Klausur Strömungsmechanik II

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1 (Name, Matr.-Nr, Unterschrift) Klausur Strömungsmechanik II Aufgabe (11 Punkte) Ein Fluid strömt über eine beheizte Platte. Die Temperatur des Fluids weit entfernt von der Platte istt, die der Platte ist T p. T u oo oo y x δ (x) L Tp Die Temperaturverteilung in der Strömung wird durch folgende Erhaltungsgleichung beschrieben ρc v dt dt = λ 2 T p( v) a) Für welche physikalische Größe stellt diese Gleichung die Erhaltungsgleichung dar und für welche Strömungen welcher Fluide ist die Gleichung gültig? b) Ermitteln Sie für diese Gleichung die Kennzahlen mit der Methode der Differentialgleichung. c) Vereinfachen Sie die Gleichung für eine zweidimensionale, stationäre, inkompressible drehungsbehaftete Strömung mit konstanten Stoffwerten. Ermitteln Sie alle Kennzahlen dieser Gleichung unter der Voraussetzung, dass eine Grenzschichtströmung betrachtet wird. Gegeben: Alle nötigen Referenzgrößen. Hinweis: d dt = + v t

2 2. Aufgabe (11 Punkte) Ein Viskosimeter besteht aus einer kreisförmigen Platte und einem darüber angeordneten stumpfen Kegel mit dem Radius R und Öffnungswinkel Θ k. In dem Spalt zwischen Kegel und Platte befindet sich ein Fluid mit unbekannter Zähigkeit η. Durch die Drehung des Kegels mit der Winkelgeschwindigdkeit ω bildet sich in dem Spalt eine schleichende Strömung aus, die ausschließlich in Umfangsrichtung weist. Die Umfangsgeschwindigkeit ändert sich in Umfangsrichtung nicht. An der Platte wird das Moment M gemessen. Φ Θ ω R Θ k τ ΘΦ r Die Impulsgleichungen vereinfachen sich für diese Strömung zu dτ Θ,Φ dθ = 2τ Θ,Φ tanθ a) Bestimmen Sie die Schubspannungτ Θ,Φ als Funktion des Winkels Θ. b) Bestimmen Sie die Geschwindigkeitskomponente v Φ (r,θ) und die Zähigkeitη. Die Schubspannung τ Θ,Φ ist definiert τ Θ,Φ = η (sinθ v Φ rsinθ Θ + 1 rsinθ ) v Θ Φ Gegeben:R,M,ω,Θ k. Hinweis: 1 dx = ln(sinx) tanx 1 sin 3 x dx = 1 2 ( cosx sin 2 x ln ( )) 1+cosx 1 cosx

3 3. Aufgabe (12 Punkte) y x a Abfluss Das Wasser einer Badewanne wird durch den Abfluss abgelassen. Der sich dabei ausbildende Abflussstrudel soll potentialtheoretisch untersucht werden. Der Abfluss hat den Abstand a von der Kopfwand, der Einfluss der Seitenwände soll vernachlässigt werden. Der Wirbel dreht sich gegen den Uhrzeigersinn. Gegeben:a, v 0 ; für Aufgabenteil a) und b) alle nötigen Konstanten der Elementarfunktionen a) Stellen Sie die komplexe Potentialfunktion F(z) auf, die das Problem näherungsweise beschreibt. b) Bestimmen Sie unter Berücksichtigung der konjugiert komplexen Geschwindigkeit w die kartesischen Geschwindigkeitskomponenten u(x,y) und v(x,y) der Strömung. c) Ermitteln Sie die Konstant(en) der verwendeten Elementarfunktion(en) so, daß ein Staupunkt bei (x s,y s ) = (0, a) liegt und die Geschwindigkeit im Koordinatenursprung v 0 beträgt. d) Skizzieren Sie (ohne weitere Rechnung) das Stromlinienbild. Hinweis: Gegeben sind die folgenden komplexen Potentialfunktionen: F(z) = (u iv )z Parallelströmung F(z) = ±E 2π F(z) = M 2πz F(z) = iγ 2π F(z) = αz 2 lnz Quelle/Senke Dipol lnz Potentialwirbel Staupunktströmung

4 4. Aufgabe (10 Punkte) Ein Kanal besteht aus zwei parallelen Wänden mit dem AbstandH und der LängeL. Er wird mit der Geschwindigkeit u angeströmt. Über den Kanalinnenseiten bilden sich Grenzschichten aus. L u ρ,η u (x) a H y x δ(x) a) Bestimmen Sie für den schon bekannten Verlauf der Grenzschicht- und Verdrängungsdicke δ,δ 1 den Verlauf u a (x) und den Druckgradienten dp in dem Kanal. dx b) Bestimmen Sie die Koeffizentena 0,a 1,a 2,a 3 in dem folgenden Ansatz für das Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht: u( y ) δ u a (x) = a y y 2 ( y ) 3 0 +a 1 2( δ δ) +a +a3 δ Im Folgenden wird angenommen, dass sich über den Kanalinnenseiten eine turbulente Grenzschicht ausbildet. c) Wie ändert sich der Grenzschichtdickenverlauf in x-richtung im Vergleich zur laminaren Grenzschicht? d) Welche Maßnahmen müssen ergriffen werden, damit sich der Grenzschichtdickenverlauf in x-richtung im Vergleich zur laminaren Grenzschicht nicht ändert? Gegeben:u,ρ,η,δ(x),δ 1 (x),h. Hinweis: Impulsgleichung für reibungsfreie Außenströmung: ρu a du a dx = dp dx

5 5. Aufgabe (8 Punkte) Ein Meteorit nähert sich mit konstanter Überschallgeschwindigkeit v und unter konstantem Winkelαder Erdoberfläche. Der Temperaturverlauf in der Erdatmosphäre sei linear: T(z) = T 0 k z, k = konst. v Meteorit α H z a) Geben Sie die Machzahl des Meteoriten als Funktion von z an. b) Ein in der HöheH erzeugtes Geräusch erreicht die Erdoberfläche in der Zeit t vor bzw. nach dem Aufschlag des Meteoriten. Berechnen Sie diese Zeit. c) Skizzieren Sie, in welcher Form sich eine Schallwelle ausbreitet, die in einer bestimmten Höhe ausgesendet wurde (Begründung). Skizzieren Sie den Bereich, in dem die Geräusche, die von dem Meteoriten ausgesendet wurden, zu einem bestimmten Zeitpunkt wahrgenommen werden können, für eine Flugbahn parallel und senkrecht zur Erdoberfläche. Gegeben:H,α,γ,R, k,t 0,v. Hinweis: Die Schallgeschwindigkeit c istc = γrt.

6 6. Aufgabe (8 Punkte) a) Wie stehen bei einer Modell-Hauptausführung eines Schiffes im Wasserkanal im Maßstab 1:9 die Geschwindigkeiten v M zu v H im Verhältnis, wenn man einerseits die Ähnlichkeit basierend auf der Froudezahl, andererseits basierend auf der Reynoldszahl einhalten will? b) Welche Elementarlösung der Potentialtheorie ist zur Beschreibung einer Seitenkraft notwendig? c) Darf sich die Öffnung eines in der Luftfahrt zur Staudruckmessung eingesetzten Prandtlrohrs innerhalb der Grenzschicht befinden? Begründen Sie Ihre Antwort! d) An dem abgebildeten laminar umströmten Tragflügel löst die Strömung auf der Oberseite an Position 3 ab. Skizzieren Sie jeweils an den Positionen 1 4 das Geschwindigkeitsprofil in einem lokalen Koordinatensystem. Übertragen Sie dazu untenstehende Skizze in Ihren Lösungsbogen! Antworten in der Aufgabenstellung werden nicht gewertet! u