Experimentalphysik E1

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Robert Hartmann
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1 Eperimentalphysik E Schwerpunktssystem Schwerpunktssatz, Zwei-Körper Systeme:reduzierte Masse Alle Informationen zur Vorlesung unter : 0. Dez. 06

ct Weltlinie Minkowski-Diagramme (Raum-Zeit-Koordinaten) (4er-Koordinaten) Lichtblitz 45 α A B Gleichzeitigkeit tanα = c /v A: ruhender Beobachter B: bewegter Beobachter c t v=-v β ct β α c t

2 ct Weltlinie Minkowski-Diagramme (Raum-Zeit-Koordinaten) (4er-Koordinaten) Lichtblitz 45 α A B Gleichzeitigkeit tanα = c /v A: ruhender Beobachter B: bewegter Beobachter c t v=-v β ct β α c t (WeltlinevonO') tanα = c /v v=v γ β β tan β = v /c Weiters Intertialsystem S, das sich mit v=v relativ zu S bewegt weil für die Achse gilt t =0 => LT: t=v/c => g = a-b = arctan (c/v) arctan (v/c)

ct Weltlinie Minkowski-Diagramme (Raum-Zeit-Koordinaten) (4er-Koordinaten) Lichtblitz 45 α A B Gleichzeitigkeit tanα = c /v Nicht nur die Lagen, auch die Skalen der Achsen sind in S und S verschieden!

3 ct Weltlinie Minkowski-Diagramme (Raum-Zeit-Koordinaten) (4er-Koordinaten) Lichtblitz 45 α A B Gleichzeitigkeit tanα = c /v Nicht nur die Lagen, auch die Skalen der Achsen sind in S und S verschieden! Lichtgeschwindigkeit in allen Systemen gleich => ct O c t A B A B ( ct) = s = ct ( ) = ( c t #) # s invariant bei der Transformation zwischen Intertialsystemen OBdA wählen wir s =- t=0 => OA = aber auch t =0 => OB = => Skalen verschieden!

4 Lorentz-Kontraktion der Längen t ct t P c t L = P P L Lorentz- Transformation: Weltlinien P Gleichzeitigkeit = γ ( vt ) = γ ( vt ) für t = t Längenmessung durch gleichzeitiges festlegen der beiden Koordinaten! L = P P = L = P P = # # = γ ( ) L# = γ L L < L # weil γ > Die Länge eines bewegten Maßstabs erscheint dem ruhenden Beobachter verkürzt

5 Zum Problem der Gleichzeitigkeit Ruhendes System S t O t t A A C α t A B Δ Δ α tanα = v tanα = c C t t A α A A t t t A ABC ruhen in S, bewegen sich also in S! A B β# C t = const C tanβ # = v O bewege sich mit v=v E Wenn alle Inertialsysteme äquivalent sind müssen im bewegten System A und C den Blitz gleichzeitig sehen! => geneigte, t Achsen Für jeden Beobachter ist die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse an verschiedenen Raumpunkten abhängig vom verwendeten Bezugssystem

6 Zwillingsparadoon t = T t = T ct P = vt Weltlinie von B ( ) = u v t T u P Invariantes Wegelement: Weltlinie von A P ds = c v dt 0 P T 0 P P : d = v dt ds = c v dt P ds = c dt d = c d t d Reisezeit B: ds = c dt Reisezeit A: P 0 T T T 0 0P : d = v dt = c T γ = c T = c T = c T γ = c T T = T γ < T

7 Raum-Zeit Vektor! # X µ = # # #! u µ = # ct y z γc γ v $ & & & & % Geschwindigkeitsvektor $ & % Energie-Impuls-Vektor p µ = m u µ = $ # E c p % ' & Vierervektoren und ihre Invarianten X µ = ( ct) y z = s u µ = ( γc) ( γ v ) = c p µ = ( E c) p = m c

8 Relativistische Energie-Impuls Beziehung relativistischer Impuls p(v) = m(v) v = m 0 v v c relativistische Energie Kinetische Energie: E = m 0 c 4 + c p E kin = E m 0 c Ruheenergie: m 0 c Elektron 0.5 MeV Proton MeV Neutron MeV

9 Systeme von Massenpunkten Massenschwerpunkt r SP M i m i r i Schwerpunktgeschwindigkeit v S = d r S dt = M m i i d r i dt = M p i y z r m r S v r S m 3 m r S m r m r Schwerpunktsatz F = M a SP Der Schwerpunkt eines beliebigen Systems von Massenpunkten bewegt sich so, als ob er ein Körper mit der Gesamtmasse M wäre, auf den die gesamte äußere Kraft wirken würde.

10 Beispiel: Schwerpunkt einer Hantel r s = i m i i m i r i = m r + 3m r 4m = r + 3 r 4 3*m r S r m r Versuch: Praktische Bestimmung des Schwerpunktes

11 Zerlegung in Schwerpunkt- und innere Bewegung p ges = M v SP p is = 0 Die Summe aller Impulse im Spkt-System ist immer Null E ges kin = Mv + i m v is E Kinder Gesamtmasse vereinigt in S E Kin + im S-System L ges = r SP M v SP + i Bahndrehimpuls + Eigendrehimpuls r is m v is

12 Spezialfall zwei Körper F = µ dv dt mit µ = m m m + m Reduzierte Masse v = v v Relativ-Geschw. p ges = M v SP m m v v E ges kin = Mv + µv L ges = r SP M v SP + r µv gebundenes System m m v Stoß

13 Elastische Stöße im Laborsystem Zielmasse ruht P = 0 Keine Massenübertragung Elastisch m!! = = m ; m m Q = 0 P m = P! m + P! m Spezialfall: Zentraler Stoss q = q = 0, Alle Impulse sind colinear m v = m v + m v m v = µv v = m m + m v

14 Energieübertragung beim zentralen Stoß ΔE E P # ΔE kin = = m m m m + m ( ) v = 4 m m M E kin = 4 µ m m E kin Bei m = m wird beim zentralen Stoss die Gesamte Energie übertragen. m m Beispiel elastischer Stoss gegen Wand: m E = 0 P % = P P + P = P P = P Doppelter Impuls aber keine Energieübertragung!

15 Stöße zwischen zwei Teilchen m v m v ' Θ Θ m v Wechselwirkungsgebiet m v ' Impulserhaltung p + p = p + p Energiesatz p + p = p + p + Q m m m m Q: Energieverlust (d.h. Anteil kinetische Energie der in innere Energie z.b. Wärme, oder Bindungsenergie umgewandelt wurde) Q = 0 Elastischer Stoss Q < 0 Inelastischer Stoss; innere Reibung Wärme Q > 0 Superelastischer Stoss z.b. Chemische Reaktion

16 Stoss in -y-ebene Laborsystem: p =0 m m θ P! P θ P = P + P P! $ # m v 0 % & ' = m v ( cosθ % $ ' + m v ( cosθ % $ ' # m v ( sinθ & # m v ( sinθ & y P! P y P! + y = # P ; P ( ) + y = P # ( ) + y P = P + + y m m m

17 p p' Θ Θ p' = p p' m m Abb ( ) + y = ( µv ) Mit Reduzierter Masse µ µv & # Alle möglichen Endpunkte von P! liegen auf einem Kreis um M = $ µv! % 0 Mit R = µv 0 y p ' p ' M r=µ. p v m >m. p ' P(,y) p ' Θ Θ sinθ ma = ma Θ µv = ( m µ )v µ m µ = m m

18 Elastische Streuung von α-strahlung (He 4 ) m >m m =m m <m

19 Zwei Spezialfälle des Nicht-zentralen Stoßes y m = m = m µ = m y m << m µ = m m m + m P! P! P! P! R = µv P P = m v θ Thaleskreis P # P #

20 Elastische Proton-Proton Streuung nach dem Stoß schließen die Bahnen einen Winkel von 90 ein. Kollision von zwei Billardkugeln (im Zeitlupenverfahren gefilmt) aus Dransfeld et al.

21 Elastische Stöße im S - System P is = 0 P s # = P s = P s # = P s z! P P! s P P s S! P s Beim elastischem Stoss drehen sich die Impulsvektoren um S Ps! P P Elastisch entspricht Q = 0 Im S System behält jeder Partner seine kinetische Energie

22 Entdeckung des Neutrinos durch fehlenden Impuls beim Betazerfall n 0 p + + e + ν Blasenkammeraufnahme eines Teilchenschauers (CERN)

24 Stöße bei relativistischen Energien Blasenkammeraufnahme eines Teilchenschauers (CERN)

25 Chemische Reaktionen : auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen A + BC K!! AB + C p A + p BC = p AB + p C E E kin kin ( A) + E ( AB) + kin E ( BC) = kin ( C) + ΔE chem Die kinetische Energie ist nicht erhalten, sondern hängt von der Umwandlung innerer Energie ab.

26 Energiebilanz für endotherme und eotherme Reaktionen

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