonsches Variationsprinzip mit der Lagrange-Funktion L = gµν ẋ µ ẋ ν ist, muss seine Lösung den Euler-Lagrange-Gleichungen ( ) d L L dλ ẋ β x = 0 (3.48) β genügen. Ist der Bahnparameter λ ein affiner Parameter und somit proportional zur Bogenlänge s auf der Lösungskurve, also α = m 0 c =konst., s = αλ, dann ist mit ds = L dλ letztendlich α = L, also ist die Lagrange-Funktion auf dieser Lösungskurve konstant. Dadurch verschwindet bei der Auswertung von Gl.(3.48) der Term mit dl/dλ, vgl.[reb99].unterausnutzungvong βν,µ = 1(g 2 βµ,ν + g βν,µ ), einer Multiplikation mit g σβ und Gl.(3.42) erhalten wir nun eine Differentialgleichung zweiter Ordnung zur Bestimmung der Geodäten Dx σ Dλ = d2 x σ dx µ dx ν dλ 2 +Γσ µν dλ dλ = 0 (3.49) In einem lokal ebenen System verschwindet das Christoffelsymbol und Gl.(3.49) geht in eine Geradengleichung über. Eine Geodäte ist insofern unabhängig von den gewählten Koordinaten, als dass eine Kurve, die in einem bestimmten System eine Geodäte ist, auch eine Geodäte in jedem anderen System ist. Dies folgt daraus, dass die Geodätengleichung eine Vektorgleichung ist. Eine eindeutige Lösung von Gl.(3.49) erhalten wir erst, wenn wir einen Startpunkt und eine Startrichtung angeben. Somit läuft von jedem Punkt nach jeder beliebigen Richtung eine Geodäte weg. Wie wir gesehen haben, ist die Lagrange-Funktion bzw. die Grösse L 2 = g µν ẋ µ ẋ ν auf jeder Geodäten konstant. Je nach Signatur der Metrik kann L 2 sowohl positiv, negativ wie auch gleich Null sein. Im ersten Fall handelt es sich um eine raumartige, beim zweiten um eine zeitartige Geodäte. Der dritte Fall bezeichnet die lichtartigen oder Null-Geodäten. Erist ein Grenzfall der ersten beiden Fälle, wenn wir den konstanten Proportionalitätsfaktor m 0 (die Ruhemasse eines Probeteilchens) gegen Null gehen lassen (für Photonen ist die Ruhemasse m 0 =0). 23

34 3.2. Einsteinsche Feldgleichungen Geodätische Abweichung Wir wollen nun zwei Teilchen betrachten, welche sich auf eng benachbarten Bahnen durch ein inhomogenes Schwerefeld bewegen. Ihr Abstandsvektor sei dabei in der lokalen Tetrade von Teilchen 1 durch ξ µ gegeben. Es stellt sich dann heraus, dass die Bewegung mit der Vierergeschwindigkeit u µ durch das inhomogene Schwerefeld zu einer Relativbewegung führt. Diese wird durch die sogenannte Geodätische Abweichung beschrieben. Das Problem bei der Geodätischen Abweichung ist jedoch, dass sie nur für Bewegungen entlang von Geodäten gültig ist. In [MTW73] wird die Bewegungsgleichung für zwei Testmassen in einem Gravitationswellendetektoren beschrieben, deren Herleitung auf der Geodätischen Abweichung beruht. Der Unterschied zur Geodätischen Abweichung ist dabei jedoch, dass sich diese Testmassen nicht auf Geodäten bewegen. Sie sind zusätzlichen Wechselwirkungen - z.b. elektrischen Feldern - unterworfen. Die Bewegungsgleichung dieser Testmassen ist also für beliebige Kräfte gültig. Sie lautet a κ := R κ µλν ξ λ u µ u ν. (3.50) Diese Gleichung beschreibt also die Relativbeschleunigung zwischen zwei auf benachbarten Bahnen laufenden Teilchen und somit die Kraft, die diese beiden Teilchen auseinandertreibt. Diese Kraft ist die so genannte Gezeitenkraft, wie wir sie z.b. auch aus dem System Erde-Mond kennen. Dort sind die Gezeitenkräfte gerade für das Phänomen von Ebbe und Flut also der Gezeiten der Meere verantwortlich Krümmungstensor, Ricci-Tensor und Krümmungsskalar Riemannscher Krümmungstensor Die innere Krümmung einer zweidimensionalen Fläche ist eine innere Eigenschaft dieser Fläche, d.h. eine Eigenschaft, die sich nur aus der Bestimmung von Abstandsrelationen ergibt. Lebten wir als Beobachter in einer solchen Fläche, so könnten wir nicht aus dem dreidimensionalen Raum auf die Fläche blicken, um die Krümmung in der dritten Dimension zu erfassen (Einbettung in einen höheren Raum). Es besteht aber auf Grund der Tatsache, dass die innere Krümmung eine innere Eigenschaft der Fläche ist, auch für auf dieser Fläche lebenden Wesen die Möglichkeit, diese Krümmung festzustellen. Dazu stellen wir uns vor, dass diese Flächenlebewesen den Umfang eines Kreises mit Radius r bestimmen wollen. Leben sie nun auf einer euklidischen Ebene, so ergibt die aus der Schulmathematik bekannte Formel, dass das Verhältnis von Umfang und Radius gleich zweimal der Kreiszahl π ist: U/r =2π. Auf der Oberfläche einer Kugel ist der Umfang eines Kreises jedoch durch U =2πa sin(ϑ) gegeben, wobei r = aϑ der Radius ist. Damit haben wir für das Verhältnis von Umfang zu Radius auf einer Kugeloberfläche U/r = 2π sin(ϑ)/ϑ. Für 0 <ϑ<2π ist dieses Verhältnis aber kleiner als 2π. DerQuotientU/r enthält nur innere Grössen der Fläche, also Grössen die wir messen können. Daher ist es einem Flächenwesen möglich, zu entscheiden, in welcher Geometrie es lebt. 24

35 Kapitel 3. Physikalische Grundlagen Carl Friedrich Gauß hat in der Mitte des neunzehnten Jahrhunderts gezeigt, dass sich zweidimensionale Räume durch eine einzige Grösse charakterisieren lassen, die als Gaußsche Krümmung bezeichnet wird und sich aus Ableitungen der Metrik berechnen lässt. Wir Menschen leben aber nicht auf einer Fläche sondern in einer vierdimensionalen Raumzeit. Stellen wir uns hier die Frage, in welcher Geometrie wir leben (flach, sphärisch oder hyperbolisch), so reicht die Gaußsche Krümmung nicht mehr aus, um diese Frage zu beantworten. Die entscheidende Grösse für eine vierdimensionale Raumzeit ist der sogenannte Riemannsche Krümmungstensor. Er sei hier angegeben zu bzw. R κ λµν := Γκ λµ, ν Γκ λν, µ +Γρ λµ Γκ ρν Γ ρ λν Γκ ρµ (3.51) R κλµν = 1 2 (g κµ, λ, ν + g λν,κ,µ g λµ, κ, ν g κν, λ, µ )+g ρσ ( Γ ρ κµ Γ σ λν Γρ κν Γσ λµ). (3.52) Wie wir sehen, ist der Krümmungstensor wegen der Christoffelsymbole aus den ersten und zweiten Ableitungen der Metrik aufgebaut. Aus den Produkten der Christoffelsymbole folgt weiterhin, dass der Krümmungstensor nicht linear von der Metrik und deren Ableitungen abhängt. Die Konsequenz dessen bedeutet, wie wir noch sehen werden, eine Nichtlinearität der Einsteinschen Feldgleichungen. Ebenfalls ist erkennbar, dass auf Grund der Symmetrieeigenschaften der Christoffelsymbole offenbar die folgenden Symmetrierelationen für den Riemannschen Krümmungstensor gelten R κλµν = R µνκλ, R κλµν = R λκµν = R κλνµ = R λκνµ, R κλµν + R κµνλ + R κνλµ =0. (3.53) Es kann gezeigt werden, dass dies 236 Bedinungen an die 256 Komponenten von R κλµν sind, wodurch sich die Zahl der unabhängigen Komponenten auf maximal 20 Komponenten reduziert. Auf die weiteren Eigenschaften dieses Tensors sei der Leser auch an dieser Stelle erneut auf die Literatur verwiesen. Ricci-Tensor Durch die Verjüngung des Riemannschen Krümmungstensors erhalten wir eine Grösse, die Ricci-Tensor genannt wird und die folgende Gestalt hat R µν = R σ σ = g ρσ R ρµσν = (3.54) = 1 2 g [ ( )] ρσ (gρσ,µ,ν + g µν, ρ, σ g µσ, ρ, ν g ρν, µ, σ )+g αβ Γ α ρσ Γ β µν Γ α ρνγ β µσ. Aus den Symmetrierelationen Gl.(3.53) des Riemannschen Krümmungstensors folgt, dass der Ricci-Tensor symmetrisch unter Vertauschung der Indices ist R µν = R νµ. (3.55) 25

36 3.2. Einsteinsche Feldgleichungen Krümmungsskalar Durch eine weitere Verjüngung des Riemannschen Krümmungstensors bzw. des Ricci- Tensors erhalten wir den Krümmungsskalar oder auch Ricci-Skalar R = g µν R µν = R µ µ. (3.56) Einstein-Tensor Der Einstein-Tensor ist mit den Definitionen von Ricci-Tensor und Krümmungsskalar als definiert. G µν := R µν 1 2 g µνr (3.57) Energie-Impuls-Tensor Der Energie-Impuls-Tensor T µν beschreibt die Massen- und Energieverteilung in einer Raumzeit. Stellen wir ihn durch Transformation in ein geeignetes Koordinatensystem in der folgenden Weise dar T µν := ρ S i S j π ij, (3.58) so sind ρ die Energiedichte, S i der Energie-Fluss (eine Verallgemeinerung des Poynting- Vektors) und π ij der Materie-Fluss Einsteinsche Feldgleichungen Die Verknüpfung zwischen Materie- und Energieverteilung in der Raumzeit auf der einen und der Geometrie auf der anderen Seite wird durch die Einsteinschen Feldgleichungen geliefert G µν = κt µν. (3.59) Den Faktor κ können wir aus der Forderung erhalten, dass die Newtonschen Feldgleichungen der Gravitation schwacher Felder als Grenzfall in den Einsteinschen Feldgleichungen enthalten sein müssen. Daraus ergibt sich der Faktor κ =8πG/c 4.Drücken wir die Einsteinschen Feldgleichungen durch den Ricci-Tensor, den Krümmungsskalar und den Faktor κ aus, so erhalten wir R µν 1 2 g µνr = 8πG c 4 T µν. (3.60) 26

37 Kapitel 3. Physikalische Grundlagen Eine durch Kontraktion mit g µν erhaltene, zu Gl.(3.60) völlig äquivalente Formulierung lautet R = 8πG c 4 ( Tµν 1 2 g µνt ), (3.61) wobei T = g µν T µν ist. Beschreiten wir den normalen Weg um die Einsteinschen Feldgleichungen zu lösen, so geben wir uns eine bestimmte Massenverteilung also einen Energie-Impuls-Tensor vor. Aus dieser Massenverteilung können wir dann die Geometrie der Raumzeit erhalten. Es ist jedoch auch der umgekehrte Weg denkbar: wir geben uns eine Geometrie vor und schauen dann, was für eine Massenverteilung dabei herauskommt. Dies ist der Weg, den M. Morris und K. Thorne in [MT88] beschreiten, um ein für Menschen passierbares Wurmloch zu basteln Hamilton-Jacobi-Formalismus Der ganze Inhalt der Einsteinschen Theorie kann aus einem der klassischen (vorrelativistischen) Physik entstammenden Konzept gewonnen werden, dem Hamilton- Formalismus. War in der klassischen Physik die Newtonsche Theorie eine Möglichkeit, die Bewegungsgesetze von Teilchen oder Körpern zu beschreiben, so waren dort die Lagrangesche und Hamiltonsche Theorie äquivalente Formulierungen zur Newtonschen Theorie, mit dem Vorteil, gewisse Symmetrien der betrachteten Systeme besser ausnutzen zu können. So erhalten wir z.b. aus dem Hamilton-Formalismus automatisch die Konstanten der Bewegung aus den Symmetrieeigenschaften der Hamilton-Funktion (Noether-Theorem). Dieser Formalismus lässt sich auf die Allgemeine Relativitätstheorie übertragen. Allerdings ist dort nicht die Hamilton-Funktion sondern die Super-Hamilton-Funktion Gegenstand der Betrachtungen. Der Formalismus ist jedoch der selbe wie in der klassischen Theorie (vgl. [Reb99]). Die Motivation für den Einsatz dieses Formalismus auf unsere ARS-Metrik liefert uns hierbei die Kerr-Metrik eines rotierenden Schwarzen Loches. Dort ist es möglich, die Bewegungsgleichungen zu separieren, was dazu führt, dass wir eine neue Konstante der Bewegung erhalten, die so genannte Carter-Konstante. Wir untersuchen an dieser Stelle, unter welchen Bedingungen es möglich ist, die Bewegungsgleichungen für eine ARS-Metrik zu separieren. 27