5.Übung Strömungslehre für die Mechatronik

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1 5.Übung Strömungslehre für die Mechatronik Prof. Dr.-Ing Peter Pelz Dipl.-Ing. Thomas edar 14. Juli 29 Inhaltsverzeichnis 1 Drallsatz Aufgabe 1: Moment auf einen geschlitzten Rohrwinkel Impuls- und Drallsatz im beschleunigten ezugssystem Schubumkehr Anwendungsbeispiele aus dem Turbomaschinenbau Zirkulation um einen Flügel im Kreisgitter Kaplanturbine Drallsatz 1.1 Aufgabe 1: Moment auf einen geschlitzten Rohrwinkel Ein abgewinkeltes, dünnes Rohr (Abbildung 1) wird in der skizzierten Lage gehalten. Im waagrechten Teil des Rohres bendet sich ein Schlitz der reite b und der Länge 6x, aus dem horizontal Wasser der Dichte ρ austritt. Die Wassergeschwindigkeit hängt linear von x 1 ab. Reibungsspannungen auf den Strömungsquerschnitten können vernachlässigt werden. 1. estimmen Sie das Drehmoment in x 3 -Richtung in Abhängigkeit von U max, das von dem austretenden Wasser auf das Rohr ausgeübt wird 2. Es tritt der Volumenstrom aus. Wie groÿ ist die Maximalgeschwindigkeit des austretenden Wassers? Gegeben: b, x,, ρ, p 1

2 Abbildung 1: Ausströmung aus geschlitztem Winkelrohr Lösung 1) Die Strömung ist stationär, Volumenkräfte liefern keinen eitrag zum Drehmoment in x 3 -Richtung auf das Rohr. Es wird der in der Vorlesung eingeführte Drallsatz verwendet, die Komponente in x 3 -Richtung wird durch Multiplikation mit e 3 gebildet: Abbildung 2: Kontrollvolumen am geschlitztem Winkelrohr ρ e 3 ( x u) ( u n) ds = M F l e 3 (1) M F l ist das Moment, welches auf das im Kontrollvolumen bendliche Fluid ausgeübt wird. Das gewählte Kontrollvolumen umschlieÿt das abgewinkelte Rohr und schneidet es in den Flächen S e und S R (siehe auch Abbildung 2). S R ist dabei die Ringäche der geschnittenen 2

3 Rohrwand, S e die durchströmte Fläche. An den Wänden S W und S R ist u n =, sodaÿ für den Drallsatz folgt: S e ρ e 3 ( x u) ( u n) ds + ρ e 3 ( x u) ( u n) ds = M F l e 3 (2) Im folgenden werden die Integrale einzeln ausgewertet. Für die Fläche S e ergibt sich Für die Fläche ergibt sich entsprechend: sowie u n = u 2. e 3 ( x u) = e 3 (x 2 u 3 e 1 x 1 u 3 e 2 ) = (3) e 3 ( x u) = e 3 (x 3 u 2 e 1 x 1 u 2 e 3 ) = x 1 u 2 (4) Für die Geschwindigkeit u 2 erhält man folgende lineare Gleichung: Damit ergibt sich für den Drall über die Oberäche : ρ e 3 ( x u) ( u n) ds = ρ ( u 2 x 1 )(u 2 ) ds u 2 (x 1 ) = U max 6x (8x x 1 ) (5) = ρ U max 2 36x b/2 b/2 8x 2x x 1 (8x x 1 ) 2 dx 1 dx 3 (6) = 7ρ b U 2 max x 2 Die erechnung des Momentes auf das Fluid kann mit folgenden Überlegungen erfolgen: Auf die Fläche + S W wirkt der Druck p gleichmässig von allen Seiten, daher kann er kein Moment auf das Fluid ausüben. Für die Fläche S e lässt sich das Moment angeben zu: M = x F = (x 3 e 3 ) ( p e S e e 3 ) = (7) Somit bleibt nur noch das Moment auf die Fläche S R, es ist das Reaktionsmoment zum gesuchten Moment welches die Flüssigkeit auf das Rohr ausübt: M SR = M Rohr = M F l = ρ e 3 ( x u) ( u n) ds = 7ρ b Umax 2 x 2 (8) 2) Der Volumenstrom über die Oberäche berechnet sich zu = u n ds (9) 3

4 was mit gegebenem u n = u 2 und gegebenem auf = b U max 8x x 1 dx 1 = 3b U max x (1) 6x führt, womit sich die maximale Geschwindigkeit zu ergibt. U max = 3b x (11) 2 Impuls- und Drallsatz im beschleunigten ezugssystem 2.1 Schubumkehr Abbildung 3: Schubumkehr am ugzeug Nach dem Aufsetzen werden bei dem in Abbildung 3 skizzierten Flugzeug (Masse m ges ) zwei Schilde hinter dem Strahltriebwerk ausgefahren, die den austretenden Strahl (Unterschallstrahl) in zwei Teilstrahle aufteilen und diese um den Winkel π β umlenken. Dadurch erfährt das Flugzeug eine Verzögerung a = a e x. Volumenkräfte und Reibungsspannungen auf der Aussenhaut können vernachlässigt werden. Der in das Triebwerk eintretende Impuls kann vernachlässigt werden, nicht jedoch die eintretende Masse. 1. erechnen Sie die Verzögerung a Gegeben: m ges, ρ a, w a, A a, β Lösung Es wird das in Abbildung 4 gezeichnete ugzeugfeste Koordinatensystem eingeführt. 4

5 Abbildung 4: Kontrollvolumen um das Flugzeug Die Änderung des Impulses ist im Inertialsystem gegeben durch D I Dt = F. (12) Mit der aus der Vorlesung ( ) bekannten allgemeinen Identität [ D ] [ b D = ] b + Ω Dt Dt b (13) I folgt daraus nach Anwendung des Reynoldschen Transporttheorems der Impulssatz im beschleunigten Koordinatensystem für Ω = : [ DI ] [ DI = ] = ρ c dv + ρ c ( w n)ds = F Dt Dt t (14) I Für die eschleunigung a = a e x wird nur die x-komponente des Impulssatzes benötigt: ρ c e x dv + ρ ( c e x ) ( w n)ds = F t e x (15) Die Kraft die auf das Kontrollvolumen wirkt ist der Umgebungsdruck p, der auf die Oberäche des KV wirkt. Da der Druck p auf allen Seiten des KV gleich ist, heben sich die Kräfte gegenseitig auf: F =. Die Absolutgeschwindigkeit c lässt sich schreiben als die Summe aus Relativgeschwindigkeit w und der Führungsgeschwindigkeit v: c = w + v. Damit ergibt sich aus dem 5

6 Impulssatz: ρ w e x dv t + t + ρ v e x dv + ρ ( w e x ) ( w n)ds + ρ ( v e x ) ( w n)ds = (16) Die Strömung im ugzeugfesten System ist stationär, daher ist w/ t =. Da v in jedem Punkt des Kontrollvolumens gleich groÿ ist kann es vor die Integrale gezogen werden. Nach Anwendung der Kettenregel verbleibt für den Impulssatz: v t e x Die Integrale ρ dv + v e x v e x ρ t dv + v e x = v e x ρ t dv + ρ( w n)ds + ρ t dv + v e x + ρ ( w e x ) ( w n)ds = (17) ρ( w n)ds ρ( w n)ds = } {{ } Kontinuitaetsgleichung entsprechen der Kontinuitätsgleichung und sind bekanntermaÿen identisch Mit den ezeichnungen v t e x = a und lässt sich schreiben: a m ges = ρ ( w S e S W (18) ρ dv = m ges (19) ρ ( w e x ) ( w n) ds (2) Die Wand S W kann nicht durchströmt werden, sodaÿ w n = ist. Weiterhin kann der eintretende Impuls vernachlässigt werden (S e ). Damit verbleibt: a m ges = ρ ( w e x ) ( w n) ds, (21) was mit w e x = w a cos β und w n = w a auf die gesuchte eschleunigung a führt: a = ρ a w 2 a cos β A a m ges (22) 6

7 Abbildung 5: Kreisförmiges Flügelgitter 3 Anwendungsbeispiele aus dem Turbomaschinenbau 3.1 Zirkulation um einen Flügel im Kreisgitter Für das in Abbildung 5 dargestellte Flügelgitter sind die An- und Abströmverhältnisse bekannt, ferner das Drehmoment, das von der Flüssigkeit auf das Gitter ausgeübt wird. 1. estimmen Sie das Moment, dass von der Flüssigkeit auf das Gitter ausgeübt wird in Abhängigkeit von der Zirkulation 2. Wie groÿ ist die Zirkulation um einen Flügel bei n Flügeln und wie lautet der Zusammenhang zwischen dieser Zirkulation und dem Moment? Lösung 1) Das Moment auf die Flüssigkeit lässt sich mit Hilfe der Eulerschen Turbinengleichung (Vorlesung vom ) berechnen: M z = ṁ (r 2 u u2 r 1 c u1 ) (23) Die Zirkulation ist allgemein gegeben durch: Γ = c d x (24) C Für den Kreis ergibt sich d x zu rdϕ e ϕ, die Geschwindigkeit ist gegeben durch c = c re e r + 7

8 c ue e ϕ. Damit ergibt sich für die Zirkulation am Eintritt e und am Austritt a: 2π 2π Γ e = (c re e r + c ue e ϕ ) (r dϕ e ϕ ) = r c ue dϕ = 2π r e c ue 2π 2π Γ a = (c ra e r + c ua e ϕ ) (r dϕ e ϕ ) = r c ua dϕ = 2π r a c ua (25) Eingesetzt in Gleichung 23 ergibt sich damit: 2) M z = ṁ 2π (Γ a Γ e ) (26) Abbildung 6: Flügel des Kreisgitters etrachtet man sich ein Gittersegment des Flügelgitters (Abbildung 6), so kann man das Flügelgitter periodisch aus Einzelsegmenten aufbauen. Die erechnung der Zirkulation erfolgt mit dem Kurvenintegral über die eingezeichnete Kurve: Γ F luegel = c d x (27) F luegel Dieses Integral wird zur erechnung in Teilintegrale aufgespalten: Γ F luegel = b c d x + c c d x + d c d x + a c d x (28) a b c d Aufgrund der Periodizität des Gitters heben sich die Integrale über die Seiten 2 (b-c) und 4 (d-a) in der Summe auf. Für die verbleibenden beiden Integrale ergibt sich (mit n für 8

9 die Anzahl der Flügel): b a c d x = d c b a c d x = (c re e r + c ue e ϕ ) (r e dϕ ( e ϕ )) = r e c ue ϕ b a = r e c ue α = r e c ue 2π n b a (c ra e r + c ua e ϕ ) (r a dϕ e ϕ ) = r a c ua ϕ d c = r a c ua α = r a c ua 2π n (29) Damit ergibt sich für die Zirkulation um einen Flügel: was mit Gleichung 23 unmittelbar auf Γ F luegel = 2π n (r ac ua r e c ue ) (3) führt Γ F luegel = 2 π M z n ṁ (31) 3.2 Kaplanturbine Die in Abbildung 7 skizzierte Turbine besteht aus einem mit dem Gehäuse verbundenen Leitrad und einem rotierenden Laufrad. Sie wird von Flüssigkeit konstanter Dichte ρ mit dem Volumenstrom durchströmt. Das Laufrad der Turbine dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit Ω und es wird die Leistung P T abgenommen. Die Zuströmung am Leitrad [1] erfolgt rein radial (α 1 = ). Die Flüssigkeit verlässt das Leitrad an der Stlle [2] mit der Geschwindigkeit c 2 und dem Winkel α 2 zur Radialrichtung. Die Reibungsspannungen zwischen den Stellen [2] und [3] können vernachlässigt werden. Im laufradfesten System erfolgt die Anströmung des Laufrades [3] tangential zur Schaufelvorderkante. Die Strömung am Laufradaustritt [4] ist drallfrei und im Relativsystem ebenfalls tangential zur Schaufel. An den Ein- und Austrittsächen des Leit- und Laufrades können diegeschwindigkeitsverteilungen als homogen angesehen werden, sodaÿ die Reibungsspannungen zu vernachlässigen sind. Da die Schaufelhöhe h sehr viel kleiner als der mittlere Schaufelradius R L des Laufrades ist, kann die erechnung der Strömungsgröÿen an den Stellen [3] und [4] mit dem mittleren Radius R L erfolgen. 1. Wie groÿ ist die Geschindigkeit c 1 am Leitradeintritt [1]? 2. bestimmen Sie die Komponente c r2 und c u2 der Geschwindigkeit c 2 am Leitradaustritt [2] 3. estimmen Sie die Umfangsgeschwindigkeit c u3 an der Stelle [3] 9

10 Abbildung 7: Kaplanturbine 4. Wie groÿ ist die axiale Geschwindigkeitskomponente c Ω3? 5. estimmen Sie die abgenommene Turbinenleistung P T 6. estimmen Sie die Schaufelwinkel β 3 und β 4 des Laufrades. Gegeben:, ρ, Ω, H, h, R i, R a, R L, α 2 Lösung 1) Die Zuströmung ist laut Aufgabenstellung rein Radial, damit hat die Geschwindigkeit c nur eine radiale Komponente: c = c r1 e r. Der Volumenstrom für einströmendes Fluid ist deniert über = c n ds (32) S e Mit dem Normalenvektor n = e r folgt damit: = 2π H c r1 e r e r ds = c r1 R a dω dϕ = 2π R a H c r1 (33) S e 1

11 was auf die Geschwindigkeit c 1 führt: c 1 = 2π R a H e r (34) 2) Die radiale Komponente c r2 der Geschwindigkeit c 2 ergibt sich ebenfalls über den Volumenstrom. Dieser ist für ausströmendes Fluid deniert über = c n ds (35) Mit dem Normalenvektor n = e r auf S e folgt damit für den Volumenstrom: = c r2 e r e r ds = 2π H ( c r1 )R i dω dϕ = 2π R i H c r2 (36) womit sich c r2 über den Volumenstrom ausdrücken lässt: c r2 = (37) 2π R i H Abbildung 8: Geschwindigkeitsdreieck am Leitradaustritt Die Komponente c u2 von c 2 lässt sich über das in Abbildung 8 dargestellte Geschwindigkeitsdreieck berechnen: c u2 c r2 = tan α 2 (38) was mit bereits berechnetem c r2 auf die Umfangskomponente c u2 führt: 3) c u2 = 2π R i H tan α 2 (39) Im ereich zwischen den Stellen [2] und [3] können die Reibungsspannungen vernachlässigt werden (Aufgabenstellung). Da weiterhin auch keine Schaufeln vorhanden sind wird auf das Fluid kein Drall übertragen, der Drall bleibt erhalten, was sich über die Eulersche Turbinengleichung mit den ezeichungen aus der Skizze darstellen lässt durch: = R L c u3 R i c u2 (4) 11

12 (zu beachten: mit Eintritt und Austritt sind diejenigen Flächen des Volumens zwischen den Stellen [2] und [3] bezeichnet welches das Fluid durchströmt). Umgestellt ergibt sich damit die Komponente c u3 zu: 4) c u3 = c u2 R i R L = 2π R L H tan α 2 (41) Analog zur erechung der Komponenten c r2 lässt sich die Komponente c Ω3 wieder über die Denition des Volumenstromes berechnen. Mit dem Normalenvektor n = e Ω eribt sich was auf führt. 5) = S e (c Ω3 e Ω + c u3 e u3 ) e Ω ds = c Ω3 = 2π R L h Die Leistung P des Laufrades ist deniert durch 2π h = 2π R L h c Ω3 R L c Ω3 dr dϕ (42) (43) P = Ω M (44) die, da sie der Flüssigkeit entzogen wird, negativ ist. Somit lautet die Turbinenleistung: P T = P = Ω M = Ω e Ω ṁ(r e c ue r a r ua ) e Ω (45) Die Abströmung ist laut Aufgabenstellung drallfrei, damit ergibt sich mit c ua = c u4 =, r e = R L und c ue = c u3 für die Turbinenleistung: 6) P T = Ω ṁ R L c u3 = Ω ρ R L = ρ Ω 2 2 π H tan α 2 2 π R L H tan α 2 Ausgehend von Abbildung 8 lässt sich das in Abbildung 9 dargestellte Geschwindigkeitsdreieck ableiten. Über die Geometrie der Geschwindigkeitsdreiecke ergibt sich: (46) w u3 w Ω3 = tan β 3 (47) sowie w Ω3 = c Ω3 Mit dem Zusammenhang w = c u folgt für die Komponente w u3 = c u3 Ω R L, was mit bereits berechnetem c u3 auf tan β 3 = c u3 Ω R L = h c Ω3 H tan α 2 2 π Ω R2 L h (48) 12

13 Abbildung 9: Geschwindigkeitsdreiecke an der Turbinenschaufel führt. Für den Winkel β 4 erhält man aus dem Geschwindigkeitsdreieck tan β 4 = Mittels der Kontinuitätsgleichung (c Ω4 = c Ω4 ) folgt u c Ω4 mit u = Ω R L (49) tan β 4 = 2 π Ω R2 L h (5) 13