Klausur Strömungsmechanik II inkompressibel: ϱ = konst = 0. x + v ρ ( u. y inkompressibel, stationär: u. y = 0

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1 Name, Matr.-Nr, Unterschrift Klausur Strömungsmechanik II Aufgabe a Vereinfachungen: stationär: t 0, inkompressibel: ϱ konst 2-dimensionales Problem: w 0, z 0, Druck in x-richtung konstant: p x 0 Konti: dρ dt u ausgebildet: x 0, ρ + ρ v 0 t + u ρ x + v ρ u + ρ x + v 0 inkompressibel, stationär: u x + v 0 Aus Konti folgt mit u x 0 v x-impuls: ρ u t + ρ y-impuls: ρ v t + ρ u u x + v u u v x + v v v x 0 0 v konst. 0, da vy 0 0 p x + τ xx x + τ xy p + τ yx x + τ yy Mit oben genannten Vereinfachungen, Konti und v 0: x-impuls: y-impuls: 0 τ xx x + τ xy 0 p + τ xy x + τ yy b Geschwindigkeitsverteilung: Einsetzen von τ xx, τ xy, τ yy ergibt τ xx 0, τ yy 0, τ xy η u mit u x 0: uy c 1 η y + c 2 x-impuls: 0 η 2 u 2, Randbedingung: uy 0 0 c 2 0 uy h u W c 1 u W η h uy u W h y Couette Strömung p y-impuls: 0

2 c zweidimensional ω x ω y 0 ω z 1 2 v x u u W 2h d Γ v d s s Ω ω nda A x0,yh xl,yh A v d s u W L ω z da h L u W 2 h 1 2 u W L 1 2 Γ

3 2. Aufgabe a Variablen des Systems: η, ρ, H, D, F W, f, u mit [ ] [ ] η kg, ρ kg, H [m], D [m], F W m s [ kg m s 2 m 3 ], f [ 1 s ] [ m ], u, s sieben Einflußgrössen, drei Grunddimensionen vier Kennzahlen wähle drei wiederkehrende Variablen, z.b.: ρ, u, D K 1 η u α 1 ρ β1 D 1 kg : β β 1 1 m : 1 + α 1 3β s : 1 α α 1 1 K 1 η ρu D 1 Re K 2 F W u α 2 ρ β2 D 2 kg : β β 2 1 m : 1 + α 2 3β s : 2 α α 2 2 K 2 F W ρu 2 D c 2 w K 3 H u α 3 ρ β3 D 3 kg : β β 3 0 m : 1 + α s : 0 α α 3 0 K 3 H D geometr. K 4 f u α 4 ρ β4 D 4 kg : β β 4 0 m : 0 + α 4 3β s : 1 α α 4 1 K 4 fd u Sr Alternativ: Variablen [ ] des Systems: η, ρ, H, D, F W, f, u, T, R mit zusätzlich zu oben T [K], R m 2 s 2 K

4 neun Einflußgrössen, vier Grunddimensionen fünf Kennzahlen wähle vier wiederkehrende Variablen, z.b.: ρ, u, D, T Die ersten vier Kennzahlen sind unverändert zu oben [K] kommt nur in T und R vor, also nur noch zusätzliche Kennzahl K 5 bestimmen: K 5 R u α 5 ρ β5 D 5 T δ 5 kg : β β 5 0 m : 2 + α 5 3β s : 2 α α 5 2 T : δ 5 0 δ 5 1 K 5 RT RT 1 u 2 u 2 M 2 b Re Real Re Modell u Modell u Real η Modell η Real ρ Real ρ Modell D Real D Modell TModell T Real 1,72 D Real D Modell mit η Modell η Real 0,72 TModell T Real und ideales Gas p ρ RT p Real. ρ Real ρ Modell T Modell T Real, da R Real R Modell und p Modell Sr Real Sr Modell f Modell D Real u Modell f Real D Modell u Real 100 1,72 TModell T 0 DReal 2 1,72 TModell D Modell T Real c Voraussetzung: M Modell 0.3 u Modell M Modell u Modell u Real RModell T Modell u Real RModell T Modell 1,72 TModell u Real 10 0, 3 RReal T Modell T 0 u Real,max 0, 03 T0 T Modell 1,72 RRealT Modell

5 3. Aufgabe a F z setzt sich aus zwei Potentialwirbeln und zwei Senken zusammen: F z iγ 2π ln z E 2π Γ > 0, E > 0 iγ ln z 2π lnz k E lnz k 2π b Wirbel gleicher Stärke und gleichen Drehsinns: Es existiert ein Staupunkt auf der Verbindungslinie zwischen beiden Wirbeln, d.h. bei x k 2 Symmetrie. c Skizze: Staupunktstromlinien sind dick gezeichnet SP d Beitrag von Wirbelsturm 1 zum Strömungsfeld: F 1 z iγ 2π ln z E 2π ln z w 1 u 1 iv 1 df 1 dz iγ + E 2π x iy x 2 + y 2 u ind,1 2 u 1 x k, y 0 E 2π x x 2 + y 2 xk,y0 Γy 2πx 2 + y 2 xk,y0 E 2πk < 0 Wirbelsturm 1 induziert im Zentrum von Wirbelsturm 2 eine Geschwindigkeit in negative x-richtung. Umgekehrt induziert Wirbelsturm 2 im Zentrum von Sturm 1 eine Geschwindigkeit in positive x-richtung. Der Abstand der Wirbelstürme wird also aufgrund der Senken kleiner. e Zirkulation von Wirbelsturm 1 wird erhöht. Betrachte zunächst Geschwindigkeitsbeiträge der beiden Wirbel: Umfangsgeschwindigkeit von Wirbel 1 wird erhöht Höhere Umfangsgeschwindigkeit von Wirbel 2 wird benötigt, um Beitrag von Wirbel 1 auszugleichen

6 Staupunkt verschiebt sich in Richtung von Wirbel 2, da näher an dessen Zentrum höhere Umfangsgeschwindigkeiten herrschen. Betrachte nun Geschwindigkeitsbeiträge der beiden Quellen: Näher am Zentrum von Sturm 2 werden durch Senke 2 höhere radiale Geschwindigkeiten in Richtung 2 als durch Senke 1 in Richtung 1 induziert Konti. Also kann der Staupunkt nicht auf der x-achse liegen, sondern muss sich zusätzlich in y-richtung verschieben. Der Staupunkt muss nach oben pos. y-richtung wandern, da hier die Geschwindigkeitsbeiträge der beiden Wirbel eine Komponente in Richtung Sturm 1 haben.

7 4. Aufgabe a Randbedingungen: i y 0 u 0 Haftbedingung ii y δ u u a Grenzschichtrand iii y 0 : Wandbindung aus x-impulsgleichung für y 0: vy 0 u 1 p y0 ρ x + η 2 u ρ 2 y0 mit vy 0 V p und L B x V u L B η 2 u y0 ρ 2 y0 0 ebene Platte ohne Druckgradient folgt: b Koeffizienten: Aus i folgt: a 0 0 Aus ii folgt: a 1 + a 2 1 Aus iii folgt mit u a 1 u a y0 δ und 2 u 2 2a 2u a : y0 δ 2 V L B a 1 u a δ 2η ρ a 2 u a δ 2 a 2 V ρ δ 2 L B η a 1 1 a 1 V ρ δ 2 L B η a 1 1 a 1, a 1 V 2 1 a 1 1 ρ δ 2 L B η u 1 y y 2 u a 1 V ρ δ δ 1 V ρ δ δ 2 L B η 2 L B η c Ablöseprofil an Ablösestelle x ab für gegebenes Profil: Randbedingungen i und ii immer noch gültig a 0 0, a 1 + a 2 1 Randbedingung iii jetzt Ablösebedingung: τy 0 0 u 0 y0 a 1 0 und damit: a 2 1 a 1 1 y Geschwindigkeitsprofil: u u a x ab δx ab V ρ δ 2 L B η

8 5. Aufgabe a ṁ ρ e u e A e ρ e ρ 0 ρ 0 u e A e Isentropenbeziehung: ρ e ρ 0 pe 1 Energieerhaltung: u2 e 2 + h e h 0 u2 e 2 + c pt c p T 0 mit c p R 1 : u2 e 2 + c2 e 1 c p mit c2 RT T c 2 0 RT 0 T 0 u e 2c pe : mit idealem Gasgesetz: ρ 0 RT 0 1 pe ṁp e 2 1 RT0 1 Kritischer Zustand: p damit p e p K. ṁ 0, RT RT 0 1 pe u 2 e 2c A e pe 1 1 c2 e c , d.h. für pk 0.7 unterkritisch und 1 0, 7 1 A e b Erläuterung Skizze: ṁ Für p K < : konst. ṁp e p ρ 0 c 0 A e ρ 0 c 0 A e Für p K : ρ ρ 0 und Bernoulli u e ṁ 1 p K ρ 0 c 0 A e. mp p * e c A ρ 0 0 e. m/ ρ 0 a 0 A e 2 ρ p K ~ 1-p / p K 0 p /.528 * 0 1 p / p K 0

9 6. Aufgabe a Nein. Die Öffnung des Pitot-Rohrs muss deutlich aus der Grenzschicht herausragen, damit der Staudruckin der reibungsfrei zu betrachtenden Strömung bestimmt werden kann. Denn der statische Druck ist zwar normal zur Körperoberfläche konstant, der Staudruck ist aber in der Grenzschicht aufgrund der niedrigeren Geschwindigkeiten gegenüber der Außenströmung reduziert. b Skizze: ub - u A Δt α b M B tan α u B RT α arcsin RT u B b u B u A t t u B u A tan b RT arcsin u B c Kuttasche Abströmbedingung: Die scharfe Hinterkante eines Tragflügels wird nicht umströmt, sondern die Strömung fließt dort glatt ab. D.h. in einer Strömung über einen zweidimensionalen Körper mit einer scharfen Hinterkante baut sich eine Zirkulation auf, die gerade so groß ist, dass der hintere Staupunkt auf der Hinterkante liegt. Potentialströmung: Falls nicht zusätzlich Zirkulation z.b. durch Überlagerung mit Potentialwirbeln in die Potentialströmung eingebracht wird, liegt der Staupunkt bei einer nichtsymmetrischen oder positiv angestellten Geometrie nicht auf der Hinterkante, sondern auf der Oberseite des Profils. D.h. das Fluid strömt um die scharfe Hinterkante herum. d c ändert sich nicht. Begründung: Da T 01 T 02 und T ft 0, folgt mit c RT dass c konst. über den Verdichtungsstoß gilt. e δ L 1 ReL δ 1 δ 2 L1 L 2