13. Relativitätstheorie

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Anke Abel
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1 Inhalt 13. Relativitätstheorie 13.1 Addition von Geschwindigkeiten 13.2 Zeitdilatation Längenkontraktion kti 13.4 Relativistischer Impuls 13.5 Relativistische Energie 13.6 Allgemeine Relativitätstheorie

2 13.1 Addition von Geschwindigkeiten Beispiel: Frage: Wie groß ist v Fahrgast? Antwort: Das hängt vom Beobachter ab. Für Beobachter im Zug: v Fahrgast = v Fg Für Beobachter auf Bahndamm: v Fahrgast = v Fg + v Zg Zahlenbeispiele (für Beobachter auf Bahndamm) ): v Zg = 50 m/s v Zg = 0,9 c = 0, m/s v Fg = 1 m/s v Fg = 0,3 c = 0, ? m/s v Fahrgast = 51 m/s v Fahrgast = (0,3 +0,9) c = 1,2 c > c

3 Teilchenexperiment (1964 CERN) Zerfall neutraler Pionen π 0 γ γ Mittlere Lebensdauer der Pionen t = 10-8 s Prinzip: Man bringe π 0 auf v π0 = 0,99975 c Man messe v γ Theorie: v γ = v π0 + c = 1,99975 c Messung: v γ = c!!!! Widerspruch!!!!!!! Alle bisherige Messungen ergaben: Die Lichtgeschwindigkeit ist -Konstant (unabhängig von v Sender, v Empfänger ) - Grenzgeschwindigkeit it SRT

4 Spezielle Relativitätstheorie (SRT) Spezielle Relativitätstheorie SRT basiert auf zwei Postulaten 1. Die physikalischen h Gesetze sind unabhängig vom betrachteten Inertialsystem 2. Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht ist in allen Inertialsystemen gleich Aussagen der SRT gelten nur für Inertialssysteme = Bezugssysteme mit v = 0 oder v = konstant

5 Lichtspiel i im Zug (ein Gedankenexperiment) t B B B Spiegel Licht d t Z B Z Zug Geschwindigkeit v Z = konstant Spiegel Licht d t Z t B?? B l d l v Z B Z B B SRT l größer als d = v Licht für BZ Δt B = Δt Z?????? v Licht für B B

6 13.2 Zeitdilatation S mit u relativ zu S B eo in S misst: Δt = 2d/c (1) B eo in S misst: mit (2) (1) in (2) eingesetzt:

Δt = + 273 ns + 7 ns - - 2. Mikroskopische Uhr (z.b.

7 Test zur Zeitdilatation t ti Physiker Hafele und Keating reisen mit Atomuhren um die Welt 1. Makroskopische Uhr 1971 Atomuhr in Flugzeug 1 x um die Welt Ostflug Δt = - 59 ns + 10 ns Westflug Δt = ns + 7 ns Mikroskopische Uhr (z.b. Myon) 1968 Teilchenbeschleuniger am CERN Lebensdauer t = 2, s (Eigenzeit) v = 0,9966 c Theorie: Δt = 26,7 ms Messung: Δt = 26, ms 0,5

8 13.3 Längenkontraktion Gedankenexperiment Beobachter in S mit Eigenlänge l 0 Beobachter in S Länge Lineal = l l Zeit: Quelle Spiegel = Δt 1 Zeit: Spiegel Quelle = Δt 2

9 Hinweg (Quelle-Spiegel) Rückweg (Spiegel-Quelle): Gesamtweg: Es gilt: mit Längenkontraktion: von S aus erscheint Lineal kürzer als in S

10 Längenkontraktion im täglichen Leben Beispiel Auto v = 30 m/s = 108 km/h Bei 4 m Länge wird Auto kürzer um 20 fm = 1/ Atomdurchmesser Beispiel Concorde v = 600 m/s = km/h Bei 10 m Länge wird Flugzeug kürzer um 200 nm = ein Atomdurchmesser Stab v = 0,98 c Bei 20 m Länge wird Stab kürzer um Bei 20 m Länge wird Stab kürzer um 16 m

11 Myonen in 10 km Höhe erzeugt Mittlere Lebensdauer t = 2, s (Eigenzeit) Nach rund 700 m alle Myonen zerfallen Aber! Myonen fliegen mit 99 % von c Längenkontraktion: Myonen erreichen Erde

12 Längenkontraktion (Was sieht man?) v v << c v = 0,9 c Ohne SRT v = 0,9 c Mit SRT

13 Elektrisches Feld einer bewegten Punktladung v/c = 1/3

14 Elektrische Feld einer bewegten Punktladung v/c = 4/5

15 13.4 Relativistischer Impuls Problem falls man klassische Definition von p = mv beibehält. 1. Verletzung Impulserhaltung 2. Existenz eines Grenzimpulses Man findet: 1. Impulserhaltung gilt 2E 2. Es existiert i kein ki Grenzimpuls Widerspruch! Lösung: Man modifiziere Definition des Impulses mit

16 Änderung des Impulses als Funktion von v

17 13.5 Relativistische Energie Kinetische Energie klassisch: (flt (folgte aus Gleichung Glih zur Arbeit) Abit) E kin = ½ m. v 2 kin Energie relativistisch: (folgt aus Gleichung zur Arbeit mit relativistischer Kraft) Problem: E = 0 fll falls v = 0 mit T = (relativistische) kinetische Energie =T+E 0 Beachte! E = Gesamtenergie = Kinetische Energie + Ruheenergie Konsequenz: Teilchen haben Ruheenergie. 0

18 Konsequenz: Masse ist äquivalent zur Energie. Beispiele: Kernfusion, Kernspaltung, Angabe der Masse in ev/c 2, z.b. m e = 0,5 MeV/c 2

19 Zusammenhang E = f(p) Klassisch: Rltiiti Relativistisch: Beweis: Aus (2) (1) folgt: 2 (1) (2) 2

20 Ballwurf 1s 2s 3s Gravitation an 1s 2s 3s Gravitation aus Erde Erde weg a = 9,81 m/s 2 a = 9,81 m/s 2 0 s 1s 2s 3s Gravitation aus, Beschleunigung an 1s 2s 3s Gravitation aus, Beschleunigung an

21 Äquivalenzprinzip Man kann nicht ihtunterscheiden, hid ob man unter dem Einfluss Eifl der Gravitation steht, oder sich in einem beschleunigten Bezugssystem befindet a = 9,81 m/s 2 Erde Gravitation Gravitation an aus, Beschleunigung Beschleunigung aus an Erde weg Gilt das nur für Bälle (Massen)?

22 Lichtstrahl t hl (ein Gedankenexperiment) Lichtstrahl Gravitation ti aus, Beschleunigung an a = 300 m/s 2 a = 300 m/s 2 1s Gravitation 2s aus, 0 s 1s 2s 3s 3s Beschleunigung an Mit Äquivalenzprinzip folgt Lichtausbreitung ist in der Nähe großer Massen nicht mehr geradlinig 1s 2s 3s z.b. Sonne Gravitation an, Beschleunigung aus

gekrümmt Ursache für Gravitation ist Krümmung des Raumes Stern mit kleiner

23 13.6 Allgemeine Relativitätstheorie (ART) Einstein: Lichtstrahlen bewegen sich entlang des kürzesten Weges Lichtbahn ist gekrümmt, also ist Raum gekrümmt Ursache für Gravitation ist Krümmung des Raumes Stern mit kleiner Masse Stern mit großer Masse Licht wird von seiner geradlinigen Bahn abgelenkt

24 Planetenbahn im gekrümmten Raum Newton: Planetenbewegungen beruhen auf Gravitation Einstein: Planetenbahnen beruhen auf Krümmung des Raumes

25 Was sagen Experimente? (Raumkrümmung) Periheldrehung Merkur Ablenkung von Licht durch die Sonne z.b. Beobachtung bei Sonnenfinsternis 1919 Sobral (Brasilien)

26 Zeitdilatation (ART) (ein Gedankenexperiment) Annahme: Zwei Uhren in unterschiedlichen Höhen von der Erde 9,81 m/s 2 Uhr 1 Beobachter in frei fallender Kabine Uhrenvergleich Mit Uhr 1 bei Geschwindigkeit v 1 Mit Uhr 2 bei Geschwindigkeit v 2 größer v 1 Mit SRT Uhr 2 läuft langsamer als Uhr 1 da v 2 größer als v 1 Uhr 2 Aus Äquivalenzprinzip folgt Gravitation groß Zeit vergeht langsamer Erde

27 Geschwindigkeit (Zeitdilation) Flug Atomuhr (1971) West-Flug Vorhersage Messung SRT 179 ns +/- 18 ns ART 96 ns +/- 10 ns Summe 275 ns +/- 21 ns 273 ns +/- 21 ns Satellitennavigationssystem Ortsbestimmung basiert auf Laufzeitmessungen von Satelliten Ohne Berücksichtigung der Zeitdilatation Fehler pro Tag etwa 2,2 km ( In der Praxis hat man 4. Satelliten )

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