Entfernungsbestimmung im Kosmos 10

Transkript

1 Entfernungsbestimmung im Kosmos Folgerungen aus dem Hubble-Gesetz 10.2 Allgemeine Relativitätstheorie 10.3 Robertson-Walker - Metrik 10.4 Entfernungsdefinitionen 10.5 Dynamik der Expansion 10.6 Moderne kosmologische Tests introduction contents back forward previous next fullscreen 1

2 10.1 Folgerungen aus dem Hubble-Gesetz Hubble-Gesetz: v cz H 0 D 1 + z = λ obs /λ 0 Relativistischer Dopplereffekt: 1 + z = 1 + v/c 1 v2 /c 1 + v/c 2 Hubble-Gesetz kann nur für z 1 gelten Was passiert bei z 1? große Entfernungen lange Lichtlaufzeiten, frühes Universum Universum als ganzes, Kosmologie introduction contents back forward previous next fullscreen 2

3 Die Hubble-Zeit Hubble-Zeit: 1/H y Expansion: v H 0 D v = dd dt D t Wann waren alle Entfernungen D = 0? T = t = D v = 1 H 0 (unabhängig von D) Beginn des Universums ( Urknall ) Konstante Geschwindigkeiten: T ist Alter des Universums introduction contents back forward previous next fullscreen 3

4 10.2 Allgemeine Relativitätstheorie Expansion wird gebremst durch Gravitation Beste Gravitationstheorie: ART Beschreibt gekrümmte Raumzeit SRT: Minkowski-Metrik (Euklidischer Raum) ds 2 = c 2 dt 2 (dx 2 + dy 2 + dz 2 ) Beschreibung beliebiger Raumzeit durch Metrik: x 0 = ct, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z ds 2 3 = g αβ dx α dx β α,β=0 introduction contents back forward previous next fullscreen 4

5 Metrik Euklidischer Raum: x,y,z dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 g αβ = Polarkoordinaten: r,θ,φ x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ dl 2 = dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) g αβ = r r 2 sinθ 2 introduction contents back forward previous next fullscreen 5

6 Kugeloberfläche Polarkoordinaten mit r = R fest Metrik: dl 2 = R 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) Geraden = Großkreise Winkelsumme im Dreieck > 180 Kreisumfang U < 2πr Keine parallelen Großkreise introduction contents back forward previous next fullscreen 6

7 Sattelfläche Winkelsumme im Dreieck < 180 Kreisumfang U > 2πr Viele Parallelen durch einen Punkt introduction contents back forward previous next fullscreen 7

8 Gekrümmte Räume Krümmung: K = ± 1 R 2 Krümmung Winkelsumme Kreisumfang sphärisch K > 0 > 180 U < 2πr Euklidisch K = 0 = 180 U = 2πr hyperbolisch K < 0 < 180 U > 2πr K kann von Ort zu Ort variieren Höherdimensionale Räume können gekrümmt sein 4-dimensionale Raumzeit ist gekrümmt introduction contents back forward previous next fullscreen 8

9 Allgemeine Relativitätstheorie ART beschreibt Krümmung in Abhängigkeit von Massenverteilung und -bewegung Teilchen und Licht bewegen sich auf Geodäten Einsteinsche Feldgleichungen: R αβ 1 2 g αβ R g αβ Λ = κt αβ Nichtlineare partielle Differentialgleichungen für g αβ Nur in Spezialfällen lösbar introduction contents back forward previous next fullscreen 9

10 Friedmann - Robertson-Walker - Universum Kosmologisches Prinzip überall isotrop homogen zeitliche Entwicklung möglich Verwende mitbewegte Koordinaten Teilchen im Hubble-flow haben konstante Koordinaten Beschreibe Expansion durch Skalenfaktor R(t) introduction contents back forward previous next fullscreen 10

11 10.3 Robertson-Walker - Metrik Mitbewegte Polarkoordinaten r,θ,φ und kosmische Zeit t Skaliere Längen dl mit R(t) ds 2 = c 2 dt 2 dl 2 dl 2 = R 2 (t) ( ) dr 2 1 kr + 2 r2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dφ 2 Krümmungsparameter k k = +1 sphärisch (positive Krümmung) k = 0 flach (keine Krümmung) k = 1 hyperbolisch (negative Krümmung) introduction contents back forward previous next fullscreen 11

12 Skalenfaktor und Rotverschiebung (1) Lichtausbreitung (radial): ds 2 = 0 dr cdt = ±R(t) 1 kr 2 Lichtsignal von t = t e bei r = r e nach t = t 0, r = 0: c te t 0 dt R(t) = re 0 dr 1 kr 2 Zweites Signal: t = t e + t e nach t = t 0 + t 0 : c te + t e t 0 + t 0 dt R(t) = re 0 dr 1 kr 2 Rechts gleich links gleich (nächste Seite) introduction contents back forward previous next fullscreen 12

13 Skalenfaktor und Rotverschiebung (2) c t0 + t 0 t 0 dt R(t) = c te + t e t e dt R(t) t 0 R(t 0 ) = t e R(t e ) t R(t) Alle Zeitintervalle skalieren mit R(t) Strahlung mit Frequenz ν und Wellenlänge λ: ν = 1/ t 1/R(t) λ = c t R(t) Rotverschiebung: 1 + z = λ obs = R(t obs ) λ e R(t e ) introduction contents back forward previous next fullscreen 13

14 Modell für Robertson-Walker - Metrik (1) Betrachte zunächst nur radiale Raumdimensionen r, setze θ = π/2, φ = const dl 2 = R 2 (t) dr 2 1 kr 2 χ r y = 1 r 2 Radius 1 y dy = r dr 1 r 2 dχ 2 = dr 2 + dy 2 = dr2 1 r 2 dl 2 = R 2 (t)dχ 2 k = +1 introduction contents back forward previous next fullscreen 14

15 Modell für Robertson-Walker - Metrik (2) Jetzt r = const, φ frei (θ = π/2) dl 2 = R 2 (t)r 2 dφ 2 r φ dl 2 = r 2 dφ 2 dl 2 = R 2 (t)dl 2 Oberfläche der Kugel beschreibt Aquatorebene des Universums dl 2 = dr2 1 r 2 + r2 dφ 2 (k = +1) introduction contents back forward previous next fullscreen 15

16 Kreisumfang in RW-Metrik r χ Umfang ist R(t)2πr Radius ist R(t) χ für k = 0,±1: r φ dχ = χ = dr 1 kr 2 arcsinr for k = +1 Arsinhr for k = 1 r for k = 0 χ r, U 2π Radius for k = ±1 introduction contents back forward previous next fullscreen 16

17 10.4 Entfernungsdefinitionen: Koordinatenentfernung Beobachter bei r = 0 Objekt bei r = r e Skalierung der mitbewegten Koordinaten mit R(t) D c = R(t 0 )r e Abhängig von der Wahl der Koordinate r (alternativ z.b. χ) Physikalisch ohne Bedeutung introduction contents back forward previous next fullscreen 17

18 Eigenentfernung Lege zwischen Beobachter und Objekt Maßstäbe aus (alle ruhend in mitbewegten Koordinaten) Zum Zeitpunkt t 0 decken die Maßstäbe den Zwischenraum gerade ab Gesamtlänge der Maßstäbe ist die Eigenentfernung (momentane Entfernung) zur Zeit t 0 proper distance D p = R(t 0 ) χ Astronomisch nicht von Bedeutung Mitbewegte Entfernung: D com = χ introduction contents back forward previous next fullscreen 18

19 Winkelgrößenentfernung ( Angular Size Distance ) Winkel θ gemessen beim Beobachter Ausdehnung L gemessen an der Quelle L D A = L/θ Universum expandiert während der Lichtausbreitung D A Betrachte alles in mitbewegten Koordinaten r θ l Blick von oben auf die Kugel l = L/R(t e ) θ r = l/θ D A = R(t e )r introduction contents back forward previous next fullscreen 19

20 Eigenschaften der Winkelgrößenentfernung Koordinatenentfernung: D c = R(t 0 )r Winkelgrößenentfernung: D A = R(t e )r = R(t e) R(t 0 ) D c = D c 1 + z Steigt nicht monoton Betrachte festen Winkel D A = R(t e )l/θ k = 1: l erreicht Maximum am Äquator introduction contents back forward previous next fullscreen 20

21 Helligkeitsentfernung ( Luminosity Distance ) Photonen verteilen sich auf Kugeloberfläche Intensität f = L 4πD 2 L Kugeloberfläche kosmologisch: 4πD so A mit D so A Dos A D os A = R(t e)r, D so A = R(t 0 )r = R(t 0 ) R(r e ) Dos A = (1 + z)d os A Zusätzlich: Rotverschiebung! Energieverlust und Photonen pro Sekunde mit jeweils 1/(1 + z) L f = 4π(D so A )2 (1 + z) 2 D L = (1 + z) 2 D A introduction contents back forward previous next fullscreen 21

22 Eigenbewegungsentfernung Eigenbewegung ist beobachteter Winkel pro Zeiteinheit Winkel geht mit θ = L D A Geschwindigkeit v = dl dt e µ = dθ dt 0 = v (1 + z)d A = 1 D A dl dt 0 = v D A dt 0 dt e proper motion distance : D M = (1 + z)d A introduction contents back forward previous next fullscreen 22

23 Lichtlaufzeit Radiale Lichtausbreitung in Robertson-Walker - Metrik: dr cdt = ±R(t) 1 kr 2 Aufintegrieren: T = t 0 t e = = 1 c re 0 te t 0 dr R(t) 1 kr 2 Substitution nötig! (auch bei anderen Entfernungen) Dynamik dt introduction contents back forward previous next fullscreen 23

24 10.5 Dynamik der Expansion: Die Friedmann-Gleichungen Stelle Einsteinsche Feldgleichungen für Robertson- Walker - Metrik auf Zustandsgleichung: Staub (p = 0) 4π Gρ(t) (1) R(t) = R(t) + Λ 3 3 R(t) (2) Ṙ(t) 2 = 8π Gρ(t) R 2 (t) + Λ 3 3 R2 (t) k c 2 Kombination: Kontinuitätsgleichung ρ 1/R 3 ρ(t) = ρ 0 R 3 0 R 3 (t) introduction contents back forward previous next fullscreen 24

25 Die Friedmann-Gleichungen (2) Ṙ 2 = 8π G 3 ρ R R + Λ 3 3 R2 k c 2 Hubble-Konstante H = Ṙ/R Kritische Dichte ρ c = 3H2 8π G, Ω = ρ ρ c, λ = Λ 3H 2 H 2 = H 2 0 ( R 3 ) 0 Ω 0 R + λ 3 0 k c2 R 2 Aus t = t 0 : k c 2 = R 2 0 (Ω 0 + λ 0 1) Mit R 0 /R = 1 + z: H 2 H 2 0 = Q(z) = Ω 0 (1 + z) 3 (Ω 0 + λ 0 1)(1 + z) 2 + λ 0 introduction contents back forward previous next fullscreen 25

26 Dynamik ohne kosmologische Konstante Betrachte λ 0 = 0: Ṙ = (±)RH 0 R 3 0 Ω 0 R + (1 Ω 3 0 ) R2 0 R 2 Ω 0 < 1: Ṙ > 0 im Limit Ṙ = const > 0 Ω 0 = 1: Ṙ 0 im Limit Ṙ = 0 (ρ = ρ c kritische Dichte) Ω 0 > 1: Ṙ 0 maximales R introduction contents back forward previous next fullscreen 26

27 Dynamik mit kosmologischer Konstante Ṙ = (±)RH 0 Ω 0 R 3 0 R 3 + (1 Ω 0 λ 0 ) R2 0 R 2 + λ 0 Dominiert für große R R Beschleunigte Expansion! Grenzfall R R 0 : Ṙ R Exponentielle Expansion t introduction contents back forward previous next fullscreen 27

28 Entfernungsparameter Ω 0 = 0.27, λ 0 = 0.73, H 0 = 71kms 1 Mpc 1 introduction contents back forward previous next fullscreen 28

29 Weltalter und Hubble-Zeit Abbremsung: T U > 1/H 0 Beschleunigung: R T U < 1/H 0 Heutige Werte: Ω 0 0.3, λ 0.7 T U 0.95/H 0 t 1/H 0 1/H 0 introduction contents back forward previous next fullscreen 29

30 10.6 Moderne kosmologische Tests: Supernovae Ia als Standardkerzen (1) (Riess et al. 1998, AJ 116, 1009) introduction contents back forward previous next fullscreen 30

31 Supernovae Ia als Standardkerzen (2) (Riess et al. 1998, AJ 116, 1009) introduction contents back forward previous next fullscreen 31

32 Supernovae Ia als Standardkerzen (3) (Perlmutter et al. 1999, ApJ 517, 565) introduction contents back forward previous next fullscreen 32

33 Contents 1 Entfernungsbestimmung im Kosmos Folgerungen aus dem Hubble-Gesetz 3 Die Hubble-Zeit Allgemeine Relativitaetstheorie 5 Metrik 6 Kugeloberflaeche 7 Sattelflaeche 8 Gekruemmte Raeume 9 Allgemeine Relativitaetstheorie 10 Friedmann - Robertson-Walker - Universum Robertson-Walker - Metrik 12 Skalenfaktor und Rotverschiebung (1) 13 Skalenfaktor und Rotverschiebung (2) 14 Modell fuer Robertson-Walker - Metrik (1) 15 Modell fuer Robertson-Walker - Metrik (2) 16 Kreisumfang in RW-Metrik introduction contents back forward previous next fullscreen 33

34 Entfernungsdefinitionen: Koordinatenentfernung 18 Eigenentfernung 19 Winkelgroessenentfernung ( Angular Size Distance ) 20 Eigenschaften der Winkelgroessenentfernung 21 Helligkeitsentfernung ( Luminosity Distance ) 22 Eigenbewegungsentfernung 23 Lichtlaufzeit Dynamik der Expansion: Die Friedmann-Gleichungen 25 Die Friedmann-Gleichungen (2) 26 Dynamik ohne kosmologische Konstante 27 Dynamik mit kosmologischer Konstante 28 Entfernungsparameter 29 Weltalter und Hubble-Zeit Moderne kosmologische Tests: Supernovae Ia als Standardkerzen (1) 31 Supernovae Ia als Standardkerzen (2) 32 Supernovae Ia als Standardkerzen (3) 33 Contents introduction contents back forward previous next fullscreen 34