Experimentalphysik E1

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Adam Mathias Steinmann
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1 Eperimentalphysik E1 Spezielle Relativitätstheorie Relativisitische Impuls-Energie Beziehung Schwerpunktssysteme Alle Informationen zur Vorlesung unter : Nov. 2016

2 Die Beständigkeit der Erinnerung Die zerrinnende Zeit

3 Zur Beschreibung von Bewegung benötigt man ein Korrdinatensystem. Koordinatensysteme, in denen die drei Newtonschen Aiome gelten, heißen Inertialsysteme. Die Transformation von Ort, Zeit und Geschwindigkeit von einem auf ein anderes Inertialsystem wird durch die Lorentz-Transformationen beschrieben.

4 Raum und Zeit Newton: Die absolute, wahre und mathematische Zeit verfließt an sich und ohne Beziehung auf irgend einen äußeren Gegenstand. Einstein: Raum-Zeit Kontinuum

5 ( ) 1 2 = γ vt y = mit γ = 1 v 2 c 2 Lorentz- Transformation ( ) = γ ( # ) y = y z = z t = γ t v c 2 + v t # y z = z t + v # c 2 ( ) t = γ ( # ) Invariant für s 2 = ct ( ) 2 2 = ( c t #) 2 # 2

6 ( ) 1 2 = γ vt y = mit γ = 1 v 2 c 2 Lorentz- Transformation ( ) = γ ( # ) y = y z = z t = γ t v c 2 + v t # y z = z t + v # c 2 ( ) t = γ ( # ) Invariant für s 2 = ct ( ) 2 2 = ( c t #) 2 # 2 Geschwindigkeit des Körpers A in S und S u = d dt, dy dt, dz % # & $ dt ' # d u = d t, d y d t, d z & $ ' % d t ( u = d d t = d dt dt d t = γ $ & d % dt v ' $ ) γ 1+ v u * & ( % c 2 ' ) (

7 Lorentz-Transformation der Geschwindigkeiten für v II u = u v 1 u v c 2 u = u + v 1+ u v c 2 dito u y = u y % γ 1 u v ( ' * & ) c 2 u y = u y $ γ 1+ v u & % c 2 ' ) ( u z = u z % γ 1 vu ' & c 2 ( * ) u z = u z $ γ 1+ v u & % c 2 ' ) (

8 Einsteins Gedankeneperiment zur Lichtuhr Spiegel L Blitz lampe Uhr wird jetzt mit v bewegt Für den Beobachter in S durchläuft das Licht den Weg ABC mit AN = NC = v t/ B + % Δt $ (. 2 AB + BC = 2 -L + ' v * 0 & 2 )/, C A Detektor Zeitnormal in S: to=2l/c v t N Bewegte Uhren laufen langsamer! = c Δt $ 2L Δt $ = (c v ) aber im ruhenden System: => Δt # = Δt = 2L c Δt 2 1 v c ( 2 12 ) = γ Δt

9 Zwillingsparadoon t 2 = T t 1 = T 2 ct P 2 = vt Weltlinie von B ( ) = u v t T 2 u P 1 Invariantes Wegelement: Weltlinie von A Reisezeit B: Reisezeit P A: 1 ds = c 2 v 2 dt 0 P 2 T 2 0 P 1 P 2 : d = v dt ds = c 2 v 2 dt P 1 ds 2 = c 2 dt 2 d 2 = c 2 d t 2 d 2 P 2 ds = c dt 0 T 0 0P1 : d = v dt T T 2 = c T = c T 2γ = c T 2 = c T 2γ = c T 2 T = T γ < T

10 Zum Problem der Gleichzeitigkeit bei endlicher Lichtgeschwindigkeit

11 ct c t v=-v Lichtblitz 45 β ct β Weltlinie α A B α tanα = c /v v=v β β Gleichzeitigkeit tanα = c /v c t (WeltlinevonO') γ tan Minkowski-Diagramme (Raum-Zeit-Koordinaten) (4er-Koordinaten) β = v /c weil für die Achse gilt t =0 => LT: t=v/c 2 Weiters Intertialsystem S, das sich mit v=v relativ zu S bewegt => γ = α-β = arctan (c/v) arctan (v/c)

Raumzeitereignise und Kausalität = ct anderswo ct Zukunft B A

allgemeinen Relativitätstheorie => Später Lichtgeschwindigkeit

=> Wirkung nur innerhalb des Lichtkegels!

12 Raumzeitereignise und Kausalität = ct anderswo ct Zukunft B A Vergangenheit ct C anderswo = ct E=mc 2 folgt aus der allgemeinen Relativitätstheorie => Später Lichtgeschwindigkeit obere Grenze für Signalübertragung! => Wirkung nur innerhalb des Lichtkegels! A kann mit B aber nicht mit C kausal verknüpft sein Im 4-dimensionalen Minkowsky-Raum stellt der Lichtkegel eine 3d- Hyperfläche dar

ct Weltlinie Minkowski-Diagramme (Raum-Zeit-Koordinaten) (4er-Koordinaten) Lichtblitz 45 α A B Gleichzeitigkeit tanα = c /v Nicht nur die Lagen, auch die Skalen der Achsen sind in S und S verschieden!

13 ct Weltlinie Minkowski-Diagramme (Raum-Zeit-Koordinaten) (4er-Koordinaten) Lichtblitz 45 α A B Gleichzeitigkeit tanα = c /v Nicht nur die Lagen, auch die Skalen der Achsen sind in S und S verschieden! Lichtgeschwindigkeit in allen Systemen gleich => ct c t 2 ( ct) 2 =1 s 2 = ct ( ) 2 2 = ( c t #) 2 # 2 s 2 invariant bei der Transformation zwischen Intertialsystemen OBdA wählen wir s 2 =-1 O A B A B t=0 => OA = 1 aber auch t =0 => OB = 1 => Skalen verschieden!

14 Zur Lorentz-Kontraktion der Längen t 1 ct t 1 1 P 1 2 c t L = P 1 P2 1 2 L Weltlinien P 2 Gleichzeitigkeit Lorentz- Transformation: für t 1 = t 2 Längenmessung durch gleichzeitiges festlegen der beiden Koordinaten! L = P 1 P 2 = 2 1 L = P 1 P2 = = γ ( 1 vt 1 ) 2 = γ ( 2 vt 2 ) # 2 1 # = γ ( 2 1 ) L# = γ L L < L # weil γ >1 Die Länge eines bewegten Maßstabs erscheint dem ruhenden Beobachter verkürzt

Zum Problem der Gleichzeitigkeit Ruhendes System t S t 1 O A 1 C 1 α 1 A B Δ Δ t A

in S! A B β# C t = const C 1 tanβ # =1 v O bewege sich mit v=v A A E Wenn alle

15 Zum Problem der Gleichzeitigkeit Ruhendes System t S t 1 O A 1 C 1 α 1 A B Δ Δ t A t tanα 1 =1 c C α tanα = v t t A α t 2 t t 1 A 1 ABC ruhen in S, bewegen sich also in S! A B β# C t = const C 1 tanβ # =1 v O bewege sich mit v=v A A E Wenn alle Inertialsysteme äquivalent sind müssen im bewegten System A und C den Blitz gleichzeitig sehen! => geneigte, t Achsen Für jeden Beobachter ist die Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse an verschiedenen Raumpunkten abhängig vom verwendeten Bezugssystem

16 Zur Transformation der Geschwindigkeiten Punkt A bewege sich mit u bzgl O und u bezgl. O t 2 t 1 t t 2 t 1 1 A 1 β t A 2 Der Beobachter in O misst u = 2 1 t 2 t 1 Der Beobachter in O misst u = 2 1 u t 2 t 1 => Lorentztransformation der Geschwindigkeiten

19 Zwillingsparadoon t 2 = T t 1 = T 2 ct P 2 = vt Weltlinie von B ( ) = u v t T 2 u P 1 Invariantes Wegelement: Weltlinie von A Reisezeit B: Reisezeit P A: 1 ds = c 2 v 2 dt 0 P 2 T 2 0 P 1 P 2 : d = v dt ds = c 2 v 2 dt P 1 ds 2 = c 2 dt 2 d 2 = c 2 d t 2 d 2 P 2 ds = c dt 0 T 0 0P1 : d = v dt T T 2 = c T = c T 2γ = c T 2 = c T 2γ = c T 2 T = T γ < T

20 Raum-Zeit Vektor! # X µ = # # #! u µ = # ct y z γc γ v $ & & & & % Geschwindigkeitsvektor $ & % Energie-Impuls-Vektor p µ = m u µ = $ # E c p % ' & Vierervektoren und ihre Invarianten X 2 µ = ( ct) 2 2 y 2 z 2 = s 2 u 2 µ = ( γc) 2 ( γ v ) 2 = c 2 p 2 µ = ( E c) 2 p 2 = m 2 c 2

22 Relativistische Energie-Impuls Beziehung relativistischer Impuls p(v) = m(v) v = m 0 v 1 v 2 c 2 relativistische Energie Kinetische Energie: E = m 0 2 c 4 + c 2 p 2 E kin = E m 0 c 2 Ruheenergie: m 0 c 2 Elektron MeV Proton MeV Neutron MeV

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