Allgemeine Relativitätstheorie

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1 Kontrollfragen Allgemeine Relativitätstheorie Stephan Mertens Wintersemester 2009 UE R ICKE UNI VERSITÄT MAG G N VO D O TT O EBURG

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3 1 Einführung und Motivation 1. Warum kann das Newton sche Gravitationsgesetz nicht richtig sein? 2. Begründen Sie, warum es Gravitationswellen geben muß. 3. Welche Größe entscheidet über den Gültigkeitsbereich des Newton schen Gravitationsgesetzes? Welche Größenordnung hat diese Größe für die Erde? Für die Sonne? Für ein schwarzes Loch? 4. Erläutern Sie den Übergang von der Elektrostatik zur (relativistischen) Elektrodynamik. Was ist bei der Gravitation anders? 5. Was genau bedeutet die Aussage schwere Masse ist gleich träge Masse? 6. Wie hat Isaac Newton die Gleichheit von schwerer und träger Masse nachgemessen? 7. Ein Buch liegt vor Ihnen auf dem Tisch. In welche Richtung beschleunigt es? 8. Was besagt das Äquivalenzprinzip? 9. Erläutern Sie, wie die Ablenkung des Lichtes im Gravitationsfeld aus dem Äquivalenzprinzip folgt. 10. Erläutern Sie, wie beschleunigte Bewegungen zu nichteuklidischer Geometrie führen. 11. Was genau ist bei der Gravitation gekrümmt? 12. Beschreiben Sie eine Beobachtung, aus der hervorgeht, daß unser Universum auf großen Skalen nicht gekrümmt ist. 13. Betrachten Sie ein Dreieck A auf einer Sattelfläche und ein Dreieck B auf einer Kugeloberfläche. Bei welchen Dreieck ist die Winkelsumme größer als π, bei welchem kleiner? 14. Was versteht man unter der Gauß schen Krümmung einer Oberfläche? 15. Wie beschreibt man beliebige Geometrien intrinsisch, d.h., ohne die Einbettung in eine höhere Dimension? 3

4 2 Spezielle Relativitätstheorie 1. Erläutern Sie das Relativitätsprinzip. 2. Wie lautet die Lorentz-Transformation? 3. Aus welchen Annahmen folgt die Lorentz-Transformation? 4. Was versteht man unter Längen-Kontraktion und Zeit-Dilatation? 5. Erläutern Sie die Relativität der Gleichzeitigkeit. 6. Was bedeutet es, wenn zwei Ereignisse einen raumartigen Abstand haben? 7. Was bedeutet es, wenn zwei Ereignisse einen zeitartigen Abstand haben? 8. Kann die zeitliche Reihenfolge zweier Ereignisse abhängig sein vom Beobachter? 9. Mit welchem Instrument mißt man zeitartige Abstände, mit welchem raumartige? 10. Was bedeutet es, wenn zwei Ereignisse einen lichtartigen Abstand haben? 11. Was ist die Eigenzeit? 12. Was ist ein Vierer-Vektor? 13. Wie ist die Vierergeschwindgkeit u definiert? 14. Berechnen Sie u u für ein Teilchen mit nichtverschwindender Ruhmasse. Ist u raum- oder zeitartig? 15. Wie lautet die relativistische Bewegungsgleichung? 16. Erläutern Sie den Energie-Impuls Vektor. 17. Wie lautet die Vierer-Kraft? 18. Zeigen Sie die Äquivalenz von Masse und Energie. 19. Wie lautet das relativistische Variationsprinzip für ein kräftefreies Teilchen? 20. Berechnen Sie u u für ein Photon. 21. Erläutern Sie den relativistischen Doppler-Effekt. 4

5 3 Gravitation als Geometrie 1. Warum gilt das Äquivalenzprinzip in der Raumzeit nur lokal? 2. Erläutern Sie, weshalb das Äquivalenzprinzip impliziert, dass die Zeit von der Gravitation beeinflußt wird. 3. Erläutern Sie die gravitative Rotverschiebung. Wie wichtig ist sie auf der Erde? Der Sonne? Einem weissen Zwerg? 4. Wie lautet die Metrik, die sowohl die Newton sche Gravitationstheorie enthält als auch die gravitative Rotverschiebung? 5. Erläütern Sie die Unterschiede zwischen der klassischen Newton schen Gravitationstheorie und der geometrisierten Form. Ist letztere eine relativistische Theorie? 5

6 4 Raumzeit Geometrien 1. Geben Sie zwei Metriken an, die beide die flache Raumzeit der SRT beschreiben. 2. Was versteht man unter einer Koordinatensingularität? Beispiel? 3. Was versteht man unter einem lokalen Inertialsystem? 4. Was haben lokale Inertialsysteme mit dem Äquivalenzprinzip zu tun? 5. Warum findet man immer Koordinaten, so daß in einem Punkt g α,β = η α,β und g α,β / x γ = 0 ist? Warum können wir nicht auch 2 g α,β / x γ x δ = 0 erreichen? 6. Was versteht man unter der Kausalstruktur der Raumzeit? 7. Wie funktioniert die warp-drive Metrik? 8. Wie berechnet man Flächen, Volumina und 4-Volumina in der Raumzeit? 9. Was veresteht man unter Einbettungs-Diagrammen einer Raumzeit? 10. Wie sieht eine Wurmloch-Geometrie aus? 11. Warum sind Vektoren in der Raumzeit nur lokal definiert? Und was bedeutet das für den Umgang mit Vektoren? 12. Was versteht man unter einer Orthonormal-Basis der Raumzeit? 13. Was versteht man unter einer Koordinaten-Basis der Raumzeit? 14. Die Koordinaten der Vierergeschwindingkeit sind definiert als u α = dxα dτ. Zu welcher Basis gehören diese Koordinaten? 15. Was versteht man darunter, wenn behauptet wird, die Raumzeit habe mehr als vier Dimensionen, wobei die Dimensionen > 4 allerdings aufgerollt (kompaktifiziert) sind? Warum braucht man so große Energien, um diese aufgerollten Dimensionen experimentell nachzuweisen? 16. Wie sind raumartige Hyper-Flächen definiert? Wie kann man sie interpretieren? Beispiel? 17. Wie sind lichtartige Hyper-Flächen definiert? Wie kann man sie interpretieren? Beispiel? 6

7 5 Geodäten 1. Wie lautet das Variationsprinzip für eine kräftefreie Probemasse? 2. Was versteht man in der ART unter einer Geodäte? 3. Wie lautet die Geodäten-Gleichung für zeitartige Geodäten? 4. Was sind die Christoffel-Symbole? 5. Was ist ein Killing-Vektor? 6. Wie lautet die Geodäten-Gleichung für lichtartige Geodäten? 7. Was sind Riemann sche Normalkoordinaten? 8. Was sind Fermi Normalkoordinaten? 7

8 6 Schwarzschild-Geometrie 1. Wie lautet die Schwarzschild-Geometrie? 2. Was beschreibt die Schwarzschild-Geometrie? 3. Was versteht man unter dem Schwarzschild-Radius? 4. Was sind geometrisierte Einheiten? 5. Wie groß is die Masse der Sonne in geometrisierten Einheiten? 6. Leiten Sie die Formel für die gravitative Rotverschiebung in der Schwarzschild- Geometrie her. 7. Welche Erhaltungsgößen gibt es für Geodäten in der Schwarzschild-Geometrie? 8. Wie sieht das effektive Potential für zeitartige Geodäten in der Schwarzschild- Geometrie aus? Was ist der wesentliche Unterschied zur Newton schen Gravitation? 8

9 7 Periheldrehung und Lichtablenkung 1. Was versteht unter der Perihel-Drehung? 2. Erläutern Sie an Hand der Gleichung für die Orbitale in der Schwarzschild-Metrik, welcher Term für die Perihel-Drehung verantwortlich ist. 3. Wie groß ist die Perihel-Drehung für den Merkur? 4. Erläutern Sie die Lichtablenkung und wie man sie mißt. 5. Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen der Lichtablenkung und der klassischen Streuung. 6. Wie groß ist die Lichtablenkung am Rande der Sonne? Wie verhält sich dieser Wert zum scheinbaren Winkeldurchmesser der Sonnenscheibe? 9

10 8 Schwarze Löcher 1. Was ist ein weißer Zwerg? 2. Was ist ein Neutronenstern? 3. Was versteht man unter der Chandrasekhar Masse? 4. Was passiert mit einem Stern mit M = 10M am Ende seiner Lebenszeit? 5. Schreiben Sie die Schwarzschild-Metrik in Eddington-Finkelstein Koordinaten. 6. Was versteht man unter dem Horizont eines schwarzen Loches? 7. Skizzieren Sie die Weltlinien radialer Lichtstrahlen, die von Punkten diesseits und jenseits des Horizontes abgestrahlt werden. 8. Beschreiben Sie, wie ein Beobachter außerhalb des Horizontes den Kollaps eines Sternes zum schwarzen Loch wahrnimmt. 9. Was passiert mit der Fläche des Horizontes, wenn ein schwarzes Loch mehr Masse aufnimmt? 10. Stimmt es, daß schwarze Löcher alles verschlingen, was in ihre Nähe kommt? Begründen Sie ihre Antwort. 11. Wie erlebt ein Beobachter auf der Oberfläche eines kollabierenden Sternes die Passage des Horizontes? 12. Sind die Flächen r = const. in der Schwarzschildmetrik zeit-, raum- oder lichtartig? 13. Schreiben Sie die Schwarzschild-Metrik in Kruskal-Szekeres Koordinaten. 10

11 9 Geodätische Präzession und Frame-Dragging 1. Was versteht man unter der geodätischen Präzession? Geben Sie eine anschauliche Erklärung! 2. Beschreiben Sie ein Experiment zur Messung der geodätischen Präzession. 3. Wie lautet die Bewegungsgleichung für den Eigendrehimpuls eines frei fallenden Gyroskops? 4. Wie groß ist die geodätische Präzession für einen Satelliten in einer Erdumlaufbahn? 5. Was sind gravitomagnetische Effekte? 6. Was versteht man unter dem Lense-Thirring Effekt? 7. Beschreiben Sie ein Experiment zur Messung des Lense-Thirring Effektes. 8. Welche Größenordnung hat der Lense-Thirring Effekt im Vergleich zur geodätischen Präzession? Woher kommt der Unterschied? 11

12 10 Rotierende schwarze Löcher: Kerr-Metrik und kosmische Zensur 1. Geben Sie die Kerr-Metrik in Koordinaten ihrer Wahl an. 2. Welche Symmetrie hat die Kerr-Metrik? Was hat diese Symmetrie mit rotierenden schwarzen Löchern zu tun? 3. Wie lautet die allgemeine Definition des Horizontes einer Metrik? 4. Wie sieht der Horizont der Kerr-Metrik aus? 5. Wie lautet das effektive Potential für die radiale Bewegung in der Kerr-Metrik? Was ist der Unterschied zum effektiven Potential der Schwarzschild-Metrik? 6. Was versteht man unter der Ergosphäre? 7. Skizzieren Sie die Ergosphäre der Kerr-Metrik. 8. Was versteht man unter der kosmischen Zensur? 9. Erläutern Sie, wann und wann nicht die Kerr-Metrik der kosmischen Zensur genügt. 12

13 11 Gravitationswellen 1. Geben Sie die Eigenschaften linearisierter Gravitationswellen an. 2. Unter welchen Bedingungen sind linearisierte Gravitationswellen eine gute Beschreibung? 3. Wie lautet die Metrik einer linearisierten, ebenen Gravitationswellen? 4. Erläutern Sie, warum man zum Nachweis von Gravitationswellen mindestens zwei Probemassen benötigt. 5. Gravitationswellen verändern die relativen Koordinaten zweier Probemassen nicht. Wieso kann man die Wellen trotzdem mit zwei Probemassen nachweisen? 6. Wie versucht man, in der Praxis Gravitationswellen nachzuweisen? 13

14 12 Vekoranalysis im gekrümmten Raum 1. Wie sind Vektoren in gekrümmten Räumen definiert? 2. Wie transformieren sich die Komponenten eines Vektors bei allgemeinen Koordinatentransformationen? 3. Was versteht man unter einem dualen Vektor? Geben Sie ein Beispiel für einen dualen Vektor an. 4. Welche Relationen bestehen zwischen einer Basis und der dualen Basis? 5. Wie lautet die Relation zwischen den ko- und kontravarianten Komponenten eines Vektors? 6. Drücken Sie das Skalarprodukt a b auf verschiedene Weise aus: mit rein kovarianten Komponenten, rein kontravarianten Komponenten, und mit beiden Komponententypen gemischt. 7. Wie ist ein Tensor r-ter Stufe definiert? 8. Warum verwendet man überhaupt Tensoren in der Relativitätstheorie? 9. Wie gelangen Sie zu den rein kovarianten Komponenten des Tensors t 10. Was versteht man unter der Verjüngung eines Tensors? γ αβ? 11. Wie transformiert sich der Tensor t γ δ bei Koordinatentransformationen? 12. Bilden die partiellen Ableitungen eines Vektorfeldes ein Tensorfeld? Begründen Sie ihre Antwort. 13. Bilden die kovarianten Ableitungen eines Vektorfeldes ein Tensorfeld? Begründen Sie ihre Antwort. 14. Was versteht man unter der kovarianten Ableitung α v β? 15. Wie lautet α v β? 16. Wie lautet γ t α β? 17. Formulieren Sie die Geodätengleichung mit Hilfe der kovarianten Ableitung. 18. Was ist γ g αβ? Begründen Sie ihre Antwort. 14

15 Vekoranalysis im gekrümmten Raum Wie lautet die Gleichung, die den Paralleltransport eines Vektors entlang einer Kurve beschreibt? 20. Wann ist ein Vektorfeld konstant? 21. Schreiben Sie die Bewegnungsgleichung für den Eigendrehimpuls eines frei fallenden Gyroskops mit Hilfe der kovarianten Ableitung. Stephan Mertens Allgemeine Relativitätstheorie WS 2009