Kapitel 2. Lorentz-Transformation

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1 Kapitel 2 Lorentz-Transformation Die Galilei-Transformation aus Abschnitt 1.7 wurde durch eine Vielzahl von Experimenten erfolgreich überprüft und gehört zu den Grundlagen der klassischen Mechanik. Die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen scheint jedoch im Widerspruch zur Galilei-Transformation zu stehen. Aus den Maxwell-Gleichungen folgt, dass elektromagnetische Wellen sich mit einer konstanten Geschwindigkeit c ausbreiten, die durch die Beziehung ɛ 0 µ 0 c 2 = 1 mit der Permittivität und der Permeabilität des Vakuums, ɛ 0 und µ 0, verbunden ist. Ursprünglich wurde angenommen, dass sich die Lichtgeschwindigkeit auf ein postuliertes Medium der elektromagnetischen Wellen, den sogenannten Äther bezieht. Experimentell wurde 1887 durch das berühmte Experiment von Albert Abraham Michelson und Edward Morley belegt, dass die Erde sich nicht relativ zum sogenannten Äther bewegt. Denkbar wäre eine vollständige Mitführung des Äthers durch die Erde, doch diese Möglichkeit wurde schon 1851 durch ein Experiment von Hippolyte Fizeau ausgeschlossen, der die Lichtgeschwindigkeit in bewegtem Wasser untersuchte. Albert Einstein gab die Hypothese eines Äthers als Medium des Lichtes auf und schlug 1905 das später nach ihm benannte Relativitätsprinzip als Erweiterung des Galileischen Relativitätsprinzipes vor. Demnach haben nicht nur die mechanischen Grundgesetze in allen Inertialsystemen die gleiche Form, sondern auch die Grundgleichungen der Elektrodynamik, insbesondere die Maxwell-Gleichungen. Aus dem Einsteinschen Relativitätsprinzip folgt daher, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen den gleichen konstanten Wert c hat. Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist, wie das Additionstheorem für Geschwindigkeiten (1.39) zeigt, nicht mit der Galilei-Transformation vereinbar. Nun ist die Galilei-Transformation nicht die einzige Geschwindigkeitstransformation, die mit dem Relativitätsprinzip vereinbar ist. Wir haben sie aus der allgemeinen Geschwindigkeitstransformation (1.34) unter der Annahme, dass γ konstant ist, als einfachste Form erhalten. Im Folgenden sehen wir, dass man eine mit der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit verträgliche Geschwindigkeitstransformation 13

2 erhält, wenn man die Einschränkung, dass γ konstant sein soll, fallen lässt. 2.1 Lorentz-Faktor Wir betrachten die Inertialsysteme K und K die sich mit der konstanten Geschwindigkeit v gegeneinander bewegen. Die Geschwindigkeitstransformation von K nach K ist dann durch die Gleichungen (1.34) gegeben. Zusätzlich betrachten wir ein drittes Inertialsystem K, das sich mit der konstanten Geschwindigkeit v gegenüber K bewegt. Analog zu (1.34) lautet die Geschwindigkeitstransformation von K nach K t = γ t + v 1 ( γ 1 γ ) x und x = γ v t + γ x. (2.1) Dabei ist γ durch v bestimmt. Um die Koordinaten direkt von K nach K zu transformieren, führen wir die Transformationen (1.34) und (2.1) hintereinander aus. Wir erhalten dann (siehe Übungsaufgabe 4 aus Serie 1) t = γγ {[1 v ( γ 2 1 )] t + [ v ( 1 γ 2 1 ) + v ( 1 γ 2 1 )] } x v x = γγ { (v + v ) t + [1 v ( γ 2 1 )] } x (2.2) v Nach dem Relativitätsprinzip muss sich die Transformation von K nach K aber auch direkt in der Form t = γ t + v 1 ( γ 1 γ ) x und x = γ v t + γ x (2.3) schreiben lassen, wobei v die Relativgeschwindigkeit von K gegen K ist, die wir ebensowenig kennen wie den davon abhängigen Koeffizienten γ. Durch den Vergleich der Koeffizienten von t und x in den Gleichungen (2.2) und (2.3) können wir aber γ bestimmen, denn offenbar ist [ γ = γγ 1 v ( γ 2 1 )] [ = γγ 1 v ( γ 2 1 )] (2.4) v v und damit nach einiger Umformung v 2 ( γ 2 1 ) = v 2 ( γ 2 1 ) (2.5) Da wir v und v frei wählen dürfen, können wir zum beispielsweise v und damit die linke Seite von Gleichung (2.5) unverändert lassen, während wir v variieren. Daraus folgt, dass auf beiden Seiten der Gleichung eine Konstante stehen muss, dass also v 2 proportional zu γ 2 1 sein muss: v 2 = k ( γ 2 1 ), (2.6) 14

3 wobei k eine Konstante ist, auf deren Wert wir durch die folgenden Überlegungen schließen können: γ darf offenbar nie gleich Null sein, sonst wären die Gleichungen (1.34) keine sinnvolle Koordinatentransformation. Da sich γ stetig mit v ändert und für v = 0 gleich eins, also positiv ist, können wir folgern, dass γ nie negativ wird. Damit γ, also die rechte Seite von Gleichung (2.4), auch für v > v positiv bleibt, muss γ größer oder gleich eins sein. Daher muss die Konstante k in (2.6) positiv sein und eine obere Schranke für das Quadrat der Geschwindigkeit v darstellen. Diese Schranke darf nicht kleiner als das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit sein, da wir sonst gar keine Lichtgeschwindigkeit messen würden. Die Schranke darf aber auch nicht größer als das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit sein. Andernfalls könnten sich zwei Inertialsysteme K und K schneller als das Licht gegeneinander bewegen, was dazu führen würde, dass ein Beobachter A in K feststellt, dass er von einem Lichtsignal erreicht wird, während ein Beobachter B in K feststellt, das dieses Lichtsignal A nicht erreicht. Folglich gilt k = c 2 und durch Einsetzen und Umstellen von (2.6) erhalten wir den nach dem holländischen Physiker Hendrik Antoon Lorentz benannten Lorentz-Faktor γ = 1 1 v2 /c 2. (2.7) Die Geschwindigkeitstransformation t = t xv/c2 und x = x vt 1 v2 /c 2 1 v2 /c, (2.8) 2 die wir dann durch Einsetzen von (2.7) in (1.34) erhalten wird als Lorentz- Transformation bezeichnet. Die entsprechenden Gleichungen waren von Lorentz ursprünglich für den Äther entworfen worden, der in einem absoluten Raum ruhen sollte. Erst Einstein fasste die Lorentz-Transformation in seiner Speziellen Relativitätstheorie als eine grundlegende Eigenschaft von Raum und Zeit auf. Die Lorentz-Transformation enthüllt, dass Beobachter in gegeneinander bewegten Inertialsystemen nicht zu übereinstimmenden Ergebnissen bei Längen- und Zeitmessungen kommen müssen. Diese Schlussfolgerungen sind als Längenkontraktion und als Zeitdilatation bekannt. 2.2 Längenkontraktion Im System K wird die Länge l eines ruhenden Stabes, der parallel zur x-achse liegt, bestimmt, indem zur gleichen Zeit t = 0 die beiden Endpositionen (x = 0 und x = l 0 ) gemessen werden. Wir bezeichnen das Ergebnis dieser Messungen als Ruhelänge l 0 des Stabes. In einem System K, das sich gegen K mit der konstanten Geschwindigkeit v entlang der gemeinsamen x-x -Achse bewegt, findet nach der Lorentz-Transformation die erste dieser Messungen (linkes Stabende) zur Zeit 15

4 t = 0, die zweite (rechtes Stabende) aber zur Zeit t = γvl 0 statt; sie sind also nicht gleichzeitig und werden deshalb üblicherweise nicht für eine Längenmessung verwendet. Ein Beobachter im System K wird stattdessen beide Positionen zur Zeit t = 0 bestimmen. Aus Sicht des Beobachters in K wiederum findet die durch den Beobachter in K vorgenommene Positionsbestimmung des rechten Stabendes zur Zeit t = vl 0 /c 2 statt, denn aus der Lorentz-Transformation ergibt sich t = γt γvx/c 2 = γ(t vl 0 /c 2 ). (2.9) Der Beobachter in K folgert daraus, dass die Positionsbestimmung des rechten Stabendes in K später als die für das linke Ende erfolgt, so dass in K eine zu große Länge gemessen wird. Dies lässt sich auch mit Hilfe der Lorentz-Transformation verstehen, denn aus x = γx γvt (2.10) folgt für die in K bestimmte Position x = l des rechten Stabendes l = γl 0 γlv 2 /c 2 = l 0 γ(1 v 2 /c 2 ) (2.11) und damit l = l 0 γ. (2.12) Der Stab erscheint in K also um den Faktor γ kürzer als in seinem Ruhesystem, wenn wir als Längenmessung die gleichzeitige Positionsbestimmung der Stabenden verstehen. Die größte Länge wird für den Stab in seinem Ruhesystem gemessen. Ein scheinbarer Widerspruch entsteht dadurch, dass ein zweiter, zum ersten identischer Stab, der im System K ruht, von einem Beobachter in K als verkürzt angesehen wird. Man könnte meinen, dass nicht gleichzeitig beide Stäbe kürzer als der jeweils andere, identische Stab sein können. Doch genau dies ist der Fall: die Messung einer Ruhelänge ist nicht das Gleiche wie die Messung einer bewegten Länge. Ein häufig genannter Versuch, die Längenkontraktion ad absurdum zu führen, besteht in der Betrachtung einer Lokomotive, die in einen Lokomotivschuppen gleicher Ruhelänge einfährt. Beobachter werden je nach Koordinatensystem erwarten, dass die Lokomotive im Schuppen noch reichlich Platz hat, oder dass sie zu lang für den Schuppen ist. Sobald die Spitze der Lokomotive das Ende des Schuppens erreicht hat, sollen dessen Türen geschlossen werden. Das Eintreffen der Spitze am Schuppenende kann aber schnellstens mit Lichtgeschwindigkeit an das Ende der Lokomotive übermittelt werden, so dass dieses aus der Sicht eines mit der Lokomotive bewegten Beobachters noch weiter in den Schuppen einfährt, während die Spitze schon anhält. Dadurch kann die Lokomotive vollständig in den Schuppen einfahren, obwohl dieser aus der Sicht der Lokomotive zu kurz erscheint. Beide Beobachter (in der Lokomotive und im Schuppen) kommen also zu dem Ergebnis, dass die Lokomotive vollständig in den Schuppen einfahren kann. 16

5 2.3 Eigenzeit Wir bezeichnen die Zeit, die ein Beobachter in seinem eigenen Ruhesystem misst, als Eigenzeit τ. Ein Beobachter in einem System K, das sich gegen K mit der Geschwindigkeit v entlang der gemeinsamen x-x -Achse bewegt, misst gemäß der Lorentz-Transformation für ein Ereignis, das in K zur Zeit τ im Koordinatenursprung stattfindet, die Zeit t = γτ. (2.13) Eine Uhr, die im Ursprung von K ruht und die Eigenzeit von K anzeigt, läuft aus der Sicht von K langsamer als Uhren, die in K ruhen. Dieser Effekt wird Zeitdilatation genannt. Umgekehrt wird auch ein Beobachter in K feststellen, dass die Uhren in K langsamer gehen. Dies wäre ein Widerspruch, wenn die Beobachter in K und K ihre Uhren am gleichen Ort synchronisieren und später wieder am gleichen Ort vergleichen könnten. Dies ist aber nicht möglich, da sich K gleichförmig gegen K bewegt. Da nun entweder der erste oder der zweite Uhrenvergleich nicht am selben Ort stattfindet, besteht keine Einigkeit über die Gleichzeitigkeit der Uhrenvergleiche. Wir betrachten jetzt ein Koordinatensystem K, das sich gegenüber K mit einer veränderlichen Geschwindigkeit v(t) längs der x-achse bewegt. Im Zeitintervall von t bis t + dt vergeht dann in K die Eigenzeit dτ = 1 v2 dt. (2.14) c2 Zwar kann sich die Geschwindigkeit v(t) im Zeitintervall dt ändern, bei endlich großen Beschleunigungen ist die Änderung dv aber mindestens von der Ordnung dt, und damit ist auch der Einfluss der Geschwindigkeitsänderung auf den Ausdruck 1 v2 (2.15) c 2 von dieser Ordnung. Der Einfluss der Geschwindigkeitsänderung auf dτ ist dann von der Ordnung dt 2 und damit in Gleichung (2.14) vernachlässigbar. Wir können jetzt die Eigenzeit in K, die vergeht, während in K die Zeit t 1 t 2 vergeht, als t1 τ 1 τ 0 = 1 v2 dt (2.16) c2 schreiben. Da 1 v 2 /c 2 immer kleiner oder gleich 1 ist, folgt t 0 τ 1 τ 0 t 1 t 0. (2.17) Die Gleichheit gilt dabei nur für den trivialen Fall, dass die Geschwindigkeit v(t) für alle Zeiten verschwindet, und somit die Koordinatensystem K und K 17

6 identisch sind. Ansonsten wird eine Stoppuhr, die aus der Sicht eines Beobachters in K zum Zeitpunkt t 0 im Ursprung von K gestartet wird, sich dann wegbewegt und zum Zeitpunkt t 1 wieder im Ursprung von K eintrifft, eine kleinere Zeitdauer anzeigen, als eine zweite Stoppuhr, die zum gleichen Zeitpunkt gestartet wurde aber im Ursprung von K ruht. Diese Beobachtung wird oft als Zwillingsparadoxon bezeichnet, weil die offenbare Ungleichwertigkeit der Bezugssysteme K und K im Widerspruch zum Relativitätsprinzip zu stehen scheint. Das Relativitätsprinzip gilt aber nur für gleichförmig bewegte Bezugssysteme, und dies ist für das System K nicht der Fall, andernfalls könnte die Stoppuhr, die sich mit K bewegt nie wieder in den Ursprung von K zurückkehren. K ist mit anderen Worten kein Inertialsystem. 2.4 Zwillingsparadoxon Das Zwillingsparadoxon beschreibt den scheinbaren Widerspruch zwischen der Zeitdilation und dem Relativitätsprinzip. Wenn ein Raumfahrer sich mit hoher Geschwindigkeit von der Erde entfernt und dann wieder zurückkehrt, sollte er seinem auf der Erde verbliebenen Zwillingsbruder kaum gealtert erscheinen, da ein Beobachter auf der Erde feststellt, dass die Uhren im schnell bewegten Raumschiff langsamer gehen als auf der Erde. Sollte nun der Raumfahrer nicht mit dem gleichen Argument folgern, dass die Uhren auf der Erde langsamer gehen, da diese sich aus der Sicht des Raumfahrers mit hoher Geschwindigkeit bewegen? Tatsächlich lassen sich in diesem Fall weder das Relativitätsprinzip noch die Zeitdilatation anwenden, da beide sich auf Inertialsysteme beziehen. Wir können aber aus der Sicht der Erde - in ausreichend guter Näherung ein Inertialsystem - berechnen, welche Zeit im Raumschiff vergeht. Dazu verwenden wir die Definition der Eigenzeit aus Gleichung (2.16). Wir unterteilen die Reise des Raumfahrers in drei Abschnitte: Der Raumfahrer bewegt sich zunächst mit der konstanten Geschwindigkeit v und passiert zum Zeitpunkt t 0 = τ 0 seinen Zwillingsbruder auf der Erde. Aus dessen Sicht bewegt sich das Raumschiff bis zum Zeitpunkt t 1 mit konstanter Geschwindigkeit und wird dann so lange einer konstanten negativen Beschleunigung mit dem Betrag a ausgesetzt, bis es sich ab dem Zeitpunkt t 2 mit der konstanten Geschwindigkeit v wieder auf die Erde zubewegt, die es zum Zeitpunkt t 3 erreicht. Aufgrund der Symmetrie der Bewegung gilt t 2 t 1 = t 1 t 0. Außerdem gilt t 2 t 1 = 2v/a. Wir benennen die gesamte Reisezeit aus der Sicht der Erde mit T und das Zeitintervall vom Beginn der Bremsung bis zum Umkehrpunkt mit T b = (t 2 t 1 )/2. Nach Gleichung (2.16) zeigt eine Uhr im 18

7 Raumschiff bei der Rückkehr zur Erde die Eigenzeit t1 t2 τ = 1 v2 /c 2 dt + 1 (v at)2 /c 2 dt + 1 v2 /c 2 dt t 0 t 1 t 2 = 2 (t 1 t 0 ) t2 1 v 2 /c [v 0 a(t t 1 )] 2 /c 2 dt (2.18) t 1 Wir substituieren z = [v a(t t 1 )]/c und schreiben das zweite Integral in der Form t2 t 1 1 [v a(t t 1 )] 2 /c 2 dt = c a v/c v/c 1 z2 dz t3 ] v/c = c [ z 1 z 2a 2 + arcsin(z) v/c = c [ v 1 v2 /c a c 2 + arcsin(v/c)] = a v 1 v2 /c 2 + c a arcsin(v/c) = 1 [ 2 (t 2 t 1 ) 1 v2 /c 2 + c ] v arcsin(v/c) (2.19) Die Eigenzeit des Raumschiffs lautet dann τ = γ 1 T + 1 [ c ] 2 T b v arcsin(v/c) γ 1 (2.20) Je stärker die negative Beschleunigung und je kürzer entsprechend T b ist, desto mehr nähert sich dieser Ausdruck dem Wert an, der aus der Zeitdilatation in einem gleichförmig bewegten Inertialsystem folgt. Allerdings ist für kleine T b auch die von der Erde gesehene Beschleunigung sehr groß. Bei hohen Geschwindigkeiten gilt das noch viel mehr für die (nicht konstante) Beschleunigung, die der Raumfahrer spürt. Ein realistischeres Beispiel mit einer konstanten Beschleunigung für den Raumfahrer findet sich in einer der folgenden Übungsaufgaben. 2.5 Zusammenfassung Die Galilei-Transformation widerspricht für Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit einer Reihe von experimentellen Befunden. Die Lorentz- Transformation t = γ ( t xv/c 2) und x = γ (x vt) (2.21) mit dem Lorentz-Faktor γ = 1 1 v2 /c 2 (2.22) 19

8 geht für kleine Geschwindigkeiten v in die Galilei-Transformation über (siehe Übungsaufgaben in Serie 4), stimmt aber anders als diese auch für große Geschwindigkeiten mit experimentellen Ergebnissen überein. Aus der Lorentz-Transformation folgt, dass Beobachter einen bewegten Gegenstand um den Lorentz-Faktor γ kürzer wahrnehmen als dessen Ruhelänge entspricht. Man spricht auch von der Längenkontraktion bewegter Gegenstände. Auch gemessene Zeitabstände hängen vom Koordinatensystem des Beobachters ab. Eine bewegte Uhr zeigt eine kürzere Zeitspanne an, als eine ruhende Uhr, ein Effekt, der als Zeitdilatation bekannt ist. Sind zwei Koordinatensystem gleichförmig gegeneinander bewegt, sehen Beobachter in beiden Systemen die Uhren im jeweils anderen scheinbar langsamer gehen. Ein direkter Vergleich zweier Uhren am gleichen Ort erfordert jedoch, dass sich mindestens eine Uhr ungleichförmig bewegt, so dass die Koordinatensystem nicht mehr gleichwertig sind und eine eindeutige Aussage möglich ist, welche Uhr langsamer geht. 20