Spezielle Relativitätstheorie. Die ersten Gedankenexperimente: Zeit-Dilatation und Lorentz-Kontraktion. Einsteins Gedanken-Experiment

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1 Spezielle Relativitätstheorie Die ersten Gedankenexperimente: Zeit-Dilatation und Lorentz-Kontraktion Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis ( Kees ) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke Institut für Theoretische Astrophysik Universität Heidelberg Einsteins Gedanken-Experiment Einsteins Gedanken-Experiment Zug fährt mit einer Geschwindigkeit v zug in einen Bahnhof ein. Zug Achtung: Der Zug bremst nicht ab, sondern fährt mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Bahnsteig Frage: Bewegt sich der Zug oder bewegt sich der Bahnhof?

2 Einsteins Gedanken-Experiment Einsteins Gedanken-Experiment Zug Zug v x =v zug Bahnsteig Bahnsteig Einsteins Gedanken-Experiment Einsteins Gedanken-Experiment Raum-Koordinaten (vom Bahnhof aus gesehen) y L v x =v zug L v x =v zug x 2

3 Einsteins Gedanken-Experiment Einsteins Gedanken-Experiment Geschwindigkeits- Koordinaten (vom Bahnhof aus gesehen) v y Geschwindigkeits- Koordinaten (vom Zug aus gesehen) v y! v ball = v zug v ball,0 v y =v ball,0! v' ball = 0 v ball,0 v y =v ball,0 v ball = 2 2 v ball,0 +v zug v x =v zug v x v' ball = v ball,0 v x =0 v x Einsteins Gedanken-Experiment Einsteins Gedanken-Experiment Jetzt mit einem Lichtpuls (vom Zug aus gesehen) L L 3

4 Einsteins Gedanken-Experiment Einsteins Gedanken-Experiment Jetzt mit einem Lichtpuls (vom Bahnhof aus gesehen) Geschwindigkeits- Koordinaten (vom Bahnhof aus gesehen) v y L! v licht = v zug v y v y v licht = v 2 2 y +v zug = c v x =v zug v x Einsteins Gedanken-Experiment Einsteins Gedanken-Experiment Jetzt mit einem Lichtpuls (vom Zug aus gesehen) L Wenn der Lichtpuls am Zeitpunkt t=0 gesendet wird, zu welchem Zeitpunkt t erreicht er die Kamera? Jetzt mit einem Lichtpuls (vom Bahnhof aus gesehen) L Wenn der Lichtpuls am Zeitpunkt t=0 gesendet wird, zu welchem Zeitpunkt t erreicht er die Kamera? t = L c Aufgabe: Berechne wie viel länger es vom Bahnhof aus gesehen dauert. 4

5 Zeit-Dilatation Zeit-Dilatation Beispiel: v zug =0.866 c, und damit v y =0.5 c (weil =) Jetzt mit einem Lichtpuls (vom Bahnhof aus gesehen) Die Person im Zug ist jedoch völlig überzeugt, dass der Puls zum Zeitpunkt t =L/c ankommt! Also: seine Uhr läuft langsamer: t ' = t (v zug / c) 2 L Wenn der Lichtpuls am Zeitpunkt t=0 gesendet wird, an welchem Zeitpunkt t erreicht er die Kamera? t = L c (v zug / c) 2 Problem: Denkt der Mensch im Zug nicht auch, dass unsere Uhr (am Bahnhof) langsamer als seine Uhr läuft?? Antwort: Ja; aber dazu später... Zug L t ' = 0 Bahnsteig t = 0 Zeit-Dilatation Beispiel: v zug =0.866 c, und damit v y =0.5 c (weil =) Zeit-Dilatation Beispiel: v zug =0.866 c, und damit v y =0.5 c (weil =) Zug Zug L t ' = 0.5 L c L t ' = L c Bahnsteig Bahnsteig t = L c t = 2.0 L c 5

6 Lorentzkontraktion Wir ändern das Lichtpuls-Experiment leicht ab: Lorentzkontraktion Nun drehen wir dieses Experiment, so dass der Lichtpuls in Fahrtrichtung des Zuges geht: (vom Zug aus gesehen) Die Dauer ist nun: (vom Zug aus gesehen) Die Dauer ist nun: L t ' = 2L c vom Zug aus gesehen, und L t ' = 2L c vom Zug aus gesehen, und t = 2L c (v zug / c) 2 t = 2L c (v zug / c) 2 vom Bahnhof aus gesehen vom Bahnhof aus gesehen Lorentzkontraktion Aber es gibt ein Problem: Stimmt es wirklich, dass der Zeitpunkt, zu dem der Lichtpuls zurückkommt tatsächlich t = 2L c (v zug / c) 2 ist? Wenn wir dies ausarbeiten finden wir eine Inkonsistenz... Aufgabe: (a) Berechne den Zeitpunkt an dem der Lichtpuls den bewegten Spiegel erreicht. (b) Berechne den Zeitpunkt an dem der Lichtpuls wieder zurück bei der (bewegte) Kamera ist. (c) Zeige, dass dies um den Faktor / (v zug / c) 2 zu lange dauert, im Vergleich zur o.g. Formel. Lorentzkontraktion Aber es gibt ein Problem: Stimmt es wirklich, dass der Zeitpunkt, zu dem der Lichtpuls zurückkommt tatsächlich t = 2L c (v zug / c) 2 ist? Lass uns dies aus Sicht des Bahnhofs berechnen. Zuerst: zu welchem Zeitpunkt t erreicht der Puls den Spiegel? x lichtpuls (t) = ct x spiegel (t) = L + v zug t L x lichtpuls (t ) = x spiegel (t ) t = c v zug Und zu welchem Zeitpunkt t 2 fällt der Puls in die Kamera? x lichtpuls (t) = ct c(t t ) x kamera (t) = v zug t x lichtpuls (t 2 ) = x kamera (t 2 ) t 2 = 2L c (v zug / c) 2 6

7 Lorentzkontraktion Wir haben also ein Problem: Wir haben gerade ausgerechnet, dass die Dauer des Experiments t = 2L c t = 2L c (v zug / c) 2 ist, aber wir wissen, dass es eigentlich sein muss... Was ist los? (v zug / c) 2 Henrik Lorentz kam zu dem Schluss, dass sich Längen in Fahrtrichtung verkürzen! Lorentzkontraktion Statt L müssen wir L vbhag (L vom Bahnhof aus gesehen) benutzen (aber nur für das Experiment in Fahrtrichtung!): t = 2L vbhag c Und mit der Lorentzkontraktion t = 2L c (v zug / c) 2 L vbhag = L (v zug / c) 2 erhält man dann wieder die richtige Antwort: (v zug / c) 2 Lorentzkontraktion L vbhag = L (v zug / c) 2 Leiter-Paradoxon der Lorentzkontraktion Leiter bewegt sich, Garage steht still: Garage bewegt sich, Leiter steht still: 7

8 Relativitätsprinzip Galilei und Newton wussten schon, dass absolute Geschwindigkeiten keine physikalische Bedeutung haben, sondern nur relative Geschwindigkeiten: dies heißt Galilei-Invarianz. Wir kennen das: Im ICE bei 200 km/h kann man problemlos laufen, spielen, tanzen, als ob der Zug stillsteht. Problem: Die Lichtgeschwindigkeit scheint jedoch absolut zu sein. Wenn wir trotzdem fordern, dass eine bewegte Person dieselbe Lichtgeschwindigkeit misst, so erhält man Zeitdilatation und Lorentzkontraktion. Diese sehen aber asymmetrisch aus! Raum-Zeit Diagramme Raum-Zeit-Diagramme Raum-Zeit-Diagramme Um einen besseren Blick zu bekommen, machen wir Bewegung durch Raum-Zeit Diagramme ersichtlich. Traditionell: Raum horizontal und Zeit vertikal. Beispiel: rennende Person 8

9 Raum-Zeit-Diagramme Raum-Zeit-Diagramme Raum-Zeit-Diagramme Supermarkt Wohnung Büro Lunchroom Ereignisse Raum-Zeit-Diagramme Die Geburt deines Kindes Deine Hochzeit Die Hochzeit eines Freundes Weltlinie Deine Geburt 9

10 Raum-Zeit-Diagramme: 2+D Raum-Zeit-Diagramme: 3+D (= 4D ) t Etwas schwieriger um damit zu arbeiten... Sorry, Powerpoint kann leider noch keine 4-D Grafen erstellen... Noch schwieriger um damit zu arbeiten... x y Versuchen Sie es in 30 Jahren wieder... Galilei Invarianz Galilei Invarianz Bahnhof Zug Bahnhof Zug Der Zug fährt aus dem Bahnhof raus......oder der Bahnhof fliegt vom Zug weg... Wer hat recht? 0

11 Bahnhof und Zug haben eigene Zeitachsen Das bedeutet: x=0 an t 0 hat eine andere Bedeutung in den zwei Bezugssystemen Galilei Transformation Bahnhof x=0 x= x =0 x = Zug Bahnhof Galilei Transformation x=0 x= Zug x =0 x = Wir können durch eine Koordinaten- Transformation vom (x,t) ins (x,t)- System wechseln. x'(t) = x(t) v zug t Bahnhof und Zug haben eigene Zeitachsen Galilei Transformation Bahnhof Zug Bahnhof und Zug haben eigene Zeitachsen Galilei Transformation Bahnhof Zug Das bedeutet: x=0 an t 0 hat eine andere Bedeutung für den zwei Bezugssystemen x=0 x= x =0 x = Das bedeutet: x=0 an t 0 hat eine andere Bedeutung für den zwei Bezugssystemen x=0 x= x =0 x =

12 Bahnhof Galilei Transformation x=0 x= Zug x =0 x = Wir können durch eine Koordinaten- Transformation vom (x,t) ins (x,t)- System wechseln. x'(t) = x(t) v zug t Bahnhof Galilei Transformation x=0 x= Zug x =0 x = Wir können durch eine Koordinaten- Transformation vom (x,t) ins (x,t)- System wechseln. x'(t) = x(t) v zug t Inertialsystem (inertiales Bezugssystem) Ein Koordinatensystem (x,t) ist ein Inertialsystem wenn eine geradlinige gleichförmige Bewegung als x(t) = x 0 vt 2 s Weltlinie Raumzeit-Geschwindigkeit geschrieben werden kann. Das heißt, dass ein neues Koordinatensystem (x,t) welches von (x,t) abgeleitet ist durch x'(t) = x(t)+ C ut s 0 s! V = dt/dt dx/dt! V = v x (Zeit) (Raum) (mit C und u Konstanten) auch ein Inertialsystem ist, und zwar völlig gleichwertig. v x 2

13 Hermann Minkowski Relativistische Raum-Zeit-Diagramme ( Minkowski-Diagramme ) Die Anschauungen über Raum und Zeit, die ich Ihnen entwickeln möchte, sind auf experimentell-physikalischem Boden erwachsen. Darin liegt ihre Stärke. Ihre Tendenz ist eine radikale. Von Stund an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren. (Hermann Minkowski, 80th Assembly of German Natural Scientists and Physicians, September 2, 908) Minkowski Diagramme Lichtkegel Für die Gedankenexperimente ersetzen wir die t-achse durch eine ct-achse (also wir multiplizieren die Zeit mit der Lichtgeschwindigkeit). Die Zeitache hat jetzt auch Dimension meter Jetzt bewegt sich Licht entlang diagonalen Linien mit ±45 Winkel 3

14 Lichtkegel Mehrere Lichtkegel Zwei Lichtpulse, unterschiedliche Orte Mehrere Lichtkegel Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel Zwei Lichtpulse, unterschiedliche Ort und Zeit Raumzeit- Geschwindigkeit für stillstehende Person 4

15 Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel Raumzeit- Geschwindigkeit für bewegende Person! V = dct/dct ' dx/dct ' Dieser Raumzeit- Geschwindigkeitsvektor liegt immer auf der gestrichelte Linie.! V = dct/dct ' dx/dct ' t ist die Zeit so wie die bewegte Person sie wahrnimmt. Grund: Zeitdilatation! t ist die Zeit so wie die bewegte Person sie wahrnimmt. Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel! V = dct/dct ' dx/dct ' V = (v / c) 2 v / c ' Aufgabe: Zeige, dass dieser Raumzeit- Geschwindigkeitsvektor folgendermaßen aussieht: V = (v / c) 2 v / c ' t ist die Zeit so wie der bewegender Mensch sie wahrnimmt. Aufgabe: Zeige, dass dies eine Hyperbel ist, d.h. dass die Zeit- und Raum- Komponente V ct bzw V x folgende Gleichung befolgen: V ct 2 V x 2 = t ist die Zeit so wie der bewegender Mensch sie wahrnimmt. 5

16 Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel Was ist gleichzeitig? Die gestrichelte Hyperbel ist also die ct = Linie. Sie ist nicht horizontal (wie klassisch) sondern eine Hyperbel wegen der Zeit-Dilatation. Das Prinzip der Uhren-Synchronisation und die Vermischung von Raum und Zeit Wie synchronisiert man Uhren? Stellt euch vor, wir haben eine Mars-Kolonie mit der wir über Radio-Funk kommunizieren können. Wir wollen checken, ob die Uhr dort synchron mit unserer Uhr auf der Erde läuft. Aber: Licht (das Radio-Signal) braucht ca. 20 Minuten von Erde bis zum Mars, und ca. 20 Minuten wieder zurück (wie lange genau müssen wir noch vermessen). Wenn wir über Funk fragen: wie viel Uhr ist es bei euch, dann kommt die Antwort viele Minuten später, und damit ist die Information schon veraltet. Aufgabe: Überlegt euch eine Methode ( protocoll ) womit man trotz Zeit-Verzögerung feststellen kann ob die Uhren synchron laufen. Aus dem Urpsrunglichen Paper von Albert Einstein (905) 6

17 Wie synchronisiert man die Uhren? Erde Mars Von vorbeifliegendem Raumschiff aus gesehen Für den Raumschiffpiloten bewegen sich Erde und Mars Erde Mars Man sieht: Die Linie der synchronen Ereignisse ist nun gekippt! Sowohl Zeit- als Raum-Achse kippen! Sowohl Zeit- als Raum-Achse kippen! 7

18 Sowohl Zeit- als Raum-Achse kippen! Zug-Bahnhof-Symmetrie wiederhergestellt? Aufgabe: Beweise, dass das Längenverhältnis A/a dasselbe ist wie B/b, also dass A/a=B/b. A a B b Autobahnpolizei Jeweils nur Auto A messen: A B Jeweils nur bei Blitzer B messen: Die Uhr A geht langsamer (Zeit-Dilatation) Zurück zum Zug+Bahnhof-Beispiel Das Kippen der Raum-Achse bedeutet, dass die Uhren im Zug vom Bahnhof aus gesehen nicht überall dieselbe Uhrzeit anzeigen. Dieses Beispiel: am t=0 standen sich D und d gegenüber und hatten beide dieselbe Uhrzeit. Wenige Zeit später sieht die Lage so aus: a b c d e f g Zug Bahnsteig B A Die Uhr gemessen von Station B geht schneller! A B C D E F G Aufgabe: Erkläre diese Lage mit dem x-ct Diagramm. () Warum ist Uhr d hinterher im Vergleich zu D? (2) Warum ist Uhr b weiter als D? (3) Warum ist Uhr a weiter als Uhr g? 8

19 Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung Wenn eine Ente im Wasser mit den Füssen wackelt, produziert sie Wellen. Solange die Ente nicht vom Platz bewegt, breiten die Wellen sich in allen Richtungen gleich aus: Die Ente kann also messen dass sie bewegt, indem sie sieht dass sie nicht mehr in der Mitte der Welle ist. Wenn die Ente aber vorwärts bewegt, so sieht sie sich plötzlich nicht mehr genau in der Mitte der Wellen: Da aber die Lichtgeschwindigkeit auch für eine sich bewegende Person immer c ist, ist eine sich bewegende Person immer im Zentrum seiner Lichtwellen. Wie kann dies sein? Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung a b a=b a b a b 9

20 Mit fast-lichtgeschwindigkeit durch Tübingen fahren... Intermezzo: Koordinatentransformationen, Matrizen, Vektoren Zwei Inertialsysteme Die Lorentz-Transformation 20

21 Das eine Inertial Koordinatensystem (blau) Das andere Inertial Koordinatensystem (grün) Beide Systeme (gesehen vom blauen) Beide Systeme (gesehen vom grünen) 2

22 Zeit-, Licht- und Raum-Vektoren Zeit-, Licht- und Raum-Vektoren Zeit-Vektoren Licht-Vektoren Raum-Vektoren ct Lorentz- Koordinaten- Transformation zum Bezugssystem mit v>0. ct x Wichtig: Zeit-Vektoren bleiben Zeit-Vektoren, Raum-Vektoren bleiben Raum-Vektoren und Licht-Vektoren bleiben Licht-Vektoren. x Zeit-, Licht- und Raum-Vektoren Zwingendheit der Form der Lorentz-Transformation Lorentz-Vektor- Transformation (Beschleunigung) in positive Richtung. ct Eine allgemeine Raumzeit-Transformation kann man folgendermaßen schreiben:! V 0 ' V ' =! A B! V 0 C D V x Aufgabe: Beweise, dass wenn man fordert, dass Licht-Vektoren Licht-Vektoren bleiben (sie dürfen andere Länge erhalten, müssen aber Licht-Vektoren bleiben), dann folgt C=B und D=A. Man erhält also:! V 0 ' V ' =! A B B A! V 0 V 22

23 Zwingendheit der Form der Lorentz-Transformation Wir wissen aus den vorherigen Transparenten, dass die Raumzeit-Geschwindigkeits Vektoren von einer sich bewegenden und einer stillstehenden Person folgendermaßen aussehen:! V b0 V b =! (v / c) 2 v / c! V s0 V s =! 0 Aufgabe: Wenn man V b aus V s erhalten möchte indem man eine Lorentz-Transformation anwendet:! V b0 V b =! A B! V s0 B A V s leite damit her, was A und B sind in Abhängigkeit von (v/c). Zwingendheit der Form der Lorentz-Transformation Die Lorentz-Transformation hat also die folgende Form:! V 0 ' V '! = γ γ β! γ β γ wo der Lorentzfaktor γ und die dimensionslose Geschwindigkeit β folgendermaßen definiert sind: γ = (v / c) = 2 β 2 V 0 V β = v / c Aufgabe: Wenn man einen Vektor V mit β Lorentztransformiert, und danach mit β Lorentztransformiert (was ja die Rücktransformation ist), dass man tatsächlich wieder den ursprunglichen Vektor V erhält, wie es sein muss. Lorentz-Kontraktion im x-ct-diagramm Zug-Ende Zug-Anfang Lorentz-Kontraktion im x-ct-diagramm Zug-Ende Zug-Anfang Zwar wird die x- Komponente des Raumvektors größer, der Zug wird kürzer. 23

24 Was geschieht zuerst? ct ct B Zukunft und Vergangenheit x C D x A Aufgabe: Kann man eindeutig feststellen ob Ereignis A oder ereignis B zuerst passiert? Und was mit Ereignis C oder D? Raum versus Zeit; Zukunft und Vergangenheit Wenn man schneller als Licht reisen könnte... Meine Zukunft Ereignisse die räumlich getrennt von mir sind Ereignisse die räumlich getrennt von mir sind Jetzt machen wir eine Lorentz- Transformation Meine Vergangenheit 24

25 Wenn man schneller als Licht reisen könnte... Wenn man schneller als Licht reisen könnte... Jetzt machen wir eine Lorentz- Transformation Und reisen wieder mit über-licht- Geschwindigkeit (diesmal sogar noch etwas schneller) zurück. Also reisen mit überlicht- Geschwindigkeit führt zu Absurditäten... Jetzt treffen wir uns selbst... Hallo, wie geht es mir? Lorentz-Transformationen an anderen Stellen Lorentz-Transformationen an anderen Stellen Lorentz-Transformation zentriert auf dem unteren (roten) Ereignis: Lorentz-Transformation zentriert auf dem oberen (grünen) Ereignis: 25

26 Weltlinie und Eigenzeit Zwillingsparadoxon ct ct =6 ct =5 ct =4 ct =3 ct ct = ct =2 Aufgabe: Löse dieses Paradoxon. x x Und jetzt... E=mc 2 Energie-Impuls-Vektor! P = mcv=mγ c v 26

27 Energie-Impuls-Vektor Doppel so große Masse Energie-Impuls-Vektor! c P = mcv=mγ v Für ganz kleine Geschwindigkeiten (v<<c und γ ) müsste etwas rauskommen was wir aus der Newtonschen Dynamik kennen, sonst wäre relativistische Dynamik nicht vereinbar mit dem, was wir aus dem täglichen Leben kennen.! P = mcv=mγ c v Aus der Newtonschen Dynamik kennen wir Impuls und Energie: p = mv E kin = 2 mv2 Die Raumkomponente von P (P ) wird für v<<c tatsächlich der Newtonsche Impuls. P = mγv mv=p Energie-Impuls-Vektor! c P = mcv=mγ v Die Zeitkomponente von P (P 0 ) ist etwas kniffliger. Zunächst würde man sagen, dass im Limes v<<c: P 0 = mγc mc Dies bringt uns aber nicht viel. Lasst uns etwas genauer nach der Lorentzfaktor γ schauen: γ = (v / c) 2 γ = Energie-Impuls-Vektor Man kann dies für v<<c annäheren mit: (v / c) + v ( 2 2 c ' Aufgabe: Probiere es mit dem Taschenrechner aus, zum Beispiel, verifiziere, dass folgendes ungefähr gilt: ( )

28 Energie-Impuls-Vektor Energie-Impuls-Vektor Also kann man P0 folgendermaßen annäheren (für v<<c): ( P 0 = mγc mc + 2 v + * ' - )* 2 c,- = ( c mc2 + + ) * 2 mv2, - Offenbar gilt also: P 0 c = mc 2 + E kin! P = mcv=mγ c v c E kin c E masse Aufgabe: Argumentiere jetzt warum es nahe liegt, dass Masse offenbar Energie entspricht, und zwar E masse =mc 2. Energie-Impuls-Vektor von Licht Umwandlung von Ruhemasse in Licht (Zerfall eines Elementarteilchens in zwei Photonen) Energie des Photons Impuls des Photons 28

29 Umwandlung von Ruhemasse in Licht (Zerfall eines Energiezustandes eines Teilchen in zwei Photonen) Beschleunigung einer Rakete......und die erste Hinweise wie Gravitation funktionieren könnte! Wenn sich eine Rakete beschleunigt... Wenn sich eine Rakete beschleunigt... 29

30 Je weiter unten: desto mehr Schwerkraft Kommt bekannt vor... kg kg kg kg Je weiter unten: desto langsamer die Uhren Je weiter unten: desto langsamer die Uhren 30

31 Rindler Modell eines schwarzen Lochs Rindler Modell eines schwarzen Lochs Ereignis-Horizont Um nicht in das schwarze Loch zu fallen, muss man ständig beschleunigen. Ereignis-Horizont Um nicht in das schwarze Loch zu fallen, muss man ständig beschleunigen. Ereignis-Horizont Ereignis-Horizont Achtung: richtige schwarze Löcher sind komplizierter. Aber das Konzept Ereignis-Horizont wird mit dem Rindler- Modell gut beschrieben! Wenn man nicht beschleunigt, geht man irgendwann durch den Horizont, und kann niemals wieder zurück in den normalen Raum. 3