Hans Sillescu. Das Zwillingsparadoxon

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1 Hans Sillesu Das Zwillingsparadoxon Irgendwann erfahren die meisten Zwillinge in unserer zivilisierten Welt von dem sogenannten Zwillingsparadoxon. Ih will hier versuhen, mit einfahen Worten zu erklären, was man darunter versteht und wie es zu verstehen ist. Nehmen wir an, von irgendwelhen Zwillingen begibt sih der eine, nennen wir ihn Robert, auf eine Reise ins Weltall, etwa um einen benahbarten Fixstern zu besuhen. Wenn sein Raumshiff unterwegs eine genügend hohe Geshwindigkeit erreiht, die nahe bei der Lihtgeshwindigkeit liegen muß, wird er nah seiner Rükkehr feststellen, daß sein im Lande gebliebener Bruder Roland niht nur älter aussieht als er, sondern auh älter ist. Obwohl sih so etwas ziemlih paradox anhört, ist es keineswegs das Zwillingsparadoxon, sondern eine völlig normale Folge der Relativitätstheorie. Zur Illustration möhte ih zunähst eine möglihst realistishe Reise beshreiben, die ein heute geborener Robert vielleiht in 0 Jahren antreten könnte, wenn bis dahin ein geeigneter Raketentreibstoff erfunden wird. Sein Raumshiff soll so gleihmäßig auf immer größere Geshwindigkeit beshleunigt werden, daß er die Beshleunigung als Shwerkraft empfindet. Das heißt, der Boden seiner Raumkabine, bzw. des Lebensraums, in dem er es einige Jahre aushalten will, ist auf die Erde hin ausgerihtet, von der er sih immer shneller entfernt. Infolge der permanenten Beshleunigung wird er im freien Weltraum mit der gleihen Kraft nah unten gezogen, wie er das auf Erden durh die Shwerkraft gewohnt ist. Übrigens ist es eine der wihtigsten Aussagen der allgemeinen Relativitätstheorie, daß ein Beobahter grundsätzlih niht zwishen einer Shwerkraft und einer Beshleunigungskraft untersheiden kann. Wenn Robert in 10 Jahren wieder zuhause sein will, muß er shon nah ½ Jahren sein Raumshiff um 180 Grad drehen. Die Antriebsraketen werden jetzt zu Bremsraketen und das Raumshiff fliegt rükwärts noh für weitere ½ Jahre in die gleihe Rihtung, bis es auf die Geshwindigkeit Null abgebremst ist. Genau dann ist das Ziel der Reise erreiht. Das Raumshiff ist dabei niht viel weiter gekommen als zum Sirius, einem unserer nähstbenahbarten Fixsterne. Immerhin hatte es vor dem Beginn des Bremsvorgangs eine Geshwindigkeit von 98.9 % der Lihtgeshwindigkeit, die km pro Sekunde beträgt. Die Rükkehr von dem entferntesten Punkt seiner Reise ist das genaue Spiegelbild seiner Hinreise. Das heißt, das Raumshiff wird wieder in ½ Jahren auf seine Maximalgeshwindigkeit beshleunigt und nah Drehung um 180 Grad auf die Geshwindigkeit Null abgebremst. Wenn alles nah Plan gelaufen ist, wird Robert nah insgesamt 10 Reisejahren wieder in seiner Heimat ankommen. Doh während er als 40jähriger noh relativ jung und dynamish sein Raumshiff verläßt, begrüßt ihn sein zuhause gebliebener Zwillingsbruder Roland im stattlihen Alter von 55 Jahren. An dieser Geshihte ist überhaupt nihts paradox, obwohl es dem Laien paradox ersheint, daß Zwillinge ein vershiedenes Alter haben können. Aber die Reise könnte tatsählih genauso ablaufen, wenn es niht das reibstoffproblem gäbe, das siherlih auh in 0 Jahren noh niht gelöst sein wird, obwohl sih viele (besonders Autoren von Siene-fition- Romanen) darüber den Kopf zerbrehen. Die Rakete muß ja 10 Jahre lang angetrieben werden und den ganzen reibstoff auf die Reise mitnehmen, weil es unterwegs keine ankstellen gibt - zumindest kennt man keine. Die nötige reibstoffmenge kann man natürlih für jeden bekannten reibstoff ausrehnen. Dabei hat man sogar daran gedaht, im Raketenmotor Materie und Antimaterie zusammenzubringen, so daß nah der Einstein-Formel E = m die ganze Masse in Antriebsenergie umgewandelt wird. Selbst dann bräuhte man über onnen reibstoff für jede onne Nutzlast, die wieder zuhause ankommt. Doh wenn die geshilderte Reise niht paradox ist, was ist dann das Zwillingsparadoxon? Dieses ist tatsählih nur ein sheinbares Paradoxon, das man lösen kann, wenn man die Relativitätstheorie rihtig anwen- 1

2 det. Es geht dabei um folgendes Gedankenexperiment. Während Roland zuhause bleibt, bewegt sih der fliegende Robert mit sehr hoher konstanter Geshwindigkeit von ihm weg. Nah einer gewissen Zeit (z.b. 10 Jahre) kehrt er um und fliegt mit der gleihen konstanten Geshwindigkeit wieder zurük nahhause, wo er seinen Zwillingsbruder Roland gealtert vorfindet. Da hier nur eine konstante Geshwindigkeit vorkommt, kann man den Altersuntershied ganz leiht ausrehnen; 1 aber der ist ja noh niht paradox. Nah dem Relativitätsprinzip könnte aber der Reisende (Robert) behaupten, daß er selber immer in Ruhe bleibt, während sein Bruder (Roland) sih relativ zu ihm bewegt. Dann würde aber Robert alt aussehen und niht sein Zwillingsbruder Roland, und das ist in der at ein ehtes Paradoxon. Denn niemand kann zugleih jünger und älter sein als ein anderer. 1 Das Verhältnis der Zeiten ist 1 (v/) groß gewählt wird wie die Lihtgeshwindigkeit, erhält man Wenn also die Geshwindigkeit v halb so 1 (1/ ) = ½ = atsählih kann Roland die gleihe Reise antreten wie Robert, aber nah kurzer Zeit wieder umkehren, während Robert noh 0 Jahre (seiner Zeit) länger unterwegs ist. Obwohl dann die erfahrenen Beshleunigungen für beide gleih sind, entwikelt sih während der übershüssigen Jahre ein Altersuntershied: Roland ist am Ende älter als Robert. Die Lösung des Paradoxons ist ganz einfah. Zwar kommt es nur auf die Relativgeshwindigkeit der beiden Brüder an, mit der sie sih zuerst voneinander weg und dann wieder aufeinander zu bewegen. Und doh gibt es einen entsheidenden Untershied. Der Reisende (Robert) spürt Beshleunigungskräfte, der zuhause Bleibende spürt nihts. Nah den Regeln der speziellen Relativitätstheorie befindet er sih ununterbrohen in einem Inertialsystem, das sih immerzu mit konstanter Geshwindigkeit (die auh gleih Null gesetzt werden kann, da es keine absolute Geshwindigkeit gibt, siehe unten) in die gleihe Rihtung bewegt. Der Reisende befindet sih dagegen auf der Hin- und Rükreise in vershiedenen Inertialsystemen. Wenn man diesen Untershied korrekt berüksihtigt, bleibt es dabei: Wer zuhause bleibt, altert shneller als sein reisender Zwillingsbruder. Die weiter oben beshriebene Weltraumreise kann man jedoh in unserem Gedankenexperiment auh so gestalten, daß beide Zwillinge exakt das gleihe erleben. Beide steigen an ihrem 0. Geburtstag in je ein äußerlih gleih aussehendes Raumshiff ein, und sie befinden sih während der Reise in völlig gleihen fensterlosen Raumkabinen. Beide werden auf die gleihe Weise beshleunigt, bis sie die Erdanziehung verlassen haben. Danah erleben beide die auf Erden gewohnte Kraft, die sie wie eine Shwerkraft nah unten (d.h. in Rihtung des Kabinenbodens) zieht. Aber während der Zwilling Robert die oben beshriebene Weltraumreise hinter den Sirius durhführt, wird der andere durh geshikte Programmierung der Antriebs- und Steuerraketen so raffiniert wieder auf die Erde zurükbefördert, daß die Summe aus Beshleunigungs- und Shwerkraft immer gleih dem auf Erden gewohnten Wert (9,81 m/s ) ist. Da er auf Grund des Äquivalenzprinzips der allgemeinen Relativitätstheorie niht zwishen Shwerkraft und Beshleunigungskraft untersheiden kann, ist es für ihn unmöglih festzustellen, ob er sih auf dem Weg zum Sirius oder längst wieder zuhause auf dem Weltraumbahnhof befindet. Erst wenn der Weltraumreisende nah 10 Jahren seiner Zeit auf die Erde zurükkehrt und das Bodenpersonal die Kabinentüren öffnet, wird der Altersuntershied erkennbar: Der Weitgereiste ist 40 Jahre alt, der daheim Gebliebene 55 Jahre. Allerdings wird sih auh der letztere nah 10 Jahren seiner Zeit shon denken, daß er zuhause geblieben ist, weil sih keine Kabinentür öffnet und er also noh 15 Jahre in seiner Zelle ausharren muß. Dies ist aber sein persönlihes Problem, das mit der Physik nihts zu tun hat. Solange die üren vershlossen sind, ist die Physik in beiden Kabinen gleih. Daß die Uhren vershieden shnell laufen, kann man nur durh einen Uhrenvergleih Dabei wird unterstellt, daß er niht den winzigen Untershied der Shwerkraft zwishen dem Boden und der Deke seiner Raumkabine messen kann.

3 feststellen, und dazu ist jeweils ein Kontakt mit der Außenwelt erforderlih, der ja durh unsere Spielregeln ausgeshlossen wurde. (Natürlih dürfen die Zwillinge in ihren Kabinen auh nihts von dem jeweiligen reibstoffverbrauh erfahren.) Zum Shluß möhte ih noh einiges zur Erklärung der seltsamen Altersuntershiede sagen. Dabei muß man zunähst einmal von der Vorstellung eines absoluten Raums und einer absoluten Zeit Abshied nehmen. Am Anfang des 0. Jahrhunderts haben sih Einstein und einige andere Physiker klar gemaht, daß es für einen Beobahter keinerlei Möglihkeit gibt festzustellen, mit welher Geshwindigkeit sih zum Beispiel unser Sonnensystem durh den Weltraum bewegt und ob es sih überhaupt bewegt. Es gibt einfah keinen absolut ruhenden Raum, relativ zu dem alle Bewegungen erfolgen. Man kann nur sagen, wie sih die Sonne relativ zu anderen Sternen in unsrer Galaxie bewegt und wie diese sih relativ zu anderen Galaxien bewegt. Es gibt keinen absolut ruhenden Pol; selbst der Polarstern ruht nur relativ zu anderen Sternen. Noh aufregender waren Einsteins Überlegungen zur Relativität der Zeit. Doh zuvor muß eine andere grundlegende Idee erwähnt werden. Es wird nämlih postuliert, daß die Lihtgeshwindigkeit eine Naturkonstante ist, die in allen Inertialsystemen, die sih relativ zueinander mit konstanter Geshwindigkeit bewegen, den gleihen Wert von = km pro Sekunde hat. Außerdem ist sie die größte Geshwindigkeit, die irgendein physikalishes Objekt annehmen kann. Dies hat shon eine wihtige Folge für die Bewegung des oben beshriebenen Raumshiffs, das sih mit konstanter Beshleunigung immer shneller bewegt. Nah der klassishen Newtonshen Physik wäre seine Geshwindigkeit einfah proportional zur Zeit. Danah würde es aber shon in weniger als einem Jahr die Lihtgeshwindigkeit übershreiten. Um dies zu verhindern, muß man in der Relativitätstheorie die Newtonshe Physik korrigieren. Da Geshwindigkeit ja gleih der zurükgelegten Wegstreke dividiert durh die dazu benötigte Zeit ist (z.b. km pro std), könnte man einfah für eine feste Streke die entsprehende Zeit mit zunehmender Geshwindigkeit derart in die Länge dehnen, daß die Lihtgeshwindigkeit nie erreiht werden kann. atsählih geht man in der Relativitätstheorie anders vor; aber die als Zeitdilatation bezeihnete Deh- nung der Zeit (um den Faktor 1/ 1 (v/), siehe Fußnote 1) spielt eine entsheidende Rolle. Wenn nun aber die Zeit gedehnt wird, gehen in dem Raumshiff die Uhren langsamer als bei dem zuhause gebliebenen Zwillingsbruder, der demnah shneller alt wird als der Bruder unterwegs. Die mathematish ausformulierte spezielle Relativitätstheorie, die Einstein 1905 veröffentliht hat, ist zwar etwas komplizierter. Aber vielleiht kann man jetzt shon einsehen, daß die Zeitdilatation (und damit der Altersuntershied unserer Zwillinge nah der Weltraumreise) zwangsläufig aus der atsahe folgt, daß es in unsrer Welt eine maximale Geshwindigkeit gibt, die kein bewegtes Objekt übershreiten kann. Einstein hat nah 1905 noh über zehn Jahre lang an einer allgemeinen Relativitätstheorie gearbeitet, in der auh die Äquivalenz von Shwerkraft und Beshleunigungskraft in die Sprahe der Mathematik übersetzt worden ist. Diese Äquivalenz hat uns ermögliht, die Weltraumreise so zu gestalten, daß beide Zwillinge exakt das gleihe erleben. Der Altersuntershied ist jedoh eine Folge der shon durh die spezielle Relativitätstheorie beshriebenen Zeitdilatation. Übrigens benötigt man die Relativitätstheorie niht nur für die Planung exotisher Weltraumreisen. Wenn jemand in sein Auto einen GPS-Empfänger einbaut, damit er an jeder Straßenkreuzung erfahren kann, wie er weiter fahren muß, um an sein Ziel zu kommen, ist er damit ein Nutznießer der speziellen und sogar der allgemeinen Relativitätstheorie. Das Global Positioning System (GPS) besteht zur Zeit aus 4 Erdsatelliten, die in etwa 1 Stunden einmal die Erde umkreisen und dabei permanent ihre augenbliklihe Lage und Uhrzeit auf die Erde senden. Der kleine Kasten im Auto besteht aus einem Radioempfänger und einem Computer. Er empfängt die Signale von den 4 Satelliten, die ihm am nähsten sind, und berehnet aus deren Uhrzeit und Position den eigenen Standort. Dabei

4 werden niht nur die jeweiligen Zeitdilatationen nah der speziellen Relativitätstheorie berüksihtigt sondern auh der Einfluß des Gravitationsfeldes, der durh die allgemeine Relativitätstheorie beshrieben wird. Dies hat nun wenig mit dem Zwillingsparadoxon zu tun, es soll aber die Zwillinge dazu anregen, sih für die Geheimnisse der Relativitätstheorie zu interessieren. Anhang Details zu den Berehnungen nah Gerthsen Physik, 1.Aufl., Hrsg.: D. Meshede. Springer, Heidelberg 00, S Start und Ziel der Weltraumreise ist ein Punkt (Erdstation) etwas außerhalb des Bereihs der Erdanziehung. Die Rakete soll während der ganzen Reise die konstante Beshleunigung g = 9.81 m/s² aufreht erhalten. Nah einer in der Rakete gemessenen Zeit t =.5 a (a = 1 Jahr = s) wird g durh g ersetzt - zum Bremsen und Wiederbeshleunigen in Gegenrihtung und nah weiteren 5 Jahren -g wieder durh g. Die Reise dauert also 4t = 10 a in Raketenjahren. Im System der Erdstation hat die Rakete die Beshleunigung (Gerthsen, Gl.17.6) dυ υ = g 1 dt Daraus folgt eine Beziehung zwishen v und t: dυ 1 υ = g dt Die Integration (links zwishen 0 und v(t) und rehts zwishen o und t) ergibt υ 1 1 υ = g t Nah Einführung der neuen Variablen (1) () () 4

5 gt gx V ; = ; X = folgt aus Gl.() = υ (4) V = (5) 1+ X = V d = Zwishen der Zeit t in der Erdstation und der Raketenzeit t besteht die Beziehung (6) Für t =.5 a ergibt sih aus den Gln.(8-11) folgendes: τ = gt / =.580 = sinh τ = ; t = /g = 6.57 a X = osh τ - 1 = 5.67 V = tanh τ = Die Gesamtreisezeit beträgt demnah für den Astronauten 4t = 10 a und für die Erdstation 4t = 5.4 a. Die maximale Geshwindigkeit ist V max = V() = v(t)/ = Die größte Entfernung der Rakete von der Erdstation beträgt x max / = X(τ) /g = 10.9 Lihtjahre. Das Verhältnis von Startlast und Nutzlast ist M 0 /M = e 4τ = υ dt' = dt 1 (7) Das heißt, wenn der Beobahter auf der Erdstation für zwei Ereignisse in der Rakete (z.b. Lihtpulse) den Abstand dt bestimmt, mißt sein Zwillingsbruder in der Rakete nur den Zeitabstand dt (seine Uhr läuft langsamer). Mit τ = gt / und = gt/ folgt durh Integration von Gl. (7) τ = ar sinh bzw. = sinhτ und aus Gln.(5-6) (8) V = tanhτ (9) X = oshτ 1 (10) Für den Antrieb in einer Photonenrakete, die Materie und Antimaterie nah E = m umsetzt, erhält man (Gerthsen Gl. 17.) M = M 0 τ e (11) für das Verhältnis von Startlast und Nutzlast nah der Zeit τ. 5