Monte Carlo Simulation des Ising Modells. Lukas Brunner

Transkript

1 Lukas Brunner

2 1 Problemstellung und Vorgangsweise Das nach Ernst Ising benannte Ising Modell beschreibt den Ferromagnetismus in Festkörpern. Es wird angenommen, dass die Spins, welche das magnetische Moment der Atome bestimmen, nur 2 diskrete Zustände annehmen können (±1). Zudem sind im Gegensatz zum allgemeineren Heisenbergmodell die eigentlich vekorwertigen Spinkomponenten auf Eins reduziert, d.h. sie können sich nur parallel oder antiparalell zu einer Magnetfeldrichtung und zueinander ausrichten. Eine weitere Vereinfachung besteht darin, dass nur benachbarte Spins miteinander wechselwirken können. Der Hamiltonoperator in eines d dimensionalen kubischen Gitters hat somit die Form: H[S] = α 2 n S n = 1, 1 n î α R + η R + 0 d i=1 ( 1 S n S n+î ) + η 2 Konfiguration der Spinvariablen d dimensionaler Ortsvektor jeder Spinvariablen d dimensionaler Einheitsvektor in die i Richtung Nächste Nachbar Kopplung Äußeres Magnetfeld (1 S n ) (1) Der Grundzustand H=0 ist gegeben wenn alle Spinwerte S n den Wert 1 (auch: Spin up) annehmen. Es soll nun das Verhalten dieses Ising Magnets auf Temperaturänderungen mittels einer Monte Carlo Simulation untersucht werden. n In Kapitel 2 wird gezeigt dass das Ising Modell nicht exakt gelöst werden kann und die mathematischen Grundlagen der Monte Carlo Simulation werden hergeleitet. Diese werden dann in Kapitel 3 geeignet in ein Programm integriert, insbesondere wird der Metropolis Algorithmus, der einen wichtigen Teil der Simulation darstellt genauer betrachtet. In Kapitel 4 schließlich wird ein Analyseprogramm besprochen das aus den Daten der Monte Carlo Simulation die Observablen ausrechnet und ausgibt. Diese werden dann für verschieden große Systeme geplottet. 1/13

3 2 Konzept der Monte Carlo Simulation 2.1 Wahrscheinlichkeit und Observablen Bei einer gegebenen Temperatur sei die Wahrscheinlichkeit das System in einem Zustand S zu finden durch eine Boltzmann Verteilung gegeben: P [S] = 1 Z e β H[S] (2) β 1 k B T k B = [ J K T Z = S ] Temperatur in Kelvin e β H[S] Boltzmann Konstante Zustandssumme Mit diesen Definitionen erfüllt P[S] die Bedingungen für eine Wahrscheinlichkeit: P [S] [0, 1] P [S] = 1 S Damit die Wahrscheinlichkeit P[S] nicht vernachlässigbare Werte annimmt muss für die Hamiltonfunktion gelten: H[S] k B T (3) Um die Wahrscheinlichkeit explizit auszurechnen wird Z benötigt, also eine Summe über alle möglichen Zustände S. Diese Summe ist jedoch nicht ausführbar, da zu viele Zustände existieren wie die folgende einfache Abschätzung für einen Würfel mit 100 Atomen Seitenlänge zeigt, wobei die Spins jeweils nur 2 Einstellmöglichkeiten haben: V = = V = ( 2 10) 10 5 = (1024) 105 = (10 3 ) 105 = Mögliche Zustände (4) Benötigt wird die Wahrscheinlichkeit zum Berechnen des Erwartungswerts der Observablen des Systems. Diese sind die bereits Eingeführte Innere Energie H[S] und die Magnetisierung M[S]: M[S] = #Spin-up #Spin-down = n S n (5) Der Erwartungswert einer Observablen O[S] bei einer Temperatur T ist gegeben mit: O T = O[S] P [S] = 1 O[S] e β H[S] (6) Z S S 2/13

4 Dieser Erwartungswert enthält ebenfalls die Summe über alle möglichen Zustände und kann daher nicht berechnet werden. 2.2 Monte Carlo Simulation Die Monte Carlo Simulation ersetzt die Summe über alle Konfigurationen durch eine Summe über eine mit Zufallsmethoden generierte Untermenge von Konfigurationen. Wenn die Zufälligen Zustände gut gewählt wurden nähert diese reduzierte Summe die exakte Lösung sehr gut. Für das Wählen der Zustände wird hier die Methode des Importance Sampling verwendet. Im Gegensatz zur einfachsten Möglichkeit die Zustände gleichverteilt zu wählen werden die Konfigurationen beim Importance Sampling gemäß einer Verteilung R[S (t) ] gewählt. Für diese Verteilung wird hier wiederum eine Boltzmann Verteilung gewählt: [ R S (t)] = 1 e β H[S(t) ] µ N S (t) ; mit t = 1... N; N 10 6 Zufällige Untermenge von Konfigurationen µ N = e β H[S(t) ] t=1 Man erhält den Erwartungswert einer Observablen O[S] zu: O = 1 Z N Z N = t=1 t=1 e β H[S(t) ] R[S (t) e β H[S(t) ] R[S (t) ] (7) [ O S (t)] (8) O [S (t)] Und weiter wenn man (7) in (8) einsetzt: O N = 1 Z N µ N Z N = µ M t=1 N t=1 Und daraus wiederum: [ O S (t)] (9) 1 = Nµ M (10) O N 1 N O[S (t) ] (11) t=1 Der Erwartungswert der Monte Carlo Simulation wird also durch einen einfach Mittelwert der Observablen über alle N Konfigurationen approximiert. 3/13

5 Zum Schluss müssen die Zufälligen Zustände S (t), die der Verteilung R[S (t) ] genügen sollen (siehe (7)) noch tatsächlich erzeugt werden. Das wird mit Hilfe sogenannter Markow Ketten realisiert. Man geht Schrittweite auf einem Pfad von aufeinander folgenden Konfigurationen (S (t) ) durch den Raum aller Konfigurationen. Der Zustand (S (t+1) ) wird dabei aus dem Zustand (S (t) ) durch einen Zufallsprozess erzeugt. Dieser wird durch eine Übergangswahrscheinlichkeit charakterisiert: ( ) W S (t+1) = S S (t) = S = W (S S ) (12) W erfüllt die Bedingungen für eine Wahrscheinlichkeit: W (S S ) [0, 1] S W (S S ) = 1 Über die Detailed Balance Gleichung lassen sich jetzt die Übergangswahrscheinlichtkeit W (S S ) und die gewünschte Wahrscheinlichtkeitsverteilung R[S] in Zusammenhang bringen: e β H[S] W (S S ) = e β H[S ] W (S S) (13) Durch aufsummieren über S auf beiden Seiten der Gleichung lässt sich (13) in die Form einer Fixpunktgleichung bringen: e β H[S] W (S S ) = e β H[S ] S S e β H[S] W (S S ) = e β H[S ] S W (S S) Diese Gleichung wird durch den Metropolis Algorithmus gelöst, der in Kapitel 3 bei der Implementation des Problems genauer betrachtet wird. (14) 4/13

6 3 Implementation der Monte Carlo Simulation 3.1 Anfangszustand und Parameter Wie bereits in Kapitel 1 erwähnt ist der Grundzustand der Energie gegeben wenn alle Spins parallel zum Magnetfeld ausgerichtet sind. Dies entspricht einer Temperatur nahe 0 Kelvin, analog entspricht eine Zufällige Ausrichtung der Spins hohen Temperaturen. Diese beiden Fälle sind auch gleichzeitig die beiden möglichen Anfangszustände für das System. Das Hauptprogramm enthält also eine Abfrage ob bei hoher oder bei tiefer Temperatur gestartet werden soll: cout << endl << "Programm Monte Carlo " << endl << endl ; cout << "Art der S t a r t k o n f i g u r a t i o n (1= c o l d s t a r t, 2=h o t s t a r t ) " ; cin >> h ; cout << endl ; e i n l e s e n ( k0, dk, maxk, jumps, e q u i s t e p s, s t e p s ) ; f e l d ( neben ) ; i f ( h==1) c o l d s t a r t ( spin ) ; else h o t s t a r t ( spin ) ; Das Unterprogramm coldstart füllt den integer-wertigen Vektor spin für alle Spinwerte mit 1. Das Unterprogramm hotstart hingegen enthält einen einfach Zufallsgenerator der die Spins etwa zur Hälfte mit +1 und -1 füllt: void h o t s t a r t ( int spin [ a ] ) double h ; for ( int i =0; i <a ; i++) h=rand ( ) / (RAND_MAX+1.0); i f ( h < 0. 5 ) spin [ i ]=1; else spin [ i ]= 1; Wie bereits im 2. Projekt zu den elektrostatischen Potentialen wird auch hier wieder statt kartesischer Variablen ein Index i verwendet der durch alle Gitterpunkte läuft. Die Variable a wurde zu Beginn des Programms global als die Anzahl der Atome im System definiert. Hier wurde ein System in 2 Dimensionen untersucht. 5/13

7 Das Unterprogramm feld füllt analog zum 2. Projekt das Nachbarnfeld neben. Das Unterprogramm einlesen liest aus einer Textdatei die Anfangswerte und Parameter des Programms ein: ifstream input ( " Anfangswerte. txt " ) ; input >> k0 >> l a b e l ; input >> dk >> l a b e l ; input >> maxk >> l a b e l ; input >> jumps >> l a b e l ; input >> e q u i s t e p s >> l a b e l ; input >> s t e p s >> l a b e l ; k0 ist dabei der Anfangswert Kopplung ein Einheitenloser Wert, der proportional der Inversen Temperatur ist (siehe (16)). Also je höher die Temperatur desto niedriger die Kopplung und desto größer die Unordnung im System. Ist die Temperatur eines Systems in der Nähe oder über dem Curie Punkt eines Magneten ist die Kopplung so gering dass die Spins im System sich nur noch Zufällig ausrichten, der Magnet verliert dann seine magnetischen Eigenschaften. k0 hat hier den Wert 0.3, die Variable dk ist die Schrittweite in der die Kopplung verändert wird, sie beträgt 0.01 und maxk schließlich ist der Maximalwert, hier gewählt als 0.5. Die Variable jumps=1000 ist die Anzahl der Sprünge durch den Raum aller Konfigurationen. Um genügend große Sprünge zu erhalten besteht jeder Sprung aus 10 Schritten, wie durch die Variable steps definiert wird. Diese beiden Variable initialisieren den bereits in Kapitel 2 erwähnten Metropolis Algorithmus. Bevor dieser jedoch gestartet werden kann muss das System ins Gleichgewicht laufen. Da entweder bei sehr niedrigen oder sehr hohen Temperaturen gestartet wird das System dann jedoch bei einer der Kopplung proportionalen, gegebenen Temperatur untersucht werden soll werden bereits einige Sprünge im Konfigurationenraum benötigt um das System ins Gleichgewicht zu bringen. Die Anzahl dieser Sprünge wird durch die Variable equisteps gegeben die hier den Wert 500 hat. 3.2 Metropolis Algorithmus Der Metropolis Algorithmus der die Schritte durch den Konfigurationenraum umsetzt geht von einer sogenannten Angebotskonfiguration S aus, die sich nur in einem Spin S n0 S n0 (im Programm: spin[j] -spin[j]) von der ursprünglichen Konfiguration unterscheidet. Damit wird eine Größe ρ [0, ] definiert als: ρ = R[ S] R[S] (15) 6/13

8 Setzt man in (15) die Definition aus (7) ein erhält man (ohne äußeres Magnetfeld η = 0): ρ = e β(h[ S] H[S]) = [ [ α ±d = exp β 2 = exp ( i=±1 β α 2 S n 0 2 ( ±d = exp 2 k S n0 ( ) 1 ( S n0 ) S n0 +î α 2 i=±1 ±d i=±1 S n0 +î S n0 +î ) ) = ±d i=±1 mit Kopplung k β α 2 ( 1 S n0 S n0 +î) ]] = Ist diese Größe ρ 1 wird S als neue Konfiguration S akzeptiert, sonst ist ρ [0, 1) die Wahrscheinlichkeit mit der die neue Konfiguration akzeptiert wird. Das Unterprogramm das den Metropolis Algorithmus implementiert hat die Form: void update ( int N, int spin [ a ], int neben [ a ] [ 4 ], double k ) double rho, z ; int h ; (16) for ( int i =0; i<=n; i++) for ( int j =0; j<a ; j++) h=0; for ( int l =0; l <4; l++) h=h+spin [ neben [ j ] [ l ] ] ; rho=exp( 2 k h spin [ j ] ) ; z=rand ( ) / (RAND_MAX+1.0); i f ( z<rho ) spin [ j ]= spin [ j ] ; Die Argumente des Unterprogramms update sind dabei N, das entweder die Anzahl der Schritte zum equilibrieren oder die Anzahl der Schritte pro Sprung angibt, spin[a], der Vektor aller Spinausrichtungen, neben[a][4], das Nachbarnfeld und 7/13

9 k, der momentane Kopplungswert. Im Unterprogramm wird eine erste einfache for Schleife aufgerufen die durch N beschränkt ist. In dieser Schleife läuft eine Weitere über alle benachbarten Spinvariablen eines Spins j und eine Variable h wird als Summe dieser definiert (es gelten periodische Randbedingungen). Für 2 Dimensionen gilt: h [ 4, 4]. In der darauf folgenden Zeile wird dieser Wert dann verwendet um äquivalent zu (16) ein rho zu definieren. Es wird dann nicht mehr zwischen ρ 1 und ρ < 1 unterschieden sondern eine if Abfrage verwendet, die beide Fälle zugleich abdeckt. z ist eine zufällige Zahl kleiner 1, somit ist die Bedingung für ρ 1 automatisch erfüllt, für ρ < 1 nur wenn die Zufällig gewählte Zahl die if Abfrage erfüllt. 3.3 Untersuchen verschiedener Kopplungswerte Damit ist die Monte Carlo Simulation fast vollständig implementiert. Im Hauptprogramm läuft nach dem Einlesen der Parameter und der Wahl der Starttemperatur eine for Schleife über alle erlaubten Kopplungswerte. Dabei wird bei jedem Kopplungswert zuerst equilibriert und dann jumps Sprünge durch den Konfigurationenraum gemacht: fo r ( double k=k0 ; k<maxk ; k=k+dk ) update ( e q u i s t e p s, spin, neben, k ) ; for ( int j =0; j<jumps ; j++ ) update ( steps, spin, neben, k ) ; out ( spin, neben ) ; Das Unterprogramm out gibt nach jedem Sprung der aus steps Schritten besteht einen Wert für die Gesamtmagnetisierung und einen Wert für die Innere Energie in ein Textfile aus. 8/13

10 4 Analyse unterschiedlich großer Systeme Aus der Näherung für die Observablen in (11), folgt für den Betrag der Magnetisierung und die Energie, jeweils in Abhängigkeit der Kopplung. M = 1 N E = 1 N M n (17) n=1 E n (18) n=1 Die zugehörigen statistischen Fehler sind: σ M = 1 N ( M Mn ) 2 (19) N n=1 σ E = 1 N ( ) 2 E En (20) N n=1 Damit erhält man den Erwartungswert der Größen zu: M = M σ M (21) E = E ± σ E (22) Ein Analyseprogramm liest die Werte aus dem Ausgabefile der Monte Carlo Simulation ein. Für eine feste Kopplung k hat die Berechnung die Form: for ( int i =0; i <jumps ; i++) input >> mag [ i ] ; mag [ i ]= abs (mag [ i ] ) ; input >> h [ i ] ; for ( int i =0; i <jumps ; i++) mav=mav+mag [ i ] ; hav=hav+h [ i ] ; mav=mav/ jumps ; hav=hav/jumps ; 9/13

11 for ( int i =0; i <jumps ; i++) mf=mf+pow(mav mag [ i ], 2 ) ; hf=hf+pow( hav h [ i ], 2 ) ; mf=s q r t ( mf)/ jumps ; hf=s q r t ( hf )/ jumps ; Die 2 so errechneten Werte (plus Fehler) werden für jede Kopplung wiederum in eine Ausgabedatei gespeichert. Die Daten werden dann mit Qti Plot eingelesen und für verschiedene Systemgrößen geplottet: Magnetisierung 1 0,8 0,6 0,4 20x20 Gitter Coldstart 35x35 Gitter Coldstart 50x50 Gitter Coldstart 100x100 Gitter Coldstart 0,2 0 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 Kopplung Abbildung 1: Magnetisierung über Kopplung für verschiedene Größen (Coldstart) Um zu überprüfen ob genügend lange equilibriert wurde werden in Abbildung 3 die Magnetisierungswerte eines Gitters einmal mit Hotstart und einmal mit Coldstart verglichen. Für den Hotstart wurden Punkte mit Fehlerbalken eingezeichnet, für den Coldstart nur eine Linie. Wie man sieht liegen die Punkte des Hotstarts genau auf der Linie des Coldstarts, die Equilibrierungsschritte waren also ausreichend. 10/13

12 1,4 1,2 Innere Engerie 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 Kopplung Abbildung 2: Energie über Kopplung für ein Gitter (Coldstart) 1 0,8 100x100 Gitter Hotstart 100x100 Gitter Coldstart Magnetisierung 0,6 0,4 0,2 0 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 Kopplung Abbildung 3: Vergleich der Magnetisierung über Kopplung von Hotstart und Coldstart für ein Gitter 11/13

13 Eine weitere Kontrolle des Programms ist durch den Vergleich der berechneten Magnetisierungskurve mit der theoretischen Kurve für ein Volumen V möglich. Diese Kurve wurde von Lars Onsager hergeleitet und hat die Form: (1 sinh(2j) 4 ) 1 8 für J > J C M[J] = (23) 0 für J < J C Für endliche Volumina ist die Sprungstelle die in dieser Funktion auftritt nicht möglich, wie man in Abbildung 4 sehen kann sind die berechneten Punkte für ein Gitter aber schon eine gute Näherung des unendlichen Grenzfalls. 1 Berechnet 100x100 Gitter Unentlicher Grenzfall Magnetisierung 0,5 0 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 Kopplung Abbildung 4: Vergleich der Magnetisierung über Kopplung des unendlich Ausgedehnten Grenzfalls mit einem Gitter Zusätzlich werden jetzt noch die Wärmekapazität und die magnetische Suszeptibilität berechnet und geplottet. Sie sind gegeben durch: C = E 2 E 2 = 1 N n=1 χ = M 2 M 2 = 1 N ( M [S (t) ] M ) 2 (24) n=1 ( E[S (t) ] E) 2 (25) Diese Gleichungen wurden in einem weiteren Analyseprogramm umgesetzt und die Ergebnisse wieder für unterschiedliche Volumina verglichen. Um im Bereich des Curie Punktes genügend Werte zu erhalten wurde hier für das und das Gitter die Schrittweite dk der Kopplung auf verkleinert. 12/13

14 x100 Gitter 20x20 Gitter Wärmekapazität ,3 0,35 0,4 0,45 0,5 Kopplung Abbildung 5: Wärmekapazität über Kopplung für 100, 20 Gitterpunkte Seitenlänge x100 Gitter 50x50 Gitter 20x20 Gitter Suszeptibilität ,3 0,35 0,4 0,45 0,5 Kopplung Abbildung 6: Suszeptibilität über Kopplung für 100, 50, 20 Gitterpunkte Seitenlänge 13/13