Die Lorentz-Transformation

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1 Bernhard Szallies Die Lorentz-Transformation Die Lorentz-Transformation stellt die rehnerishe Beziehung zwishen den Ortskoordinaten und der Zeitkoordinate eines Ereignisses bezüglih zweier Inertialsysteme her, die sih gegeneinander mit einer Relatigeshwindigkeit om Betrag = konst. bewegen. Sie ersetzt in der speziellen Relatiitätstheorie die Galilei-Transformation der auf Galilei und Newton zurükgehenden klassishen Mehanik. Die Lorentz-Transformation ist die Grundlage für die relatiistishe Kinematik und die relatiistishe Dynamik. Sie führt (u. a.) zu den Formeln für die relatiistishe Addition on Geshwindigkeiten, für die Zeitdilatation, die Längenkontraktion, die relatiistishe Masse und die Äquialenz on Masse und Energie mit der berühmten Formel E = m. Gegeben seien zwei Inertialsysteme mit den kartesishen Koordinatensystemen S und S' (s. Abb.). Ein Ereignis wird in S durh die Koordinaten x, y, z, t festgelegt, in S' durh die Koordinaten x', y', z', t'. Die x'-ahse falle mit der x- Ahse zusammen, y'- und y-ahse sowie z'- und z-ahse seien parallel. Das System S' bewege sih gegenüber dem System S mit der Relatigeshwindigkeit om Betrag > 0 in Rihtung der positien x-ahse. Zur Zeit t = t' = 0 sollen die Ursprünge beider Koordinatensysteme zusammenfallen. In beiden Systemen sollen öllig gleihe Uhren zur Zeitmessung benutzt werden. Die Uhren in einem System seien jeweils untereinander synhronisiert.

2 - - In der klassishen Mehanik werden die Koordinaten eines Ereignisses on einem Inertialsystem in das andere mit Hilfe der Galilei-Transformation umgerehnet. Für den Zusammenhang on x- und x'-koordinate ergibt sih hier: x = x' + t' und x' = x t mit t = t'. Die Galilei-Transformation berüksihtigt das Relatiitätsprinzip der Mehanik wie auh dessen Erweiterung, das Relatiitätsprinzip der Physik, also die Gleihwertigkeit aller Inertialsysteme zur Beshreibung aller physikalishen Vorgänge, niht aber die Konstanz der Lihtgeshwindigkeit. Nah der klassishen Addition der Geshwindigkeiten müssten sih alle im System S gemessenen Geshwindigkeiten um on den jeweils in S' gemessenen untersheiden (u = u' + ). Dies widerspriht aber für u = der Konstanz der Lihtgeshwindigkeit (u = u' = ). Durh Einführung eines Korrekturfaktors γ in die Galilei-Transformation kann diese derart erweitert werden, dass neben dem Relatiitätsprinzip auh die Konstanz der Lihtgeshwindigkeit berüksihtigt wird. Für die Transformation der x- bzw. x'-koordinate, die in der Galilei-Transformation x = x' + t' und x' = x t lautet, wird der Ansatz x = γ (x' + t') und x' = γ (x t) gewählt. Infolge des Relatiitätsprinzips der Physik (die Systeme S und S' sind gleihwertig) muss in beiden Gleihungen der gleihe Korrekturfaktor γ stehen. Einige Vorüberlegungen zum Korrekturfaktor γ : Der Korrekturfaktor γ wird weder on der Orts-, noh on der Zeitkoordinate abhängig sein, da alle Raum- und Zeitpunkte gleihberehtigt sind. Dagegen wird er on der Relatigeshwindigkeit abhängen: γ = γ(). Für 0 muss γ() gehen: γ(0) = (Übergang zur Galilei-Transformation, für = 0 fallen S und S' ständig zusammen). Außerdem muss γ( ) = γ() sein, da wegen der Gleihwertigkeit der Systeme S und S' die Vertaushungsregeln wie bei der Galilei-Transformation gelten müssen. Die Gleihungen zur Umrehnung der Koordinaten on einem System in das andere gehen danah auseinander heror, indem man x durh x', y durh y', z durh z', t durh t', durh ' = ersetzt und umgekehrt. γ( ) = γ() könnte z. B durh γ( ) erfüllt werden. Eine Dimensionsbetrahtung des Korrekturansatzes zeigt zudem (wie shon die betrahteten Sonderfälle), dass γ eine dimensionslose Zahl sein muss, sih die Einheit on also rauskürzen muss. Das könnte z. B. durh γ( / ) erfüllt werden.

3 - 3 - Der Korrekturfaktor γ wird wie folgt bestimmt: Zur Zeit t = t' = 0 (wenn also nah Voraussetzung beide Koordinatensysteme gerade zusammenfallen) werde im Ursprung on S ein Lihtblitz ausgesendet. Das Liht legt im System S entlang der x-ahse bis zu einem Punkt P in der Zeit t den Weg x = t zurük, im System S' den Weg x' = t', denn die Lihtgeshwindigkeit hat in beiden Systemen den selben Wert. Da x x', ist auh t t'. Aus der Konstanz der Lihtgeshwindigkeit folgt also, dass in den Systemen S und S' untershiedlihe Zeitspannen für den gleihen Vorgang gemessen werden. Dies erfordert die Einführung einer jeweils eigenen Systemzeit für die Systeme S und S' und eine Transformationsgleihung zur Umrehnung der Systemzeiten t und t' ineinander. Setzt man t = x/ und t' = x'/ in den obigen Korrekturansatz ein, so folgt: x x x = γ x + und x = γ x x = γ x + und x = γ x. Durh Multiplikation der linken sowie der rehten Seiten beider Gleihungen ergibt sih: x x x x = γ. Daraus folgt γ =. Da γ > 0 sein muss wegen γ(0) =, folgt daraus der Korrekturfaktor γ zu γ = mit <. - Die in den Systemen S und S' untershiedlih ablaufende Zeit (t t') bedingt entsprehende Transformationsgleihungen für die Zeit. Mit t = x/ folgt t x = γ + t.

4 - 4 - Mit t' = x'/ folgt weiter t = γ t + x. Die entsprehende Gleihung für t' erhält man nah dem Relatiitätsprinzip, indem man t durh t', t' durh t, x' durh x und durh ersetzt: t = γ t x. Da die Relatibewegung längs der x-ahse erfolgt, transformieren sih die beiden anderen Ortskoordinaten ohne Änderung: y = y', z = z' und umgekehrt. Als Konsequenz aus dem Relatiitätsprinzip der Physik und der Konstanz der Lihtgeshwindigkeit muss die Galilei-Transformation durh die sogen. Lorentz-Transformation ersetzt werden. Die Gleihungen der Lorentz-Transformation lauten: ( ) γ ( ) x = γ x + t x = x t y = y y = y z = z z = z x x t = γ t + t t = γ mit γ = Die Lorentz-Transformation erfüllt die Vertaushungsregeln. Der relatiistishe (Korrektur-) Faktor γ, der auh als Lorentz-Faktor bezeihnet wird, hat, wie oben gefordert, wegen (-) = in beiden Systemen den gleihen Wert. Ein reeller (und endliher) Wert für γ ergibt sih nur für <. Hierin kommt die Lihtgeshwindigkeit als Grenzgeshwindigkeit zum Ausdruk.

5 - 5 - Der Wert des Lorentz-Faktors γ hängt om Betrag der Relatigeshwindigkeit beider Systeme ab. Stets gilt γ. Für 0 geht γ, die Lorentz- Transformation geht also in die Galilei-Transformation über, wenn die Relatigeshwindigkeit zweier Inertialsysteme klein gegenüber der Lihtgeshwindigkeit ist. Die auf Galilei und Newton zurükgehende klassishe Physik ist als Grenzfall für << (und damit γ ) in der umfassenderen on Albert Einstein begründeten relatiistishen Physik enthalten. Häufig wird / = β gesetzt. Damit ergibt sih der Lorentz-Faktor zu γ = β Merklihe Abweihungen der Lorentz-Transformation on der Galilei- Transformation ergeben sih erst für ergleihsweise hohe Relatigeshwindigkeiten, wie den nahfolgenden Werten für γ zu entnehmen ist: = 3600 km/h = 0 3 m/s γ, = 0,, m/s γ,005 = 0,5, m/s γ,55 = 0,9, m/s γ,94 = 0,99, m/s γ 7,089 = 0,999, m/s γ,37 Für ginge γ und die Lorentz-Transformation damit in die Galilei- Transformation über. Dies zeigt die Rolle der Endlihkeit der Signalgeshwindigkeit für die Beshreibung on Ereignissen bezüglih untershiedliher Inertialsysteme. Albert Einstein ( ) hat bei der Abfassung der speziellen Relatiitätstheorie (905) für obige Transformationsgleihungen die Bezeihnung Lorentz-Transformation benutzt. Der niederländishe Physiker Hendrik Antoon Lorentz (853 98) hatte diese Gleihungen bereits 899 in anderem Zusammenhang aufgestellt. Näheres zur speziellen Relatiitätstheorie in: Szallies, Physik, Auer-Verlag