Aufgaben und Lösungen zur Klausur. Aerodynamik I M U S T E R L Ö S U N G E I N S I C H T N A H M E

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1 AERODYNAMISCHES INSTITUT der Rheinisch - Westfälischen Technischen Hochschule Aachen Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Schröder Klausur Aerodynamik I, Bachelor Fragenteil, Konforme Abbildung, Tropfentheorie Aufgaben und Lösungen zur Klausur Aerodynamik I M U S T E R L Ö S U N G E I N S I C H T N A H M E 1

2 Integrale und Additionstheoreme Additionstheoreme sin(x±y) = sin(x) cos(y)±sin(y) cos(x) cos(x±y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) sin (x)+cos (x) = 1 sin(x) = sin(x) cos(x) sin(x) = sin(x/) cos(x/) sin (x) = 1 (1 cos(x)) cos (x) = 1 (1+cos(x)) cos(x) = cos (x) sin (x) tan( x ) = 1 cosx 1+cosx tan( x ) sin(x) = 1 cos(x) sin(x) sin(nx) = 1 (cos[(n+1)x] cos[(n 1)x]) sin[(n+1)x] sin[(n 1)x] = cos(nx) sin(x) 1 n sin(nϕ p) sin(nϕ) = 1 ( 4 ln 1 cos(ϕp +ϕ) ) 1 cos(ϕ p ϕ) Integrale 1 ax+b dx = 1 a ln(ax+b) x ax+b dx = x a b a ln(ax+b) x X dx = 1 [ 1 ] a 3 (X) b(x)+b ln(x) mit X = ax+b sin(ax)dx = cos(ax) a cos(ax)dx = + sin(ax) a sin (ax)dx = x 1 4a sin(ax) cos (ax)dx = x + 1 4a sin(ax) sin 3 (ax)dx = cos3 (ax) cos(ax) 3a a cos 3 (ax)dx = sin3 (ax) 3a + sin(ax) a cos 4 (ax)dx = 3 sin(ax) x+ + sin(4ax) 8 4a 3a sin(ax)cos(ax)dx = sin (ax) a π sin(n ϕ) cos(p ϕ)dϕ = π cos(n ϕ) cos(p ϕ)dϕ = π sin(n ϕ) sin(p ϕ)dϕ = Glauert-Integral π { π/ n = p n p { π/ n = p n p { π/ n = p n p cos(n ϕ ) cos(ϕ) cos(ϕ ) dϕ = π sin(n ϕ) sin(ϕ) cos(ax) cos(bx)dx = sin[(a b)x] (a b) + sin[(a+b)x] (a+b) a b } } }

3 1. Aufgabe: Fragenteil (17 Punkte) 1. Erläutern Sie kurz die drei Helmholtzschen Wirbelsätze. Inwiefern findet der dritte Helmholtzsche Wirbelsatz Anwendung, wenn ein Tragflügel mit endlicher Spannweite aus der Ruhe beschleunigt wird?. Welche Vergleichströmung wird bei der Kompressibilätskorrektur nach Prandtl-Glauert und welche bei der Korrektur nach Ackeret herangezogen? Wie lauten die Störpotentialgleichungen für die jeweilige Vergleichsmachzahl? In Abbildung 1 ist der Druckbeiwertverlauf für ein NACA1 unter einem Anstellwinkel α für zwei verschiedene subsonische Anströmmachzahlen Ma 1 und Ma dargestellt. Welcher Verlauf entspricht dem der Vergleichsströmung und nennen Sie den Grund hierfür? Ermitteln Sie die ungefähre Anströmmachzahl für welche die korrigierte Druckbeiwertverteilung aufgetragen wurde. c p x/c A B Abbildung 1: Druckbeiwertsverteilung eines NACA1 Profils 3. Erläutern Sie die Begriffe kritische Machzahl und kritischer Druckbeiwert. 4. In welche zwei grundsätzlichen Bauarten lassen sich kontinuierliche Windkanäle einteilen? Führen Sie die Vor- und Nachteile einer Bauart explizit auf. Hinweis: Falls nötig, übertragen Sie die Skizzen in Ihre Lösungsblätter und zeichnen Sie die Lösung dort ein! 3

4 . Aufgabe: Konforme Abbildung (15 Punkte) 1. Was sind die Vorteile der konformen Abbildung mit der Zhukhovski-Abbildungsfunktion ζ = z + a z? Unter welchen Voraussetzungen ist diese Methode anwendbar?. Das Ruderblatt eines Segelbootes sei als schlankes, symmetrisches Profil ausgeführt und soll durch ein entsprechendes Zhukhovski-Profil beschrieben werden. Skizzieren Sie den theoretischen und den realistischen Verlauf des Auftriebskoeffizienten für Anstellwinkel 15 < α < 15. Die Umströmung eines starren Segels auf einem kleinen Segelboot soll anhand der konformen Abbildung näherungsweise untersucht werden. Dazu wird die komplexe Stromfunktion eines rotierenden Zylinders mit Anstellwinkel α F(z) = v e iα (z iy )+v e iα R z iy i Γ π ln(z iy ) (1) anhand der Zhukhovski-Abbildung auf ein Parabelskelett mit geringer Wölbung in der ζ-ebene übertragen. Hierbei ist v der Betrag der Anströmgeschwindigkeit. y z R v y v -a +a x -a -a a a l= 4a 3. (a) Geben Sie die konjugiert komplexe Geschwindigkeit w z auf der Kreiskontur als Funktion von ϕ an und bestimmen Sie die Zirkulation Γ, so dass die Kutta sche Abflussbedingung an der Hinterkante des Segels bei z(ϕ) = a erfüllt ist. (b) Bestimmen Sie mit Hilfe des vorigen Ergebnisses den Anstellwinkel α, bei dem die Auftriebskraft verschwindet, und begründen Sie das Ergebnis. 4. Bei konstanter Windstärke und-richtung sei der Kurs des Bootes so gewählt, dass der Anstellwinkel des Segels bei α = liegt. Segel und Boot sind starr miteinander verbunden. Weiterhin wir die Kontur des Segels als starr angenommen und der Einfluss der Rumpfes ist zu vernachlässigen. Beschreiben Sie wie das Boot reagiert, wenn man das Ruder loslässt und alle sonstigen Kräfte vernachlässigt werden können. Begründen Sie Ihre Antwort (ohne Rechnung). Gegeben: v, α, β, R Hinweis: Vorzeichen ensprechend der Abbildung nach rechter Hand Regel. Für den Bildkreis gilt:z(ϕ) = Re iϕ +iy 4

5 3. Aufgabe: Tropfen-Theorie (18 Punkte) 1. Für welche Art von Strömungen kann die Tropfentheorie eingesetzt werden?. Wie lautet der Schließungsansatz für einen geschlossenen Profiltropfen? Welches Verhältnis leitet sich daraus für die integralen Stärken von Quelle und Senke ab? 3. Bestimmen Sie die Geometrie Z(ϕ) mit Hilfe der untengenannten Hinweise. Ermitteln Sie hierfür die Koeffizienten b 1 und b aus der geforderten Druckverteilung an den Stellen ϕ = π/ und ϕ = π/3 mit c p (ϕ = π/) =. und c p (ϕ = π/3) =.1. Der Riegelsfaktor wird nicht berücksichtigt. 4. Bestimmen Sie die Position der maximalen Dicke δ max in Abhängigkeit von b 1 und b. 5. Bestimmen Sie den Wert der maximalen Dicke δ an der Stelle ϕ = 3π/4 mit Hilfe der in Unterpunkt 3 bestimmten Koeffizienten b 1 und b. Erläutern Sie, ob das Profil mit der berechneten Dicke δ geeignet wäre, um über die Skelett-Theorie unter einem Anstellwinkel α den Auftriebsbeiwert zu ermitteln. 6. Welches Verfahren erweitert die Profiltheorie nach der Singularitätenmethode auf drei Raumdimensionen? Ist dieses Verfahren unmittelbar auf abgelöste Strömungen anwendbar und erläutern Sie kurz warum? Gegeben: Anströmgeschwindigkeit u, l Hinweis: X = 1 (1+cosϕ),mit X = x l q(x dz ) = u dx u(x) = 1 1 q(x dx ) π X X Z t = 1 N b n sin(nϕ ) c p (X) = u(x)/u cos(π/3) cos(π/) cos(3π/4) sin(π/3) sin(π/) sin(3π/4)

6 1. Aufgabe: Fragenteil 1. Helmholtz sche Wirbelsätze: I: Die Drehung ist zeitlich konstant (dω/dt = ). II: Die Wirbellinien fließen mit dem Fluid, d. h. die Fluidelemente bleiben Teil der selben Wirbellinie. III: Die Zirkulation bzw. Wirbelfluss einer Wirbelröhre ist konstant. Daraus folgt, dass die Wirbelröhre auf einem festen Rand bzw. im Unendlichen endet oder in sich geschlossen ist. Der gebundene Wirbel entlang der Tragfläche endlicher Spannweite kann an deren Enden nicht aufhören, sondern geht in zwei freie Wirbel über, welche sich parallel zur Anströmung vom Profil entfernen. Wird ein zuerst ruhendes Profil bewegt, so bildet sich ein sog. Anfahrwirbel aus. Der III. Helmholtz sche Wirbelsatz bedingt, dass sich die freien Wirbel mit dem Anfahrwirbel verbinden und somit mit dem gebundenen Wirbel eine geschlossene Wirbellinie bilden.. Für die Korrektur nach Prandtl-Glauert gilt die Vergleichsströmung: M vergl. =. Für die Korrektur nach Ackeret: M vergl. =. Störpotentialgleichung für (M = ) ϕ xx +ϕ yy =. Störpotentialgleichung für (M = ) ϕ xx ϕ yy =. Der Druckbeiwertsverlauf A entspricht dem der Vergleichsströmung. Grund: Da eine Unterschallströmung vorliegt (Saugspitze nahe der Vorderkante) gilt, dass die Fläche von c p,a < c p,b, da c p,b = c p,a. 1 M An der Saugspitze gilt: c p,a 1, c pb 1.5, somit: c p,b = 1 M = c p,a M = 1 M = M =.6 c p,a 1 M c p,b ( ) cp,a 1 c p,b ( ) 1. = 1.8 = Die kritische Machzahl M krit ist jene Anströmmachzahl, bei der auf der Ober- oder Unterseite des Profils an einer Stelle gerade M = 1 auftritt. Der kritische Druckbeiwert c p,krit ist der lokale c p -Wert, bei dem gerade M = 1 auftritt. 4. Eiffel-Windkanal,Göttinger-Windkanal. Entweder: Eiffel-Windkanal: Vorteile: geringe Baukosten, große Abmessungen für Modelle möglich Nachteile: hoher Energiebedarf, Abhängigkeit von Umgebungsbedingungen oder: Göttinger-Windkanal: Vorteile: unabhängig von Ansaugbedingungen, geringer Energiebedarf Nachteile: größerer Platzbedarf, Selbstverschmutzung 6

7 . Aufgabe: Konforme Abbildung 1. Vorteile: Analytisches Verfahren winkeltreue Voraussetzungen: Zweidimensionale Strömung Potentialströmung (drehungsfrei) Einfach zusammenhängende Kontur. Auftrieb eines schlanken symmetrischen Profils c L Theorie 1. Realität (a) Komplex konjugierte Geschwindigkeit: w z (z) = df dz = v e iα v e iα R (z iy ) i Γ π(z iy ) w z (ϕ) = v e iα v e iα R Γ R i eiϕ πre iϕ = v e iα v e i(α ϕ) Γ i πr e iϕ Die Kutta Bedingung fordert ein glattes Abfließen an der Hinterkante eines Profils. In der z-ebene wird sie durch einen Staupunkt bei z=a, realisiert: = w z (ϕ = β) = v e iα v e i(α+β) Γ i ( iγe iβ = πrv e iα e i(α+β)) ( iγ = πrv e i(α+β) e i(α+β)) iγ = i4πrv sin(α+β) Γ = 4πRv sin(α+β) πr eiβ (b) Der Nullanstellwinkel beträgt α = β, da in der Potentialtheorie bei verschwindender Zirkulation kein Auftrieb vorhanden ist. 4. Das Boot dreht sich in den Wind bis der Nullauftriebszustand erreicht ist, weil die Auftriebskraft des Segels ein resultierendes Drehmoment gegen den Uhrzeigersinn hervorruft. 7

8 3. Aufgabe: Tropfentheorie 1. Die Tropfentheorie wird auf inkompressible, -dimensionale Strömungen angewandt, die wegen der ausschließlichen Berücksichtigung von Quellen- und Senkenpotentialen keine resultierende Zirkulation um das zu beschreibende Profil erzeugen.. Schließungsansatz: 1 q(x)dx = Es muss gewährleistet sein, dass die Flächen, also die integrale Stärken der Quellen- und Senkenverteilung, gleich sind. 3. Bestimmung der Koeffizienten b 1 und b : Für die Störgeschwindigkeit auf der Kontur gilt mit q(x ) = u dz u(x) = 1 π = u π 1 1 Mit der Koordinatentransformation X = 1 (1+cosϕ): Mit dem Fourieransatz nach Riegels: u(ϕ) = u π dz t = 1 Unter Verwendung des Glauert-Integrals: Für n = 1, gilt: π q(x dx ) X X dz dx dx X X dx : dz dϕ dϕ cosϕ cosϕ N b n ncos(nϕ )dϕ N u s (ϕ) = u b n n 1 π u(ϕ) = +u N π cos(nϕ )dϕ cosϕ cosϕ b n n sin(nϕ) sinϕ ( ) sin(ϕ) u(ϕ) = +u b 1 +b sinϕ u(ϕ) = +u (b 1 +4b cos(ϕ)) Mit c p (ϕ) = u(ϕ) u und c p(π/) =. bzw. c p (π/3) =.1 gilt:.1 = (b 1 +4b cos(π/)).5 = (b 1 +4b cos(π/3)) b 1 =.1.5 =.1+4b.5 b = 1 4 8

9 4. Berechnung der maximalen Dickenrücklage X D : dz t = 1 5. Berechnung der maximalen Dicke: N b n ncos(nϕ )dϕ dz t dϕ = 1 ( b1 cos(ϕ )+b cos(ϕ ) ) = = b 1 cos(ϕ ( )+b cos (ϕ ) 1 ) ) = b 1 (X 1)+b ((X 1) 1 = 16b X +(b 1 16b )X b 1 +b X D,1, = (b 1 16b ) ± (b 1 16b ) +64(b 1 b )b 3b Mit Z t = 1 N b nsin(nϕ) und b 1 =.1 und b =.5 wird: Z t = 1 (.1sin(3π/4).5sin(3π/)) ( Z t = 1 ) Z t = Daraus folgt, dass δ max.1 ist. Damit wäre die Verwendung der Skelett-Theorie zur Auftriebsuntersuchung geeignet. 6. Die Verwendung der Panelmethode erlaubt eine Untersuchung einer 3-dimensionalen Potentialströmung. Allerdings können abgelöste Strömungen, die auf Reibungseffekte zurückzuführen sind, nicht berechnet werden, da eine drehungsfreie Strömung vorliegen muss. 9