AERODYNAMIK DES FLUGZEUGS I

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Lehrstuhl für Aerodynamik und Strömungsmechanik AERODYNAMIK DES FLUGZEUGS I WS 213/214 Prof. Dr.-Ing. C. Breitsamter 4 Skelett Theorie Lösung Aufgabe 1 1. Nach der Theorie für die ebene Platte (dünne, symmetrische Profile) bei kleinen Anstellwinkeln induziert ein Wirbelelement an der Stelle x eine Geschwindigkeit dv S am Ort x, also dv S = 1 γ(x ). 2π x x dx Die gesamte induzierte Geschwindigkeit durch die Wirbelfläche ist Mit der Koordinatentransformation erhält man v S = 1 l γ(x ). 2π x x dx x = l 2 (1 cosθ), x = l 2 (1 cosθ ), v S = 1 2π = 1 2π = αu π γ(θ) sin θ dθ cosθ cosθ 2αU (1 + cosθ) dθ cosθ cos θ 1 + cosθ dθ. cosθ cosθ Unter Verwendung des Glauert Integrals cos nθdθ cosθ cosθ = π sin nθ sin θ, n =, 1, 2,...

2 4 SKELETT THEORIE 2 ergibt sich v S = αu. Die Auftriebsströmung der angestellten ebenen Platte kann durch Überlagerung der induzierten Geschwindigkeit der Wirbelfläche mit einer Parallelströmung erzeugt werden. Damit beträgt die Geschwindigkeitskomponente in y-richtung v = αu + v S =. Dies bedeutet, dass die Strömung parallel zur Oberfläche des Profils verläuft! 2. Bei der gegebenen Wirbelstärkeverteilung liegt die Hinterkante des Profils in Polarkoordinaten bei θ = π. Die Kuttasche Abflußbedingung liefert γ(θ) =. Wegen sin π = und 1 + cosπ = muß die Regel von l Hospital zur Berechnung von γ(π) verwendet werden. Allgemein gilt nach l Hospital, wenn zwei Funktionen den Wert f(α) = g(α) = aufweisen und der Grenzwert für den Quotienten f (t) g (t) für t α existiert, dass dann die Grenzwertbildung mit den getrennt differenzierten Funktionen erolgt: f(t) lim t α g(t) = lim f (t) t α g (t). Übertragen auf das hier vorliegende Problem: 2αU (1 + cos θ) 2αU ( sin θ) lim = lim =. θ π sin θ θ π cosθ Damit ist die Kuttasche Abflußbedingung erfüllt. 3. Beachte, dass γ die Einheit einer Geschwindigkeit hat. Das Theorem nach Kutta Joukowski liefert den inkrementellen Auftriebsanteil eines infinitesimal kleinen Sehnenstückes, da = ρu dγ = ρu γdx. Dieser Auftriebsanteil kann genauso aus der Druckdifferenz zwischen Ober und Unterseite berechnet werden, da dx = p = p u p o = (p u p ) (p o p ).

3 4 SKELETT THEORIE 3 Das Gleichsetzen der beiden Ausdrücke liefert ρu γ = (p u p ) (p o p ). Dividiert durch den dynamischen Druck erhält man q = ρ 2 U2 2γ = C pu C po = 4α 1 + cosθ U sin θ. Damit beschreibt der Parameter 2γ/U die Differenz zwischen den Druckbeiwerten von Ober und Unterseite an einem gegebenen Ort des Profils. Mit C a = 2πα, ist der Anstellwinkel für einen Auftriebsbeiwert von C a =.5 2πα =.5, α = 4.56 =.796. Die Ergebnisse sind in Abb. 1 und in nachfolgender Tabelle dargestellt γ/U x/l Abbildung 1: 2γ/U vs. x/l.

4 4 SKELETT THEORIE 4 θ x/l 2γ U. π/ π/ π/ π/ π/ π/ π/ π Berechnet wird nun das Nickmoment um den 3/4 Punkt der Sehnenlänge, jeweils ausgehend von der Vorderkante. Dabei ist ein hecklastiges (schwanzlastiges) Nickmoment positiv. M 3l/4 = 3l/4 ρu γ(x)( 3 4 l x)dx l = 3 l 4 l ρu γ(x)dx l 3l/4 ρu γ(x)xdx ρu γ(x)(x 3 4 l)dx Mit dem Auftrieb A = und dem Moment um die Vorderkante l M V K = ρu γ(x)dx l ρu γ(x)xdx ist der Momentenbeiwert um einen Punkt.75 der Sehnenlänge M 3l/4 = 3 4 la + M V K = 3 4 l(πρu2 αl) π 4 ρu2 αl2 = π 2 ρu2 αl2. 5. Da der Ort des Druckpunktes (ebene Platte) bei l/4 liegt, kann das Moment um 3l/4 auch durch ein Momentengleichgewicht berechnet werden, M 3l/4 = A( 3 4 l l 4 ) = A l 2 Dabei greift der Auftrieb A bei l/4 an und l/2 ist der Hebelarm. Ein positives, hecklastiges Moment resultiert aus einem positiven, nach oben gerichteten Auftrieb. Daraus folgt für das Moment M 3l/4 = (πρu 2 αl) l 2 = π 2 ρu2 αl2.

5 4 SKELETT THEORIE 5 Lösung Aufgabe 2 Zur Berechnung des Auftriebs und Momentenbeiwertes müssen die Koeffizienten A, A 1 and A 2 der Ansatzfunktion für die Zirkulationsverteilung (Birbaum Ackermann sche Normalverteilungen) bestimmt werden. Dies geschieht durch die Integration der Funktion zur Beschreibung der Skelettlinienverteilung in Winkelkoordinaten θ. Diese sind durch die Transformation gegeben. x = l (1 cosθ) 2 Vor dem Ort der größten Wölbung lautet die Funktion der Skelettlinie ( ) ds =.1.25 x dx l vor =.125 cosθ.25 unter dahinter bis zum Ende des Profils ( ) ds = x dx l nach =.555 cosθ.111. Da der Ort der größten Wölbung ein Maximum des Integrals ist, muss dessen x Koordinate, die.41 beträgt, in die entsprechende θ Koordinate transformiert werden. l 2 (1 cosθ 1) =.4l Damit befindet sich der Ort der größten Wölbung bei θ 1 =

6 4 SKELETT THEORIE 6 Nach der Skeletttheorie berechnen sich die Koeffizienten zu α ds dx = A A n cos nθ n=1 mit und A = α 1 π A n = 2 π ds dx dθ ds dx cosnθdθ. Die hier benötigten Koeffizienten A, A 1 und A 2 sind A = α 1 π [ = α.4517, (.125 cosθ.25)dθ ] (.555 cos θ.111)dθ A 1 = 2 π [ =.8146, (.125 cos 2 θ.25 cosθ)dθ ] (.555 cos 2 θ.111 cosθ)dθ A 2 = 2 π [ = (.125 cosθ cos 2θ.25 cos2θ)dθ ] (.555 cosθ cos 2θ.111 cos2θ)dθ Damit ist 1. der Auftriebsbeiwert 2. und der Nullauftriebswinkel C a = 2π(A + A 1 ) = 2πα α = π = Der Neutralpunkt befindet sich nach der hier angewendeten Theorie bei l/4. Damit ergibt sich für den Nickmomentenbeiwert C m,l/4 = C m,xn = π 4 (A 2 A 1 ) =.539.