5 Relativistische Mechanik

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1 5 Relativistishe ehanik Nah dem Relativitätsprinzip müssen die Naturgesetze, also insbesondere die Gesetze der ehanik, in jedem IS die gleihe Form annehmen. Zur Formulierung der Impulserhaltung etwa benötigt man den Begriff der Geshwindigkeit. Für zwei diht aufeinanderfolgende Ereignisse A und B auf der Weltlinie ist t B t A x B x A y B y A z B z A = t x y z = xµ. 138 die kovariante Komponenten-Darstellung eines Vierervektors in S, denn die entsprehenden Komponenten in einem anderen Inertialsystem S ergeben sih aus x µ = Λ µ ν x ν. 139 Wäre nun t eine invariante Größe also ein Viererskalar, so wäre auh durh v x v y v z := 1 t t x y z. 140 ein Vierervektor gegeben. Dies ist aber niht der Fall, denn im System S gilt t = γ t βγ x t, 141 also t t. Der 3D Geshwindigkeitsvektor v = v x, v y, v z T läßt sih also, anders als der 3D Vektor r = x, y, z T, niht einfah durh hinzufügen einer zeitlihen Komponente zu einem Vierervektor ergänzen. 31

2 5.1 Eigenzeit An einem beliebig bewegten Teilhen, das im IS S die Bahnkurve rt = xt yt zt vt = d rt = ẋt ẏt żt 142 beshreibt, sei eine gegen Beshleunigungen unempfindlihe Uhr befestigt. Die von dieser angezeigte Zeit τ heißt die Eigenzeit des bewegten Teilhens. Verstreiht in S das kleine Zeitintervall, so ändert sih die Zeigerstellung der bewegten Uhr für den in S ruhenden Beobahter infolge der Zeitdilatation um dτ = = γ Während des endlihen Zeitintervalls [t 0, t] wähst also die Zeigerstellung von einem Anfangswert τt 0 auf τt = τt 0 + t t 0 1 vt Da vershiedene Zeigerstellungen einer Uhr miteinander kausal verknüpft sind, ist τt eine streng monoton wahsende, also invertierbare Funktion. Dies ist auh formal klar, da der Integrand zu jeder Zeit t positiv ist! Insbesondere ist, im Gegensatz zu t = t B t A, das Eigenzeitintervall τ zwishen zwei Ereignissen auf der Weltlinie eines Teilhens invariant unter Lorentz-Transformationen. Diesen Umstand werden wir im nähsten Abshnitt bei der Definition der Vierergeshwindigkeit ausnutzen. Bsp. 1: Wir betrahten den Fall konstanter Beshleunigung a in x-rihtung, xt = 1 2 at2, yt = zt = 0. Da vt = at < sein muß, ist diese Formel nur im Zeitintervall < t < realistish. Die Eigen-Zeit 144 ergibt sih in diesem Fall zu a a τt = 1 at2 = t 2 1 at arsin at. 145 In S würde zur Zeit t = die Lihtgeshwindigkeit erreiht. Dann wäre τ = π a 4 Uhr ginge aus Siht von S immer langsamer und bliebe für t stehen, a a < t. Die d τt = 1 at

3 Bsp. 2: Um einen Stern in Entfernung D von der Erde zu besuhen, starten wir mit nahezu Lihtgeshwindigkeit, bremsen zunähst langsam aber dann immer stärker ab, um shließlih knapp vor dem Stern im Abstand l D zum Stehen zu kommen und die Rükreise zur Erde anzutreten, xt = D l 2 + t Der Betrag der Reisegeshwindigkeit im IS S Erde bleibt immer kleiner als, vt ẋt = t t 2 + l Die Zeitpunkte von Start und Rükkehr auf die Erde ergeben sih aus xt = 0 zu t S,R = ± t 2, t := 2 D2 l Wir vergleihen die in S festgestellte Reisedauer t mit dem Eigenzeitintervall τ = + t/2 t/2 = 2l arsinh D l Hier wurde benutzt: du 1+u 2 = arsinhu. Für l D gilt also τ arsinh t D D l 2 l 1 arsinh D l 2 D 1 l ln 2D l D l

4 Wir wollen nun untersuhen, für welhen Verlauf r = ft der Weltlinie eines Teilhens zwishen zwei gegebenen Ereignissen A und B das Eigenzeit-Intervall τ AB = tb t A =: F [ f ] 152 extremal wird. Dabei ist vt = ft mit fest vorgegebenen Randwerten ft A = r A und ft B = r B der Funktion r = ft. Variation bezüglih vt ergibt zunähst δτ AB = F [ f + δf ] F [ f ] = 1 tb Durh partielle Integration erhält man hieraus t A vt δvt. 153 δτ AB = + 1 tb δrt d t A vt t B 1 vt δrt. 154 t A Wegen δrt = 0 für t = t A,B vershwindet der zweite Term, sodaß die Forderung δτ AB = 0 für beliebige Variationen δrt nur erfüllbar ist, wenn gilt d vt = Der Ausdruk hinter d/ muß also konstant sein. Dies ist nur möglih, wenn vt selbst konstant, die Bewegung des Teilhens also gleihförmig ist. Es ergibt sih also zweierlei: 1. Die im Raum-Zeit-Diagramm kürzeste d.h. geradlinige Verbindung zweier Ereignisse durh eine Weltlinie entspriht dem längstmöglihen Eigenzeit-Intervall. Dies ist niht überrashend, sondern lediglih die allgemeinste Formulierung des Zwillingsparadoxons! 2. Da die aximierung des Ausdruks 152 gerade die Bewegung Weltlinie eines freien Teilhens liefert, ist zu vermuten, daß es sih bis auf eine negative Konstante um das relativistishe Wirkungsintegral handelt. Tatsählih geht Lr, ṙ = m = m mṙ2 + Oṙ im Grenzfall v abgesehen von der Konstante m in die niht-relativistishe Lagrange-Funktion L nr r, ṙ = m 2 ṙ2 des freien Teilhens über. 34

5 5.2 Die Vierer-Geshwindigkeit Um aus dem 3D Geshwindigkeitsvektor die Vierergeshwindigkeit u, also einen Vierervektor mit korrektem Transformationsverhalten, zu gewinnen, benutzen wir, anstatt der Größe t in Gl. 140, das invariante Eigenzeitintervall τ, u 0 u := 1 τ t r = γ 1 t t r = γ v. 157 an beahte, daß u v für v. Die zeitlihe Komponente u 0 = γ sheint dagegen keine konkrete Bedeutung zu haben. An diesem Beispiel zeigt sih eine allgemeine Regel: Um zu einem niht-relativistishen 3-Vektor v den zugehörigen 4-Vektor u zu finden, muß man i v mit einer geeigneten Funktion von β v/ meistens von γ = 1 β 2 multiplizieren wodurh das Transformationsverhalten unter räumlihen Drehungen niht beeinflußt wird und ii die zeitlihe Komponente u 0 ergänzen. Das Skalarprodukt von u mit sih selbst hat den festen Wert u ν u ν g µν u µ u ν = u 0 2 u 2 = γ 2 v 2 = 2 v 2 1 v 2 / = Wegen u ν u ν > 0 wird u als zeitartiger 4-Vektor bezeihnet. Im Gegensatz dazu gilt für den 4-Vektor x, dessen Komponenten durh die Koordinaten t, r eines Punktereignisses gegeben sind, x ν x ν = t 2 r 2, 159 was positiv, negativ oder gleih null sein kann. 35

6 5.3 Vierer-Impuls und Äquivalenz von asse und Energie Nah Einführung der 4-Geshwindigkeit u liegt es nahe, auh den Newtonshen Impuls p N mv in entsprehender Weise zu einem 4-Vektor zu verallgemeinern, dem 4-Impuls p. Als relativistishe Version des Impulserhaltungssatzes versuhen wir: Es gibt für jedes freie Teilhen einen harakteristishen Parameter m seine Ruhmasse eine Bezeihnung, deren Sinn später klar wird, sodaß bei Stössen mit N 0 einlaufenden Teilhen n = 1,..., N 0 und N auslaufenden Teilhen n = N 0 + 1,..., N 0 + N stets gilt p i = p j, p n m n u n, i I j J { I = {1,..., N0 }, J = {N 0 + 1,..., N 0 + N}. 160 Der 4-Vektor p = mu heißt 4-Impuls des Teilhens mit Ruhmasse m und 4-Geshwindigkeit u. Die räumlihen Komponenten von Gl. 160, p i = p j, i I j J 161 gehen für v, γ 1 über in den niht-relativistishen Impulserhaltungssatz. Anders als letzterer nimmt Gl. 160 aber auh in jedem anderen IS S dieselbe Form an, p i = p j. i I j J 162 Tatsählih erweist sih Gl. 160 als die korrekte relativistishe Form der Impulserhaltung. Was bedeutet jedoh deren zeitlihe Komponente? Ihr -fahes lautet i I m i = m j 1 vi 2 / j J 1 v 2 j / Wir entwikeln für ein einzelnes Teilhen, m 1 2 v 2 / = 1 v 2 2 m v = m + m 2 v2 + 3m v4 Abgesehen von der Konstante m ist dies seine niht-relativistishe kinetishe Energie 1 2 mv2 plus eine Reihe von relativistishen Korrekturtermen, die für v vernahlässigbar werden. Gl. 163 ist also die relativistishe Version der Energieerhaltung bei einem Stoß. 36

7 Während bei elastishen Stößen mit unveränderten Teilhen im auslaufenden Kanal die führenden Terme m i bzw. m j auf beiden Seiten von Gl. 163 herausfallen, haben sie bei inelastishen Stößen eine überrashende Konsequenz. Wir betrahten dazu die in Abb. 5.1 dargestellte Vershmelzung zweier gleiher assen m zu einer asse. m m v v Abb.??.1: Da die asse nah dem Stoß in Ruhe ist, ergibt Gl m 1 v 2 / = 2 > 2m. 165 Das zusammengesetzte Teilhen nah dem Stoß besitzt also eine größere Ruhmasse als seine beiden getrennten Bestaneile! Dieses ungewöhnlihe Resultat ist offenbar eine unmittelbare Folge des Erhaltungssatzes 163. Als zeitlihe Komponente von 160 ist er unmittelbar verknüpft mit dessen räumlihen Komponenten 161. Soll 161 für alle elastishen und inelastishen Stösse gelten was wohl kaum jemand bezweifeln dürfte, so muß zwangsläufig auh 163 universell gültig sein! Obwohl also in Gl. 165 niht die Summe der Einzelmassen ist, beshreibt es korrekt die Trägheitseigenshaft des zusammengesetzten Teilhens! Zur Verdeutlihung betrahten wir ein anderes IS S, in dem das zusammengesetzte Teilhen mit einer Geshwindigkeit w elastish auf ein ruhendes Teilhen der gleihen asse stößt Abb Dann wird dieses nah dem Stoß die Geshwindigkeit w annehmen, während das zusammengesetzte Teilhen zur Ruhe kommt. w w Abb.??.2: 37

8 In der niht-relativistishen Newtonshen Theorie gelten zwei unabhängige Erhaltungssätze einer für die Summe der Ruhmassen und einer für die Summe aller kinetishen und potentiellen Energien. Dies würde im vorliegenden Beispiel bedeuten mv2 = 1 2 kx2, = 2m. 166 In der SRT trägt jedoh die Spannungsenergie 1 2 kx2 der Feder zur Ruhmasse bei, sodaß > 2m! Die Summe der Ruhmassen ist im allg. niht erhalten. Zur Ruhmasse eines zusammengesetzten Teilhens tragen gemäß der Einsteinshen Beziehung E = m 167 neben den Ruhmassen seiner Komponenten auh sämtlihe inneren Energien bei. Dazu gehören thermishe, Anregungs, Bindungsenergie, bzw. die kinetishe und Wehselwirkungsenergie der Komponenten. Niht zu E zählt die potentielle Energie des Teilhens im Feld einer äußeren Kraft, wie wir im folgenden Abshnitt 5.4 noh genauer sehen werden. Beispiel: β-zerfall des Neutrons ev ev ev + E kin. Zusammenfassung: Der 4-Impuls p eines Teilhens ist immer gegeben durh p mu = m γv v = E/ p. 168 Dabei ist E die Ruh, kinetishe und innere Energie des Teilhens niht jedoh seine potentielle Energie in einem äußeren Feld. Der relativistishe 3 Impuls p mu ist vershieden vom Newtonshen Impuls p N mv. it dem Skalarprodukt m 2 p µ p µ = p 0 p 0 p p = E 2 / p gewinnen wir die relativistishe Energie-Impuls-Beziehung: E 2 = p 2 + m