12. Spezielle Relativitätstheorie

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Johann Günther
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1 Inhalt 12. Spezielle Relativitätstheorie 12.1 Lorentz-Transformation 12.2 Transformation von Geschwindigkeiten 12.3 Zeitdilatation 12.4 Längenkontraktion kti 12.5 Relativistischer Impuls 12.6 Relativistische Energie

2 12.1 Lorentz-Transformation Wir hatten: Galilei-Transformation - 2 Inertialsysteme S, S - S bewegt sich mit u = konstant t relativ zu S in x - Zur Zeit t = t = 0 gilt O = O Annahme: P bewegt sich in die + x-richtung Für Punkt P gilt: Keine zusätzlichen Kräfte, Newton gilt, Erhaltungssätze (E, p, L) gelten

3 Experimente 1. Zugexperiment Theorie: Experiment: 2. Teilchenexperiment (1964 CERN) Zerfall neutraler Pionen p 0 γ γ Mittlere Lebensdauer der Pionen τ = 10-8 s Prinzip: Man bringe p 0 auf v ca. c (v π0 = 0,99975 c) Man messe v γ Theorie: (Galilei) v γ = v π0 + c = 1,99975 c Messung: v γ = c!!!! Widerspruch!!!!!!!

4 Einstein hilft mit SRT Basiert auf zwei Postulaten (nicht beweisbar): 1. Die physikalischen sc Gesetze e sind unabhängig g vom betrachteten tete Inertialsystem 2. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht (elektromagnetische Welle) ist in allen Inertialsystemen gleich, unabhängig von der Bewegung der Sender (bzw. Empfänger): c Vakuum = km/s Einstein ersetzt Galilei-Transformation durch Lorentz-Transformation Für Punkt P (1-dim) mit

5 Transformation von Geschwindigkeiten Annahme: Masse bewegt sich entlang der x-richtung. in Zeit dt wird in S Strecke dx zurückgelegt. Division 1. Gl. durch 2. Gl. und Multiplikation mit dt/dt = 1 (rechte Seite) Analog: Beispiele: v << c v = v u v = c v =c

6 Lichtspiel im Zug (ein Gedankenexperiment) t B B B Licht Spiegel d t Z B Z Zug Geschwindigkeit v Z = konstant Spiegel Licht d t Z t B?? B l d l v Z B Z B B SRT l größer als d = v Licht für BZ Δt B = Δt Z?????? v Licht für B B

7 12.2 Zeitdilatation S mit u relativ zu S B eo in S misst: Δt = 2d/c (1) B eo in S misst: mit (2) (1) in (2) eingesetzt:

Westflug Dt = + 273 ns + 7 ns - 2. Mikroskopische Uhr (z.b.

8 Test zur Zeitdilatation Physiker Hafele und Keating reisen mit Atomuhren um die Welt 1. Makroskopische Uhr 1971 Atomuhr in Flugzeug 1 x um die Welt Ostflug Dt = - 59 ns ns Westflug Dt = ns + 7 ns - 2. Mikroskopische Uhr (z.b. Myon) 1968 Teilchenbeschleuniger am CERN Lebensdauer τ = 2, s (Eigenzeit) v = 0,9966 c Theorie: Δt = 26,7 ms Messung: Δt =262 26,2 + 05ms 0,5 -

9 12.3 Längenkontraktion Gedankenexperiment Beobachter in S mit Eigenlänge l 0 Beobachter in S Länge Lineal = l l Zeit: Quelle - Spiegel = Δt 1 Zeit: Spiegel - Quelle = Δt 2

10 Hinweg (Quelle-Spiegel) Rückweg (Spiegel-Quelle): Gesamtweg: Es gilt: mit Längenkontraktion: k von S aus erscheint Lineal kürzer als in S

11 Längenkontraktion im täglichen Leben Beispiel Auto v = 30 m/s = 108 km/h Bei 4 m Länge wird Auto kürzer um 20 fm = 1/ Atomdurchmesser Beispiel Concorde v = 600 m/s = km/h Bei 10 m Länge wird Flugzeug kürzer um 200 nm = ein Atomdurchmesser Stab v = 0,98 c Bei 20 m Länge wird Stab kürzer um 16 m

12 Myonen in 10 km Höhe erzeugt Mittlere Lebensdauer τ = 22 2, s (Eigenzeit) Nach rund 700 m alle Myonen zerfallen Aber! Myonen fliegen mit 99 % von c Längenkontraktion: Myonen erreichen Erde

13 Längenkontraktion kti (Was sieht man?) v v << c v = 0,9 c Ohne SRT v = 0,9 c Mit SRT

14 Elektrisches Feld einer bewegten Punktladung v/c = 1/3

15 Elektrische Feld einer bewegten Punktladung v/c = 4/5

16 12.4 Relativistischer Impuls Problem falls man klassische Definition von p=mv beibehält. 1. Verletzung Impulserhaltung 2. Existenz eines Grenzimpulses Man findet aber: 1. Impulserhaltung gilt 2. Es existiert kein Grenzimpuls Widerspruch! Lösung: Man modifiziere Definition des Impulses mit

17 Änderung des Impulses als Funktion von v p = γ mv p 0 = mv

18 12.5 Relativistische Energie Kinetische Energie klassisch: (folgte aus Gleichung zur Arbeit) E kin = ½ m. v 2 kin Energie relativistisch: (folgt aus Gleichung zur Arbeit mit relativistischer Kraft) Problem: E = 0 falls v = 0 mit T = (relativistische) kinetische Energie = T + E 0 Beachte! E = Gesamtenergie = Kinetische Energie + Ruheenergie Konsequenz: Teilchen haben Ruheenergie. 0

19 Konsequenz: Masse ist äquivalent zur Energie. Beispiele: Kernfusion, Kernspaltung, Angabe der Masse in ev/c 2, z.b. m e = 0,5 MeV/c 2

20 Zusammenhang E = f(p) Klassisch: Relativistisch: Beweis: 2 (1) (2) Aus (2) (1) folgt: 2

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