Phasenübergänge und kritische Phänomene

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1 Kontrollfragen Phasenübergänge und kritische Phänomene Stephan Mertens 27. Juni 2014 UE R ICKE UNI VERSITÄT MAG G N VO D O TT O EBURG

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3 1 Einführung und Motivation 1. Was versteht man in der Thermodynamik unter einem Phasenübergang? 2. Skizzieren und erläutern Sie das p-t -Phasendiagramm eines Fluids. Wodurch zeichnet sich der kritische Punkt aus? 3. Vergleichen Sie die feste Phase mit der der flüssigen Phase. In welcher Phase ist die Energie größer, in welcher die Entropie? In welcher Phase ist die freie Enthalpie größer? 4. Skizzieren Sie die Entropie als Funktion der Temperatur beim Übergang fest-flüssig eines Fluids. Interpretieren Sie den Verlauf. 5. Was versteht man unter latenter Wärme? 6. Was unterscheider Phasenübergänge 1. Ordnung von kontinuierlichen Phasenübergängen? 7. Was macht kontinuierliche Phasenübergänge so interessant? 8. Was versteht man unter der Universalität kritischer Phänomene? 9. Wie lautet der Ordnungsparameter beim kontinuierlichen Phasenübergang gasförmigflüssig? Wie lautet der entsprechende Ordnungsparameter bei einem Ferromagneten? Wie verhalten sich beide Ordnungsparameter am Phasenübergang? 3

4 2 Statistische Mechanik 1. Was versteht man unter der Zustandssumme? Wie hängen Zustandssumme und freie Energie zusammen? 2. Wie lautet der erste Hauptsatz der Thermodynamik für magnetische Systeme? (Formel und Erläuterung) 3. Wie berechnet man die Entropie und die spezifische Wärme aus der freien Energie? 4. Wie berechnet man die innere Energie aus der Zustandssumme? 5. Wann ist eine Funktion konvex? 6. Begründen Sie, warum die freie Energie als Funktion von T und H konkav sein muß. 7. Wie ist die Korrelationsfunktion für sein Spin-System definiert? 8. Wie hängt die Korrelationslänge mit der Korrelationsfunktion zusammen? 9. Wie ist der kritische Exponent η definiert? 10. Skiziieren und erläutern Sie das H-T Ühasendiagramm eines Ferromagneten. 11. Wie sind die kritschen Exponenten α, β, γ und δ bei einem Ferromagneten definiert? 12. Wie lautet die Rushbrooke Ungleichung? Warum gilt sie? 4

5 3 Modelle 1. Wie lautet die Definition des Spin- 1 2 Ising Modelles für allgemeine Gitter? 2. Berechnen Sie die freie Energie und die Magnetisierung des Spin- 1 2 im paramagnetischen Fall. Ising Modelles 3. Berechnen Sie die freie Energie für das eindimensionale Spin- 1 2 Magnetfeld. Wo liegt der kritische Punkt? Ising Modell im 4. Erläutern Sie den Phasenübergang in β-messing. Wie kann man dieses System mit dem Ising-Modell beschreiben? 5. Erläutern Sie das Gitter-Gas Modell. 6. Erläutern Sie das Spin-1 Modell. 7. Erläutern Sie das Potts Modell und beschreiben Sie ein Beispiel eine physikalischen Systems, welches durch ein q = 3-Potts Modell beschrieben wird. 8. Erläutern Sie das x-y Modell und das Heisenberg Modell. 9. Erläutern Sie das sphärische Modell. 5

6 4 Reihenentwicklungen 1. Erläutern Sie die Hochtemperatur-Entwicklung für das Spin- 1 2 Ising Modell. 2. Berechnen Sie Hochtemperatur-Entwicklung für das Spin- 1 2 Quadragitter bis zu Termen der Ordnung v 6, v = tanh K. Ising Modell auf dem 3. Erläutern Sie das Linked Cluster Theorem. Wie kommt uns dieses Theorem bei den Reihenentwicklungen der statistischen Mechanik zu Hilfe? 4. Erläutern Sie die Tietemperatur-Entwicklung für das Spin- 1 2 Ising Modell. 5. Was versteht man unter der Dualität von Gittern? 6. Erläutern Sie, wie man uas der Dualität des Quadratgitters und der Hoch- bzw. Tieftemperaturentwicklung den exakten Wert der kritischen Temperatur für das Spin- 1 2 Ising Modell auf dem Quadragitter berechnen kann. 7. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem aus endlich vielen Termen der Reihenentwicklung Näherungen für die kritischen Exponenten berechnen kann. 6

7 5 Lösung des 2d Ising-Modelles 1. Wie ist ein Matching auf einem Graphen definiert? Was ist ein perfektes Matching? 2. Wie ist die Permamente einer Matrix definiert? Was hat die Permanente mit der Anzehl perfekter Matchings zu tun? 3. Beschreiben Sie die Unterschiede zwischen der Permanente und der Determinante einer Matrix. 4. Was verstecht man unter einer Kreisbedeckung eines Graphen? Was haben Kreisbedeckungen mit der Permamente bzw. der Anzehl perfekter Matching zu tun? 5. Erläutern Sie, wie man die Berechnung der Permanente für planare, bipartite Graphen auf die Berechnung der Determinante zurückführen kann. 6. Was versteht man unter der Pfaff schen Orientierung eines planaren Graphen? Wie hilft sie uns bei der Berechnung der Anzahl perfekter Matchings? 7. Beschreiben Sie, wie sich die Berechnung der Zustandssumme des 2d-Ising Modelles auf dem Quadratgitter auf die Berechnung der Anzahl perfekter Matchings in einem geeigneten planaren Graphen zurückführen läßt. 7

8 6 Meanfield-Theorie I 1. Erläutern Sie die grundlegende Idee der Meanfield-Theorie am Beispiel des Ising- Modelles. 2. Berechnen Sie die Magnetisierung des Spin- 1 2 Meanfield-Theorie. Ising Modelles im Rahmen der 3. Berechnen Sie die kritische Temperatur des Spin- 1 2 der Meanfield-Theorie. Ising Modelles im Rahmen 4. Berechnen Sie den kritischen Exponenten β des Spin- 1 2 Ising Modelles im Rahmen der Meanfield-Theorie. 5. Wie lauten die Werte der kritischen Exponenten α, β, γ und δ in der Meanfield- Theorie? 6. Wie lauten die Werte der kritischen Exponenten ν und η in der Meanfield-Theorie? 7. Erläutern Sie die Landau-Theorie für kontinuierliche Phasenübergänge. Was hat sie mit der Meanfield-Theorie zu tun? 8. Erklären Sie mit Hilfe der Landau-Theorie, wie die Symmetrie eines Systems die Werte der kritischen Exponenten beeinflußt. 8

9 7 Meanfield-Theorie II 1. Beschreiben Sie ein Modell, bei dem die Meanfield Theorie exakt ist und erläutern Sie den Grund dafür! 2. Was versteht man unter der Sattelpunktsmethode? 3. Wie lautet die Boguliobov-Ungleichung? 4. Erläutern Sie, wie die Meanfield-Theorie aus einem Variationsansatz gewonnen werden kann. 5. Wie lautet das Ginzburg-Kriterium und was besagt es? 6. Erläutern Sie die Bethe-Approximation an Hand des Spin- 1 2 Ising Modelles. 9

10 8 Renormierungsgruppe I 1. Beschreiben Sie die Idee der Renormierungsgruppe an Hand des Spin- 1 2 Ising Modelles. 2. Berechnen Sie die RG-Transformation für das eindimensionale Spin- 1 2 die sich ergibt, wenn man über jeden zweiten Spin summiert. Ising Modell, 3. Erläutern Sie, warum man für das zweidimensionale Ising-Modell die RG-Trafos in der Regel nicht exakt aufschreiben kann. Wie kann man damit umgehen? 4. Wie berechnet man (im Prinzip) die kritischen Exponenten aus der RG-Transformation? 10

11 9 Renormierungsgruppe II 1. Wie hängt die freie Energie f(h ) mit der freien Energie f(h zusammen, wenn H = R b (H) der renormierte Hamiltonoperator ist? 2. Wie skaliert die Korrelationslänge unter einer Renormierungsgruppen Transformation? 3. Wie haben kritische Punkte mit der Renormiergungsruppen Transformation zu tun? 4. Was sind Skalenexponenten und Skalenfelder? 5. Wann ist ein Skalenfeld relevant, wann ist es irrelevant? 6. Wie lautet das Skalengesetz für den singulären Teil der freien Energie eines Ferromagneten? 7. Erläutern Sie die Migdal-Kadanoff RG am Beispiel des Ising-Modells auf dem Quadratgitter. Was ist der Vorteil der Migdal-Kadanoff Transformation im Vergleich zur naheliegenden Dezimierung jedes zweiten Spins? 11

12 10 Renormierungsgruppe III 1. Was versteht man unter dem Ginzburg-Landau-Modell? Erläutern Sie die physikalische Bedeutung der einzelnen Terme. 2. Leiten Sie die Werte der Skalenexponenten y h, y u und y t des Ginzburg-Landau- Modelles her. 3. Erläutern Sie, warum das Ginzburg-Landau-Modell in Dimensionen d > 4 einfach wird. 4. Wie lauten die kritischen Exponenten des Ginzburg-Landau-Modelles für d > 4? Erläutern Sie, warum diese Werte von den Meanfield-Werten abweichen. 5. Erläutern Sie, was mit dem Renormierungsgruppen-Fixpunkt des Ginzburg-Landau Modelles passiert für kleine ɛ = 4 d. Nehmen Sie dabei h = 0 an. Wie lauten die korrespondierenden RG-Differentialgleichungen für t(b) und u(b) für b = 1 + db? 6. Was versteht man unter der ɛ-entwicklung für die kritischen Exponenten? 7. Was versteht man unter der Hubbard-Stratonovich Transformation? 8. Erläutern Sie (wenigstens prinzipiell), wie man das Ginzburg-Landau-Modell aus dem Ising-Modell herleiten kann. 12

13 11 Perkolation I 1. Was versteht man unter Perkolation? Was ist der Ordnungsparameter beim Perkolations- Übergang. 2. Wie ist die Clusteranzahldichte definiert? 3. Wie lautet die Clusteranzahldichte für die Perkolation in d = 1? 4. Wie ist die charakteristische Clustergröße s ξ definiert? 5. Wie ist die mittlere Clustergröße χ definiert? 6. Was passiert mit der charakteristischen und der mittleren Clustergröße am Perkolationsübergang? 7. Wie lautet der Zusammenhang zwischen Perkolationswahrscheinlichkeit P (p) und Clusteranzahldichte n(s, p)? 8. Wie ist die Korrelationsfunktion in der Perkolation definiert? 9. Wie ist die Korrelationslänge in der Perkolation definiert? 10. Was versteht man unter dem Bethe-Gitter? Warum sind Probleme auf dem Bethe- Gitter in der Regel analytisch exakt lösbar? 11. Berechnen Sie die mittlere Clustergröße χ(p) für die Perkolation auf dem Bethe- Gitter mit Koordinationszahl z. 12. Zeigen Sie, daß auf dem Bethe-Gitter mit Koordinationszahl z alle Cluster der Größe s den Perimeter t = 2 + s(z 2) haben. 13

14 12 Perkolation II 1. Erläutern Sie, warum die Berechnung der Clusteranzahldichte in Dimensionen d > 1 schwierig ist. 2. Berechnen Sie die Clusteranzahldichten für s = 1 und s = 2 für das kubische Gitter. 3. Wie lautet der Skalenansatz für die Clusteranzahldichte? Was können Sie über die Skalenfunktion aussagen? 4. Erläutern Sie, wie man den Skalenansatz durch numerische Simulationen überprüfen kann. Stichwort: Datenkollaps.. 5. Wie unterscheidet sich die Skalenfunktion der Clusteranzahldichte im Fall d = 1 von der im Fall d > 1? 6. Leiten Sie die Skalenrelation für die mittlere Clustergröße χ(p) aus dem Skalenansatz für die Clusteranzahldichte her. 7. Leiten Sie die Skalenrelation für die Perkolationswahrscheinlichkeit P (p) aus dem Skalenansatz für die Clusteranzahldichte her. 8. Leiten Sie die Formel her, mit der der kritische Exponent ν der Korrelationslänge aus der RG-Transformation für die Perkolation bestimmt werden kann. 9. Leiten Sie die RG-Transformation für die Perkolation auf dem Quadratgitter her, wobei Sie die Gitterpunkte in 2 2 Blöcken zusammenfassen. Wie lautet der daraus resultierende Wert für die Perkolationsschwelle p c? 14