Grundlagen der Numerischen Thermouiddynamik CFD 1

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1 Grundlagen der Numerischen Thermouiddynamik CFD 1 Skriptum zur Vorlesung Dr. J. Sesterhenn Fachgebiet Numerische Fluiddynamik Technische Universität Berlin Wintersemester 2009/2010

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Grundgleichungen Transporttheorem Erhaltung von Masse, Impuls und Energie Satz von Gauÿ Massenerhalt Impulserhalt Energieerhalt Stogesetze Grundgleichungen zur Anwendung in der Aeroakustik 9

4 iv INHALTSVERZEICHNIS

5 Kapitel 1 Grundgleichungen 1.1 Transporttheorem Strömungsfeld u i n i ds u i n i (t+ t) ds u i n i. t u i(x i,t) (t) mitbewegtes Volumen, Masseninhalt konstant d (t+ t) Abbildung 1.1: Mitbewegtes Fluidvolumen mit konstanter Masse (Fluidteilchen) Betrachtet wird das Integral I = ϕd einer beliebigen Gröÿe ϕ, welches gebildet wird über das in Abb. 1.1 gezeigte Fluidvolumen. Dieses Volumen werde mit der Strömung fortbewegt, so, daÿ keine Masse durch die Ränder tritt. Nun interessiert man sich für die Ableitung dieses Integrals

6 2 Grundgleichungen I nach der Zeit, di dt = d dt Die Ableitung entspricht dem Grenzwert = lim = lim t 0 t 0 ϕd. di dt = lim 1 (I(t + t) I(t)) = t 0 t (t+ t) ϕ(t + t, x i )d ϕ(t + t, x i ) ϕ(t, x i ) d + lim t t 0 ϕ(t, x i )d 1 t = (t+ t)\ Die Teilausdrücke werden dann zu: ϕ(t + t, x i ) ϕ(t, x i ) lim d = t 0 t und lim t 0 (t+ t)\ ϕ(t + t, x i ) d = t ϕ(t + t, x i ) d. t ϕ t d ϕ(t, x i )u i n i tds. t Dabei wurde der zweite Term (das Integral über die Dierenz zwischen den beiden Volumina (t + t) und ) in ein Oberächenintegral über die gesamte Berandung des Volumens umgewandelt. Abb. 1.1 zeigt, wie das Produkt von Normalenvektor n i und Geschwindigkeitsvektor u i sowie der Zeit t den Abstand zwischen den beiden Oberächen ergibt. Das Transporttheorem lautet dann: di dt = ϕ t d + ϕ u i n i ds (1.1) Zu dieser Gleichung 1.1 sind wir gelangt, ohne vorauszusetzen, daÿ die betrachtete Gröÿe ϕ im Raum stetig sei (in der Zeit aber schon; ϕ soll sich zeitlich kontinuierlich ändern können). Dies bedeutet, daÿ die Dierenzierbarkeit von ϕ bzgl. x i hier noch nicht vorausgesetzt wurde. Damit ist diese (integrale) Form der Erhaltungssätze (für geeignete ϕ die Erhaltungssätze für Masse, Impuls, Energie) allgemeiner als die dierentielle Form (siehe weiter unten) und läÿt auch Unstetigkeiten wie Verdichtungsstöÿe zu. Die Finite-Volumen-Diskretisierung (siehe Abb. 1.2) besitzt als Ausgangspunkt diese integralen Erhaltungssätze. Das Fluidvolumen wird durch ein Gitter in kleine Volumina ω unterteilt, über die bei den Finite-Volumen-Verfahren die

7 1 Grundgleichungen 3 FV FD ω Abbildung 1.2: Finite-Volumen-Diskretisierung (links), Finite-Dierenzen- Diskretisierung (rechts) Integrale aus 1.1 gebildet werden. Hierbei tritt in der Aeroakustik wegen der dort sehr kleinen Störungen (z.b. im Druck p, siehe weiter unten) ein Problem beim Auswerten dieser in den integralen Erhaltungssätzen enthaltenen Bilanzen auf. Dagegen ist das Vorgehen bei der Finite-Dierenzen-Methode anders: Die dierentiellen Gleichungen werden benutzt (siehe unten), und die auftretenden partiellen Ableitungen durch Dierenzen der Werte an den Gitterpunkten dargestellt. 1.2 Erhaltung von Masse, Impuls und Energie Die Erhaltung von Impuls und Energie wird hier ohne Berücksichtigung äuÿerer auf das Volumen bzw. die Masse wirkender Kräfte (z.b. Gravitation) betrachtet Satz von Gauÿ u i n i ds = u i d heiÿt der Satz von Gauÿ mit dem nach auÿen gerichteten Normalenvektor n i der Oberäche, und dem Oberächenelement ds. Das Transporttheorem schreibt sich dann ( di ϕ dt = t + (ϕu ) i) d. (1.2) x i

8 4 Grundgleichungen Gradiententheorem z.b. für den Druck p, siehe auch unten: pn i ds = pδ ij n j ds Massenerhalt Es wird ϕ = ρ gesetzt. Der Erhaltungssatz für die Masse lautet ρ t d + ρu i n i ds = 0. Die rechte Seite dieser Gleichung ist Null, wenn keine Massenquellen vorhanden sind (Bei Strömungen mit chemischer Reaktion, z.b. Verbrennung, sind z.b. in der Massenbilanz einer Spezies Quellterme vorhanden). Man hat dann unter Benutzung des Satzes von Gauÿ: ( ρ t + (ρu i) x i ) d = 0, und nachdem diese Gleichung für alle Fluidvolumina gelten muÿ, muÿ der Ausdruck unter dem Integral Null werden, und man erhält die partielle Dierentialgleichung ρ t + (ρu i) = 0. (1.3) (Hierfür wird aber die Dierenzierbarkeit von ϕ bzw ρ gebraucht.) Diese Gleichung ist der Ausgangspunkt für die Finite-Dierenzen-Verfahren. Der zweite Term in Gleichung 1.3 ist ein Divergenzterm, der Ein- und Ausuÿ über die Grenze des (Kontroll-)Volumens beschreibt Impulserhalt Ableitung der Dierentialgleichungen Nun nimmt man ϕ = ρ u j. Sodann: (ρu j ) d + ρu j u i n i ds = F j, t wobei die rechte Seite die Summe der angreifenden Kräfte darstellt. Für die Euler-Gleichungen (reibungs- und wärmeleitungsfrei): Fj = pn j ds, d.h. nur Druckkräfte sind hier vorhanden (und wirken entlang der negativen Richtung der Oberächennormalen).

9 1 Grundgleichungen 5 Für die Navier-Stokes-Gleichungen (mit Reibung und Wärmeleitung): Fj = ( pn j + n i τ ij )ds Dabei ist τ ij deniert zu τ ij = 2µS ij + (µ d 2 3 µ)s kkδ ij, wobei S ij den Deformationstensor bezeichnet (siehe nächster Abschnitt). Das Gradiententheorem liefert (pδ ij ) p pδ ij n j ds = d = d. Somit erhält man für den Euler -Fall die folgende partielle Dierentialgleichung (DGL in konservativer Form) : (ρu j ) t + (ρu iu j ) = p, (1.4) und für den Fall der Navier-Stokes-Gleichungen (DGL in konservativer Form): (ρu j ) t + (ρu iu j ) = p + τ ij, (1.5) Entstehung von Oberächenkräften durch Reibung Die Annahme eines reibungsfreien Fluides ist oft nicht realistisch. Ein einfacher Schleppversuch zweier ebener Platten, wie in Abb. 1.3 dargestellt, zeigt, daÿ mit guter Näherung die innere Reibung eines Fluids proportional zum Geschwindigkeitsgradienten angenommen werden kann: τ u y. Im folgenden soll dieser Ansatz für einen allgemeinen Strömungszustand hergeleitet werden: An zwei benachbarten Punkten unterscheiden sich die Geschwindigkeiten u i um ũ i u i = u i dx j, (1.6) dies bedeutet z.b. du = u u u xdx + y dy + z dz. Dabei bezeichnet man u i als den Geschwindigkeitsgradiententensor. Wie jeder Tensor zweiter Stufe kann er in einen symmetrischen und einen schiefsymmetrischen Teil aufgespalten werden. u i = 1 2 ( ui + u j ) + 1 ( ui u ) j = S ij + r ij (1.7) 2

10 6 Grundgleichungen y u u(y) u = 0 x Abbildung 1.3: Fluid zwischen zwei relativ zueinander in Längsbewegung bendlichen ebenen Wänden q Wärmestrom pn Oberflächen kräfte Volumen / Massenkräfte dv f n u σ σ= τ. n Abbildung 1.4: Schematische Skizze eines Fluidteilchens und die angreifenden Oberächen- und Volumenkräfte sowie der übergehende Wärmestrom

11 1 Grundgleichungen 7 Es gilt S ij = S ji (1.8) r ij = r ji. (1.9) Für den Abstandsvektor dr (nach der Zeit dt : dr ) zweier mit dem Fluid mitbewegter Punkte P 1 und P 2 gilt ( dr i = dr i + (ũ i u i ) dt = dr i + dr j u ) i dt. (1.10) Die Änderung des Abstandsquadrates beträgt ( = (dr ) 2 (dr) 2 = dr i + dr j u ) 2 i dt (dr i ) 2 = (1.11) = 2 dr i dr j u ( i dt + dr j u ) 2 i dt, (1.12) wobei ( dr j u ) 2 i dt 0. Damit gilt = 2 dr j dr i (S ij + r ij )dt. (1.13) Es ist aber und damit erhalten wir dr j dr i r ij = 1 2 [dr jdr i r ij + dr j dr i r ij ] = (1.14) = 1 2 [dr jdr i r ij dr j dr i r ji ] = 0, (1.15) = 2 dr j dr i S ij. (1.16) Wenn S ij verschwindet, so ändert sich der Abstand zweier im Fluid mitbewegter Punkte nicht! S ij bezeichnet man deshalb als Deformationstensor. Für dr gilt in diesem Spezialfall Mit der Denition des Wirbelvektors, dr i = dr i + dr j r ij dt. (1.17) ω i = ε ijk u k (1.18) - was sich symbolisch in der Form ω = rot u schreibt - und mit dem Einheitstensor dritter Stufe ε ijk, für den gilt 1 wenn ijk eine zyklische Permutation von 123 ist ε ijk = 0 für mindestens zwei gleiche Indizes, 1 wenn ijk eine zyklische Permutation von 321 ist

12 8 Grundgleichungen läÿt sich r ij als r ij = 1 2 ε jikω k (1.19) darstellen. Für S ij = 0 ist die Bewegung der Punkte P 1 und P 2 also als reine Translation und Rotation darstellbar. r ij bezeichnet man daher als Rotationstensor. Nun wird ein allgemeiner Ausdruck für den Tensor τ ij gesucht. Für reine Translationen und Rotationen soll keine äuÿere Kraft auf das Fluidelement wirken, d.h., τ ij hängt nur von S ij ab. τ ij 0 für S ij 0. Das Medium ist isotrop. Aufgrund der ersten Aussage ist τ ij homogen. Der allgemeinste lineare homogene Ansatz lautet τ ij = 2µS ij + (µ d 2 3 µ)s kkδ ij (1.20) Energieerhalt Sei nun ϕ = ρ e, wobei e die totale spezische Energie sein soll: e = ε+ 1 2 u iu i mit der spezischen inneren Energie ε. Die Erhaltungsgleichung (Erhaltungsform) lautet: (ρe) t + ρe u i n i ds = ( pu i n i + τ ij u i n j q i n i )ds, wobei die Wärmeleitung beschrieben werden kann durch das Fouriersche Gesetz q i = λ T. (Meist wird bei der Modellierung des Wärmestroms nur die Wärmeleitung berücksichtigt, bei Stogemischen kommt noch ein Wärmetransport durch unterschiedliche Diusionskonstanten hinzu.) Diese Gleichung besagt: Die Energie eines Fluidteilchens ändert sich durch Wärmeleitung und durch die Arbeit der angreifenden Kräfte. In dierentieller Form (konservativ) kommt nach Umformung mit dem Gauÿschen Satz: (ρe) t + (ρeu i) = (pu i) + (u iτ ij ) (λ T ). (1.21)

13 1 Grundgleichungen Stogesetze Viskose Reibung Die dynamische Viskosität (Scherzähigkeit) wird relativ gut durch das Sutherland-Gesetz µ = T ( ) ref + S T 3/2 µ ref T + S (1.22) T ref beschrieben. Für Luft bei T ref = 273 K ist µ ref = 1, N ms und S = 122 K. Bei moderaten Temperaturänderungen wird auch ( ) µ T 0,7 = (1.23) µ ref T ref gebraucht. Für die Druckzähigkeit µ d verwendet man häug die sog. Stokessche Hypothese µ d = 0. (1.24) Bei mehratomigen Gasen und bei hohen Frequenzen ist dies im allgemeinen nicht gültig und µ d ist dann zu berücksichtigen. Wärmeleitung Die Wärmeleitfähigkeit λ verhält sich ähnlich wie die Scherzähigkeit, und die dimensionslose Prandtl-Zahl P r = µ c p λ (1.25) ist über weite Temperaturbereiche nahezu konstant. Recht gute Resultate liefert die Formel von Eucken: Für Luft ist P r 0, 7. P r = 4γ 9γ 5. (1.26) Grundgleichungen zur Anwendung in der Aeroakustik Die o.g. Impuls- und Energiegleichungen in integraler Form sind nicht so günstig für die Anwendung in der Aeroakustik: Dort wird mit kleinen Störungen des Druckes (durch den Schall) gerechnet, die hier betrachteten Gleichungen sind aber Bilanzen von Gröÿen etwa gleicher Gröÿenordnung. Beispiel: Sei eine rechteckige Zelle gegeben (z.b. Zelle einer Finite-Volumen- Diskretisierung), an deren einer Seite der Druck p, an der gegenüberliegenden der Druck p + δp herrscht. Die Summe der Druckkräfte ist dann (p + δp) p.

14 10 Grundgleichungen Der Rechner kenne nun nur z.b. 5 Nachkommastellen, den Rest einer Zahl schneidet er ab. Wenn nun beispielweise der Fall einer sehr kleinen Störung des Druckes eintritt, z.b. p = 1, δp = , dann p + δp. = 1, wenn. = ein numerisches erhaltenes Ergebnis bezeichnet. Dann wird auch (p+δp) p. = 0, und die Störung ist im Ergebnis verschwunden. Daher verwendet man in der Aeroakustik die Dierentialgleichungen und diskretisiert mit einem Finite-Dierenzen-Verfahren. Die integralen Bilanzgleichungen werden allerdings benötigt, wenn Verdichtungsstöÿe auftreten (die als Unstetigkeit aufgefaÿt werden). Beispiel: Man betrachte einen Düsenjet: Die kinetische Energie der aus seinen Triebwerken austretenden Luft ist um viele Gröÿenordnungen gröÿer als der Energieanteil, der sich im Schall, der von diesen Triebwerken ausgeht, bendet; die Leistung des Lärms eines startenden Düsenugzeugs wird einige wenige Watt betragen. Massengleichung Die Massengleichung war (Divergenz hier in zwei Terme aufgespalten) ρ t + u ρ i + ρ u i = 0; Dabei ist der dritte Term auf der linken Seite, ρ u i, ein Korrekturterm für die Kompressibilität des Fluids; mit der substantiellen Ableitung Dρ Dt = ρ t + ρ u i, die die Änderung beschreibt, die das mitbewegte Fluidteilchen auf seinem Weg erfährt, kommt in nichtkonservativer Form 1 ρ Dρ Dt = u i. (1.27) Dabei ist die Divergenz (rechte Seite) Null, wenn der inkompressible Fall behandelt wird. Diese Gleichung sagt aus: Die (negative) Divergenz der Geschwindigkeit entspricht der relativen Volumenänderung entlang des Weges des Fluidteilchens (linke Seite). In der Aeroakustik wird somit der Unterschied des Dilatationsterms von Null betrachtet. Beispielsweise kann die Luft im Hörsaal als inkompressibel angesehen werden, die Strömungsgeschwindigkeiten sind niedrig; die Schallwellen führen allerdings zu u i 0. Impulsgleichung Man zieht aus der linken Seite der Impulsgleichung (1.5) die Kontinuitätsgleichung heraus, indem man die Ableitungen in je zwei Terme aufspaltet (und Dρ Dt + ρ u i = 0 berücksichtigt, Massenerhalt, s.o.). Dann erhält man aus ρ u i t + ρu u i j = p + τ ij

15 1 Grundgleichungen 11 die nichtkonservative Form der Dierentialgleichung, Energiegleichung ρ Du i Dt = p + τ ij. (1.28) Zur Beschreibung kompressibler Strömungen ist neben Kontinuitäts- und Impulsgleichung eine Energiegleichung notwendig. Es existieren u.a. die bereits vorgestellte Gleichung der Gesamtenergie, die Bilanzen der inneren und der kinetischen Energie, sowie die Entropiegleichung. Die Bilanz der kinetischen Energie folgt aus der Impulsgleichung durch skalare Multiplikation mit der Geschwindigkeit: ρ D Dt u i ρ Du i Dt = u p τ ij i + u i (1.29) ( 1 2 u ) iu i = ( u i p + u i τ ij ) x } i {{ } + p u i x } {{ } i τ ij u i } {{ } Verschiebungs- Kompressions- Dissipationsarbeit arbeit funktionφ (1.30) Dabei wird die Dissipationsfunktion mit Φ bezeichnet: Φ = τ ij u i = τ ij (S ij + r ij ) = (1.31) = τ ij S ij = 2µS ij S ij + (µ d 2 3 µ)s kks mm. (1.32) Es gilt Φ 0. Subtrahiert man die Bilanz der kinetischen Energie von der Bilanz der Totalenergie, so erhält man die Bilanz der inneren Energie: ρ Dε Dt = ( λ T ) p u j + Φ. (1.33) In der Luft ist bei Zimmertemperatur die Enthalpie (bzw. die innere Energie ε) relativ groÿ, hingegen ist im Fall der Aeroakustik die kinetische Energie relativ klein. Die totale (spezische) Energie ist e = ε + u 2 /2, wobei u 2 /2 für Schallwellen sehr klein ist. (e dimensionslos: 1 + γm 2, und die Machzahlen sind in der Akustik sehr klein). Dies bedeutet: Eine Gleichung für die innere Energie ist in der Aeroakustik nicht praktisch, da sich die Gröÿenordnungen von innerer und kinetischer Energie so sehr unterscheiden. Weiterhin würde uns eine Bilanz der kinetischen Energie gegenüber der Impulsgleichung keine neuen Informationen liefern. Deswegen wird die im folgenden Abschnitt besprochene Entropiegleichung verwendet.

16 12 Grundgleichungen Entropiegleichung Durch die bei einer Temperatur T zugeführte Wärmemenge dq ist die Entropie ds gegeben zu ds = dq T. (1.34) Weiterhin gilt T ds = dε + p d( 1 ρ ) = dε p dρ (1.35) ρ2 mit der Änderung der inneren Energie dε und der Kompressionsarbeit p d( 1 ρ ). Adiabate Kompression erhöht dε, der nicht-adiabate Teil eines Kompressionsvorgangs erhöht ds. Mit den substantiellen Ableitungen schreibt sich, wie gesehen, die Kontinuitätsgleichung: p ρ (1 ρ Dρ Dt ) = p u i ρ und dann lautet die obige Beziehung für ein strömendes Medium: T Ds Dt = Dε Dt + p ρ u i, und die Entropiegleichung wird unter Hinzunahme einer Bilanz der inneren Energie zu: ρt Ds Dt = Φ + ( λ T ), (1.36) mit der Dissipationsfunktion Φ, wobei die rechte Seite in der Aeroakustik gleich Null ist, d.h. in der Aeroakustik ist Isentropie gegeben: Ds Dt = 0. Die bereits gezeigte Gleichung für die Gesamtenergie ist sehr redundant, sie enthält die Kontinuitätsgleichung, und die Gleichung für die kinetische Energie, welche sich aus der Impulsgleichung ableiten läÿt und ihr gegenüber keine neue Information liefert. Die hier verwendete Entropiegleichung vermeidet diese Redundanzen. In Form einer wirklichen Bilanz schreibt sich die Entropiegleichung: ( ) ρ Ds Dt = λ T + 1 ( Φ + λ ) T T T T T } {{ } Entropiestrom } {{ } Entropieerzeugung 0 (1.37)