Elfte Vorlesung: Kosmologie

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1 Elfte Vorlesung: Kosmologie. Das kosmologische Prinzip.2 Die Robertson-Walker-Metrik.3 Friedmannsche Weltmodelle.4 Das kosmologische Standardmodell

2 . Das kosmologische Prinzip Unsere Sonne ist eine von mehreren hundert Milliarden Sternen des Milchstraßensystems, unserer Galaxis. Etwa 6000 dieser Sterne sind bereits mit bloßem Auge sichtbar. Die Galaxie besitzt einen Durchmesser von etwa Lichtjahren. Das Milchstraßensystem gehört zu einem selbstständigen Galaxienhaufen mit dem Namen Lokale Gruppe. Dieser besteht möglicherweise aus mehr als 30 Galaxien. Hierzu gehört auch der etwa zwei Millionen Lichtjahre entfernte Andromedanebel mit einem Durchmesser von Lichtjahren. Sechzig Millionen Lichtjahre entfernt finden wir den Virgo-Haufen, eine weitere Ansammlung von etwa 200 stark leuchtenden Galaxien. Der Virgo-Haufen wiederum ist Zentrum eines lokalen Superclusters, einer Ansammlung von etwa hundert Galaxienhaufen, wozu auch die Lokale Gruppe zählt. In weit größeren Maßstäben erkennt man zwei Galaxienansammlungen in Form großer Mauern, welche sich über mehr als 700 bzw. 000 Millionen Lichtjahre erstrecken. Dem im folgenden zu diskutierenden Modell liegt folgendes von A. Einstein postulierte kosmologische Prinzip zu Grunde: Im Universum sind alle Positionen und Richtungen gleichwertig..2 Die Robertson-Walker-Metrik Dem kosmologischen Prinzip zufolge suchen wir dreidimensionale Räume konstanter Krümmung. Nach H.P. Robertson und A.G. Walker machen wir dann folgenden Ansatz: ( ) dr ds 2 = c 2 dt 2 R(t) 2 2 kr + 2 r2 (dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2 ). (.) Definition. Die Metrik (.) heißt Robertson-Walker-Metrik. Hierin sind r, ϑ, ϕ dimensionslose und zeitunabhängige Koordinaten. Diese Koordinaten werden auf typische, d.h. radial frei fallende Galaxien mit Koordinaten (r, ϑ, ϕ) = const angewandt, wobei sich die radiale Geschwindigkeit allein aus der Zeitabhängigkeit von R(t) bestimmt. Die mit einer solchen Galaxie verbundene Uhr zeigt die Zeit t an. Die Dynamik dieses Lösungsansatzes der Feldgleichungen wird also ausschließlich durch den Skalenfaktor R(t) bestimmt, welcher die Dimension einer Länge hat. Den Parameter k schränken wir auf die Werte 0, + und ein. Der zweidimensionale Fall Zum Vergleich betrachten wir das Wegelement der zweidimensionalen Kugeloberfläche ( ) dr ds 2 = R(t) 2 (dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2 ) = R(t) 2 2 r + 2 r2 dϕ 2 (.2) mit der dimensionslosen Koordinate r := sin ϑ, ϑ [0, π], und r durchläuft das Intervall 0 r zweimal. Für r = ist die Metrik (.2) singulär. Diese Singularität ist mathematischer Natur. 09

3 Der räumliche Anteil der Robertson-Walker-Metrik (.) lautet ( ) dr R(t) 2 2 kr + 2 r2 (dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2 ). (.3) Für k = ist die Analogie zu (.2) offensichtlich. In Verallgemeinerung lassen wir nun in (.2) einen Parameter k zu: ( ) dr ds 2 = R(t) 2 2 ) kr + 2 r2 dϕ 2 = R(t) (dχ f(χ) 2 dϕ 2 (.4) mit der Transformation sin χ für k = r = f(χ) = 0 für k = 0 sinh χ für k =. (.5) Für k = 0 ist (.4) die Metrik einer Ebene mit Polarkoordinaten ϱ = χ und ϕ, für k = erhalten wir eine Kugeloberfläche mit Winkelkoordinaten ϑ = χ und ϕ, und k = ist die Metrik einer Pseudosphäre mit Abstandskoordinate r und Winkelkoordinate ϕ. Die (Gauß-)Krümmungen dieser Raumformen sind K = 0, K = R 2 bzw. K = R 2. Die Pseudosphäre kann als Fläche konstanter negativer Krümmung nicht in den R 3 isometrisch eingebettet werden (siehe D. Hilbert, Grundlagen der Physik). Wir setzen (.5) in die Robertson-Walker-Metrik ein und erhalten ds 2 = c 2 dt 2 R(t) 2 ( dχ 2 + f(χ) 2( dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2)). (.6) Wir erkennen wieder die Analogie zu (.4). Die Koordinaten durchlaufen dabei die Werte 0 χ π für k = und 0 χ + für k = 0,. Wir berechnen den räumlichen Abstand zweier Punkte, deren erste im Koordinatenursprung mit χ = 0 liegt. Das ist keine Einschränkung, der Raum ist ja nach dem kosmologischen Prinzip homogen. Es ist dann Räumlicher Abstand zu einem Punkt mit χ 0 : χ gχχ dχ = R(t)χ. (.7) Alle anderen Koordinaten setzen wir konstant. Wir interpretieren daher chi als Abstandskoordinate, während R(t) einen Skalenfaktor repräsentiert..3 Friedmannsche Weltmodelle Die in (.) gegebene Metrik dient im folgenden als Lösungsansatz für die Einsteinschen Feldgleichungen (6.9), (6.20) mit kosmologischer Konstante Λ. Wir übernehmen den Energie-Impuls-Tensor aus (Z-3) in kovarianter Darstellung: T µν = (ϱ + Pc ) u 2 µ u ν g µν P. (.8) Nach dem kosmologischen Prinzip sind Massendichte ϱ und Druck P räumlich homogen: 0 ϱ = ϱ(t) und P = P (t). (.9) 0

4 Typische Galaxien, welche wir in dieses Modell aufnehmen, kennzeichnen sich durch x i = const für i =, 2, 3 (.0) aus. Mit u i = dxi dτ = 0 und g 00 = haben wir für die Vierergeschwindigkeit (u µ ) = (u µ ) = (c, 0, 0, 0), wobei u µ = g µν u ν (.) (beachte, daß t die Rolle der Eigenzeit übernimmt!). Hilfssatz. Aus (.) und (.8) folgt ( ) (T µν ) = diag ϱc 2 P R 2, kr, P 2 R2 r 2, P R 2 r 2 sin 2 ϑ Aufgabe.. Beweisen Sie diesen Hilfssatz. Hilfssatz. Für die 00-Komponente der Feldgleichungen gilt. (.2) 3 d 2 R ΛR = 4πg c 2 dt 2 c 4 (ϱc2 + 3P )R, (.3) für die räumlichen Komponenten ergibt sich die eine Gleichung R d 2 R c 2 dt k ΛR 2 = 4πg 2 c 2 dt c 4 (ϱc2 P )R 2. (.4) Aufgabe.2. Beweisen Sie diesen Hilfssatz. Die Feldgleichungen werden noch durch eine thermodynamische Zustandsgleichung ergänzt. Wir verwenden folgende Näherungen: P = 0 P = ϱc2 3 als nichtrelativistische Näherung unseres heutigen Universums, für ein strahlungsdominiertes Universum. (.5) Für die erste Gleichung stellen wir uns das Universum als inkohärente Ansammlung von Teilchen mit nichtrelativistischen Geschwindigkeiten vor. Die Massendichte wird dann durch die Ruhmassen der Teilchen dominiert. Die zweite Zustandsgleichung gilt exakt für inkohärente, isotrope elektromagnetische Strahlung und näherungsweise für hoch relativistische Teilchen. Diesen Ansatz machen wir auch für das sehr frühe Universum. Wir setzen (.3) in (.4) ein und erhalten c 2 Aufgabe.3. Verifizieren Sie diese Identität. + k dt 3 ΛR2 = 8πg 3c 2 ϱr2. (.6) Wir differenzieren diese Gleichung, und dann subtrahieren wir hiervon (.3) multipliziert mit 2 dr. Es folgt 3 dt dϱ c dt = 3 dr (ϱ + Pc ). (.7) Rc dt 2 Aufgabe.4. Überprüfen Sie auch diese Gleichung.

5 Damit können wir (.5) präzisieren: ϱ mat (t)r(t) 3 = const für P = 0, ϱ str (t)r(t) 4 = const für P = ϱ strc 2. 3 (.8) Zum Beispiel liefert Differentiation der ersten Gleichung R 3 dϱ dt + 3ϱR2 dr dt = 0 bzw. dϱ dt = 3ϱ R dr dt, (.9) und das entspricht (.7) für den Fall P = 0. In (.6) setzen wir nun ϱ = ϱ mat + ϱ str. Unter der Annahme, daß Strahlung und Materie nicht koppeln, ist diese Annahme zulässig. Satz. Mit den Setzungen (beachte hierzu (.8)) K mat = 8πg 3c 2 ϱ matr 3 = const, K str = 8πg 3c 2 ϱ strr 4 = const (.20) läßt sich (.6) in die folgende Form überführen: c 2 K str dt R 2 K mat R 3 ΛR2 = k. (.2) Das ist das gesuchte Friedmann-Modell des Universums. Folgerung. Führen wir das Potential V (R) := K str R 2 K mat R 3 ΛR2 (.22) ein, so können wir auch c 2 + V (R) = k (.23) dt schreiben. Bemerkung. Wir beachten, daß in V (R) der Term ΛR 2 nach Differentiation negatives Vorzeichen hat im Gegensatz zu den zwei ersten Summanden. Im Falle Λ > 0 trägt der kosmologische Term also zu einer Expansion bei. Im folgenden ist der Verlauf des Potentials V (R) für verschiedene kosmologische Parameter Λ skizziert. Hierin ist k > 0 angenommen. 2

6 V (R) Λ < 0 Λ = 0 R Λ > 0 k Setzen wir K str = 0 und Λ = 0, so geht (.2) über in Wir investieren nun (.0): c 2 K mat dt R = k. (.24) K mat (.5) = 8πg 3c 2 ϱ matr 3 (.0) = 2g c 2 M (.25) mit der Gesamtmasse M > 0. Aus (.24) erhalten wir M 2 g M2 dt R = kc2 M 2 = const. (.26) Wir bemerken die formale Ähnlichkeit des Friedmann-Modells mit dem Newtonschen Modell aus (.2). Beispiel: Das Einstein-de Sitter-Universum Dieses Modell geht aus dem Friedmann-Modell mit den Parametern Λ = 0 und k = 0 heraus. Aus der vorangegangenen Skizze lesen wir ab, daß die Geschwindigkeit der Expansion asymptotisch gegen Null geht, d.h. es gilt dr dt 0 für R. (.27) Die folgenden Skizzen sind [5], Kapitel 52 entnommen. 3

7 Für Λ < 0 geht die Expansion in eine Kontraktion über. Die Fälle k =, k = 0 und k = entsprechen im analogen Zweikörperproblem der Ellipsen-, der Parabel- und der Hyperbelbahn. Das Modell Λ = 0, k = 0 heißt Einstein-de Sitter-Universum..4 Das Kosmologische Standardmodell Der belgische Priester, Physiker und Mathematiker Georges-Henri Lemaitre ( ) gilt als der Begründer der Expansions-Theorie. Diese Dynamik des Universums im Rahmen der klassischen Allgemeinen Relativitätstheorie führte ihn umgekehrt zu einer Singularität R(t) 0 für t 0 für den Skalenfaktor R(t) der Robertson-Walker- Metrik. Zusammen mit den zugehörigen Bewegungsgleichungen für R(t) spricht man vom kosmologischen Standardmodell (ohne Inflation). Bei Annäherung an die Singularität R = 0 werden die Aussagen im Rahmen der in dieser Vorlesung entwickelten Theorie (und im Rahmen aller bisherigen Theorien) zunehmend spekulativ. Die folgende Skizze ist wieder [5], Kapitel 54 entnommen. Sie stellt die Temperatur des Universums in Abhängigkeit von seiner relativen Grösse R R 0 dar; dabei ist R 0 der heutige Wert. 4

8 log R R 0 log T in K Strahlungsdominanz Materiedominanz 0 4 s 0 2 s a 0 5 a t 0 t Entkopplung der Neutrinos Paarerzeugung Kernreaktionen Plasma-Strahlungs-Gleichgewicht Strahlung und Materie entkoppeln Neutrale Atome 2.73 K-Strahlung 2 In den 70er Jahren des zwanzigsten Jahrhunderts wurde das Standardmodell durch einen inflationären Term erweitert: Demnach soll sich innerhalb des Zeitraums 0 36 s bis 0 33 s nach der Singularität t = 0 das Universum exponentiell ausgedehnt haben (siehe hierzu [3] und [6]). Ein ähnliches Szenario wurde bereits von de Sitter vorgeschlagen, wobei jetzt der kosmologische Term Λ die wesentliche Rolle spielt. Demnach sollte Λ aus verschiedenen Gründen zeitabhängig sein. Ist Λ nun groß genug, so daß Materie- und Strahlungsdruck vernachlässigt werden können, so läßt das Friedmann-Modell eine exponentielle Lösung des Skalenfaktors zu. Setzen wir nämlich ϱ mat 0, ϱ str 0 und k 0 in (.2) ein, so folgt R 2 mit der Hubble-Zahl H. Für Λ > 0 ist also R = c2 dt 3 Λ H2 (.28) dr dt = H bzw. d dt ln R = H bzw. R(t) = const eht. (.29) 5

9 Mit t = 0 33 s erhalten wir näherungsweise R(0 36 s s) R(0 36 s) = e H t. (.30) Gegenwärtige Modelle favorisieren H 0 35 s, womit das Skalenverhältnis etwa e 00 betragen sollte! Nach A. Guth (98) und A.D. Linde (982) formulieren wir folgendes Inflations- Szenario (siehe []): Nach etwa 0 36 s findet ein Phasenübergang bei der Symmetriebrechung der fundamentalen Wechselwirkung statt, bei dem das ursprüngliche energiereiche Vakuum (Higgsfeld) in den heutigen, sehr energiearmen Zustand des Vakuums übergeht und grundsätzlich die kinetische Energie liefern kann für ein äußerst rasches, exponentiell verlaufendes Aufblähen des Kosmos. Nach etwa weiteren 0 33 s endet diese Inflation in die bereits besprochene Evolution nach dem Standardmodell. Das Higgsfeld überträgt seine Energie auf die Elementarteilchen im Kosmos (X-Bosonen, Quarks, Leptonen und Photonen). Bereits in (Z-34) hatten wir Λ durch einen zusätzlichen Vakuum-Massenbeitrag ausgedrückt. Obige Rechnungen verknüpfen sozusagen die inflationäre Kosmologie mit der Physik der fundamentalen Wechselwirkungen: Das Higgs-Feld wirkt für sehr kurze Zeit wie ein positives kosmologisches Glied Λ. Problem der Isotropie der 3K-Hintergrundstrahlung Der russische Physiker G. Gamov bemerkte, daß man von dem heißen Stadium des Ur-Feuerballs direkte Nachricht erhalten könne. Bald danach wird nämlich die Wechselwirkung zwischen Strahlung und Materie so gering, daß sich das Strahlungsfeld des Universums mit diesem nun adiabatisch ausdehnt. Nach L. Boltzmann bleibt ein Hohlraumstrahlungsfeld der Temperatur T bei adiabatischer Ausdehnung schwarz, und es gilt T 3 V = const mit dem Volumen V des Hohlraums. Nach Abschluß der Entstehung der Atome H und He (auf was wir hier nicht eingehen), bleibt aber auch deren Teilchenzahl nv konstant. Also gilt asymptotisch T 3 n. Gamov benannte nun folgende Größen: T = 0 9 K und n 0 24 m 3, schließlich n 0 m 3 für das heutige Universum. Nach Expansion auf das fache Volumen müßte das heutige Universum von einer Hohlraumstrahlung von etwa 0K erfüllt sein, denn es gilt T V! = V = 0 27 V bzw. T 3 0 = 0 3 (gemessen in Kelvin). (.3) Im Jahre 965 fanden A.A. Penzias und R.W. Wilson mit einer großen rauscharmen Hornantenne, die ursprünglich für die Nachrichtenübermittlung mit Satelliten gedacht war, im Bereich von 4.08GHz eine schwache Radiostrahlung. Diese wurde nach Abzug der Beiträge der Erdatmosphäre und des Empfängerrauschens von R.H. Dicke als die von Gamov vorhergesagte Hintergrundstrahlung erkannt. Bereits 94 wurde die Hintergrundstrahlung von A. McKellar aus Intensitätsverhältnissen interstellarer Absorptionslinien indirekt gefunden - aber nicht erkannt, und zwar bei einer Temperatur von etwa 2.3K. Das Problem ist nun folgendes: Es läßt sich zeigen, daß der seit dem Urknall kausal zusammenhängende Bereich des Universums kleiner ist als der heute beobachtbare Ausschnitt des Universums. Es ist daher nicht verständlich, daß die Hintergrundstrahlung praktisch isotrop ist. Diese Strahlung kommt ja aus dem für uns heute sichtbaren 6

10 Bereich, und für Isotropie, also für die gleiche Temperatur T der Strahlung im sichtbaren Bereich, müßte ein früheres Gleichgewicht in eben diesem Gebiet verantwortlich sein. Ein solches Gleichgewicht setzt wiederum einen kausalen Zusammenhang voraus. Dieses Problem löst die Inflationstheorie: Die Welt war vor der Inflation so klein, daß alle ihre Teile miteinander wechselwirken konnten. Problem der Flachheit des Universums Die Inflationstheorie erklärt ebenfalls, warum unsere beobachtbare Welt heute fast flach ist: Die enorme Expansion bewirkt, daß jede ursprüngliche Krümmung eingeebnet wird. Es könnte aber auch sein, daß unser beobachtbares Universum lediglich eine Blase in einem größeren Universum darstellt. Die Inflation treibt dieses exponentiell auseinander, und wir erleben nur ein Universum unter vielen. Das kosmologische Prinzip würde dann vielleicht nur in unserem Bereich gelten. Beachten Sie aber, daß dieses Prinzip am Anfang aller unserer Untersuchungen stand und wir uns deshalb mit unseren Vermutungen in diesem engen Rahmen bewegen müssen! 7

11 Aufgaben zur elften Vorlesung. Verifizieren Sie (.2)..2 Verifizieren Sie (.3) und (.4)..3 Verifizieren Sie (.6)..4 Verifizieren Sie (.7). 9

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