Klausur Aerodynamik II M U S T E R L Ö S U N G E I N S IC H T N A H M E

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1 AERODYNAMISCHES INSTITUT der Rheinisch - Westfälischen Technischen Hochschule Aachen Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Schröder Klausur Aerodynamik II M U S T E R L Ö S U N G E I N S IC H T N A H M E Hinweis: Achten Sie darauf, ob Sie alle Aufgaben erhalten haben. Klausur Aerodynamik II Fragenteil, Skelett-Theorie, Überschallströmung

2 Integrale und Additionstheoreme Additionstheoreme sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± sin(y) cos(x) cos(x ± y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) sin (x) + cos (x) = sin(x) = sin(x) cos(x) sin(x) = sin(x/) cos(x/) sin (x) = ( cos(x)) cos (x) = ( + cos(x)) cos(x) = cos (x) sin (x) tan( x ) = cos x + cos x tan( x ) sin(x) = cos(x) sin(x) sin(nx) = (cos[(n+)x] cos[(n )x]) sin[(n + )x] sin[(n )x] = cos(nx) sin(x) n sin(nϕ p) sin(nϕ) = ( ln cos(ϕp + ϕ) ) cos(ϕ p ϕ) n= Integrale ax + b dx = ln(ax + b) a x ax + b dx = x a b ln(ax + b) a x X dx = [ ] a 3 (X) b(x) + b ln(x) mit X = ax + b sin(ax)dx = cos(ax) a cos(ax)dx = + sin(ax) a sin (ax)dx = x a sin(ax) cos (ax)dx = x + a sin(ax) sin 3 (ax)dx = cos3 (ax) cos(ax) 3a a cos 3 (ax)dx = sin3 (ax) 3a cos (ax)dx = 3 8 x + sin(ax) a + sin(ax) a + sin(ax) 3a sin(ax) cos(ax)dx = sin (ax) a { } / n = p cos(n ϕ) cos(p ϕ)dϕ = n p { } / n = p sin(n ϕ) sin(p ϕ)dϕ = n p Glauert-Integral cos(n ϕ ) sin(n ϕ) cos(ϕ) cos(ϕ ) dϕ = sin(ϕ) cos(ax) cos(bx)dx = sin[(a b)x] (a b) + sin[(a + b)x] (a + b) a b

3 . Aufgabe: Fragenteil (3 Punkte). Es wird im Folgenden ein symmetrisches Laminarprofil NACA 6()-5 betrachtet. (a) Zeichnen Sie für dieses Profil die Polare c a = f(c w ) bei der Auslegungsreynoldszahl von Re c = 6 im Falle einer inkompressiblen Anströmung. Nehmen Sie hierfür an, dass der Profilwiderstandsbeiwert beim Nullauftriebswinkel c wpo =.5 beträgt. (b) Erweitern Sie Ihr Diagramm aus (a) mit der Polare für die Reynoldszahl von Re c = 5 6 im Falle einer inkompressiblen Anströmung.. Wie lautet die linearisierte Störpotentialgleichung im Unter- und im Überschall? Wie breiten sich die Störungen innerhalb von Überschall- bzw. Unterschallströmungen aus? 3. Gegeben ist die reibungsfreie Strömung über eine Wellenoberfläche mit der Kontur y = ɛ sin(αx) bei zwei Machzahlen M, > und M, <. Skizzieren Sie das Stromlinienbild über die Wellenoberfläche für diese beiden Machzahlen und erklären Sie stichpunktartik die Ursache für die Entstehung des Wellenwiderstandes. Ordnen Sie die folgenden Ausdrücke für den Druckbeiwert den beiden Machzahlen zu und begründen Sie Ihre Antwort: (a) c p = ɛα sin(αx) M (b) c p = ɛα cos(αx) M. (a) Um ein NACA Profil bildet sich bei M =., α = 5 und Re l =. 6 das in Abb.. dargestellte Strömungsfeld aus. Skizzieren Sie in den Lösungsblättern sorgfältig die zum dargestellten Strömungsfeld zu erwartende c p Verteilung. Markieren Sie in Ihrer Skizze und benennen Sie stichwortartig die auf der Saugseite des Profils auftretenden herausragenden Merkmale, die auf Reibungseffekte zurückzuführen sind..5 Abbildung.: Strömungsfeld um ein NACA Profils bei M =., α = 5 und Re l =. 6 Hinweis: Falls nötig, übertragen Sie die Skizzen in Ihre Lösungsblätter und zeichnen Sie die Lösung dort ein! 3

4 . Aufgabe: Skelett-Theorie (8 Punkte) Es soll die Umströmung eines Tragflügelprofils mit Hilfe der Skelett-Theorie untersucht werden. Das Profil liegt in einer Parallelströmung mit der Anströmgeschwindigkeit U und dem Anstellwinkel α. Zur Trimmung besitzt das Tragflügelprofil ein Gelenk an der Stelle X g =.5, durch das eine Drehung des hinteren Profilabschnitts.5 < X. um den Winkel η erzeugt werden kann. Die Skelettlinie ist durch die Gleichung Z s I =. (.5 (X.5) ), für X <.5 Z s II =. (.5 (X.5) ) + η (X.5), für.5 X. gegeben. mit X = x l, Zs = zs l. Unter welchen Voraussetzungen ist die Skelett-Theorie gültig?. Ermitteln Sie die Koeffizienten A i der ersten und zweiten Birnbaum-Ackermannschen Normalverteilungen in Abhängigkeit der gegebenen Größen und dem Winkel η. 3. Leiten Sie den allgemeinen Ausdruck für den Momentenbeiwert um die Profilnase c m = (A + A + A ) her. Hinweis: Vernachlässigen Sie in Ihrem Ansatz alle Koeffizienten A i, i 3. Bestimmen Sie für das untersuchte Profil den Momentenbeiwert um die Profilnase c m unter Berücksichtigung der Koeffizienten A und A. Wie muss der Neigungswinkel η gewählt werden, damit das Moment im Neutralpunkt C m, verschwindet. Hinweis: c a = (A + A ) Gegeben: Anstellwinkel α, Anströmgeschwindigkeit U, Sehnenlänge l, Neutralpunktlage X N =.5 Hinweise: ( γ(ϕ) = U A tan ϕ N ) + A n sin(nϕ) w a (ϕ) = w U = A w a = Zs X α c p = γ(ϕ) U n= N A n cos(nϕ) n=

5 3. Aufgabe: Überschallströmung (9 Punkte) Es soll die supersonische Strömung um das dargestellte Profil mit gerader Unterseite untersucht werden. Z=z/l Ma α 3 ε Das Profil wird zunächst ohne Annahmen der linearisierten Potentialtheorie mittels der allgemeinen gasdynamischen Beziehungen untersucht. Der Anstellwinkel bezüglich der Profilsehne beträgt α = α =. Die Machzahl der freien Anströmung ist M = M = 3.. Bitte beachten Sie die Hinweise für Teil. (a) Skizzieren Sie sorgfältig das System aller evtl. auftretender Verdichtungsstöße, Expansionsfächer sowie Machschen Linien um das Profil. Gehen Sie davon aus, dass die Strömung an der Hinterkante unter einem Winkel von δ = 3 gegenüber der x-achse abströmt. (b) Skizzieren Sie sorgfältig in einer Hodographenebene die einzelnen Zustandsänderungen für die Unterseite des Profils ( 5 6) und markieren Sie die entsprechenden Stromlinienänderungswinkel in Ihrer Skizze. (c) Bestimmen Sie den Auftriebsbeiwert c l mittels der allgemeinen gasdynamischen Beziehungen in Abhängigkeit der Druckverhältnisse p i p (i =, 3,, 5). Bestimmen Sie die Druckverhältnisse p i p für die Zustände i=,3,5 unter Verwendung der beigefügten Diagramme. Gegeben für Teil : Machzahl der freien Anströmung M = M = 3., Anstellwinkel α = α =, Keilöffnungswinkel ɛ =, Isentropenexponent γ =... Das in () untersuchte Profil wird nun im Allgemeinen über einen breiten Bereich an Mach-Zahlen im Überschall bei kleinen Anstellwinkeln α mittels der linearisierten Potentialtheorie untersucht. Bitte beachten Sie die Hinweise für Teil. (a) Bestimmen Sie den Auftriebsbeiwert c l des Profils in Abhängigkeit der für Teil gegebenen Größen. (b) Bestimmen Sie den Widerstandsbeiwert c d des Profils in Abhängigkeit der für Teil gegebenen Größen. Gegeben für Teil : Machzahl der freien Anströmung M, Anstellwinkel α, Keilöffnungswinkel ɛ. Hinweise: α 5 ± ± 5 ± 3 ± 35 ± sin α c = β γrt, p = ϱrt, c p,lint heorie = ± Ma 5

6 ν [ ] Prandtl Meyer Winkel Machzahl M Abbildung 3.: Prandtl-Meyer-Winkel ν über Machzahl M Machzahlverhältnis über senkrechten Verdichtungsstoß.9 Machzahl, M Machzahl, M Abbildung 3.: Machzahlverhältnis M zu M über einen senkrechten Verdichtungsstoß Druckverhältnisse Druckverhältnis p /p, isentr. Beziehung p /p, Druckverh. senkr. Stoß Machzahl, M Abbildung 3.3: Druckverhältnisse über senkrechten Verdichtungsstoß und isentropes Druckverhältnis über der Machzahl M 6

7 Abbildung 3.: Änderung des Stoßwinkels in Abhängigkeit vom Umlenkwinkel für verschiedene Anström- Machzahlen M 7

8 Lösung. Aufgabe: Fragenteil (3 Punkte)(LÖSUNG). (a) Die Polare des NACA 6()-5 Profils bei der Design-Reynoldszahl von Re c = 6 weist folgende Merkmale auf (siehe die durchgezogene Linie in der Skizze): -symmetrisch um die c w -Achse aufgrund der symmetrischen Profilform -Laminardelle bei c w =.5 von der Ausdehnung c a = ±. (3. Kennziffer) (b) Eine höhere Reynoldszahl der Anströmung führt zur früheren Transition der Grenzschicht und als Folge zur Verringerung der Ausdehnung der Laminardelle und ihrer Verschiebung hin zu kleineren Werten von c w (siehe gestrichelte Linie in der Skizze). c a..5 c w. Potentialgleichung im Unter- und im Überschall: Unterschall: ( M )ϕ xx + ϕ yy = elliptische DGL (analog: Laplace-Gleichung) Überschall: (M )ϕ xx ϕ yy = hyperbolische DGL (analog: Wellengleichung) Da im Unterschall die Störpotentialgleichung eine elliptische DGL ist, breiten sich die Informationen bzw. Störungen in alle Raumrichtungen aus. Im Überschall liegt eine hyperbolische DGL vor. Dadurch ergibt sich eine Informationsausbreitung innerhalb des Mach schen Kegels mit einem Halböffnungwinkel η = arcsin ( M ), der in Strömungsrichtung liegt. 8

9 3. Strömungsverhältnisse über der Wellenoberfläche. M, < M, > Wegen der Vorzeichenumkehr in der linearisierten Potentialgleichung ( M )ϕ xx + ϕ yy im Überschall durch den Term ( M ) wird diese zur Wellengleichung. Die Strömungsinformationen breiten sich nun nur stromab entlang der Charakteristiken aus. Die Druckänderungen erfolgen nur aufgrund lokaler Änderungen der Oberfläche (Prandtl-Meyer: positive Krümmung Kompression, negative Krümmung Expansion, oder Formel c p = dy dx ). Die sich daraus ergebende Druckverteilung auf M der Wellenoberfläche c p cos(x) ist phasenverschoben zum Oberflächenverlauf. Dies ergibt eine finite resultierende Kraft von der Strömung auf die Oberfäche in axialer Richtung, die als Wellenwiderstand bezeichnet wird. Die Machzahl M, gehört zum c p Ausdruck a), da für diesen Fall die Wellenoberfläche und der Druckbeiwert ohne Phasenverschiebung zueinander laufen. Die Machzahl M, gehört zum c p Ausdruck b), da für diesen Fall die Wellenoberfläche und der Druckbeiwert mit Phasenverschiebung zueinander laufen.. (a). Ablösung der laminaren Grenzschicht.. Umschlag der Strömung an der Ablöseblase. 3. Wiederanliegen der turbulenten Grenzschicht

10 Lösung. Aufgabe: (LÖSUNG) Skelett-Theorie (8 Punkte). Voraussetzungen Skelett-Theorie:. Potentialtheorie: reibungsfrei inkompressibel stationär drehungsfrei kleine Störungen: dünne Profile kleine Wölbung kleine Anstellwinkel. Koordinatentransformation: X = ( + cos ϕ) dx = sin ϕdϕ Bestimmung von A n durch Einsetzen der Koordinatentransformation und w a (ϕ) in die kinematische Strömungsbedingung, Multiplikation mit cos(pϕ) und Integration: für p = : [ A ] N A n cos(nϕ) + α cos(pϕ)dϕ = n= Ableitung der Skelettlinie dz s /dx: ( A + α) dϕ = A = α dz s dx dϕ [ dzii s dx dϕ + dz s dx cos(pϕ)dϕ ] dzs I dx dϕ dz s I dx =. (x ) dzs I =. cos (ϕ) dx dzii s dx =. (x ) + η dzs I =. cos (ϕ) + η dx Einsetzen in A und der korrespondierenden Transformation: [ A = α ] (. cos ϕ + η) dϕ +. cos ϕdϕ [. + ] η +. A = α = α η für p = n = : { cos(nϕ) cos(pϕ)dϕ = für n = p für n p

11 A = dz s cos ϕdϕ dx ( = ) (. cos ϕ + η) cos ϕdϕ + (. cos ϕ) cos ϕdϕ ( [ =. (ϕ + ) ] sin ϕ [ + η sin ϕ +. ( ϕ + )] ) sin ϕ = (. ) + η. +. = η Für den Momentenbeiwert gilt. c m = c p (X)XdX mit der Transformation X = dx ( + cos(ϕ)) bzw. dϕ = sin(ϕ) folgt. c m = = = [ [ = [ = c p (ϕ)( + cos(ϕ)) sin(ϕ)dϕ γ(ϕ) U ( + cos(ϕ)) sin(ϕ)dϕ und mit dem Hinweis A tan( ϕ ) sin(ϕ) ( + cos(ϕ)) + A ( + cos(ϕ)) sin (ϕ) ( cos(ϕ)) A ( cos (ϕ)) sin (ϕ) A sin (ϕ) = (A + A + A ) + A ( + A ( + cos(ϕ)) sin(ϕ) sin(ϕ) (cos(3ϕ) cos(ϕ)) + A ( + cos(ϕ))( cos(ϕ)) + A ( cos(3ϕ) + cos(ϕ) cos(ϕ) cos(3ϕ) + cos (ϕ)) ] dϕ cos(ϕ) + cos(ϕ) cos(ϕ) cos(ϕ)) + A ( cos(3ϕ) + cos(ϕ) ) ] cos(ϕ) cos(3ϕ) + cos (ϕ) dϕ. Unter Berücksichtigung der ersten beiden Birnbaum-Ackermannschen Koeffizienten, A = α η und A = η +. folgt für den Momentenbeiwert. c m = (A + A ) = ( ( α η + ) ) +. ] dϕ

12 Aus den Hinweisen c a = (A + A ) folgt: c a = (A + A ) ( c a = α η ( + ) ) +.5 Mit der Lage des Neutralpunkts im Rahmen der Skeletttheorie X N = folgt für den Nullmomentenbeiwert: c m = c m, = c mle + X N c l = ( ( α η + ) ) +. + ( ( α η + ) )! +.5 = η (( + ) ( + ) ) =.5 η =.5

13 Lösung 3. Aufgabe: (LÖSUNG) Kompressible Strömung (9 Punkte). (a) System der Verdichtungsstöße, Expansionsfächer sowie Machschen Linien. Z=z/l Ma α Machsche Linie 3 ε Expansion Expansion Schräger Stoß slip line δ Expansion Schräger Stoß (b) Zustandsänderungen für die Unterseite des Profils ( 5 6) v c M = M 6 Expansionscharakteristik M δ M 5 α u c Stoßcharakteristik (c) Mit der idealen Gasgleichung p = ϱ RT sowie der Beziehung für die Schallgeschwindigkeit c = γrt ergibt sich für den Auftriebsbeiwert: c l = = L ρ /v l = L ρ M γ RT l p /ρ L ρ /v l = = L γm p l L ρ /(M γrt ) l, mit v = M γrt Die Auftiebskraft ergibt sich aus den resultierenden Kräften senkrecht und parallel zum Keil wie folgt. L = R cos(α) R sin(α) R = ( p 5 p p 3 p ) l R = (p p ) l tan(ɛ) 3

14 ( L = p 5 p p 3 p ) l cos(α) (p p ) l tan(ɛ) sin(α) Von höherer Ordnung, Vernachlässigbar klein c l = γm ( p 5.5 p p 3.5 p ) p p p p Bestimmung der gesuchten Druckverhältnisse. Zustandsänderungen für die Oberseite: p /p? Zustand und sind identisch, da keine Umlenkung stattfindet (α=ɛ) p /p = und Ma = Ma = 3. p 3 /p? Expansion von nach 3 ν 3 = ν + ɛ M = 3. (Abb. 3.) ν = 57 ν 3 = 57 + = 67 (Abb. 3.) M 3 Für das zweite gesuchte Druckverhältnis folgt: p 3 = p 3 p p p p 3 p p (Abb. 3.3) p 3 p 3 (M 3 = ) 5 p 3 = 67.5 =.5 p 5 p p (M = 3.) 67.5 Zustandsänderungen für die Unterseite: Kompression von nach 5 δ,5 = α = M = 3. (Abb. 3.) θ,5 5 M n = 3. sin 5 (Tabelle aus dem Hinweis) 3.. =.36 Für das gesuchte Druckverhältnis p 5 p folgt: (Abb. 3.3) p 5 p (M n =, 36). (a) Im Rahmen der linearisierten Potentialtheorie lässt sich die Strömung um das gewölbte Keilprofil durch Superposition der Strömungen um seine Sehne, Skelettlinie sowie Dickenverteilung beschreiben. Für den Auftrieb ist nur der Anstellwinkel der Sehne α relevant. Somit ergibt sich mit dem Hinweis c p,lint heorie = ± β Ma und α als Anstellwinkel der Sehne bezogen auf die Hauptströmungsrichtung für den Auftriebsbeiwert c l = c p dx = α Ma

15 (b) Der Widerstandsbeiwert ergibt sich unter Berücksichtung jeweiliger Änderungswinkel β i der Strömung und des Hinweises c p,lint heorie = ± β Ma aus der Summe des Auftriebsanteils, Wölbungsanteils und des Dickenanteils zu c d = Ma α Auftriebsanteil Für das vorliegende Keilprofil resultiert daraus. ( dz ) ( dh ) + dx + dx dx dx Wölbungsanteil Dickenanteil c d = [ Ma α +.5(ɛ/) +.5(ɛ/) ] = α + ɛ Ma Ma α Ma Z=z/l Z=z/l ε.5.75 = α Ma Ma f/l d/l ε/ ε/