Kosmologie. der Allgemeinen Relativitätstheorie. Geometrie gekrümmter Räume: Basis der Einsteinschen Feldgleichungen

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1 Kosmologie der Allgemeinen Relativitätstheorie Geometrie gekrümmter Räume: Basis der Einsteinschen Feldgleichungen

2 Der Durchbruch Einstein: Das Gravitationsfeld beeinflußt bzw. bestimmt die metrischen Gesetze des raumzeitlichen Kontinuums. Dessen Geometrie kann nicht Euklidisch sein! Einsteins entscheidender Schritt war, daß er die Ähnlichkeit zwischen Riemannschen Räumen und Physik der Gravitation erkannt hat. Dr. R. Göhring 2

3 Euklidische Geometrie - 1 Parallelen-Axiom:. P g In einer Ebene α gibt es zu jeder Geraden g und jedem Punkt P (außerhalb von g) genau eine Gerade, die zu g parallel ist und durch den Punkt P geht Winkelsumme im Dreieck: a+b+g = 180 o a g b Das Verhältnis von Umfang zu Radius ist bei allen Kreisen gleich: U = 2 p r. r Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 3

4 Euklidische Geometrie - 2 Satz des Pythagoras a 2 + b 2 = c 2 c b a 90 o Gerade: Euklid: Eine Gerade ist eine Linie, die bezüglich der Punkte auf ihr stets gleich liegt. Hilbert: Zwei voneinander verschiedene Punkte P und Q bestimmen stets eine Gerade g. Moderne Formulierung: Eine Gerade ist die einzige Kurve im Euklidischen Raum, die ihren Tangentenvektor parallel transportiert. Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 4

5 Kürzeste Entfernung Im reellen euklidischen Raum ist der kürzeste Weg l zwischen zwei Punkten P 1 und P 2 die Gerade. t = Tangentenvektor ( x x ) ( y y ) 2 2 = +. P 2 y 2 Mit dem Bogenelement ds 2 = dx 2 +dy 2 ist die Länge einer beliebigen Kurve von P 1 nach P 2 : K P P 2 = ds 1. P 1 t l ds x 1 x 2 y 1 Die kürzeste Verbindung ist dann gegeben, wenn l K ein Minimum ist. Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 5

6 Carl Friedrich Gauß Gauß war einer der ersten, der das Euklidische Parallelen-Axiom nicht als denknotwendig ansah; hat seine Gedanken aber nie veröffentlicht. (Bereits im 12. Jahrhundert zweifelte der Persische Mathematiker, Astronom und Dichter Omar Khayyam ( ) an der Richtigkeit des Parallelen-Axioms und entwickelte eine nicht-euklidische Geometrie.) János Bolay und Lobatschewski waren die ersten, die eine nicht- Euklidische Geometrie veröffentlichten. Er beschäftigte sich als Geodät intensiv mit der Geometrie gekrümmter Flächen. Dr. R. Göhring 6

7 extrinsische Entfernung intrinsische Entfernung Dr. R. Göhring 7

8 g a b Quelle: Wikipedia Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 8

9 Bernhard Riemann Riemann erweiterte die Gaußsche Geometrie gekrümmter Flächen auf Räume beliebiger Dimensionen. Begründet damit die Geometrie Riemannscher Mannigfaltigkeiten. War somit Wegbereiter für die Differentialgeometrie. 9 Dr. R. Göhring r.goehrin

10 Mathematiker der Differentialgeometrie Elwin Bruno Christoffel Gregorio Ricci Curbastro Tullio Levi-Civita Quelle: Dr. R. Göhring 10

11 Geometrie der Kugelfläche N z r Extrinsische Betrachtung: u = 2pr = 2pR sin J u J j r R B Intrinsische Betrachtung: o 2p J r = R J J= o 360 y u r sin J = 2p J x 3 sin J 2p J 2p = J + J J 3! 2 J = 2p 1 + 2p 3! u 2 r p Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 11

12 Einsteins Karussell z, z x Scheibe in Ruhe: U 2 R = p x y y Scheibe rotiert: U 2 R p Beschleunigung vorhanden: äquivalent zu einem Gravitationsfeld Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 12

13 Winkelsumme größer 180 o N A Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 13

14 Riemannsche Mannigfaltigkeiten Riemannsche Mannigfaltigkeiten: F sind glatt, d.h. es existiert in jedem Punkt die erste und zweite Ableitung. haben eine Metrik und die {g mn } hängen von den Koordinaten ab. In jedem Punkt gleicht die Mannigfaltigkeit lokal einem Euklidischen Raum. Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 14

15 Calabi-Yau Mannigfaltigkeit Dr. R. Göhring 15

16 Gerade = Geodäte auf der Kugelfläche N A B Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 16

17 Klein-Kreis und Großkreis Quelle: Wikipedia Dr. R. Göhring 17

18 Dr. R. Göhring 18

19 Geodäten Der Winkel zwischen den Punkten A und B mit den Breitenkoordinaten φ und den Längenkoordinaten λ auf dem Großkreis berechnet sich wie folgt: = arccos(sin ja sin j B + cos ja cos jb cos( B A)) Neapel und New York liegen auf dem selben Breitenkreis; Entfernung entlang des Breitenkreises: km Entfernung entlang des Großkreises: km Teil des Großkreises wird Orthodrome genannt. Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 19

20 Bewegung auf Geodäten N A B Quelle: Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 20

21 Krümmungsmaß Gaußsche Krümmung im Punkt A: K = 1 RR 1 2 A A F K>0 K>0 K<0 K=0 für die Ebene Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 21

22 Auf der Suche nach den Feldgleichungen Einstein hatte ein mathematisches Konzept (Differentialgeometrie) zur Hand. Für eine physikalische Theorie muß dieses Konzept aber noch mit physikalischen Gegebenheiten identifiziert werden. Die Physik bestimmt die mathematische Methode für die gesuchte Theorie. Dr. R. Göhring 22

23 Einsteins Forderung an die Theorie Zum einen müssen die Gleichungen in der Näherung bei schwachen Gravitationsfeldern und kleinen Geschwindigkeiten (verglichen mit der Lichtgeschwindigkeit) die Gesetze der Newtonschen Bewegungsgesetze unter Einfluß der Gravitation ergeben! Zum anderen sollen die aus der klassischen Mechanik bekannten Erhaltungssätze auch in der Allgemeinen Relativitätstheorie gelten. Zwei Fragestellungen sind zu klären: wie bewegen sich physikalische Objekte in der gekrümmten Raumzeit und wie krümmen die Objekte die Raumzeit? Dr. R. Göhring 23

24 Bewegung in der gekrümmten Raumzeit A K B C Im Gravitationsfeld wirken keine (Gravitations-)Kräfte auf frei fallende Körper ein! Andere, mit ihm in unmittelbarer Umgebung fallende Körper, erleiden keine Beschleunigung. Ein Körper ohne Beschleunigung im lokalen Bezugssystem bewegt sich auf einer Geraden. Geradlinige Bewegung im lokalen Bezugssystem bedeutet Bewegung entlang einer Geodäten im globalen System. Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 24

25 Beziehungen zwischen Mathematik und Physik Frei fallende Körper bewegen sich auf Geodäten der Raumzeit. Das Äquivalentprinzip bezieht sich zunächst nur auf den Einfluß der Gravitation auf frei fallende Körper. Wie verhalten sich andere Kräfte? Strenges Äquivalenzprinzip: Jedes physikalische Gesetz, das in der Speziellen Relativitätstheorie in der Tensornotation (= covariant) formuliert werden kann, hat exakt die gleiche Form in dem lokalen Inertialsystem einer gekrümmten Raumzeit. Dr. R. Göhring 25

26 Das Gravitationspotential m K = G m r m d m G = G r dr r m 2 d G : = F(r) K = m 1 F(r) r dr F(r) r Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 26

27 Das Gravitationspotential F (x, y) = G x m y K = m F(x, y) Das Gravitationspotential ist ein skalares Feld, das in jedem Punkt des Raumes einen bestimmten Wert hat Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 27

28 Newtonsche Gravitationsgleichungen F F F x y z K(x, y,z) = m 1F (x, y,z) F =,, Bestimmungsgleichung für das Potentialfeld: 2 F = 4pGr F F F F = (x) (y) (z) Differentialoperator angewandt auf Feld = Quelle des Feldes Quelle des Potentialfeldes = vorhandenen Massen Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 28

29 Einsteins Analogien Differentialoperator O angewandt auf metrischen Tensor g = Energie-Impuls-Tensor O(g) = -k T Der Differentialoperator O auf der linken Seite muß nach Einstein folgenden Bedingungen genügen: 1. Er soll keine höheren als zweite Differentialquotienten der {g} enthalten. 2. Er soll in diesen zweiten Differentialquotienten linear sein. 3. Seine Divergenz [heute würde man formulieren: seine kovariante Ableitung] soll identisch verschwinden. Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 29

30 Der gesuchte Differentialoperator 1. Er soll keine höheren als zweite Differentialquotienten der {g mn } enthalten. 2. Er soll in diesen zweiten Differentialquotienten linear sein. In der Differentialgeometrie gibt es Operatoren, die Bedingung 1 und 2 erfüllen: R mn + a g R R = g mn R mn mn R mn ist der Riemannsche Krümmungstensor, R ist der Ricci-Skalar 3. Seine Divergenz [heute würde man formulieren: seine kovariante Ableitung] soll identisch verschwinden. Bedingung 3 ist erfüllt, wenn a = -1/2 ist: R mn 1 gmnr 2 Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 30

31 Einsteinschen Feldgleichungen 1 R g R = k T 2 mn mn mn Geometrie Masse 1 Mit Rmn gmnr = Gmn schreibt sich die Kurzform: Gmn = k T 2 Die Feldgleichungen entsprechen einem System von 10 gekoppelten Differentialgleichungen! Die Forderung, daß der Energie-Impuls-Tensor nur durch die Materie bestimmt wird Newtonsche Näherung, bestimmt die Konstante k zu: 8pG k = 2 1,87 10 m kg c 26 1 mn Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 31

32 Einstein: Es ist natürlich leicht, diese allgemein kovarianten Gleichungen hinzusetzen, schwer aber einzusehen, daß sie Verallgemeinerungen von Poissons Gleichungen sind, und nicht leicht einzusehen, daß sie den Erhaltungssätzen Genüge leisten. Die bahnbrechende Veröffentlichung: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie Annalen der Physik; Bd.49, S. 769, 1916 Dr. R. Göhring 32

33 Einsteins Näherungslösungen 1. Eine punktförmige ruhende Masse M im sonst leeren Raum. 2. Vorhandene Geschwindigkeiten sind sehr klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit. 3. Die g mn der Metrik weichen nur um sehr kleine Beträge von der Metrik der Minkowski-Welt ab. 2 c mn = Mit diesen Annahmen kann Einstein spezielle Effekte der Allgemeinen Relativitätstheorie erklären: Periheldrehung des Planeten Merkur, die Lichtablenkung an der Sonne und Verhalten von Uhren im Gravitationsfeld, gleichbedeutend mit der Gravitations-Rotverschiebung des Lichtes. Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 33

34 Periheldrehung des Merkur Im 19. Jahrhundert wurde von Le Verrier die Merkurbahn vermessen und eine Perihel-Drehung von ca. 570" pro Jahrhundert festgestellt. 280" entfielen auf den Einfluß der Venus 150" auf Jupiter und 100" auf die restlichen Planeten. Es blieb ein unerklärlicher Rest von ca. 40" Moderner Wert: 571,91" Rest: 43,11" Einstein errechnete in seiner Arbeit von 1916 einen Wert von 43" Quelle: Wikopedia Dr. R. Göhring 34

35 Lichtablenkung an der Sonne a Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 35

36 Lichtablenkung an der Sonne a a > a Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 36

37 Lichtablenkung an der Sonne y r φ R d x Ablenkung eines Lichtstrahls an der Sonne nach Newtonscher Theorie: GM d Sonne 2 0, crsonne Ablenkung nach der Allgemeinen Relativitätstheorie: GM d Sonne 4 1,75 2 crsonne Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 37

38 Nachweis der Lichtablenkung 1919 Dyson Eddington Dr. R. Göhring 38

39 Karl Schwarzschild ( ) Physiker und Astronom, Wegbereiter der Astrophysik. Dachte schon vor Einstein über gekrümmten Raum nach. Veröffentlichte bereits 1916 eine strenge Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen für das Gravitationsfeld einer nicht rotierenden Kugel im sonst leeren Raum. Dr. R. Göhring 39

40 Schwarzschildmetrik Schwarzschild konnte zeigen, daß die Metrik dr ds = c 1 dt r (d sin d ) r + + J + J j 1 r eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen für eine nicht rotierende Kugel der Masse m im leeren Raum darstellt, mit 2 G m = 2 c als Schwarzschildradius. Für r = verliert die Metrik ihren Sinn, da der Bruch unendlich wird. Sonne Erde 3km 9mm Ist die gesamte Masse m innerhalb von, dann kann kein Objekt, selbst Licht nicht, entweichen: schwarzes Loch Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 40

41 Schwarzschildmetrik Die Abweichung der Schwarzschildmetrik g µν von der pseudo- Eulidischen Metrik der Minkowski-Welt ist durch /r gegeben: 2 c mn = g (Schwarzschild) mn 2 c r r = r r Abweichung an der Sonnenoberfläche: 4 10 r Sonne 6 Abweichung in Merkur-Entfernung: r Merkur Bahn Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 41

42 Uhren im Gravitationsfeld Rotverschiebung r r ds = c 1 dt dr + r (dj + sin Jd j) Für eine in der Entfernung r»r ruhende Uhr ist dr = dj = dj = 0 ds = c t = c 1 t r lokal Koord t 1 r lokal tkoord = tlokal 1 + 2r Für den Frequenzunterschied gilt: n n = 2r Rotverschiebung! Rotverschiebung von Spektrallinien der Sonne: Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 42

43 Pound-Rebka Experiment 1959 führten Pound und Rebka ein Experiment zur Überprüfung der Gravitations-Rotverschiebung auf der Erde aus. Pound In dem 22,6 Meter hohen Turm der Harvard Universität sollte der Frequenzunterschied zwischen Basis und Spitze des Turmes mit Hilfe des Mößbauer-Effektes gemessen werden. Der theoretische Wert des relativen Frequenzunterschieds beträgt 2, Der Nachweis gelang innerhalb einer Fehlertoleranz von 10% Spätere Versuche schränkten den Fehler auf 10-4 ein. Rebka Eine klare Bestätigung der Allgemeinen Relativitätstheorie. Quelle: Dr. R. Göhring 43

44 Gravitationswellen Entstehen bei jeder Veränderung von Verteilung von Massen z.b. Supernova-Explosionen 2 Neutronensterne kreisen in engem Abstand umeinander. Ausbreitung der Wellen erfolgt mit Lichtgeschwindigkeit Verschmelzung von Schwarzen Löchern Ausbreitungsgeschwindigkeit c g der Gravitationswellen ist gleich der Lichtgeschwindigkeit Quelle: Wikipedia c g = c Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 44

45 Gravitationswellen Entstehen bei jeder Veränderung von Verteilung von Massen z.b. Supernova-Explosionen 2 Neutronensterne kreisen in engem Abstand umeinander. Ausbreitung der Wellen erfolgt mit Lichtgeschwindigkeit Erster Nachweis anhand des Doppel- Pulsars PSR , dessen Umlaufbahnen durch den Energieverlust immer enger werden. Hulse und Taylor erhielten für diese Entdeckung 1993 den Nobelpreis. Quelle: Wikipedia Dr. R. Göhring r.goehring@arcor.de 45

46 Gravitationswellen Ein Team am Max-Planck-Institut MPE simulierte die Abstrahlung zweier sich umkreisender schwarzer Löcher im Zentrum einer Galaxie. Durch die Gravitationswellen und den dadurch verursachten Energieverlust verschmelzen sie schließlich. Die Gravitationswellen erzeugen einen Rückstoß, der das schwarze Loch aus der Galaxie herausschleudert. Man scheint tatsächlich solch einen konkreten Fall entdeckt zu haben (das Bild ist eine künstlerische Darstellung). Dr. R. Göhring 47

47 Gravitative Lichtablenkung durch ein schwarzes Loch: Dr. R. Göhring 48